close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических возрастающих по времени областях.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
326
УДК 517.957
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО
ГАЗА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЗРАСТАЮЩИХ ПО ВРЕМЕНИ
ОБЛАСТЯХ
© И. А. Калиев*, А. А. Шухардин, О. И. Валишина
Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал
Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 47а.
Телефон: +7 (3473) 43 22 50, факс: +7 (3473) 43 94 18.
E-mail: kalievia@mail.ru.
В данной работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения
вязкого теплопроводного газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в
нецилиндрических возрастающих со временем областях. Локальная теорема существования и
единственности рассматриваемых задач доказана в более ранних работах А. В. Кажихова и И.
А. Калиева. Поэтому доказательство теоремы существования и единственности «в целом» по
времени связанно c получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от
данных задачи и величины интервала времени T, но не зависят от промежутка существования
локального решения. Исследование проводится в эйлеровых переменных.
Ключевые слова: cистема уравнений Навье-Стокса, теплопроводный газ, глобальная разрешимость, нецилиндрические возрастающие по времени области.
Введение
Полная система уравнений движения вязкого
теплопроводного газа или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс дифференциальных уравнений в частных производных. В теории таких систем одной из
центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по
данным. Изучение вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений НавьеСтокса началось с работы Дж. Серрина 1959 г. [1].
В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим
также более раннюю статью Д. Граффи 1953 г. [2]
о единственности классических решений для баротропного газа.
Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [3].
Он доказал существование классического решения
задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат
несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [4], А. И. Вольперта и С. И.
Худяева [5]. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В. А. Солонниковым [6] и А.
Тани [7]. Первый результат по однозначности разрешимости «в целом» по времени и по данным был
установлен в 1968 г. Я. И. Канелем [8] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения
вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса
разрешимость задачи Коши и начально-краевых
задач были доказаны в работах Н. Итая [9, 10] и А.
Тани [11]. В 1976 г. А.В. Кажихов [12] впервые получил результат о глобальной разрешимости для
уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа.
* автор, ответственный за переписку
В работах И. А. Калиева, А. В. Кажихова [15,
16] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей
процесс фазового перехода между вязким газом и
твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения. Как правило, область в которой доказывается существование решения «в целом» по
времени, является либо полосой {(x, t)| − ∞ < x < ∞,
0 < t < T }, либо цилиндром {(x, t)|a < x < b, 0 < t <
T}; a, b, T – заданные постоянные. В нашей работе
для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного
газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических возрастающих со временем областях {(x, t)|0 < x < s(t), 0
< t < T }, где x = s(t) – заданная гладкая возрастающая функция. Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [12, 14] и
задачи о поршне, который двигается по заданному
закону [14]. В обеих задачах скорость движения
границы s(t) области занятой газом совпадает со
скоростью движения материальной точки с координатой s(t), т.е. u(s(t),t) = ds(t)/dt, 0 < t < T. Другими словами, газ через границу s(t) не течет и этот
факт играет решающую роль при доказательстве
теорем существования, поскольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром. В настоящей
работе u(s(t),t) = 0, ds(t)/dt > 0, т.е. u(s(t), t) − ds(t)/dt
< 0, и газ втекает через подвижную границу области x = s(t). В статье исследование проводится в эйлеровых переменных. Случай, когда ds(t)/dt ≤ 0
рассмотрен в работах И. А. Калиева и М. С. Подкуйко [17, 18].
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
Постановка задачи. Формулировка основных результатов
Пусть нецилиндрическая область ΩT = {(x, t)|0
< x < s(t), 0 < t < T }, где x = s(t) – известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом.
В работе изучается случай, когда область расширяется со временем, т.е. ds(t)/dt > 0. Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в
области ΩT описывается системой уравнений [14]:
∂ρ ∂ ( ρu )
(1)
+
= 0,
∂t
∂x
∂u 
∂ 2 u ∂ρ
 ∂u
(2)
ρ  + u  = µ2 2 − , p = Rρθ ,
∂x 
∂x
∂x
 ∂t
2
∂θ 
∂ 2θ
∂u
 ∂θ
 ∂u 
+ u  = χ 2 + µ  − p ,
∂x 
∂t
∂x
 ∂t
 ∂x 
ρ
(3)
здесь ρ(x,t), u(x,t), p(x,t) и θ(x,t) – плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; µ,
R, χ – положительные константы: вязкость, газовая
постоянная и коэффициент теплопроводности газа
соответственно.
В начальный момент времени задаются u, θ, ρ:
u ( x, t ) t =0 = u 0 ( x ), θ ( x, t ) t =0 = θ0 ( x ),
[ ]
ρ ( x, t ) t =0 = ρ0 ( x ), x ∈ 0, s0
где s0 = s(0).
На известных границах x = 0 и x = s(t) задаются условия:
u ( x, t )
= 0, u ( x, t )
= 0, t ∈ 0, T , (5)
[ ]
= θ (t ), θ ( x, t ) ( ) = θ (t ), t ∈ [0, T ] , (6)
(7)
ρ ( x, t ) ( ) = ρ (t ), t ∈ [0, T ]
x = s (t )
x =0
θ ( x, t ) x = 0
1
2
x =s t
2
x=s t
Предполагается, что для всех t ∈ [0, T ] и
x ∈ [0, s0 ] выполняются неравенства:
0 < m ≤ ρ0 ( x ), ρ 2 (t ),θ 0 ( x ),θ1 (t ),θ 2 (t ) ≤ M < +∞ , (8)
ds
, (9)
0<s , 0<m≤ ≤M
0
ds
где m, M – некоторые положительные константы.
Задача Gas. Требуется найти функции ρ(x,t),
u(x,t), θ(x,t), удовлетворяющие системе уравнений
(1)–(3), если в начальный момент и на известных
границах выполняются условия (4)–(7).
Теорема 1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gas принадлежат пространствам
Гельдера
ρ 0 (x )∈ C 1+α ([0, s0 ]), u0 ( x )∈ C 2 +α ([0, s0 ]), θ 0 (x )∈ C 2 +α ([0, s0 ]),
( 2 +α) / 2
0 < m1 ≤ ρ ( x, t ) ≤ M 1 < +∞,
константы.
Локальная теорема существования и единственности задачи Gas доказана в [15, 16]. Поэтому
доказательство теоремы связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят
только от данных задачи и величины интервала
времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения.
Вспомогательные предложения и априорные оценки
Предположим, что ρ ( x, t ) > 0 , θ ( x, t ) > 0 (в малом по времени имеется теорема существования с
соответствующими оценками) [15, 16]. Нами доказываются следующие леммы 1–13.
Лемма 1. Для любых t ∈ [0, T ] выполняются
оценки
∫
s (t )
θ ( x, t ) ∈C 2+α, (2 +α ) / 2 (ΩT ),
причем
t
0
0
ds
dτ ≤ M 0 ,
dτ
где
s0
T
M 0 = ∫0 ρ 0 (x )dx + ∫0 ρ 2 (τ )
ds
dτ
dτ
В дальнейшем при получении оценок на
функции ρ, u, θ в области, занятой вязким газом,
используются методы, разработанные В.А. Вайгантом [13].
Введем в ΩT вспомогательную функцию B(x,
t), определенную следующим образом:
∂B 1
∂B ∂u 1
1
= ρu,
=
− Rρθ − ρu 2 ,
µ
∂x µ
∂t ∂x µ
1 x
B t = 0 = B0 ( x ) = ∫0 ρ 0 (ξ )u 0 (ξ )dξ , 0 ≤ x ≤ s0 .
µ
Лемма 2. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных и Т, такая, что для любых ( x, t )∈ ΩT справедливо равенство
12
s (t )
B ( x, t ) ≤ C (1 + ∫ ρu 2 dx  +
0

+∫
t
∫
s (τ )
0 0
ρθdxdτ + ∫
t
∫
s (τ )
0 0
ρu 2 dxdτ ).
Лемма 3. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных и Т, такая, что для любых t ∈ 0,T справедливо равенство
[
]
[ ]
ρ ( x, t ) ∈C1+α (ΩT ), u ( x, t ) ∈C 2+α, (2 +α ) / 2 (ΩT ),
s0
ρ ( x, t )dx = ∫ ρ0 ( x )dx + ∫ ρ2 (τ )
s (t ), ρ2 (t ), θ1 (t ), θ2 (t ) ∈C
( 0, T ) ,
0 < α = const < 1 ; выполнены условия (8), (9) и условия согласования нулевого и первого порядков в
точках (0,0), (s0,0).
Тогда задача Gas имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами
(10)
0 < m2 ≤ θ ( x, t ) ≤ M 2 < +∞, ( x, t ) ∈ ΩT
где m1 , M 1 , m2 , M 2 – некоторые положительные
0
(4)
327
s (t )
∫ ( ρ ln ρ − ρ + 1)dx +
0
+
R
t
µ∫ ∫
s (τ )
0 0
ρθ 2 dxdτ ≤ C 1 + max B ( x, τ ) .
( x ,τ ) ∈Ω

t

Лемма 4. Для любых t ∈[0,T ] справедливы
оценки


max ρ ( x, t ) ≤ M ⋅ exp 2 max B( x, t )  ,
0 ≤ x ≤ s (t )
 ( x,τ )∈Ω

t
МАТЕМАТИКА
328
1
≤ C exp2 max B ( x, t )  +
0 ≤ x ≤ s ( t ) ρ ( x, t )

  ( x ,τ ) ∈Ωt
t
+ ∫ max θ ( x, τ )dτ ⋅exp4 max B ( x, τ )  .
0 0 ≤ x ≤ s (τ )
 ( x ,τ ) ∈Ωt

s (t ) 2
s (t ) 2
∫0 ρ x (x, t )dx + ∫0 ρ t (x, t )dx ≤ C 2 ,
max
∫
s (t )
0
θ x2 ( x, t )dx + ∫
+∫
Лемма 5. (Оценка полной энергии). Существует постоянная С > 0, зависящая от граничных
данных и Т, такая, что
t
∫
s (τ )
0 0
t
s (τ )
θτ2 ( x, τ )dxdτ +
,
( x, τ )dxdτ ≤ C3
max θ ( x, t ) ≤ M 2 .
( x ,t ) ∈Ω
∫
0 0
θ
2
xx
T
ρu 2 
s (t ) 
dx ≤ C .
max ∫0  ρθ +

0 ≤ t ≤T
2 

Оценки теоремы в гельдеровских нормах, после того как доказаны априорные оценки лемм 1–
13, получаются методами, изложенными в [14].
Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу
Лемма 6. Существует постоянная М1 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что
max ρ ( x, t ) ≤ M 1 .
( x , t )∈Ω
Лемма 7. Существует постоянная m2 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что
min θ ( x, t ) ≥ m2 .
( x , t )∈Ω
Лемма 8. Существует постоянная m1 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что
min ρ ( x, t ) ≥ m1 .
( x , t )∈Ω
Оценки производных.
Лемма 9. Существует постоянная C > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что
s (t )
T s (t )
max ∫0 ρ ( x, t )u 2 ( x, t )dx + ∫0 ∫0 u x2 ( x, t )dxdt ≤ C
t ∈[0,T ]
Лемма 10. Для любых t ∈ [0,T ] справедливо
неравенство
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
T
T
4.
5.
6.
T
∫
s (t )
0
s (τ )
∫ (uτ ( x, τ ) + u ( x, τ ))dxdτ ≤
(τ )
≤ C (1 + ∫ ∫ θ ( x, τ )dxdτ +
(τ )
+ ∫ max θ ( x, τ ) ∫ ρ ( x, τ )dxdτ ).
[ (τ ) ]
u x2 ( x, t )dx + ∫
t
2
2
xx
0 0
t
s
2
x
0 0
t
s
2
0 x ∈ 0,s
2
x
0
Лемма 11. Для любых t ∈ [0, T ] справедливо
неравенство
s (t )
∫0
ρ x2
2
t s (τ ) θ x
( x, t )dx ≤ C + C ∫0 ∫0
θ
max ∫
0 ≤τ ≤t
0
Лемма
θ
2
8.
9.
10.
11.
12.
13.
dxdτ .
Оценка температуры.
Лемма 12. Существует постоянная С > 0,
такая, что для любых t ∈ 0, T справедлива оценка
s (τ )
7.
[ ]
s (τ )
dx + ∫ ∫ θ x2 dxdτ ≤ C .
0 0
14.
15.
t
постоянные
16.
C1 , C 2 , C 3 , M 2 > 0 , зависящие от Т, начальных и
краевых данных, такие, что для любых t ∈ 0, T
17.
13.
Существуют
[ ]
справедливы следующие оценки
∫
s (t )
0
u x2 ( x, t )dx + ∫
t
∫
s (τ )
0 0
+∫
t
∫
s (τ )
0 0
uτ2 ( x, τ )dxdτ +
u xx2 ( x, τ )dxdτ ≤ C1
,
18.
Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion //
Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V. 3. №3. P. 271–288.
Graffi D. Il teorema di unicita nella dinamica dei fluidi
compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99–106.
Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations
differentielles d’un fluide general // Bull. Soc. Math. France.
1962. V. 90. P. 487–497.
Itaya N. The existence and unicueness of the solution of the
equations describing compressible viscous fluid flow // Proc.
Japan Acad. 1970. V. 46, №4. P. 379–382.
Вольперт А. И., Худяев С. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений //
Мат. сборник. 1972. Т. 87. №4. С. 504–528.
Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой
задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и
теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128–142. (Зап. науч.
семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 56).
Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci.
Kyoto Univ. 1977. V. 13. №1. P. 193–253.
Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968.
Т. 4. №4. С. 721–734.
Itaya N. On the temporally global problem of the generalized
Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. V. 14. №1. P.
129–177.
Itaya N. A servey on the generalized Burger’s equation with a
pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16. №1.
P. 223–240.
Tani A. On the first initial-boundary value problem of the
generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci.
Kyoto Univ. 1974. V. 10. №1. P. 209–233.
Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных
краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа
// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб.
отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 24. С. 45–61.
Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т
гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 3–21.
Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые
задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск:
Наука, 1983. 319 с.
Кажихов А.В., Калиев И.А. Корректность одной модели
фазового перехода газ – твердое тело. Новосибирск, 1999.
32 с. (Препр. / Мин. ОПО РФ. НГУ, НИИ Дискретной математики и информатики. N 43).
Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-solid
phase transition problem // J. Math Fluid Mech. 1999. V. 1.
№3. P. 282–308.
Калиев И. А., Подкуйко М. С. Об одной граничной задаче
для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. №10. С. 1356–1374.
Kaliev I. A., Podkuiko M. S. Nonhomogeneous Boundary
Value Problems for Equations of Viscous Heat-Conducting
Gas in Time-Decreazing Non-Rectangular Domains // J. Math
Fluid Mech. 2008. V. 10. P. 176–202.
Поступила в редакцию 31.10.2012 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа