close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дискретный подход к описанию дальних корреляций множественности и в модели слияния струн.

код для вставкиСкачать
УДК
539.125.17
Вестник СПбГУ. Сер.
4, 2004,
выл .
4
В. В. Ве-черн:и:н, Р. С. Ко.л,еватов
ДИСКРЕТНЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ДАЛЬНИХ КОРРЕЛЯЦИЙ
МНОЖЕСТВЕННОСТИ И Pt В МОДЕЛИ СЛИЯНИЯ СТРУН*)
1.
Введение.
Для описания мягкой составляющей адронных и ядерных взаи­
модействий при высоких энергиях часто используется модель цветных струн
[1-4]. В
рамках этого подхода в работах (5, 6] была предложена модель слияния струн. В даль­
нейшем [7-10] она была приложена к описанию дальних корреляций множественности
и Pt в релятивистских ядерных столкновениях [11-14].
В работе
[15]
был сформулирован некий простой аналог модели слияния струн,
позволяЮщий пров·ести явные аналитические вычисления корреляционных функций
в некоторых асимптотических случаях и способный упростить вычисления в случае
реальных ядерных столкновенИй. Там же были проверены предположения дискретного
подхода и достоверность гауссова приближения для простейшего (без слияния} случая,
когда может быть найдено явное решение в модели.
В настоящей статье в рамках предложенного дискретного подхода были вычислены
корреляционные функции и коэффициенты корреляции Ргn и
n- n
в двух случаях:
локального и глобального слияния струн .
Проделаны как численные расчеты, так и, в некоторых асимптотических случаях,
аналитические вычисления с использованием гауссова приближения. Полученные ре­
зультаты хорошо согласуются друг с другом, что доказывает обоснованность гауссова
приближения.
При бо.t:rыiюй плотности струн
обнаруживается в обоих случаях:
rJ
»
1
связь между коэффициентами корреляции
как с локальным, так и с глобальным слиянием
струн, причем для коэффициента корреляции имеет место скейлинг. Он зависит только
от единственной · комбинации J-Lo /
.,j1j
переменных rJ и J-Lo (J-Lo - среднее число частиц,
испускаемых единичной струной).
В п;
2
будет воспроизведена формулировка дискретного подхода в случае .л,окадъ­
н,ого слияния струн; в п. 3 развивается подход с использованием гауссова приближен'ия
для случая .л,ока.л,ьного слияния; в п.
лены для больших
в п.
5
rJ
4
коэффициенты корреляции Ргn и
n- n
вычис­
в i случае .л,ока.л,июго слияния струн и найдена связь между ними;
рассчитаны корреляционные функции ргп и
n-n
при больших
rJ
для «однород­
ного• случая (постоянная средняя плотность струн) в случае до?садьного их слияния .
Показано, что при этом коЭффициенты корреляции ргп и n-n становятся равными, и
имеет место скейлинг по J-Lo/
Полученные результаты сравниваются с данными чис­
..fii.
ленных расчетов по формулам п.
2; в п. 6 воспроизводится формулировка дискретного
подхода в случае г.л,оба.л,ьн,ого слияния струн, получены точные замкнутые формулы
для корреляционных функций Ргn и n-n; в п. 7 развито гауссово приближение для
случая г.л,оба.л,Ъного слияния при больших плотностях rJ. Вычисленные для этого слу­
чая корреляционные функции и коэффициенты корреляции ргп и
результатами численных расчетов на основе формул п.
6.
n-n
сравниваются с
Поведение корреляционных
функций при малых плотностях струн изучается в приложениях .
*)Работа .Выnолнена nри частичной финансовой nодцержке Российского фонда фундаментальных
исследований (грант
Nt
01-02-17137-а) .
©В . В. Веч.ернин, Р. С. Колеватов,
2004
11
·
2.
Дискретный подход в модели локального слияния. Воспроизведем фор­
мулы, полученные для данного подхода в
основе двухэтапного сценария:
[15].
Столкновение ядер рассматривается на
на первом этапе формируются цветные струны, а на
втором эти струны или те, что образавались в результате слияния первичных струн (с
большим цветным зарядом), распадаются с испусканием наблюдаемых 'iастиц.
Принципиально можно рассмотреть два типа слияния. В модели с локальным сли­
янием цветные поля суммируются локально, в модели глобального слияния
-
по всей
площади кластера, формируя единое среднее цветное поЛе. Последний случай соот­
ветствует суммированию цветных зарядов источников. (В п. 5 [15] оп~анные модели
соответствуют пр иведенным там случаям А) и Б) соответственно.)
В поперечной плоскости в зависимости от прицельного параметра Ь имеем некотО­
ру-ю область взаимодействия S(b). Разобьем ее на ячейки размером порядка размера
струны. Таким образом, получим М= S(b)/O"o ячеек, где О"о
-площадь попереч­
= 1rr5
ного сечения струны, и
r0
~
0,2 fm-
радиус струны.
По предположению модели локального слияния струн, в случае, если в i-ю ячейку
попадают 'Г/i струн, они образуют струну с большим цветом, которая излучает в среднем
J-Lo.J[ii частиц, при этом их средний поперечный
J-Lo с -{р;) = р2 , излучаемых единичной струной.
Обозначим ni и
ni
импульс р; равен р2 ..jiii, в отличие от
соответственно число частиц в событии и среднее число частиц,
испускаемых струной повышенного цвета в i-й ячейке в данный интервал быстроты.
Тогда
(1)
В различных событиях число струн 'Г/i в i-:-й ячейке будет флуктуировать относитель-
-
но среднего значения fji. Ясно, что для реальных ядерных столкновений эти fji будут
различаться для разных ячеек, а именно зависеть от положения
взаимодействия
(s- двумерный
(s)
ячейки в области
вектор в поперечной плоскости). Чтобы получить фи­
зический ответ, необходимо суммировать вклады от . разных ячеек, что соответствует
интегрированию по
s
в поперечной плоскости.
Средняя локальная плотность первичных струн fji в точке
s
поперечной плоскости
однозначно определяется распределением ядерной плотности и значением прицельного
Параметра Ь, которые могут быть вычислены, например, в приближении Глаубера. Это
будет сделано в отдельной статье. В данной работе предполагается, что все средние
значения fji уже фиксированы на основе указанных расемотрений для каждого значе­
ния прицельного параметра Ь .
.
Введем величины, которые будут играть важную роль в дальнейшем:
м
N
= Lrti,
i=l
м
r=2:J77i,
i=l
м
r=L:~i=1
Очевидно, N есть число струн в данном событии, а N - среднее число струн для
данного типа событий при фиксированном прицельном параметре Ь.
Чтоб перейти к дальним корреляциям, необходимо рассматривать два окна по быст­
роте: F (передаее) и В (заднее). Каждому событию соответствуют определенные кон­
фигурация струн {ТJ 1 , ••• , ТJ м} и число заряженных частиц, испущенных этими струнами
12
' • ,)
в переДнее окно по быстроте. Таким образом, полное число частиц, излученных в пе:2
реднее окно по быстроте пр, будет равно
м
пр= l:пi.
i=l
Вероятность зарегистрировать пр частиц в переднем окне для данной конфигурации
{ry1 , ... , ТJм} равна
·
Р{1Jр ·--, l1м}(пр)
м
L
=
{n 1 , ... , nм}
где P1J; (пi)
дпF,Е;n; ПР 71 ;(пi),
i=l
- вероятность того, что струна ТJi излучит пi частиц в переднее окно по
быстроте. Предполагается, что в
(1)
00
пi
= 2:: пiP11 i
(
пi)
= 110 vГrii.
n;=O
Обозначим также
W (7] 1 , ... , Т} м) -
вероятность реализации струнной конфигурации
{ ry 1 , ... , ТJм} в данном событии, тогда среднее значение некоторой величины О при усло­
вии рождения пр частиц в передlfем окне будет равно
(O)n
F
L (О) {771 , .. . ,7Jм } ,nF W(ТJI' ..., ТJм )P{7Jl , ... ,7Jм} (пр)
= {7Jl , .. . ,7Jм}
.
.
2:: W(ryl, ...,ТJм)Р{1J1 , ... ,7Jм}(пр)
(2)
{7Jl, ... , 7Jм}
При вычислении М-кратных сумм необходимо исключить один член, где все ТJi
= О,
отвечающий отсутствию неупругого взаимодействия между нуклонами сталкивающих­
ся ядер (более подробно см. Приложение А).
Если О - число частиц, рожденных в заднее окно по быстроте в данном событии,
пв, тогда для корреЛяций (пв)nFнеобходимо использовать
м
(пв){ 111 , ... ,7Jм},nF =
если О
-
/10
2: yГrji = J.Lor;
(3)
i=l
средний квадрат поперечного импульса в данном событии для частиц, рожден­
ных в заднее окно по быстроте, Р~в• тогда для корреляций (р~в)n
F
нужно применять
м
. ...ftii
м
2
г,;;:
Р У ТJi
L: ТJi
=Р
Е ...ftii
2 i=l
м
.
=
р
2
N
r
(4)
2:: vГrii
i=l
i=l
В дальнейшем будем считать, что число первичных струн в каждой ячейке 'ТJi флук­
туирует независимо относительно некоторого среднего значения, однозначно определя­
емого распределением ядерной плотности и величиной прицельного параметра Ь (см.
выше). Тогда
м
W(ry 1 , ... , 7Jм)
= П w(ТJi),
i=l
м
L ТJiW(ТJi) = fii·
i=l
13
Для простоты иногда будем обращаться к •однородному» случаю, когда все 11i (в
отличие от 'Г/i, которые флуктуируют от события к_ событию) равны для всей области
взаимодействия r;i = 'Г/ (постоянная средняя плотность струн). Параметр ТJ согласу­
ется в этом случае с параметром ry, использованным в работах [10, 12, 13], и имеет
смысл среднего числа струн, приходящегося на площадь одной струны (1J = (средняя
плотность струн) х ст0 ).
В общем случае параметры
ко средняя плотность струн зависит от точки
11i
имеют тот же смысл, одна­
в поперечной области взаимодействия
=
(средняя плотность струн в точке s) х о-о).
Как было показ_ано в [15), взяв также пуассонову форму распределенияр'7; (ni) (ра(х)
пуассоново распределение с х = а):
(r;i
-
s
. ·) -
( ·) =
PrJ; (nt. - PJ.Lo,fi)i nt
-е
-p.o,fi)i (J.Lo..ftii)n;
n·'
.
t.
получим пуассоново распределение для
р{11р·· · ·11м}(nр)
= PJ.Lo L:; ,fi)i(np)
'
причем (np){ 111 , ... ,!'Jм} = J.lo 'Ei ..,ftii = J.loT = (nр)г и о-.~р = (nр)г = J.lor, что при больших
J.lo
'Ei .jiji переходит в гауссово распределение
Р
(n F ) -{111•····11м}
В
ления
1
f2= е
У .t-1ГO"rF
(5)
п.
6 [15] также было показано, что, взяв биномиальную форму распреде­
P!'J;(ni), получим биномиальное распределение для P{ 771 ,.. . ,1Jм}(np), причем
(nF){1Jp · ···'1м}
предел Л
-t
=
J.lo
'Ei yГrii
= J.loT
=
(np)r
=
и a-;F
(nF)'r(1
О соответствует распределению Пуассона, а Л
-Л) = J.1or(1 -Л), где
-t 1
~ случаю, . когда каж­
дая цветная струна испускает фиксированиное количество частиц
каждом событии.
ni
= ni = J.Lo..ftii в
-
Более того, основываясь на центральной предельной теореме теории вероятности,
можно утверждать, что при больших М будем иметь
·(5) для любого типа зависимости
P!'J; (ni)·
· 3. Гауссово приближение при большой плотности струн для ло~ального
слияния. Теперь оценим L{ , .. . , 11 м} при условии, что все fji » 1. Предположив это,
111
можно использовать гауссово приближение для каждой из w(rli):
1
w(r]i)
положив ст~;
=
r<>::.
у21ГО"1);
14
2
~'1;
= ffi (1- Л 11 ), где снов·а Л 11 -t О соответствует пуассонову пределу, а Л 11
случаю с фиксированным числом струн N
Как и в (15), в этом случае имеем
и
_(r/i-;j)2
е
=N
=
"L:: r;i (см. п. 6 в [15]).
1
-t 1 -
м
Заметим, что N
=L
м
1Ji и r
i=l
=L
yГrfi. Здесь
i=l
В дальнейшем множители перед экспонентой берутся в точке, где <р минимально,
после чего оставшиеся интегралы в числителе и знаменателе вычисляются, в результате
чего получаем
(6)
и
(7)
Величины N* и r* -значения N и r в точке
{fJr, ... , 7Jм },
где <p(1Ji , пр) минимально :
д<р(1Ji , пр) =О .
(8)
дТ]i
Это приводит к следующей системе уравнений:
(9)
Отметим, что r* =
п. 2 и в работе [15],
:Lt: R
и к,= (1- ЛТJ)/{1- Л). Смысл параметра к, описан в конце
1, а в остальных случаях это
относительная ширина распределений р(пi) и w(fJi)· Как функция пр 1Ji определено
в
1
в случае распределений Пуассона к, =
(9).
в водя
Zi
ш , f -= у~
!!:.Е..
11-or -- _.::.с:_
(np)
,
- -'!:Jl!5:....
ai4 уГтf;
з
z t· - z t· =
где r =
f:
Zi
м
•
(
-2
r - 1)
f 2 -r*2
'
в виде
(10)
м
L ..;rr;, r* = L zi..;rr; и N* = · L zffii· Формула (10) определяет Zi как функцию
i=l
i=l
i=l
= zi(f). Впоследствии можно вычислить (пв)п F и (р~в)n F как функции пр,
используя
4.
м
а.
, перепишем (9)
(6)
и
(7).
Коэффициенты корреляции ргп и п-п при большой плотности струн
в случае ло~ального слияния. Коэффициенты корреляции определяются так же,
как и в п. 4 [15J:
(11)
15
- _ d(р~в)пFf(р~в)
{3 =
dnp/ (пр)
lnF=(nF) ·
(12)
(Заметим, что такое же определение Pt-n коэффициента корреляции
(16]
(формула
(44)),
73 использовано в
также см. Приложение Б.)
В кратких обозначениях, используя
(6)
-
1 dr*
-
ь = f df lt=l' {3
Мы не можем разрешить уравнения
и
(7),
r
=N
(10)
получаем
d(N*Jr*)
df
lt=t .
с тем, чтобы найти
zi
= zi(f)
явно, од­
нако для вычисления коэффициентов корреляции необходимо знать только
zH1)
=
dz~Jf} lt=l, что может быть найдено в явном виде.
При f = 1 уравнение (10) имеет очевидное решение:
f
= 1,
Zi
= 1,
r* = r,
Необходимо вычислить zHJ) только при
снова (13) , находим
при ai
= рок/(4у'Т[J .
f
= 1.
(13)
N* =N.
Дифференцируя (10) по
f
и применЯя
Следовательно ,
(14)
и
(15)
и спользуя
dN•
СiГ
м
_
""' '( )- _
f=l - 2 LJ zi 1 'ГJi -
1
z=l
-
2r
-2
)'
{3 = ( N М - 1
2
2JJ.oк.r
JJ.oк.M+ 4 r
, имеем
ILo"'
рок + 4f /М
(
=
r
2-2
) N М - 1 Ь.
Отсюда видна связь между коэффициентами корреляции ргп и
(16)
n-n.
Заметим, что в
силу очевидного неравенства
r2
М N и, следовательно, всегда 73 ::; Ь.
Ясно, что при равных fji =: 'ГJ имеем f = МVТ7,
::;
N = Mry,
r 2 = NM и
73
= Ь =
fLOК.
J.'oк.+4V1]'
Из
(14)
следует, что коэффициент корреляции n-n всегда положителен.
ли коэффициент корреляции Ргn быть отрицательным?
ситуацию, когдаfji
= 'ГJ+
при
i
= 1, ... ,М1,
fii
= 'ГJ-
Может
Рассмотрим неоднородную
= М1 + 1, ... ,М,
при i
16
/
М1 """"М и
71+
» 71- »
M17J+
= M17J++(M -At/1)71-::::::
1. Тогдат = M1..,fti++(M -М1)уГтГ::::::: M1..,fti+, N
и находим
-/3:::::: ( 2 М1
м -1 ) -ь.
(17)
Видно, что при М1 < М /2 может оказаться 7J <О.
5. Скейлинг по p,0 jry 112 при большой плотности струн. Рассмотрим для прос­
таты однородный случай, когда все fii равны друг Другу по всей области взаимодействия
fji
7J (постоянная среднЯя плотность струн). В этом случае при большой плотности
струн 7J можно явно вычислить не только коэффициенты корреляции ргп и n-n, но и
=
соответствующие корреляционные функции для версии с локальным слиянием струн.
В конце п.
4
было показано, что в этом случае коэффициенты п-п и ргп корреля­
ций, определяемые как
(11)
и
(12),
-
взаимосвязаны:
-
/3-Ь-
-
-
J.loк
р,ок
+ 4yГri
где а= p,0 кj(4..fii).
а
-- а+1'
(18)
=
В рассматриваемом однородном случае fji
7J также можно вычислить корреля­
ционные функции (Р;в)п F и (пв)п F при любом пр. Благодаря симметрии, система
уравнений
(10)
имеет численное решение Zi
к единственному уравнению · .
1
z
поскольку
r =М ..fii, r*
= z и, таким образом, может быть сведена
3
-
z=
а ( ~: ~ 1) ,
= zM ..fii и N* = z 2 Mry при
а=
Равенство
(19)
(19)
опредеЛяет функции
z
= z(f).
J.loK
(20)
4..fii'
Затем , используя
(6)
и
(7),
можно вы­
числить
Таким образом, при любом пр
=
(пр)f имеем
_(пв)пF
__,_ = (р;в)пF
2
= z(f).
(пв)
Из
и
(18)
струн
Pt-n
и
7J
(19)
(21)
(рtВ)
видно, что в рассматриваемом однородном случае при большой плотности
имеет место cx:euл.um. Коэффициенты корреляцИи и корреляционные функции
n-n
зависят только от одной комбинации параметров: а
Корреляционные функции
реляции "Д
=Б
z(f) (21)
представлены на рис.
1,
=
р, 0 к,j (4..j17).
а, б, коэффициент кор­
(18) как функция 7J - на рис. 2 (сплошные линии). Также на рис. - 2
приведены коэффициенты корреляции ргп и n-п , полученные прямым вычислением
с помощью метода Монте-Карло по формулам (2)-(4). Видно, что в случае локаль­
ного слияния при малой плотности струн имеются сильные п-п корреляции (то же и
для модели без слияния
[15])
~ практически отсутствуют корреляции ргп.
(Анализ
поведения коэффициентов при малых значениях 7J ~ 1/М см. в Приложении А.) При
17
1,5
б
а
-
f't':#
,.!~'
,,~···
0,5
~
;
0,5
1,5
··
.....
...•·
...··
о ~----~~----~------~------~
о
..
, ,, .·.·...·
2
о
0,5
1,5
f
Рис.
2
= npj(nF)
1. Корреляционные функции ргп и n- n .
Сплошные линии - гауссово приближение для локального и глобального слияния при различных
значениях скейлинговой nеременной J.l.O / yГri; nунктирные И точечные. - результаты ТОЧНЫХ ВЫЧИСЛений
в случае глобального слияния при разных JJ.o, ТJ и М . а: 1- J.l.O = 1, ТJ = 1, М= 4, 2- JJ.o ·= 1; ТJ = 1, М=
128, 3- J.l.O = 2, ТJ 4, М= 4, 4- 'J.l.o
2, ТJ = 4, М= 128, 5- Гаусс, JJ.o! yГri = 1; 6: 1 - J.l.O = 4, ТJ = 2,
М= 4, 2- J.l.O = 4, ТJ = 2, М= 128, 3- Гаусс, JJ.o/ yГri = 2,83.
=
=
большой плотности струн в однородном случае коэффициенты корреляции ргn и
становятся равными и имеет место скейлинг по 11о/
J'ii.
n-n
Также видно, что в этом пре­
деле гауссова асимптотяка хорошо согласуется с результатами численных расчетов и
наблюдается независимость от А1.
6.
Глоба.п:ьное слияние при большой плотности струн. Точное решение. В
таком случае на первом этапе также имеются М=
слиянии), при этом r]i, i
S(b)jo-.0
ячеек (как и при локальном
= 1, ... , М, флуктуируют относительно rJi,
локального слияния) необходимо найти среднее 7Jc =. ~
l::i 7Ji
Затем (в отличие от
= ~ для данного собы­
тия и сгенерировать количество частиц, рождающихся из единого кластера -со средней
множественностью !lcy'ik
= !loMy'ik = !loMJN/M = /loVMN.
такого случая была получена в
Общая формула для
[15]:
(22) .
где llc
= 11оМ
и М =
S(b)/ao. Предположение fji >> 1 существенно, так как только
в этом случае можно говорить о том, что площадь поперечного сечения кластера
равна всей площади взаимодействия
Величина (0){ 171 , ... ,1Jм},nF
{ 7] 1 , ... , 7J м}. Для корреляций
-
S(b)
t::.S
(Ь- прицельный параметр).
выход частиц в заднее окно при конфигурации
(n в) n F необходимо использовать
(23)
18
Ь (n-n),
i3 (Pt-n)
а
0,8
0,6
..•••••
0,4
••
....
0,2
•
•
о
оооФФ о
о
•
&
0,8
б
... •••••
0,6
•
0,4
~
•
•
11
0,2
•
11
ф
оФФФФ Ф
о
0,8
в
•
0,6
•
0,4
•
11
11
ф
0,2
ф
q;~>ФФ
о
ф
оФФ
о
2
3
4
5
'Г}
Рис.
2.
Коэффициенты корреляции при
f..Lo,
равном
1
(а),
2 (6)
и
(в).
4
7J = J.Lo/(J.Lo +
(25), (26) в случае
Сnлошные линии- гауссово приближение для локального и глобального слияния Ь =
4J1i);
пунктирные и точечные
глобального слияния nр·и М=
-
4и
результаты прямых вычислений по формулам
М=
128 соответственно
(наnоловину заnолненные квадраты- то же,
вычисленное напрямую методом Монте-Карло по формулам
-
(22)-(24)).
Светлые и черные квадраты
результаты nрямых монте-карловских вычи.слений в случае локального слияния,
формулах
(2)-( 4) для pt-n и n-n корреляций соответственно; закрашенные
корреляции n-n Ь = J.Lo/(J.Lo + 1) в случае без слияния струн [1~]. ·
кружкИ
-
основанные на
коэффициенты
'
19
для (р7в) n F корреляций
J
(рiв}{"'' н'"м},n, = P v'ik = Р2 ~ ~ry;.
2
(24)
Видно, что отличие от случая локального слияния состоит в замене }л Li ..jiii
J}л Li 'ГJi·
-+
Как следствие, вычисления для глобального слияния сильно .упрощают­
L{ 171 , ... ,1Jм}
ся, так как многократную сумму
в случае без слияния (см. п.
3
в
(15]).
LN'
можно свести к однократной
как и
Таким образом, для глобального слияния могут
быть написаны простые формулы
(25)
и
2::
ffiW(N)p .;м.;N(np)
N
ILO
(ptВ)nF = .JМ L W(N)p
(n )
N
/Lo-/М.JN . F
р
2
где W(N)
.
2
(26)
'
= L{1Jl, ... ,Т)м} дN,'L,; 17i пi w(ТJi).
В случае глобального слияния (один кластер при больших fji площади
!:::J.S,
равной
всей площади взаимодействия . .S(Ь)) n-n и ргn корреляции связаны:
(27)
или
Заметим, что в отличие от случая локального слияния здесь этот результат получается
без какого-либо предположения относительно свойств распределений р( n F) и w ( ТJi) и
для произвольных (в том числе и не равных) fji.
Ясно, что в данном случае результаты могут зависеть только от среДнего числа
. струн N
и комбинации 1-"м:
(28)
Далее вычислим численно корреляционные функции по формуЛам
. нако
(25)
и
од­
(26),
сначала найдем явные формуЛы для случая глобального слияния в гауссовом
приближении.
Покажем, что результаты в самом деле зависят только от одной ком­
бинации параметров
.
(28),
а именно от J.J.~ = fiJм• и имеет место скейли'Нг, как и в
yN
4 NJM
.
случае локального слияния.
7.
Гауссово приближение для глобал:ьного слияния при большой плотнос­
ти струн. Действуя так же, как и в случае без слияния (п.
4
в
(15];
также см. п.
3),
находим
или, учитывая
(27),
(29)
20
Здесь
N* -
значение величины
N,
при котором функция
достигает минимума. Обозначим
тогда получаем уравнение
z
которое определяет функцию
3
а ( ~:
z =
-
z = z(J),
-1) ,
(30)
а затем, используя
(29),
вычисляем корреляци­
онные функции
(пв)пF _ (piв)nF _
(пв)
(Рiв)
-
(
- z
пр ) _ (f)
(пр)
(31)
- z
и коэффициенты корреляции для случая глобального слияния
(32)
Снова видно, что в случае гауссова приближения имеется тот же примечательный
с-к:ейлинг.
а
Корреляции Ргп и п-п зависят только от одной комбинации параметров:
= 4 ..;w;м.
N~
Заметим, что, в отличие от случая локального слияния, получаем тот же
.
результат для произвольных (в том числе и не равных) 'fj i.
В однородном случ?-€ все 'fji ='Т}, и
N=MТJ,
и
-
-
р-Ь-
-
(33)
р,ок
- f.Lo"'
+ 4..jq
а
--
- а+ 1 ·
Видно, что в однородном случае в гауссовом приближении результаты для ло-к:алъного
и глобального слияния струн согласованы (юiк мы и преДполагали в п. 5 [15)). Полу­
чены такие же уравнения (19) и (30) с теми же значениями параметра а, что в (20) и
(33).
' ОтметИм, что ураВ.нение для
слияния (см.
п.
4 [15)).
z(J)
зншч.ителъно отличается в случае отсутствия
В отличие от случая локального слияния, nри глобальном·
слиянии струн можно контролировать достоверность гауссова. приближения, вычис­
ляя корреляционные функции по точным формулам
(25)
и
(26)
при разнЬхх значениЯх
параметра М.
Наряду с корреляционными функциями
тами корреляцйи
z(f) (21), (31)
на рис.1, а, б и коэффициен­
73 = Ь (18),(32) на рис. 2, а-в, рассчитанными на основе скейлинговых
формул, которые в гауссовом приближении одинаковы для локального и глобально­
го слияния, на тех же рисунках приведены результаты точных вычислений в случае
глобального слияния струн по формулам
(25)
и
(26)
при разных значениях М.
На
рис. 2 также представлены результаты прямых вычислений по методу Монте-Карла
21
коэффициентов корреляции ргп и
n-n при глобальном слиянии струн, основанные на
(22)-(24). Видно, что в этом случае гауссово приближение очень хорошо
работает, и J-to/ у'ri-скейлинг не является атрибутом единственно этого приближения.
Более того, наряду с J-to/ у'ri-скейлингом при больших ТJ также имеем независимость
от М дл~ коэффициентов корреляции 7J и' Ь (см. рис. 2) , начина.ющуюся очень рано
(от М= 4).
1
8. Заключение. Сравним результаты настоящей работы и полученные в (15].
В работе (15] получили в случае без слияния струн:
·
1) для n-n корреляций: Ь = a:l, где а= J-toк,;
2) для Ргn корреляций: 7J =О.
формулах
В настоящей работе в случаях глобального и локального слияния струн для
однородного случая · (fji
= ТJ)
находим при больших Т}:
1) для n - n корреляций:
Ь. =
.
2) для ргn корреляций:
а
+al, где а= 4 Jirм
N/M
7J = Ь = a~l
Видно, что при сЛиянии струн
n-n
= J-toк,/(4 V't
Гrj);
с тем же а.
корреляции становятся слабее, однако ргn корре­
ляции приобретают ту же величину. В этом случае также имеет место
J-to/ J77-скейлинг.
Для неоднородной ситуации (разные fji) при локальном слиянии струн находим
при больших
fji:
1) для n-n корреляций: Ь = a~l, где а= J-toк,f(4r/M);
2) для ргn корреляций:
7J = ( N~
- 1) Ь и, следовательн?, 7J ~ Ь, где
м
N =
м
Lfii, r=L:~i=l
i=l
Как было показано в:qrше (см . (15) и (16)), это приводит к 7J, меньшему, чем Ь:
Как мы· вИдели, возможна ситуация (17), при которой 73 <О.
При малой Плотности струн ТJ --t О, как показано в Приложении А, можно анали­
зировать следующие различные предельные случаи ~ри ТJ --t 0:
1. Удерживая постоянным М
const, имеем N --t 1 (поскольку конфигурации с
7J ~ Ь.
=
N
=О не рассматриваются как события), и корреляции как ргn, так и
n-n исчезают.
2. Удерживая постоянным N = const, имеем МТJ = const и М --t оо, следовательно,
струны будут удалены друг от друга в поперечной плоскости, что приводит к тем же
результатам, как и в случае без слияния
(15].
Отметим, что результаты, полученные в применяемом нами дискретном подходе, на­
ходятся в хорошем согласии с вычисленными в рамках реальной модели слиянИя струн,
включающей оценку детальной геометрической картины пересечения струн (устн. со-
общение М. А. Брауна).
.
·
ПРИЛОЖЕНИЯ
._
А. Корреляции при малой плотности струн.
Вычислим корреляционные функции
и коэффициенты корреляции при малой плотности струн в случае локального их слияния
(когда глобальное слияние струн не имеет физического смысла (обсуждеН:Ие .см. п. 5 [15])) .
Для простоть~ рас<:;мотрим «однородный>> случай, когда все
области взаимодействия.
Тогда в каждой ячейке
r;i
равны друг другу для всей
i (i = 1, ... ,М)
'f/i флуктуируют относи­
тельного этого среднего зщ1.чения, согласно распределению Пуассоиа (Ра(х)- распределение
Пу~сона с х =а): .
'
·. ·.
-
w('Г/i) = Pry('Г/i) =е
.
22
'
- 17 (ry)'1i
-
.
-.
1
'Г/i ·
Предположим также пуассонову форму завиСИ?~:fОСти
P1J; (
ni) :
следовательно, имеем распределение Пуассона для
P{'11· ···· '1м}(nF) =p!J.o'E. ; ..fiii(np),
причем (nF){1J 1 , .. . ,1Jм} = Р,о
Ei ..fiii =
p.or = (nF)r ·.
Таким образом, находИм из (2) длЯ n-n корреляций
(34)
и для ргп корреляций
(35)
Напомним, что N = Е~ 1 Т/i, т = }:~ 1 ..fiii , N - чщ:ло струн в данном событии. В М -кратных
(34) и (35) необходимо опустить один член, соответствующий обращению в нуль всех
суммах
Т/i =О, который отвечает отсутствию неупругого взаимодействия между нуклонами сталкива­
ющихся ядер (отметим этот факт }:').
Вероятность P(np) зарегистрировать пр частиц в переднем окне по быстроте , которая
входит в знаменатели
(34)
и
(35) ,
равна
где, согласно условию нормировки, имеем
С=
1
1-wM(Q)
Очевидно, множитель С сокращается в числителе и знаменателе
вычислим среднее число струн,
(34)
и
(35) ,
однако , если
то получим
N,
(36)
и для
(n F)
при малых Т7
«
1
имеем
поскольку для любого ц; >О
возникает от члена 1]i = 1.
E1J;
Существуют два предела nри
(36)); N
17
1JiW(1]i)
~
0:
=
М=
1]
+ О(77
const
= const и, таким образом, М17 = const (см.
2
) при
1]
~ О , так как главный вклад
и , следовательно , М17 ~ оо и
(36))
N
.~
1
(см.
и .М~ оо . Исследуем их .
Первый nредел соответствует N
= N = 1 (nоскольку конфигурации с N =О не рассматри­
Pt-n, ни n-n корреляций, . так как
(см. п . 4 в (15]). Детальные вычисления приведем далее.
ваются как события) . Ясно, что в этом случае не будет ни
не будет флуктуаций числа струн
23
Во втором пределе при
N = const
имеем флуктуации числа струн
N,
однако в пределе
Т/~ О М~ оо и струны будУт сильно раЗнесены в области взаимодействия, тогда слияние
струн не будет играть роли. Таким образом, в этом пределе получим те же результаты, как ·и
при отсутствии слияния струн, рассмотренном в
корреляции, равный Ь = J.Lo/(J.Lo
[15]: _сильные n-n
+ 1), и отсутствие Pt-n
корреляции, коэффициент
корреляций - (см. далее).
Детальные вычисления. Оценим М-кратные суммы в
(34)
и
(35)
при Т/~ О, удерЖИвая
члены порядка (MТJ)k, (MТJ)kТJ при пройзвольных k и опуская члены порядка (МТJ)k'Г/ 2 и выше.
Члены порядка (MТJ)k возникают в слагаемых суммы {34) и {35) при Т'/i 1
Т'/ik
1и
остальных fJi =О; члены порядка (MТJ)kТJ. _ из слагаемых (34) и (35) при Т'/i 1 = 2, Т'Ji 2 - . . . 1]i,. = 1 и остальных 1Ji =О. Помня об этом, получаем
= ... =
и для
n-n
=
корреляций
(37)
(38)
Здесь
м
Go
м
= Ро = L:ct-ТJkPI-'ok(np),
No = LkCt-ТJkP~-'ok(np),
k=l
k=l
м
G1
м
= LkCt-ТJkP~-Lo(k+r)(np),
N1
= L(k+'Y)kCt-ТJkP/-Lo(k+-y)(np),
где J.Lo
=
f.LoF и 'У =
..f2- 1.
Заметим, что при М
и для
n-n
{39)
k=l
k=l
»
1
и М Т/
= const
находим
корреляций
(40).
Для ргn корреляций имеем
(p~в)nF
=
р2 Ро + %e-~-Lo-rpl
Go + %e-~'o 7 Gl
=
р2
(1 + '!le-~-'o"Y Pl- Gl) .
2
Go .
(41)
Здесь
. (42)
24
где
d = Mrye-~-<o.
Для контроля вычислений были также использованы · следующие явные
формулы при пр =О,
1, 2:
Go(O) = Ро(О) = ed- 1, No(O) = Gt(O) = Go(1) = Po(l) = ded,
00
-
-
d
N 1 (0) = G1(1) = (d + h)de ,
-
Р1(О) =
L
k
k
+1
dk
+;
(k _
No(1) = Go(2) = Ро(2) = (d + 1)ded, N1(1) = G1(2) = (d 2 + d(l
)!,
1
k=l
+ 2-J'i) + 2)ded, _
Pt(1) = (d + 2)ded,
2
No(2) = (d +3d+ 1)ded, N 1 (2) = (d3 + d 3(1 + /2)
2
Р1 (2) = (d + d(З + v'2)
2
+ d(7 + З/2) + 2/2)ded,
+ 2v'2)ded.
Данные расчетов с использованием асимптотических формул
(37)-(39) в первом случае
Mry :--t О и N-+ 1) показаны на рис. 3, а, б вместе с результатами прямых
вычислений методом Монте-Карло по формулам (34) и (35). Как и предполагалось, в таком
случае коэффициенты корреляции как n-n, так и ргп стремятся к нулю, когда N ._._, 1, т.е. при
"1 < 1/М. Вспомним о том , что имела место независимость от М коэффициентов корреляции
при больших "1· Видно, что в указанном пределе она исчезает при 'ГJ ~ 1/М. Это также
(М= const, 'ГJ ~О,
является причиной нелинейной зависимости коэффициента корреляции от 'ГJ в данной области
(см. рис. 3, а, б для
J.Lo = 4).
Используя асимптотические формулы
ции
(37)-(39),
можно вычислять коэффициент корреля­
ry, чем коэффициент корреляции ргп, поскольку
есть вклад порядка (Mry)k и (Mry)k"l для n-n корреляций и только первый нетривиальный
вклад порядка (Mry)k1J. для ргп корреляций. Отметим очень хорошее согласие между резуль­
татами, вычисленными по асимптотическим формулам (37)-(39) и поЛученными по методу
Монте-Карла по формулам (34) и (35) (см. рис. 3, а, б) .
n- n
_
Ь
-
в несколько большей области малых
d({nв)пF/{nв)) 1
d(np/(ц))
np=(np)
:::. . ._/.~.-................:...•
.
.0.06
••••••••••••••• 0,04
w
б
/А
0,6
/А
0]0,02
0,2
0,3
0,4
0,5
<'>
А
/А
ф
/А
0,1
<'>
А
<'>
<'> '
<'>
~----~----~~----~----~~--~
0,1
0,2
0,3
0,4
ry
Рис.
3.
3, 5)
и
Коэффициенты корреляции
J.Lo = 4 (2, 4,
б) при М
n-n
0,5
ry
(а) и ргп (б) при малых значениях
"1
для
J.Lo = 1 (1,
= 30.
а: линии- результаты расчетов по асимптотическим формулам
(37) и (39) при М= const (N ~ 1),
точки- данные прямых вычислений методом Монте-JSарло с использованием формулы (34), стрелки
показыва.ют значение коэффициента корреляции n-n Ь = Р.о/(Р.о
1) в слу:~ае без слияния струн (15),
+
что соответствует пределу N = const (М~ оо); б: линии- результаты расчетов по асимnтотическим
~ормулам (38) и (39) nри М = const (N ~ . 1) , точки - результаты nрямых вычислений методом
Монте-Карлос использованием формулы
(35).
25
Во втором случае, когда nри ТJ -t О удерживаем
=
N = const
МТJ
const, так что М -t оо. Можно исnользовать формулы
образом, в nределе ТJ -t О находим для n-n корреляций
и, следовательно, в силу
(40)-(42)
-
с
d,
= const,
(36)
таким
(43)
nF
Здесь числитель и знаменатель домножили на е- м"~~.
nF .
Всnомнив, что Ра(х)- расnределение Пуассона с х =а, видим, что формула (43) согласует­
ся с формулой для n-n корреляций, полученной для случая без сли.я'н.и.я струн. (см. формулу
(15) в [15]) . Таким образом, будем иметь тот же результат для коэффициента корреляции n-n
Ь = J..Lo/(/1-o + 1), как и в случае без слияния (см. рис. 3, а, б).
Для коэффициента корреляции ргn в этом пределе находим из (41) и (42) nри d = const
т.е. корреляции ргn исчезают, как и в случае без слияния струн
Б. О разнице между
(n в)
и
(n в) n F =(n F} •
[15].
(11) и (12) использовать
Возможно вместо
следующие определения коэффициента корреляции:
Ь = d(nв)nF/(nв)(nF}
-
l
dnpj(np)
nF=(nF}
2
2
где (nв)(nF} = (nв)nF=(nF} и (ptB)(nF} = (ptв)nF=<n.F}. Ясно , что (nв) =
(nв)nF=(np)
2: P(np)
=
(nв)nF=(nF)
nF
(p7в)(nF}
=
(nв)(nF)·
~-
L..."
nF
P(np )(nв)nF .::::::
Такой же результат nолучается для
= (p;в)nF=(nF) :::::: (р;в). В nрименяемом в настоящей работе гауссовом nриближении
эти два типа величин совпадают.
·
Авторы благодарят М. А. Брауна и Г. А. Феофилава за многочисленные nолезные
замечания.
Summary
Vechemiп V. V. , Kolevatov R . S. Cellular approach to long-range Pt and multiplicity correlations
in the string fusion model.
The long-range Pt and multiplicity (п) correlations in high-energy nuclear collisions are studied in
the framework of а simple cellular analog of the string fusion model. Two cases with local and global
string fusion is considered. The ргn and n-п correlation functions and correlation coeflkients are
calculated analytically in some asymptotic cases using suggested Gauss approximation. It's shown
that at large string density the ргn and n-n correlation coefficients are _ponnected and the scaling
takes place. The behavior of the corr.elations at small string density is also studied. The asymptotic
results are compared with results of the numerical calculations in the framework of·proposed cellular
approach.
Литература
_1. СареЦа А., Sukhatme и. Р. , Тап С.-1., ltaп Thaпh .Vап J. // Phys. Lett. 1979 . .Vol. В81 .
68-74. . 2. Capella А., Sukhatme и. Р., Тап С. -1., ltaп Thaпh Vап J. / / Phys. Rep.
1994. Vol . 236. Р. 225-329. 3. Kaidalov А. В. // Phys. Lett. 1982. Vol. 116В. Р. 459-463.
4. Kaidalov А. В., Ter-Martirosyaп К. А. // Phys. Lett. 1982. Vol. 117В. Р. 247-251. 5.
Braun М. А., Pajares С. // Phys. Lett. 1992. Vol. В287. Р. 154-158. 6. Braun М. А., Pajares С.
// Nucl. Phys. 1993. Vol. В390. Р. 542-558. 7. Ameliп N. S., Braun М. А., Pajares С. / j Phys.
Р.
26
Lett. 1993. Vol. В306. Р. 312-318. 8. Amelin N . S., Braun М. А., Pajare.s С. 11 Z. Phys. 1994.
Bd С63. S. 507-516. 9. Armesto N., Braun М. А., F'erreiro Е. G., Pajaтes С. 11 Phys. Rev. Lett.
1996. Vol. 77. Р. 3736-3738. 10. Braun М. А., Pajares С., Ranft J. // Int. J . Mod. Phys. 1999.
Vol. А14 . Р. 2689- 2704; (hep-ph/9707363) . 11. Amelin N. S., Armesto N., Braun М. А. et al. j 1
Phys. Rev. Lett . 1994. Vol. 73 . Р. 2813-2816. 12. Braun М. А., Pajares С. 1/ Eur. Phys. J.
2000. Vol. С16. Р. 349-359. 13 . Braun М. А., Pajares С. 1/ Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85.
Р. 4864-4867. 14. Braun М. А., Pajares С. , Vechernin V. , V. /1 Phys. Lett. 2000. Vol. В493.
Р. 54-64. 15. Ве-чернv:н. В. В, , Колеватов Р. С. // Вестн . С.-Петерб. ун-та. Сер . 4: ФизИка,
химия . 2004. Вьш . 2. С. 12-23; (hep-ph/0304295) . 16. Heiselberg Н. // nucl-th/0003046, 2001.
Статья поступила в редакцию
26
декабря
2003
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
2 298 Кб
Теги
корреляция, описание, дискретное, дальний, подход, струй, слияние, модель, множественном
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа