close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения с негладкой линией степенного вырождения.

код для вставкиСкачать
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
305
УДК 517.95
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ С НЕГЛАДКОЙ ЛИНИЕЙ СТЕПЕННОГО ВЫРОЖДЕНИЯ
© А. А. Гималтдинова
Башкирского государственного университета, Стерлитамакский филиал
Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.
E-mail: g_alfira@mail.ru
В работе изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения со степенным вырождением на границе области. При помощи метода разделения переменных найдены частные решения уравнения, затем решение поставленной задачи построено
в виде суммы ряда по биортогональной системе функций.
Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, задача Дирихле, существование решения, биортогональный ряд.
Введение
Интерес к изучению вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений связан с
развитием теории уравнений смешанного типа. Для
вырождающихся эллиптических уравнений и соответствующих краевых задач разработана теория
потенциала, которая применяется для обоснования
существования решения.
Е. И. Моисеев предложил другой метод решения, основанный на теории биортогональных рядов. В работе [1] им изучены краевые задачи для
вырождающегося эллиптического уравнения со
степенным вырождением
m
y u xx + u yy + q
uy
y
− µ y u = 0.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение (1) в области D, ограниченной
«нормальной»
кривой
)2 (
)2
Γ : xα / α + y β / β = 1, лежащей в первой четверти плоскости OXY с концами в точках
A(α 1 / α ,0) и B(0, β 1 / β ), и отрезками OA и OB
координатных осей, где O(0,0) α = ( m + 2 ) / 2,
β = ( n + 2) / 2, m, n ∈ R, m, n > 0.
Изучим первую краевую задачу для уравнения
(1).
Задача Дирихле. Найти функцию
удовлетворяющую условиям:
u( x, y ),
u ( x, y ) ∈ C ( D ) ∩ C 2 ( D ),
Lu( x, y ) ≡ 0, ( x, y ) ∈ D,
u ( x, y )
Γ
R ' '+
= f ( x, y ) = f (ϕ ), ϕ ∈ [0, π / 2],
u( x, y ) OA∪OB = 0,
где f – заданная достаточно гладкая функция.
(2)

R'
µ2
(1 + 2 p + 2q ) +  λ − 2
r
r


 R = 0,

R(0) = 0, | R(1) |< +∞,
2
Φ ' '+ ( 2 p ctg ϕ − 2q tg ϕ )Φ '+ µ Φ = 0,
Φ (0) = Φ (π / 2) = 0,
где µ
2 m
В данной работе построено решение задачи
Дирихле для вырождающегося эллиптического
уравнения с негладкой линией степенного вырождения
(1)
Lu ≡ y n u xx + x m u yy + λx m y n u = 0.
(
Построение решения задачи
Воспользуемся методом разделения переменных. Перейдем к полярной системе координат
β
xα / α = r cosϕ , y / β = r sin ϕ , тогда после разделения
переменных
u ( x , y ) = v ( r ,ϕ ) = R ( r )Φ (ϕ ) получим:
q=
2
– постоянная разделения, p =
(3)
(4)
(5)
(6)
n
,
2( n + 2 )
m
.
2( m + 2)
Уравнение (3) после замены R = R1r − p − q
приведём к виду

R'
µ 2 + ( p + q ) 2 
R1 ' '+ 1 + R1  λ −
 = 0.
r
r2


Решением последнего уравнения с учетом условий (4) является функция Бесселя первого рода
µ 2 + ( p + q)2
R1 ( r ) = J 2 ρ ( λ r ), ρ =
,
2
Re 2 ρ ≥ 0,
следовательно, решением уравнения (3) является
функция
R( r ) = r − p − q J 2 ρ ( λ r ).
В уравнении (5) выполним замену x = sin 2 ϕ ,
тогда получим гипергеометрическое уравнение
µ2
1

x (1 − x ) F ' '+  + p − (1 + p + q) x  F '+
F = 0,
4
2

решением которого является функция
p+q
1 
 p+q
F ( x ) = C1F 
+ ρ,
− ρ; p + ; x  +
2
2 
 2
q − p +1
3
 q − p +1

+ C2 x1− 2 p F 
+ ρ,
− ρ ; − p; x ,
2
2
2


МАТЕМАТИКА
306
где
–
произвольные
постоянные,
C1 , C2
F ( a , b; c; z ) – гипергеометрическая функция Гаусса.
Следовательно,
p+q
1
 p+q

Φ(ϕ ) = C1F 
+ ρ,
− ρ ; p + ; sin2 ϕ  +
2
2
 2

q
−
p
+
1
q
−
p
+
1
3

.
+ C2 sin2 ϕ F 
+ ρ,
− ρ ; − p; sin2 ϕ 
2
2
2


Удовлетворим последнюю функцию условиям
(6).
Так как Φ (0) = 0, то C1 = 0. А из условия
Φ (π / 2) = 0 будем иметь
q − p +1
3
 q − p +1

C2 F 
+ ρ,
− ρ ; − p;1 =
2
2
2


1
 3

Γ  − q  Γ − p 
2
2

 

= C2
= 0.
p+q 
p+q

Γ 1 − ρ −
 Γ1 + ρ −

2  
2 

Для выполнения последнего равенства необходимо 1 − ρ − p + q = k или 1 + ρ − p + q = k , где
2
2
с
учетом
условия
k = 0,−1,−2, ... , откуда
Re 2 ρ ≥ 0
будем
иметь
p+q
ρ = ρk = k −
,
2
k = 1,2,3, ... .
Далее решение задачи Дирихле будем искать в
виде
∞
J 2ρk ( λ r)
k =1
J 2ρk ( λ )
u ( x, y ) = ∑ f k
r − p − q sin1− 2 p ϕ ×
q − p +1
3
 q − p +1

× F
+ ρk ,
− ρ k ; − p; sin 2 ϕ , (7)
2
2
2


где
fk
– неизвестные пока коэффициенты.
Удовлетворим функцию (7) краевому условию
(2), тогда получим
 q − p +1

+ ρk ,

2


∞
 q − p +1

1− 2 p
ϕ F
f (ϕ ) = ∑ f k sin
− ρ k ; .
2
k =1


3
 − p; sin 2 ϕ 


2

Последнее равенство есть разложение функции f (ϕ ) в ряд по системе
∞

q − p +1

+ ρ k , 


2



q − p +1

 1− 2 p
− ρ k ;  .
ϕ ⋅ F
sin
2




3

2
 − p; sin ϕ  

2
  k =1

Дальнейшее решение задачи в общем случае
представляет значительные трудности, поэтому
рассмотрим случай m = n, то есть q = p, тогда

1
 + ρk ,


2
∞
1

1− 2 p
ϕ ⋅ F − ρk ;
f (ϕ ) = ∑ f k sin
,
2
k =1


3

2
 − p; sin ϕ 

2
ρ k = k − p, k ∈ N.
Далее преобразуем гипергеометрическую
функцию на основании формул [2, c. 144, 148], тогда
1
3
1

F  + ρ k , − ρ k ; − p; sin 2 ϕ  =
2
2
2


3

= Γ − p (tg ϕ ) p −1 / 2 Pρp −−11/ /22 (cos 2ϕ ),
k
2

µ
где Pν – модифицированная функция Лежандра.
Получим равенство
3
∞
f (ϕ ) = 2 p −1 / 2 Γ − p ∑ f k sin1 / 2 − p 2ϕ ×
2
 k =1
p −1 / 2
× Pρ k −1 / 2 (cos 2ϕ )
или
ψ 
3
∞
f   = 2 p −1 / 2 Γ − p ∑ f k sin 1 / 2− p ψ ×
2
2
 k =1
p −1 / 2
× Pρ k −1 / 2 (cosψ ).
Используем формулу Мелера–Дирихле [2, c.
160], которая дает интегральное представление
функции Лежандра:
t
Pνµ (cos t ) =
2 (sin t ) µ
(cosυ − cos t ) − µ −1/ 2 ×
π 1
 ∫0
Γ − µ 
2

 1 
1
× cos ν + υ dυ , 0 < t < π , Re µ < ,
2
2
 

тогда будем иметь
p
 ψ  2 Γ(3 / 2 − p )
f =
×
π Γ(1 − p)
2
∞
ψ
k =1
0
× ∑ f k ∫ (cosυ − cosψ ) − p cos([k − p ]υ ) dυ .
Считая, что ряд сходится равномерно (это будет доказано ниже), в правой части последнего равенства переставим порядки суммирования и интегрирования:
ψ
ψ 
(8)
f   = l1 ∫ (cos υ − cosψ ) − p F1 (υ )dυ ,
2
0
∞
p
где l = 2 Γ(3 / 2 − p ) , F (υ ) = ∑ f cos([k − p]υ ).
1
k
1
π Γ(1 − p)
k =1
Найдем решение полученного интегрального
уравнения (8) относительно функции F1 (υ ). Вна-
чале выполним замену cosψ = z, cosυ = t , тогда
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
π
 arccos z 
f
=
2 

1
= l1 ∫
fk =
F1 (arccos t )
1 − t 2 (t − z ) p
− 1 ≤ z ≤ 1.
hk (θ ) =
На основании известной формулы обращения
интегрального
уравнения
Абеля,
если
0
l
Bl = ∑ (−1) l − m C1l −m C1m−2 p ,
1 − z 2 sin(πp ) z f1 ' (t )dt
∫ (t − z )1− p ,
πl1
1
∞
cos([k − p] arccos z ) =
(9)
k =1
1
sin(πp)
1 − z 2 ∫ f 1 ' (t )(t − z ) p −1 dt = F~1 ( z )
πl1
z
Тогда f k являются коэффициентами разложе~
ния функции
в ряд по системе
F1 ( z )
=
{cos[(k − p ) arccos z ]}∞k =1 .
В силу результатов [3] построенный ряд для
~
функции F1 ( z ) сходится равномерно к порождающей функции, если она принадлежит C δ [0, π ],
δ ∈ (0,1], F~1 (0) = F~1 (π ) = 0.
Если
f1 ' (t ) ∈ Ld [ −1,1], d > 1 / p, то в силу
результатов
[4,
c.
~
F1 ( z ) ∈ C p −1 / d ( −1,1).
65]
будем
( 2 cos θ 2) 2 p +1 k
∑ sin(iθ ) Bn −i ,
sin θ 2
i =1
θ
m =0
C ln =
или
k
(10)
w(θ ) = sin θ ∫ f ' (t / 2)(cos t − cos θ )1− p dt ,
 arccos z 
1
f1 ( z ) = f 
 ∈ C [ −1,1], f1 (1) = 0, то
2


∑f
sin(πp )
hk (θ ) w(θ )dθ ,
πl1 ∫0
где {hk (θ )} – биортогонально сопряженная система к системе косинусов {cos[( k − p ) arccos z ]},
dt ,
z
F1 (arccos z ) =
307
иметь
Так как доказано, что ряд сходится равномерно, то замена порядка интегрирования и суммирования обоснована.
Таким образом, доказано утверждение.
Теорема. Если f (ϕ ) ∈ C1[0, π / 2], функция
f (ϕ )
в малой окрестности точек ϕ = 0 и
ϕ = π / 2 является дважды непрерывно дифференцируемой,
f (0) = f ' ( 0) = f (π / 2) = f ' (π / 2) = 0, то
существует решение задачи Дирихле и оно определяется формулой (7), где p = q, с коэффициентами (10).
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
Указанные условия будут выполнены, если
f (ϕ ) ∈ C1[0, π / 2], функция f (ϕ ) в малой окрестности точек ϕ = 0 и ϕ = π / 2 является дважды
3.
непрерывно
4.
дифференцируемой,
f (0) = f ' (0) = f (π / 2) = f ' (π / 2) = 0. Тогда ряд в (9)
сходится равномерно, а коэффициенты ряда вычисляются по формулам [3]:
l (l − 1) L (l − n + 1)
.
n!
Моисеев Е. И. О решении вырождающихся уравнений с
помощью биортогональных рядов // Дифференциальные
уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 94–103.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.
Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов //
Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 177–
179.
Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и
производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
Поступила в редакцию 31.10.2012 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 728 Кб
Теги
линией, уравнения, вырождением, степенной, эллиптического, дирихле, задачи, вырождающегося, негладкой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа