close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Единственности и оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
Реакции (1) – (4) вносят вклад в коэффициент ионизации, увеличивая его. Коэффициент ионизации, в
свою очередь, влияет на напряжение зажигания разряда. Чем больше  , тем меньшее напряжение зажигания
нужно приложить. За счет этого увеличивается долговечность катода.
Список использованной литературы:
1. Атаев А.Е. Зажигание ртутных разрядных источников излучения высокого давления. М.: МЭИ, 1995. 168 с.
2. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. – М.: Наука, 1987. – 592 c.
3. Kristya V.I. Glow discharges and tokamaks / Ed. Murphy S.A. – New York: Nova Sci. Publ. – 2010. – P. 329 –
365.
© Дубинина М.С., 2016
УДК 517.968
Каденова Зууракан Ажимаматовна - к.ф.-м.н., доцент,
Заместитель министра труда и социального развития
Кыргызской Республики
ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Аннотация
В данной статье исследована единственность решений систем линейных интегральных уравнений
первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях, в которых оператор
порожденный ядрами, не является компактным оператором.
Ключевые слова
Линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.
Kadenova Zuurakan Ajimamatovna -the candidate of physical and mathematical sciences, associate
professor, Deputy ministry of labor and social developmentof the Kyrgyz Republic,
+996 555 88 40 66 Kadenova71@mail.ru
UNIQUENESS AND STABILITY OF SOLUTIONS SYSTEMS OF THE LINEAR INTEGRAL
EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO INDEPENDENT
VARIABLES IN UNLIMITED AREAS
Abstract
This article is devoted to the study of the uniqueness of solutions systems of the linear integral equations of
the frst kind with two independent variables in which the operator generated by the kernel, is not compact operator.
Key words and phrases
Linear integral equations, first kind, two variables, solution and uniqueness.
В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм для систем линейных
интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях
доказаны теоремы единственности и получены оценки устойчивости.
Рассмотрим систему уравнений
15
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
b

 b
a
t0
t0 a
Ku   K t , x, y u t , y dy   H t , x, s u s, x ds    C t , x, s, y u s, y dyds 
 f t , x , t , x   G, G  t , x   R 2 : t 0  t  , a  x  b,
где
 At , x, y , t 0  t  ,
K t , x, y   
 Bt , x, y , t 0  t  ,
(1)
a  y  x  b;
(2)
a  x  y  b,
M t , x, s , t0  s  t  , a  x  b;
H t , x, s   
 N t , x, s , t 0  t  s  , a  x  b,
At , x, y , Bt , x, y , M t , x, s , N t , x, s , C t , x, s, y  -известные n  n -мерные
(3)
самосопряженные
матричные функции, определенные соответственно в области
G1  t , x, y  :
G2  t , x, y  :
G3  t , x, s  :
t 0  t  ,
t 0  t  ,
a  y  x  b;
a  x  y  b;
a  x  b;
t 0  s  t  ,
G4  t , x, s  :
t 0  t  s  ,
a  x  b;
G5  t , x, s, y  : t 0  s  t  , a  y  x  b.
f t , x  -известная, u t , x  -неизвестная
n -мерные вектор-функции.
Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в
[1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены
регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. Единственность и устойчивость решения для одного
класса интегральных уравнений первого рода рассмотрены в [3, 4]. В данной работе исследуется
единственность решения системы уравнений (1) в классе
Введем следующие обозначения:
1) Совокупность всех матриц, действующих в
Rn
L2,n (G ) .
обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в
n  n - мерной матрицы А  (aij )  М и n - мерного вектора u
n
, т.е. для любых u  u1 , u 2 , ..., u n ,   1 , 2 , ...,n   R
R , А , и - нормы соответственно
n
u,  u11  u 22  ...  u nn ,
1/ 2
 n n
2
A    aij   ;
 i 1 j 1

u  u , u  ,
2)
L2,n (G )
т.е. для любого
- пространство n – мерных векторов с элементами из
L 2 (G ) ,

u t , x   L2,n (G )
L2 -норма в
1
2


u t , x  L     u t , x  dxdt  ;
2
t a

0

b
3)




2
L2 G 2 ; M - пространство n  n - мерных матриц с элементами из L2 (G 2 ) ,
L2 -норма в

  

L2 G 2 ; M - т.е. для любого At , x, s, y   L2 G 2 ; M
16

L2,n (G ) -
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
1
At , x, s, y  L
2
  b b
2
2

     At , x, s, y  dydxdsdt  .
t t a a

0 0

Предполагается, что ядро
, где
 
C t , x, s, y   L2 G 2 и Ct , x, s, y   C  s, y, t , x , t , x, s, y  G 2
С  - сопряженная матрица к матрице С
смысле сходимости в норме пространстве
. Тогда матричное ядро
 
C t , x, s, y  разлагается в ряд в
L2,n G 2 :
 1i  t , x 


.


m

 i 
i 
C t , x, s, y    i  .
 1 s, y ,..., n s, y  , l  m  ,
i 1
.

 i 

  n t , x 

где

(3)
   t, x     t, x - ортонормированная последовательность собственных вектор -
функций из
i

i
L2,n G  , i  -
последовательность соответствующих ненулевых собственных значений
интегрального оператора С, порожденного матричным ядром
C t , x, s, y  ,
причем элементы
i 
расположены в порядке убывания их модулей т.е.
1  2  ... .
Обозначим
Ps, y, z   As, y, z   B* s, z, y ,
Qs, y,   M s, y,   N *  , y, s .
(5)
B* s, z, y , N *  , y, s  -соответственно сопряженные матрицы к матрице
B s, z , y , N  , y, s  .
где
Потребуем выполнения следующих условий:
1)Матрица Ps, b, a , lim Qt , y, t 0 , Pz s, b, z , lim Q t , y,   -неотрицательны соответственно
t 
при всех значениях
t 
s  t0 , , y  a, b, s, z ,  , y   G ,
Ps, b, a   Ct 0 , , lim Qt , y, t 0   Ca, b, Pz s, b, z   C G , lim Q t , y,   C G ;
t 
2) Матрицы
t 
Py s, y, a , Qs s, y, t 0 , Psy s, y, z , Qs s, y,  - неположительны
при всех значениях соответственно
s, y   G, s, y, z   G2 , s, y,   G4 ,
Py s, y, a   C G , Qs s, y, t 0   C G , Pzy s, y, z   C G1 , Qs s, y,   C G3 ;
3) Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:
1) при почти всех
2) при почти всех
3) при почти всех
4) при почти всех
s, y   t0 ,  a, b матрица Py s, y, a  - отрицательны;
s, z   t0 ,  a, b матрица Pz s, b, z  - положительны;
s, y   G матрица Qs s, y, t 0  - отрицательны;
 , y   G матрица lim Q t, y,  - положительны;
t 

17
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
и для любого
v(t , x)  L2 G ,
x
b

t
 A(t , x, y)v(t , y)dy,  B(t , x, y)v(t , y)dy,  M (t , x, s)v(s, x)ds,  N (t , x, s)v(s, x)ds  L
2,n
a
x
t0
(G ),
где
t
Ct0 , , CG , CG1  и CG3  -пространство всех непрерывных и ограниченных функций соответственно
в области
t0 , , G , G1
и
G3 ;
C t , x, s, y  -
4) Матричное ядро
последовательности
i  неотрицательны.
Матричное
5)
последовательности
представимо в виде разложении (4) все элементы
C t , x, s, y  - представимо в виде разложении (4) все элементы
ядро
i  -положительны.
Теорема. Пусть выполняются условия 1), 2), 3) и 4). Тогда решение системы (1) единственно в
пространстве
L2,n (G )
.
Доказательство. В силу (2), (3) систему уравнений (1) запишем в виде
y
b
t
a
y
t0
 At , x, y u t , y dy   Bt , x, y u t , y dy   M t , x, s u s, x dx 

 x
t
t0 a
  N t , x, s u s, x dx    C t , x, s, y u s, y dyds  f t , x .
Обе части системы (6) скалярно умножим на
Дирихле и учитывая обозначения (5), получим
 b
y
t0 a
a
   Ps, y, z us, z dz, us, y 
 b
dsdy   
t0 a
b 
 y
a t0
t0 a

(6)
u t , x  и интегрируем по области G, применяя формулу
s
 Qs, y, u , y d , us, y 
dsdy 
t0
  C s, y, , z u  , z dzd , us, y 
b 
dsdy    f s, y u s, y  dyds.
(7)
a t0
Преобразуем первый два интеграла левой части уравнения (7). Известно что, если К- самосопряженная
матрица размеров n  n , то
K ,s 
где  - некоторый n мерный вектор-функция.
1
K ,
2
s

1
K s ,  ;
2
(8)

u  , y d  u  , y ,
Далее имея ввиду, что
 
s
с помощью интегрирования по частям и с учетом (8) первый слагаемый левой части (7) преобразуем к
виду
b
y
b
t0 a
a
t0 a
  Ps, y, z us, z dz, us, y  dsdy  
y

 
dz, u s, y  dyds 




P
s
,
y
,
z
u
s
,

d

a

z  z

y
18
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
b

y
y
b
b
1
1
  Ps, b, a   u s, d ,  u s, d ds   Py s, y, a   u s, d ,  u s, d dyds 
2 t0 a
2 t0
a
a
a
a
b
b y
b
b
1
y
y
1









P
s
,
b
,
z
u
s
,

d

,
u
s
,

d

dzds
  Pzy s, y, z   u s, d ,  u s, d dzdyds. (9)
z


2 t
2t a a
z
z
z
z
0 a

0
Аналогично,
для
второго
слагаемого
имеем
b
b
s
t0 a
t0
   Qs, y, u  , y d , u s, y 
dsdy 
b


1
1
lim Qt , y, t 0  u  , y d ,  u  , y d dy     Qs s, y, t 0  u  , y d ,  u  , y d dyds 

2 t0 a
2 a t 
t0
t0
t0
t0
b

s
s

b s
s
s
1
1






lim
Q
t
,
y
,

u

,
y
d

,
u

,
y
d

dyd







Q
s
,
y
,

u

,
y
d

,
u  , y d ddyds. (10)

s





t 
2 t
2


t0 a t0


0 a
Подставляя (4), (9), (10) в (7) получим

b
b
b
y
y
1
1
Ps, b, a   u s, d ,  u s, d ds   Py s, y, a   u s, d ,  u s, d dyds 


2 t0
2 t0 a
a
a
a
a
b
b y
b
b
y
 y
1
1
  Pz s, b, z   us, d ,  us, d dzds   Pzy s, y, z   u s, d ,  u s, d dzdyds 


2 t0 a
2 t0 a a
z
z
z
 z

b

1
  lim Qt , y, t 0  u  , y d ,  u  , y d dy 
2 a t 
t0
t0
b

s
s
b


1
1






Q
s
,
y
,
t
u

,
y
d

,
u

,
y
d

dyds

lim Q t , y,  u , y d ,  u , y d dyd 
s
0 

2 t0 a
2 ta t 
t0
t0


0
b s

s
s
1
Qs s, y,  u  , y d ,  u  , y d ddyds +
2 t
a
t


0
0
m
b 
i 1
a t0
  i   
Пусть
всех
f t , x   0,
i 
s, y , u s, y 
2
b 
dsdy    f s, y , u s, y  dyds.
(11)
a t0
t , x   G. Тогда учитывая условия 1), 2), 3) и 4) из (11) имеем u t , x   0 при
t , x   G. Теорема доказана.
В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора С, порожденного матричным ядром
C t , x, s, y  ,
ортонормированная
последовательность
i  t , x - полна в L2, n G .
 t, x    

 
собственных
вектор
–
функций
Семейство множеств корректности, зависящее от параметра α, выделим следующим образом:

2


M   u t , x   L2,n G  :   u    c , где c  0, 0    ,
 1


19
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
 b
u      u (t , x),  ( ) (t , x) dxdt,   1,2, ... , .
(12)
t0 a
Пусть
f t , x   K M   , где оператор К определено по формуле (1).
ut , x   M 
Тогда система (1) имеет решение

 u


v 
2
и из последнего равенства, имеем
 b

1
  f t , x , ut , x  dxdt .
t0 a
Отсюда, используя неравенства Гельдера, имеем

 u  


2
1
 f t , x  L u t , x  L .
2 ,n
(13)
2 ,n
С другой стороны

2
1
1
2 1
  u   2  1  
 u
2

 
 

  
 .
u t , x   

u
  1 
v u






  1     1
 1

 1


1 
Здесь мы применили неравенство Гёльдера при p 
, q  1  .

 
Пусть


1

2
1
(14)
ut , x   M  . Тогда учитывая (13) из неравенства (14) имеем
u t , x  L  c
2
2
1
1
 f t, x
u t , x  L
L2


1
2
.
Отсюда получим следующую оценку устойчивости:
u t , x  L  c
2
1
2
f t , x  L

2
2
,
0     . (15)
Таким образом, доказана теорема
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1), 2),3) и 5),
отображении К. Тогда решение системы (1) единственно в
K M    L2,n G  -
образ
M
при
L2,n G  и на множестве K M   оператор К-1
, обратный к К, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем

2 
, т.е. справедлива оценка (15).
Список использованной литературы:
1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и
анализа. М.: Наука, 1980.
3. Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral
Equations of the First Kind with Two Variables.// International journal of contemporary mathematical sciences
Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.
4. Imanaliev M.I., AsanovA., Kadenova Z.A. A Class of Linier Intergral Eguations of the First Kind with Two
Independent Variables. ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2014, Vol.89, № 1, pp.98-102.
© Каденова З.А., 2016
20
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа