close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Геллерстедта для нелинейного функционально- дифференциального уравнения смешанного типа.

код для вставкиСкачать
80
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
УДК 517.956.6
ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
GELLERSTEDT'S TASK FOR THE NONLINEAR FUNCTIONAL
AND DIFFERENTIAL EQUATION OF THE MIXED TYPE
Е.В. Чаплыгина, А.Н. Зарубин
E.V. Chaplygina, A.N. Zarubin
ФГБОУ ВО «Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева»,
Россия, 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95
FSBEI "Orel state University named after I. S. Turgenev", Russia, 302026, Orel, Komsomolskaya str., 95
E-mail: lena260581@yandex.ru; aleks_zarubin@mail.ru
Аннотация. Исследуется краевая задача для нелинейного уравнения смешанного типа с оператором
Лаврентьева-Бицадзе и функциональным запаздыванием, опережением. Построено общее решение уравнения. Задача однозначно разрешима. Найдены в явном виде интегральные представления решений.
Resume. The regional task for the nonlinear equation of the mixed type with Lavrentyev-Bitsadze's operator
and functional delay, an advancing is investigated. The common decision of the equation is constructed. The task is
unambiguously solvable. Integrated submissions of decisions are found in an explicit form.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, разностные уравнения, функция Римана, задача Коши, задача Дирихле..
Key words: equation of mixed type, difference equations, function of Riman, Cauchy problem, Dirichlet
problem.
Постановка задачи
Уравнение
Lu( x, y)  u xx ( x, y)  sgn( y)u yy ( x, y)  u(ln x, y)u(e x , y) ,


рассмотрим в области D  D  D  J , где
(1)
D   {( x, y) : x0  x  x2 ,0  y  h}  D0  D1  J
(0  h  const ),
D   D0  D1 - эллиптическая и гиперболическая части области D , причем
Dk  {(x,y): xk  x  xk 1, 0  y  h} (k  1,0,1,2 ),
Dk  {(x,y):  y  1k ( x)  y  x1,  x1 / 2  y  0} (k  1,0,1,2 ) ,
I  {( x, y) : x0  x  x2 , y  0}, J  {( x, y) : x  x1 ,0  y  h},
11 ( x)   2 ( x)  e x , 10 ( x)  x, 11 ( x)  1 ( x)  ln( x), 12 ( x)  1 (1 ( x))  ln(ln( x))
e
и x1  , x0  0, x1  1, x2  e, x3  e .


Пусть Dk  Dk  Dk  I k , где I k  {( x, y) : xk  x  xk 1 , y  0} (k  1,0,1,2) . Тип
нального запаздывания и опережения следует из представлений
u(ln x, y)  u( x  ( x  ln x), y)  u( x   1 ( x), y),
u(e x , y)  u( x  (e x  x), y)  u( x   2 ( x), y),
где
 1 ( x)  x  ln x  0,  2 ( x)  e x  x  0.
функцио-
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Задача G. Найти в области D функцию u( x, y)  C ( D)  C
творяющую уравнению (1), краевым условиям
u( x, h)   ( x), x0  x  x2 ,
1
( D \ J )  C 2 ( D \ ( I  J )), удовле(2)
u( x, x)   0 ( x), x0  x  x1 / 2,
(3)
u( x, ln x  x1 )   1 ( x), e x1 / 2  x  x2 ,
u( x0 , y)  u( x2 , y)  0, 0  y  h,
(4)
(5)
u( x, y)  cos(e x  y  sgn( y) ) cos(e x  y  sgn( y) ), ( x, y)  D 1 ,
(6)
u( x, y)  cos(ln(ln x)  y  sgn( y) ) cos(ln(ln x)  y  sgn( y) ), ( x, y)  D 2 ,
(7)
условиям сопряжения
u( x,0)  u( x,0)  ( x), x0  x  x2 ,
(8)
u y ( x,0)  u y ( x,0)   ( x), x0  x  x2 , x  x1 ,
(9)
условиям согласования
 ( x0 )   ( x2 )   0 ( x0 )   1 ( x2 )  0,
где  ( x), k ( x) ( k  0,1 ) - заданные непрерывные достаточно гладкие функции.
(10)
Общее решение уравнения (1)
Уравнение (1) в терминах функций
uk ( x, y)  u( x, y), ( x, y)  Dk (k  0,1),
(11)
с учетом (6) и (7), можно записать в форме системы
Lu  ( x, y)  cos( x  y  sgn( y) ) cos( x  y  sgn( y) ) Au  ( x, y), ( x, y)  D0 ,
(12)
0 1
,
u  ( x, y )  (u0 ( x, y ), u1 (e x , y ))T , A  
1 0
(13)
где
которая в характеристических переменных
  x  y  sgn( y) ,   x  y  sgn( y)
(14)
будет иметь вид матричного уравнения
4u ( , )  cos  cosAu  ( , ).
(15)
Используя известную [1] для уравнения (15) функцию Римана
R(t , q; , )  J 0 (i A (t , q; , ) ),
где


 (t , q; , )   cos rdr  cos sds  (sin   sin t )(sin  sin q),
t
(16)
q
согласно [2, с.43] можно записать общее решение уравнения (15) в форме
u  ( , )  J 0 (i A (0,0; , ) )u  (0,0) 


0
0
  J 0 (i A (t ,0; , ) )1 (t )dt   J 0 (i A (0, q; , ) )2 (q)dq,
где
1 (t ), 2 (t )  произвольные
(17)
дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции;
i   1 , J 0 ( z )  функция Бесселя [3, с.727] первого рода нулевого порядка.
Поскольку матрица A из (13) имеет различные собственные значения 1  1, 2  1, то она приводима
к
диагональному

TA1 AT A   A   1
0
виду,
т.е.
существует
матрица
0
1  1
1  1 1
, причем TA  
 , а TA1  
.
2 
2   1 1
1 1 
TA
T
A
 0
такая,
что
81
82
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Значит,
J 0 (i A )  J 0 (i TA  ATA1 )  TA J 0 (i  A )TA1 
 J (i 1 )
 1 1  1 ()  2 () 
0
TA  
,
 TA  0


2   2 ()  1 () 
0
J
(
i


)
0
2


(18)
где
 n ()  J 0 (i 1 )  (1) n J 0 (i  2  ) (n  1,2).
(19)
Поэтому из равенства (17), в силу (18), (19), (11) и возвращения к старым переменным по
формулам (14), найдем общее решение уравнения в форме
z0
u ( ( x), y )   1 (t ) J 0 (i (t ,0; z 0 , z 0 ) )dt 

k
k
2
0
z0
  2 (t ) J 0 (i  (0, t; z 0 , z 0 ) )dt , ( x, y )  D0 (k  0,1)
(20)
0
или
zk
u ( x, y )   1 (t ) J 0 (i  (t ,0; z k , z k ) )dt 

k
0
zk
  2 (t ) J 0 (i  (0, t; z k , z k ) )dt , ( x, y )  Dk (k  0,1),
(20‘)
0
 20 ( x)  x,  21 ( x)   2 ( x)  e x ; 1 (t ), 2 (t )  произвольные дважды непрерывно дифферен
k

k

k

k
цируемые функции; z k  1 ( x)  iy , z k  1 ( x)  iy , z k  1 ( x)  y, z k  1 ( x)  y (k  0,1) ,
где
причем 1 ( x)  x,
0
11 ( x)  1 ( x)  ln x и
 

(u 0 ( x1  0, y))  (u1 ( x1  0, y)), 0  y  h. (21)
x
x


В равенствах (20), (20‘) учтено, что u (0,0) из (17), т.е. в старых переменных u (0,0)  0 в
u0 ( x1  0, y)  u1 ( x1  0, y)  0, 0  y  h,
силу условий (5) и (21).
На основании (16) равенство (20) можно записать в форме
z0
u ( ( x), y)   1 (t ) J 0 (i sin z 0 (sin z 0  sin t ) )dt 

k
k
2
0
z0
   2 (t ) J 0 (i sin z 0 (sin z 0  sin t ) )dt , ( x, y)  D0 (k  0,1)
0
или, после интегрирования по частям и соответствующих замен, в виде
u k ( k2 ( x), y)  M 0 (sin z0 , sin z0 ) 
1
  M 0 ( s  sin z 0 , s  sin z 0 )
0

J 0 (i (1  s) sin z 0 sin z 0 )ds, ( x, y )  D0 (k  0,1).
s
(22)
Для уравнения (22) имеет место формула обращения
M 0 (sin z0 , sin z0 )  uk ( k2 ( x), y)[или uk (sin z0 , sin z0 )] 

i sin z 0  sin z 0
2
1

u k ( s  sin z 0 , s  sin z 0 )
s(1  s)
0
(23)
I1 (i s(1  s) sin z 0 sin z 0 )ds, ( x, y )  D0 ,
где

0

0
M 0 ( s  sin z , s  sin z ) 
arcsin(ssin z0 )

1
0

(r )dr 
arcsin(ssin z0 )

2
0

(r )dr ,
(24)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________


 1

u k ( s  sin z 0 , s  sin z 0 )  u k   k2  arcsin( s  sin z 0 )  arcsin( s  sin z 0 ) ,

 2

 i (11) / 2
arcsin( s  sin z 0 )  arcsin( s  sin z 0 )  (k  0,1),
2

причем при s  1 из (24), (25) получим


z0
(25)
z0
M 0 (sin z , sin z )    (r )dr    2 (r )dr ,

0

0

1
0

k

0

0
0

k
u (sin z , sin z )  u ( ( x), y);
I1 ( s) 
k
2
d
I 0 ( s); I 0 ( s), I1 ( s)  модифицированные функции Бесселя [3, с.730] первого рода нулеds
вого и первого порядка.
При y  0 выражения (22), (23) после преобразований представимы равенствами
u k ( k2 ( x),0)  M 0 ( x,0) 
x
  M 0 (t ,0)
0

J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x  x1 ,
t
(26)
M 0 ( x,0)  u k ( k2 ( x),0) 
x
  u k ( k2 (t ),0)
0
sin x  cos t 
I 0 (i sin t (sin x  sin t ) )dt , 0  x  x1 ,
sin t  cos x x
(27)
где
x
M 0 ( x,0)  M 0 (sin x, sin x)   [1 (r )   2 (r )]dr.
(28)
0
Кроме того, из (22), (23) можно получить следующие формулы взаимного обращения
u ky ( k2 ( x),0)  M 0y ( x,0) 
x
  M 0y (t ,0)
0
cos x  sin t 
J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x  x1 ,
sin x  cos t t
(29)
M 0y ( x,0)  u ky ( k2 ( x),0) 
x
  u 0y ( k2 (t ),0)
0

I 0 (i sin t (sin x  sin t ) )dt , 0  x  x1 ,
x
(30)
где
M 0y ( x,0)  M 0 y (sin z0 , sin z0 )
y 0
 i (11) / 2 [1 ( x)   2 ( x)].
(31)
Однозначная разрешимость задачи G
Теорема 1. Если
( x)  C[ x0 , x2 ]  C 2 ( x0 , x2 ),
 0 ( x)  C[ x0 , x1 / 2]  C 2 ( x0 , x1 / 2),
1 ( x)  C[e x1 2 , x2 ]  C 2 (e x1 2 , x2 ), абсолютно интегрируемы на своих промежутках,
( x0 )  ( x2 )   0 ( x0 )  1 ( x 2 )  0 и  0 ( x) при x  x0 ,  1 ( x) при x  x2 , допускают интегрируемую особенность, то существует единственное решение u ( x, y) задачи G.
Единственность решения задачи G следует из утверждений.
83
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
84
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Лемма 1. Если
u( x, y) -
D   D0  D1 из класса
решение уравнения (1) в области
C ( D  )  C 2 ( D  ) , обращающееся в нуль на y   x, x0  x  x1 / 2, y  ln x  x1 , e x1 / 2  x  x2 и


в D1 , D2 , то
x2
    ( x) ( x)dx  0.
x0
Доказательство леммы аналогично [5, с. 128-130].
Лемма

2.
Если
u( x, y) -
решение
уравнения

C ( D )  C ( D \ J ) , обращающееся в нуль при
2
( x0  x  x2 ) и в областях D

1 ,
(1)
в области
x  xk
D
из класса
(0  y  h) (k  0,2) ,
yh
D , то   0 и

2
   [u x2 ( x, y)  u y2 ( x, y)]dxdy  0.
D
Доказательство леммы аналогично [6].
Вопрос существования решения задачи G в области D  D0  D1  J связан с построением
в
Dk  Dk  Dk  I k (k  0,1)

k

k
u ( x, y), ( x, y)  D (k  0,1),
на
основании
удовлетворяющих
общих
условиям
решений
(2)-(10),
(11),
(20)
(21)
функций
в
которых
 ( x), k ( x) (k  0,1) заданы, а  ( x),  ( x) подлежат определению. Поскольку условие (21) на
x  x1 (0  y  h) известно, то достаточно решить задачу G для уравнения (1) в областях D0 и D1
,
то
есть
найти
функции
u0 ( x, y), ( x, y)  D0
и
u1 ( x, y), ( x, y)  D1
(или
u1 ( 2 ( x), y), ( x, y)  D0 ).
Проведем построение решения задачи G для уравнения (1) в области
то есть найдем функции
D0  D0  D0  I 0 ,
u0 ( x, y), ( x, y)  D0 при условиях (2)-(10), (11):
u0 ( x, h)   ( x), x0  x  x1 ,
(32)
u0 ( x0 , y)  u0 ( x1 , y)  0, 0  y  h,
(33)
u0 ( x, x)   0 ( x), x0  x  x1 / 2,
(34)
u ( x,0)  u ( x,0)  ( x), x0  x  x1 ,
(35)
u ( x,0)  u ( x,0)   ( x), x0  x  x1 ,
(36)

0

0y

0

0y
( x0 )  ( x1 )   0 ( x0 )  0,  ( x0 )   ( x1 )  0.
Задача Коши. Найти в области
D0 решение u0 ( x, y) уравнения (1) из класса
C ( D0 )  C 2 ( D0 ) , удовлетворяющее условиям (35), (36), то есть
u0 ( x,0)   ( x), x0  x  x1 , u0y ( x,0)   ( x), x0  x  x1 ,
где
( x), ( x)  непрерывные достаточно гладкие функции, причем ( x0 )  ( x1 )  0 .
Теорема 2. Если
( x)  C[ x0 , x1 ]  C 2 ( x0 , x1 ) ,  ( x)  C 1 ( x0 , x1 ) ,  ( x0 )   ( x1 )  0 ,
существует единственное решение задачи Коши
u 0 ( x, y) 

0

0
то

0
u ( x, y)  C ( D )  C ( D ) вида
2
z0
1
J 0 (i (sin z 0  sin t ) sin z 0 )[ p(t )  r (t )]dt 

20
z
1 0
  J 0 (i sin z 0 (sin z 0  sin t ) )[ p(t )  r (t )]dt , ( x, y )  D0 ,
20
где
(37)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
x
p( x)   ( x)    (t )
0
x
sin x  cos t 
I 0 (i sin t (sin x  sin t ) )dt ,
sin t  cos x x
r ( x)   ( x)   (t )
0
(38)

I 0 (i sin t (sin x  sin t ) )dt.
x
(39)
(k  0) . Действительно, для определения произвольных
1 (t ), 2 (t ) учтем в общем решении (20) (k  0) (или (22)) уравнения (1) в области D0
Доказательство следует из (20)
функций
условия (35), (36) задачи Коши. Тогда

J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x0  x  x1 ,
t
x
 ( x)  M ( x,0)   M 0 (t ,0)

0
0
x
 ( x)  M 0y ( x,0)   M 0y (t ,0)
0
cos x  sin t 
J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x0  x  x1 .
sin x  cos t t
На основании (27) и (30) имеем
M 0 ( x,0)  p( x), M 0y ( x,0)  r ( x), x0  x  x1 , то есть, в
силу (28), (31), дифференцируя первое равенство, приходим к системе



1 ( x)  2 ( x)  p ( x),
 


1 ( x)  2 ( x)  r ( x).


Из этой системы уравнений найдем функции 1 ( x), 2 ( x) , подставляя которые в (20) (или (20‘))
(k  0) , получаем решение u0 ( x, y) задачи Коши (37) в области D0 .
Функциональное соотношение между
 (x) и  (x) , принесенное из D0
изменения типа уравнения (1) y  0, x0  x  x1 , получим из (37), полагая
условие (34) задачи G:
y  x
на линию
и учитывая
2x
1
 0 ( x)   [ p' (t )  r (t )]dt , 0  x0  x  x1 / 2,
20
то есть, после замены x на x / 2 и дифференцирования,
p' ( x)  r ( x)  '0 ( x / 2), 0  x0  x  x1.
(40)
Выражение (40) является искомым функциональным соотношением.
Задача Дирихле. В области
D0 найти решение u0 ( x, y)  C ( D0 )  C 2 ( D0 ) уравнения
(1), удовлетворяющее условиям (32), (33), (35), то есть
u0 ( x,0)  ( x), u0 ( x, h)   ( x), x0  x  x1 ,
u0 ( x0 , y)  u0 ( x1 , y)  0, 0  y  h,
где
 ( x),( x)  непрерывные достаточно гладкие функции, причем
( x0 )  ( x1 )   ( x0 )   ( x1 )  0 .
 ( x),( x)  C[ x0 , x1 ]  C 2 ( x0 , x1 ) и
( x0 )  ( x1 )   ( x0 )   ( x1 )  0 , то существует единственное
Теорема 3. Если
решение
u0 ( x, y) 
C ( D0 )  C 2 ( D0 ) задачи Дирихле вида
z0

0
k 0
u ( x, y )   J 0 (i (sin z 0  sin t ) sin z 0 )[ p(t )   Rt2ikh ( p' (t )  Rtih  ' (t ))]dt 

0
z0

0
k 0
  J 0 (i sin z 0 (sin z 0  sin t ) )[ Rt2ihk ( p' (t )  Rtih  ' (t ))]dt , ( x, y )  D0 ,
(41)
85
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
86
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
где
Rx  оператор сдвига по x : Rx q( x)  q( x  ),
 i sin z   sin z 
0
0
 ( x)   ( x)  

а
p(x)
2
1

u0 ( s  sin z 0 , s  sin z 0 )
s(1  s)
0

I1 (i s(1  s)  sin z 0  sin z 0 )ds  , (42)

y h
определяется равенством (38).
(k  0) . Действительно, для определения произвольных
1 (t ), 2 (t ) учтем в общем решении (20) (k  0) (или (22)) уравнения (1) в области D0
Доказательство следует из (20)
функций
условия (32), (35) задачи Дирихле.
Используя формулы обращения (23), (27), придем к системе


M 0 ( x,0)  p( x), 0  x0  x  x1 ,
 
M 0 (sin z 0 , sin z 0 )
  ( x), 0  x0  x  x1 ,

y h

которая, в силу (24), (28) и дифференцирования, примет вид
1 ( x)  2 ( x)  p( x),
 
1 ( x)  Rx2ih2 ( x)  Rxih  ' ( x).
(43)
Подставляя из первого уравнения
1 ( x)  p' ( x)  2 ( x), 0  x0  x  x1 ,
(44)
во второе уравнение системы (43), приходим к разностному уравнению
2 ( x)  Rx2ih2 ( x)   ( x), 0  x0  x  x1 ,
(45)
где
 ( x)  p' ( x)  Rxih  ' ( x),
(46)
решение [7] которого

2 ( x)   Rx2ikh ( x),
(47)
k 0
а, в силу (44),

1 ( x)  p' ( x)   Rx2ikh ( x).
(48)
k 0
(k  0) , приходим к требуемому пред-
Учитывая выражения (47), (48) в (20) (или (20‘))
ставлению (41) решения задачи Дирихле для уравнения (1) в области
Найдем функциональное соотношение между
 (x)
и
D0 .
 (x) , принесенное из D0
на
линию изменения типа y  0, 0  x0  x  x1 .
Подставляя в равенство (20) (или (22))
(k  0)
условие (36), согласно (29) получим урав-
нение
x
 ( x)  M ( x,0)   M 0y (t ,0)

0y
0
обращая которое относительно
1 ( x)  2 ( x)  ir ( x),
cos x  sin t 
J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x0  x  x1 ,
sin x  cos t t
M 0y ( x,0) аналогично (30), в силу (31), придем к равенству
т.е., на основании (47), (48), (46), к выражению


k 0
k 0
r ( x)  ip ' ( x)  2i  Rx2ikh p' ( x)  2i  Rxih( 2 k 1)  ' ( x),
представимому в виде
(1  Rx2ih )r ( x)  i(1  Rx2ih ) p' ( x)  2iR xih  ' ( x), 0  x0  x  x1.
Выражение (49) является искомым функциональным соотношением.
(49)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________


Вопрос существования решения задачи G в области D0  D0  D0  I 0 сводится к
разрешимости системы функциональных соотношений (40), (49), то есть к разностному уравнению
1
(1  iR x2ih )r ( x)   ( x)   (i  1)(1  Rx2ih ) '0 ( x / 2)  (i  1) Rxih  ' ( x), 0  x0  x  x1 . (50)
2
Решение [7] разностного уравнения (50), аналогично (45), можно записать в виде

r ( x)   (i) n Rx2inh ( x).
(51)
n 0
Интегральное представление (51) можно [8] найти, поскольку [9, с.7] финитная на промежутке [0, x1 ] непрерывная функция
x1
 ( x)  ( ( ),  (  x)   (  x))    ( )[ (  x)   (  x)]d ,
0
1 
m
exp(im z )  дельта-функция [4,с.711-714] Дирака, а m 
где  ( z ) 
.

2 x1 m
x1
Таким образом, учитывая (51) в (39), применяя формулы взаимного обращения (29), (30)
получим
cos x  sin t 
J 0 (i sin x(sin x  sin t ) )dt , 0  x0  x  x1 .
(52)
sin x  cos t t
0
На основании свойств функций  ( x), 0 ( x), входящих в (42), (50), из (52) следует, что
x
 ( x)  r ( x)   r (t )
 ( x)  C 1 ( x0 , x1 ).
Очевидно, интегрируя (40), подставляя
из (38), (51) и применяя формулы вза-
( x)  C[ x0 , x1 ]  C ( x0 , x1 ).
 (x) и  (x) в формулы (37), (41) приводит к окончательному виду
имного обращения (26), (27), найдем
Подстановка функций
p( x), r ( x)
2




решения задачи Коши и задачи Дирихле в областях D0 и D0 , то есть в области D0  D0  D0  I 0 .
Список литературы
1. Чуриков Ф.С., Кокинасидии П.Д. 1976. О построении функции Римана для компактных уравнений методом промежуточного аргумента. Труды Кубинского университета, Т. 222: 5-12.
Churikov F. S., Kokinasidiya P. D. 1976. About creation of function of Riman for the compact equations
by method of an intermediate argument. Works of the Cuban university, T. 222: 5-12.
2. Векуа И.Н. 1948. Новые методы решения эллиптических уравнений, ОГИЗ, М.-Л.: 296.
Vekua I.N. New methods of the solution of the elliptic equations. – OGIZ, M.-L., 1948. 296 pp.
3. Прудников А.Н., Брычков Ю.А., Маричев О.И. 1983. Интегралы и ряды. Специальные функции. Москва: Наука : 750.
Prudnikov A. N., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. 1983. Integrals and ranks. Special functions.
Moscow: Science: 750.
4. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. 1988. Курс математического анализа. Москва: Наука: 816.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. 1988. Kurs of the mathematical analysis. Moscow: Science: 816.
5. Зарубин А.Н. 1999. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел: издательство ОГУ: 225.
Zarubin A.N. 1999. The equations of the mixed type with the late argument. Orel: 225.
6. Зарубин А.Н. 2014. Краевая задача для опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения. Дифференциальные уравнения, Т. 50, №10: 1362-1372.
Zarubin A.N. 2014. A regional task for the operezhayushche-late equation of the mixed type with the
rough line of degeneration. Differential equations, T. 50, No. 10: 1362-1372.
7. Зарубин А.Н. 2012. Краевая задача для уравнения смешанного типа с опережающезапаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения, Т. 48, №10: 1401-1411.
Zarubin A.N. 2012. A regional task for the equation of the mixed type with the operezhayushche-late
argument. Differential equations, T. 48, No. 10: 1401-1411.
8. Зарубин А.Н. 2015. Задача Трикоми для опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа с замкнутой линией вырождения. Дифференциальные уравнения, Т. 51, №10: 1315-1327.
Zarubin A. N. 2015. Zadacha Trikomi for the operezhayushche-late equation of the mixed type with the
closed line of degeneration. Differential equations, T. 51, №10: 1315-1327.
9. Агранович М.С. 2008. Обобщенные функции, Москва: МЦНМО: 128.
Agranovich M. S. 2008. The generalized functions. Moscow: MCNMO: 128.
87
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
2 116 Кб
Теги
функциональная, типа, уравнения, дифференциальной, смешанной, нелинейного, геллерстедта, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа