close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика спектра одного квадратичного пучка сингулярных дифференциальных операторов.

код для вставкиСкачать
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
303
УДК 517.984.5
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ОДНОГО КВАДРАТИЧНОГО ПУЧКА
СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
© Р. Ф. Гизатуллин
Башкирский государственный университет
Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32
Тел./факс: +7 (347) 229 96 32.
E-mail: giz-renat@yandex.ru
В работе исследуется функция распределения собственных значений N(λ) пучка вида
L(λ)=A+λΒ−λ2Ε, где A, B – дифференциальные операторы в частных производных в L2(R3).
Причем на коэффициенты B наложены условия, при которых оператор BA-1/2 является
компактным и оператор B не влияет на поведение N(λ). Мы продолжаем исследования,
начатые в работах [1–3]. Отметим, что в этих работах рассматриваются обыкновенные
дифференциальные операторы в L2(−∞; +∞).
Ключевые слова: спектр, распределение собственных значений, операторный пучок.
Рассмотрим
в
пространстве
L2(R3)
самосопряженный дифференциальный оператор
A=∆2+q(x),
где ∆ – оператор Лапласа, а q(x) – положительная
функция, удовлетворяющая следующим условиям:
q(x)→+∞ при |x|→∞
(1)
|q(x)−q(ξ)|≤c q5/4−ε(x)|x−ξ|,
(2)
при |x−ξ|r(ξ)≤1, где r(ξ)=qχ(ξ), 0<χ<1/4, ε>0
dx
∫ q γ (x ) < ∞ , γ>1/4
(3)
R3
Из условия (1) согласно критерию А. М.
Молчанова [4] спектр оператора A дискретен и
оператор A-1 является компактным.
Пусть B – симметрический оператор в L2(R3),
порожденный дифференциальным выражением:
∂u
∂u


+ p2 (x )
+ 
 p1 (x )
∂x1
∂x 2




∂u
i
′
+ ( p1 (x )u ) x1 +  ,
Bu =  + p3 (x )
2
∂x3


′
′ 
 + ( p 2 (x )u ) x2 + ( p3 (x )u ) x3 


где функции pi(x), i=1,2,3 удовлетворяют
следующим условиям:
|pi(x)−pi(ξ)|≤ c |pi(x)||x−ξ|,
(4)
при |x−ξ|r(ξ)≤1, где r(ξ)=qχ(ξ), 0<χ<1/4,
|pi(x)|≤q1/4−ε(x), ε>0
(5 )
Рассмотрим операторный пучок
L(λ)u=Au+λΒu−λ2Εu.
Определение.
Число
λ0
называется
собственным значением пучка L(λ), если L(λ0)u=0
для некоторого u≠0.
Из [5] следует, что если функции pi(x) и q(x),
i=1,2,3 удовлетворяют перечисленным условиям,
то оператор BA-1 – компактен. Тогда по теореме о
голоморфной оператор-функции [6] заключаем, что
спектр пучка L(λ) дискретен и состоит из двух
серий вещественных собственных значений,
уходящих в +∞ и −∞. Обозначим λ±1, λ±2, …, λ±n,…
собственные значения пучка L(λ) расположенные в
порядке возрастания их абсолютных величин и
положим
∑1 , N
N − (λ ) =
+
(λ ) =
λ < λn < 0
∑1 .
0 < λn < λ
Нас интересует поведение этих функций при
λ→±∞. Легко видеть, что если
L(λ)y=0, то
L(−λ)ȳ=0. Это означает, что спектр пучка L(λ)
симметричен, поэтому функции N−(λ) и N+(λ) в
исследуемом случае совпадают.
Найдем
асимптотику
при
фундаментального
решения
λ=iµ→∞
уравнения
3
∆2u+q(x)u=λ2u,
равномерную по
x∈R .
Используя метод замороженных коэффициентов,
показываем, что при µ→∞ для фундаментального
решения G(x, ξ, λ) оператора A справедлива
асимптотическая формула, равномерная по x:
G(x,ξ, λ) ~ G0(x−ξ,ξ , λ), (6)
где
 q (ξ )+ µ 2

 q(ξ ) + µ 2
  4 4 x −ξ 

sin  4
x − ξ e 


4


G 0 (x - ξ , ξ , iµ ) =
2
4π q(ξ ) + µ x − ξ
– фундаментальное решение оператора с
«замороженными коэффициентами» ∆2u+q(ξ)u.
−1 / 2
Если BA
∈ σ ∞ , то согласно результатам
М. В. Келдыша оператор B не влияет на
асимптотику спектра пучка L(λ). Мы показываем,
−1 / 2
что BA
̶ компактен, если |pi(x)|≤q1/4−ε(x),
i=1,2,3, ε>0.
Воспользуемся тем, что [7]
∞
dN (t )
∫ G ( x, x, iµ )dx = ∫ t + µ
R3
2
(7)
0
Из формулы (6), получаем, что
1
dx
∫3 G ( x, x, iµ )dx ~ 4 2π ∫3 4 q(x ) + µ 2 = F (µ ) (8)
R
R
МАТЕМАТИКА
304
По формуле обращения
представима в виде:
F (µ ) =
+∞
Стилтьеса
dσ (t )
∫t+µ
,
2
F(µ)
Замечание. Легко показать, что все условия
теоремы выполняются, например, в случае, когда
pi(x) и q(x), i=1,2,3 – степенные функции.
(9)
ЛИТЕРАТУРА
0
где
σ (λ ) =
3
2π 2
∫ (λ
2
)
− q( x )
3/ 4
1.
dx
2.
q ( x )< λ2
Воспользуемся теперь тауберовой теоремой М.
В. Келдыша [8]. Пусть функция σ(t) удовлетворяет
следующим тауберовым условиям:
ασ(t)≤ tσ′(t) ≤βσ(t)
(10)
Тогда функция N(λ) удовлетворяет следующей
асимптотической оценке:
N (λ ) ~
3
2π 2
∫ (λ
2
)
− q(x )
3/ 4
3.
4.
dx (11)
q ( x )< λ2
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть выполнены условия (1)–(5),
(10).
Тогда
для
функции
распределения
собственных значений пучка L(λ) справедлива
формула (11).
5.
6.
7.
8.
Султанаев Я. Т. Об асимптотике спектра некоторых
пучков дифференциальных операторов // Asymptotische
methoden in der analysis. Halle, 1988. С. 85–96.
Гайдамак О. Г., Силова Е. В., Султанаев Я. Т., Урманчеев
С. Ф. К оценке распределения собственных значений
пучка
дифференциальных
операторов
изгибных
колебаний
волновода.
//
Вестник
Башкирского
университета. 2005. №2. С. 3–7.
Султанаев Я. Т., Силова Е. В. Асимптотика спектра
одного
квадратичного
пучка
дифференциальных
операторов. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39.
№8. С. 1062–1067.
Молчанов А. М. Об условиях дискретности спектра
самосопряженных дифференциальных уравнений второго
порядка. // Гр. Моск. Матем. о-ва. 1953. №2. С. 169–200.
Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы
разделимости для эллиптических уравнений в Rn. // Труды
МИ АН СССР. 1983. CLXI. С. 195–217.
Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов. // М.: Наука, 1965. 448 с.
Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение
собственных значений. М.: Наука, 1979. 400 с.
Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную
теорию. // М.: Наука, 1970. 484 с.
Поступила в редакцию 20.01.2013 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 685 Кб
Теги
пучко, спектр, дифференциальной, одного, оператора, квадратичної, асимптотики, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа