close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дифференцирование сигналов на фоне шума банком фильтров с использованием метода максимального правдоподобия.

код для вставкиСкачать
стр. 37 из 120
УДК 519.876.5.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
НА ФОНЕ ШУМА БАНКОМ ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Дмитрий
Анатольевич
Безуглов,
д.т.н.,
проф.,
проректор
по
УМР,
e-mail:
bezuglovda@mail.ru
Станислав Юрьевич Рытиков, ассистент каф. «Информационные технологии
в
сервисе», аспирант, e-mail: macmadhead@gmail.com
Ростовский технологический институт сервиса и туризма (филиал ГОУ ВПО «ЮжноРоссийский государственный университет экономики и сервиса»), г. Ростов-на-Дону
Исследован
метод
дифференцирования
сигналов
на
фоне
шума банком
фильтров с
использованием максимально-правдоподобной оценки, в основу которого положено дискретное
вейвлет-преобразование, а в качестве банка фильтров используются материнские вейвлетфункции, позволяющие производить дифференцирование; при этом для повышения точности
восстановления применяется оценка взвешенного среднего по критерию максимального
правдоподобия; для обоснования эффективности данного метода приведены графики дисперсий
ошибки восстановления сигнала и его производных.
The authors made a research of the method of differentiation signals against the noise background by the
filter banks with the using of the maximum-credible estimates. This method is based on discrete wavelet
transform, and a parent wavelet function is used as a filter bank, that allows differentiation. In order to
increase the accuracy of recovery, an estimate of weighted average of maximum of credence is applied.
The authors presented the graphics of dispersion of the error recovery of signal and its derivatives.
Ключевые слова: вейвлет-дифференцирование, оценка взвешенного среднего, максимальное
правдоподобие.
Keywords: wavelet differentiation, estimate of the weighted average, maximum credence.
Введение
Вейвлет-преобразование представляет собой разложение по базису, сконструированному
из обладающей определенными свойствами функции, называемой вейвлет-функцией,
посредством ее масштабных преобразований и сдвигов. Каждая вейвлет-функция базиса
характеризуется определенным масштабом (частотой) и локализацией во времени. В
отличие от преобразования Фурье вейвлет-преобразование дает двумерную развертку
стр. 38 из 120
одномерного процесса, при этом частота и время рассматриваются как независимые
переменные.
Вейвлет-преобразование показало свою эффективность при решении широкого
класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации,
анализом, обработкой и синтезом сигналов [1]. Также вейвлет-преобразование можно
использовать для дифференцирования сигналов [2].
Целью
данной
р а б о т ы является разработка и исследование метода
вейвлет-дифференцирования сигналов на фоне шума.
Вейвлет-дифференцирование
В настоящее время существует большое число задач контроля непрерывных параметров
процессов, когда для наблюдения доступен процесс S (t ) , а информативным параметром
S (t ) . Для данного круга задач подходит метод вейвлет-
является производная
дифференцирования.
Рассмотрим непрерывное вейвлет-преобразование. Сконструируем базис Wa ,n (t ) с
помощью непрерывных масштабных преобразований и сдвигов материнской вейвлетфункции W (t ) с произвольными значениями базисных параметров – масштабного
коэффициента a и параметра сдвига n [3, 4, 5]:

t n
Wa ,n (t )  a 2W 
,
 a 
1
(1)
t n
где W 
 – вейвлет-функция.
 a 
Тогда на основе этого базиса можно записать непрерывное прямое (анализ) и
обратное (синтез) вейвлет-преобразование сигнала S (t ) :
CWTS (a, n)  a

1 
2

t n
 S (t )W  a dt   S (t )Wa,n (t )dt ,


(2)
где S (t ) – заданный сигнал.
Восстановленный сигнал Sr (t ) будет иметь следующий вид:
Sr (t ) 
1
CW
 
  CWT (a, n)W
S
 
a ,n
(t )
da dn
,
a2
(3)
где CW – нормирующий коэффициент (в данном случае CW  1, так как используемые
вейвлет-функции – ортонормированные [1, 2]).
стр. 39 из 120
Базисом для дискретного вейвлет-преобразования является функция, полученная из
(1) при a  a0m [4]:


m

W( m,n )i (t )  a0 2 Wi a0m (t  n) ,
(4)
где Wi a0 m (t  n) – вейвлет-функция; m – параметр масштаба; i – индекс, определяющий
используемую вейвлет-функцию.
На основе базиса (4) запишем общий вид прямого и обратного дискретного
вейвлет-преобразования:
N 1
CTWSi (m, n)  W( m,n )i (tk ) S (tk ),
(5)
k 0
где S (t k ) – исходный сигнал; N – количество отсчетов; k – отсчеты сигнала,
k  0,..., N 1; m,n  Z , Z – множество целых чисел.
Восстановленный сигнал S ri (t k ) будет иметь вид
S ri (t k ) 
NK N 1
 W( m,n)i (t k )CTWS (m, n) i ,
(6)
m 0 n 0
где NK – количество уровней разложения.
На основе базиса (4) запишем общий вид обратных дискретных вейвлетпреобразований для восстановления первых двух производных:



NK N 1
dS ri (t k )
 S ri (t k )    W( m,n )i (t k ) CTWS (m, n) i ,
dt
m 0 n 0
(7)
NK N 1
d 2 S ri (t k )




S
(
t
)

  Wm,n (t k ) CTWS (m, n) ,
ri k
dt 2
m 0 n 0
(8)




где W( m,n )i (t k )  и W( m,n )i (t k ) – соответственно первая и вторая производные вейвлетфункции по времени; S ri (t k ) и S ri (t k ) – соответственно первая и вторая производная
восстановленного сигнала.
Возьмем в качестве базиса дискретного вейвлет-преобразования (4) материнские
вейвлет-функции и их производные на основе производных функции Гаусса:
Wi (t )  (1)
 t2 
d
exp    ;
dt
 2
(9)
при i  1 используем первую производную – вейвлет-функцию WAVE:
 t2
W1 (t )  t exp 
 2

 ;

(10)
стр. 40 из 120
при i  2 используем вторую производную – вейвлет-функцию MHAT:
W2 (t ) 
1
4
2

1  t  exp  2t
2

3
2

;

(11)
при i  3 используем разность двух гауссовых функций, которая также образует вейвлетфункцию DOG:
 t 2 
 t 2 
W3 (t )  exp 
  0,5exp 
.
 2 
 8 
(12)
Таким образом, выражения (10) – (12) образуют банк фильтров, который в
дальнейшем будет использоваться для восстановления сигнала.
Результаты дифференцирования Wi(t ) 
dWi (t )
d 2Wi (t )
и Wi(t ) 
по времени
dt
dt 2
сведем в представленную ниже таблицу.
Производные вейвлет-функций
Произво
W1 (t )
W3 (t )
W2 (t )
дные
W (t )
e

t2
2
(t  1)
2
2 3te

t2
2
3
W (t )
te

t2
2
(t  3)
2
2 3e

t
2
(t  3)
2
1
4
(t 4  6t 2  3)
3
1
4
te

t2
8
3t
1

  te 8
8

2




1
1
1
 t2
 t2
 t2
1  18 t 2
1
e  1e 2  t 2e 2  t 2e 8
8
32
Для производных вейвлет-функций (10) – (12) выполняются следующие условия:

e

t2
2
(t 2  1)dt  0 ,
(13)



2 3te
 te

2
t
8


 te

t2
2
3




(t 2  3)
1
4
3t
1

  te 8
8

2
t2
2
dt  0 ,
(14)

 dt  0 ,


(15)
(t 2  3)dt  0 ,
(16)
стр. 41 из 120


2 3e

t
2
(t 4  6t 2  3)
3

1
4
dt  0 ,
(17)

1
1
 t2
 t2
1  18 t 2
1 2  18 t 2
2
2
2
e

1e

t
e

t e dt  0 .
8
32

(18)
Таким образом, производные вейвлет-функций (10) – (12) имеют нулевое среднее,
т.е. выполняется основное свойство вейвлет-функций [6, 7]. Для восстановления
производных сигнала используем их в обратных вейвлет-преобразованиях (7) и (8). В
результате подстановки получаем: S ri (t k ) – первая и S ri (t k ) – вторая производные,
восстановленные производными вейвлет-функций: при i  1 – выражением (10); при i  2
– выражением (11); при i  3 – выражением (12).
Модель взаимодействия сигнала и шума представим в виде
S q (t k )  S (t k )  Q ,
(19)
где Q – аддитивный белый гауссовский шум с СКО  q .
Используя прямое (5) и обратное (6) дискретные вейвлет-преобразования и
подставляя в качестве базиса (4) вейвлет-функции (10) – (12) для восстановления сигнала,
получим S ri (t k ) – реконструированный вейвлет-функцией сигнал. Для восстановления
производных сигнала используем в качестве базиса обратных дискретных вейвлетпреобразований (7) и (8) производные вейвлет-функций из приведенной выше таблицы. В
итоге получим S ri (t k ) – первую и S ri (t k ) – вторую восстановленные производные.
Дисперсию ошибки восстановления сигнала и его производных на фоне шума
вычислим по формулам
N 1
Di 
 (S (t )  S
k 0
k
ri
(tk )) 2
N 1
(20)
,
N 1
D1i 
 (S (t k )  S ri (t k )) 2
k 0
N 1
,
(21)
,
(22)
N 1
D2 i 
 (S (t k )  S ri (t k )) 2
k 0
N 1
где S (t k ) – первая и S (t k ) – вторая производные исходного сигнала.
стр. 42 из 120
Используя выражение (20), вычисляем дисперсии ошибки восстановления сигнала:
D1 , D2 , D3 для соответствующих базисов, а с помощью выражений (21) и (22), получим
дисперсии ошибки восстановления производных сигнала: D1i , D2i .
Максимально-правдоподобная оценка
Условная плотность распределения восстановленных сигналов S ri (t k ) для момента
времени t k является гауссовской в соответствии с (19):

1
P( Sri (tk ) / S (tk )) 
e
2 Di
( Sri ( tk )  S ( tk ))2
2 Di
,
(23)
где i  1, 2, 3 .
Исходя из (23) запишем функцию правдоподобия:
3
P( S r1 , S r 2 , S r 3 / S (t k ))  
i 1
 1 3 ( S ri (t k )  S (t k )) 2 
exp  
.
Di
2Di
 2 i 1

1
(24)
Прологарифмируем (24):
3
ln P( S r1 , S r 2 , S r 3 / S (t k ))  ln 
i 1
 1 3 ( S (t )  S (t k )) 2 
   ri k
.
Di
2Di  2 i 1

1
(25)
В результате получим уравнение оценивания по критерию максимального
правдоподобия:
d ln P( S r1 , S r 2 , S r 3 / S (t k ))
dS (t k )
где
*
S  (t k )
* (t )
S (tk ) S
k
– оценка значения сигнала
 0,
S (t k )
(26)
, получаемая по критерию максимального
правдоподобия по результатам восстановления сигнала тремя вейвлет-функциями в
момент времени t k .
Исходя из (26) запишем оценку взвешенного среднего по критерию максимального
правдоподобия для сигнала и производных:
S * (t k ) 
D2 D3 S r1 (t k )  D1 D3 S r 2 (t k )  D1 D2 S r 3 (t k )
,
D2 D3  D1 D3  D1 D2
(27)
S * 1 (t k ) 
D12 D13S r1 (t k )  D11D13S r2 (t k )  D11D12 S r3 (t k )
,
D12 D13  D11D13  D11D12
(28)
S * 2 (t k ) 
D22 D23S r1 (t k )  D21D23S r2 (t k )  D21D22 S r3 (t k )
.
D22 D23  D21D23  D21D22
(29)
стр. 43 из 120
Оценим зависимость дисперсии ошибки восстановления взвешенного среднего
восстановленного сигнала на фоне шума по формуле
N 1
D 
 (S (t )  S
k 0
k

(tk )) 2
,
N 1
Зависимость
(30)
дисперсии
ошибки
восстановления
взвешенных
средних
восстановленных производных сигнала найдем в соответствии с выражениями
N 1
D 1 
 (S (t k )  S 1 (t k )) 2
k 0
N 1
,
(31)
,
(32)
N 1
D 2 
 (S (t k )  S  2 (t k )) 2
k 0
N 1
Результаты моделирования представлены на рис. 1, 2 и 3, где показаны дисперсии
ошибки восстановления сигнала вейвлет-функциями WAVE (кривая 1), MHAT (кривая 2)
и DOG (кривая 3), а также дисперсия ошибки восстановления сигнала оценкой
взвешенного среднего по критерию максимального правдоподобия (кривая 4).
Рис. 1. Дисперсия ошибки восстановления сигнала
Рис. 2. Дисперсия ошибки восстановления первой производной сигнала
стр. 44 из 120
Рис. 3. Дисперсия ошибки восстановления второй производной сигнала
Таким образом, проанализировав дисперсию ошибки восстановления сигнала на фоне шума
и дисперсию ошибки дифференцирования сигнала вейвлет-функциями, как по отдельности,
так и с помощью оценки взвешенного среднего по критерию максимального правдоподобия,
можно сделать вывод, что разработанный аппарат вейвлет-дифференцирования сигнала
позволяет повысить точность восстановления в 2…4 раза по сравнению с существующими
аналогами.
Литература
1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика». 2004.
2. Безуглов Д.А., Цугурян Н.О. Дифференцирование результатов измерений с
использованием математического аппарата вейвлет-фильтрации // Измерительная техника.
2006. № 4. С. 12 – 16.
3. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование //
Успехи физических наук. 2002. Т. 171. №5. С. 465 – 500.
4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения //
Успехи физических наук. 1996. T. 166. №11. С. 1145 – 1170.
5. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во
ООО «МОДУС+». 1999.
6. Безуглов Д.А., Швидченко С.А., Рытиков С.Ю., Цугурян Н.О. Свидетельство №
2010613245 о государственной регистрации программы для ЭВМ от 17.05.2010
«Дифференцирование сигналов вейвлетом WAVE».
7. Безуглов Д.А., Швидченко С.А., Рытиков С.Ю., Цугурян Н.О. Свидетельство №
2010613246 о государственной регистрации программы для ЭВМ от 17.05.2010
«Дифференцирование сигналов вейвлетом DOG».
Поступила 16.06.2011 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 758 Кб
Теги
шума, метод, банков, использование, сигналов, дифференцированный, фонет, фильтров, максимальной, правдоподобия
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа