close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическая нормальность оценок квантилей функции эффективности.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2016 ISSN 2410-6070
УДК 519.21
М.В. Ярощук
к.ф.-м.н., доцент
НИУ ННГУ им.Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород, Российская Федерация
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК КВАНТИЛЕЙ
ФУНКЦИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Аннотация
В работе обсуждаются понятия эффективных доз–оценок функции эффективности в зависимости
доза-эффект, строится оценка для квантилей функции эффективности. Оценка квантилей строится с
помощью непараметрических методов математической статистики, а именно используются ядерные оценки
регрессии. В работе показывается, что данные оценки являются асимптотически нормальными.
Ключевые слова
Зависимость доза-эффект, средне-эффективная доза, функция эффективности,
ядерные оценки регрессии, асимптотическая нормальность.
При оценивании зависимости доза-эффект наиболее часто оценивают дозы LD50 и ED50 : LD50 – это
доза, при которой 50% от количества объектов, получивших дозу, погибает (средняя летальная доза), ED50 –
это средне-эффективная доза (для 50% объектов наблюдается эффект). На современном этапе во многих
разделах медико-биологических наук востребованными являются величины доз, которые вызывают
появление эффекта, учитываемого в экспериментальной группе тест-объектов с заданной вероятностью 0,01
– 0,1; 0,9 – 0,99. Такие дозы получили название доз ED1  ED10 , ED90  ED99 . Потребности практики
обуславливают необходимость одновременного определения как полного перечня категорий эффективных
доз от ED1 до ED99 , так и вида самой функции эффективности. Нас интересует проблема нахождения
функции эффективности и оценка доз ED100 , в широком диапазоне значений 0    1 , по результатам
наблюдений: введенным дозам и наличию или отсутствию эффекта. Мы рассматриваем математическую
модель зависимости доза-эффект ([1], стр. 22), в которой считаем минимальную границу, с которой
начинается реакция организма, латентной случайной величиной (с.в.). Если нижняя граница
чувствительности X и введенная доза U  независимы как случайные величины, то функция
эффективности является функцией распределения F ( x) с.в. X . Однако даже в этом случае для оценки
функции эффективности и категорий эффективных доз мы не можем воспользоваться классическими
методами математической статистики, поскольку исследуемая величина ненаблюдаема, а вместо нее
наблюдаются менее информативные величины: индикаторы эффекта Wi  I U i  X i  и введенные дозы
Ui , i  1,..., n . Для оценки функции эффективности мы используем непараметрические методы
математической статистики, а именно, ядерные оценки регрессии.
Оценку доз ED100 в диапазоне значений 0    1 по выборке
U ,W  , 1  i  n
i
i
мы будем
производить, оценивая квантили функции распределения F ( x) . Именно, пусть x  F 1 ( )  квантиль
порядка 0    1 функции распределения F ( x) , где плотность распределения f ( x)  0 . В силу строгого
возрастания F ( x) квантиль x определяется однозначно.
Построим оценку для квантиля порядка  строго монотонной функции распределения F ( x) , т.е. для
квантильной функции F 1 ( ), 0    1 , считая, что F 1 (0)  0, F 1 (1)  1 . Именно, рассмотрим для
F (0)    F (1) оценку
23
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2016 ISSN 2410-6070
n
Fn*1 ( ) 
Wi K h U i  x 

1
i 1
,
где
,
.
U

R
[0,1]
K
F
U

u
du




i
Fn ( x)  n
h0
n
i

n 
i 1

n
1
 K U
i 1
h1
i
 x
 1 
1
По Лемме 2.1 ([2], стр. 505) Fn*1 ( )  x   2 h02  F 1 ( )   o h 20  O 
. Здесь K ( x)  ядерная
 nh0 
2


 
функция, K h ( x) 
1  x
K   , h  ширина окна просмотра. Для ядерной функции K ( x) определены
h h
следующие характеристики:  2 



x 2 K ( x)dx , K
2


K
2
( x) dx . В следующей теореме мы утверждаем,

что оценка квантиля Fn*1 ( ) асимптотически нормальна при n   .
Теорема. Пусть плотности с.в. X и U  f  x   0 и g ( x)  0 непрерывны, ограничены и имеют
ограниченные производные до второго порядка включительно. Кроме того выполнены условия h1  0 ,
h0  0 , nh1   , nh0   ,
1
h1
 o(1) . Тогда
 0 при n   и
nh1h 02
h0
h0
  1    22 ( ) 
d
 c , то nh0  Fn*1 ( )  b  

N
 0,
,
n
n  h
g
(
x
)
f
(
x
)
1




если lim
  1    K 2 
nh0  F ( )  b  
 N  0,
,
 g ( x ) f 2 ( x ) 


1
1
f ( x) g ( x)  2 f ( x) g ( x)
где b  x   2 h12 F 1 ( )    2 h02
,
2
2
g  x
h0
 0 , то
n  h
1
*1
n
если lim

d
n

 22 ( )   K  w  cf ( x )(v  u)  K (w) K (u) K (v)dwdu dv .
Доказательство этой теоремы в основных чертах напоминает доказательство теоремы 3.1 ([2]
стр.507). Отличие состоит в схеме наблюдений – в работе [2] наблюдения имеют вид:
Yi  m( X i )   ( X i ) i , i  1, 2, ... , n , где
 X i , Yi i 1 
n
распределенных случайных величин, причем с.в.
X
двумерная выборка независимых одинаково
имеет положительную дважды непрерывно
дифференцируемую плотность f ( x) на компактном носителе, именно на [0,1]; функции  :[0,1]  R  и
m:[0,1]  R предполагаются непрерывными и дважды непрерывно дифференцируемыми.
Список использованной литературы:
1. Криштопенко, С.В. Доза-эффект / С.В. Криштопенко, М.С. Тихов, Е.Б. Попова – М.: Медицина, 2008. –
288 с.
2. Dette, H. A Note on Nonparametric Estimation of the Effective Dose in Quantal Bioassay / H. Dette, N.
Neumeyer, K.F. Pilz // Journal of the American Statistical Association. – 2005. – V. 100. – P. 503– 510.
© Ярощук М.В., 2016
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 251 Кб
Теги
эффективность, асимптотическое, нормальность, функции, квантилей, оценок
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа