close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений.

код для вставкиСкачать
16
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
УДК 517.952
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ
ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE MULTI-DIMENSIONAL
HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATIONS
С.А. Алдашев
S.A. Aldashev
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Казахстан
Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, Kazakhstan
E-mail: Aldash51@mail.ru
Аннотация. Адамаром показоно, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение поведения колебающейся струны - некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как заметили А.В. Бицадзе, А.М. Нахушев задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных
гиперболических уравнений, где показана корректность этой задачи, существенно зависящия от высоты рассматриваемой цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах автора, показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений.
Resume. It has been shown by Hadamard that one of the fundamentalproblems of mathematicalphysics –
the analysis of the behavior of oscillating string – is an ill-posedproblemwhen the boundary-value conditions are imposed on the entireboudary of the domain. As noted by A.V. Bitsadze and A.M. Nakhushev, the Dirichlet problemisillposed not only for the waveequation but for hyperbolicPDEs in general. This author has earlierstudied the Dirichlet
problem for multi-dimensionalhyperbolicPDEs, wherehe has shownthat the well-posedness of thisproblemcruciallydepends on the height of the analyzedcylindricdomain. This paper, using the methoddeveloped in the authorspreviouspapers, shows the unique solvability (and obtains an explicit form of the classical solution) of the Dirichlet problem in the cylindricdomain for degeneratemulti-dimensionalhyperbolic-parabolicequations.
Бесселя.
Ключевые слова: корректность, задачи Дирихле, вырождающихся уравнения, критерия, функция
Key words: well-posedness, Dirichlet problems, degenerateequations, Bessel function.
1. Постановка задачи и результат
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболо-параболических
уравнений хорошо изучена ([1]). Их многомерные аналоги в обобщенных пространствах исследованы в ([2,3]).
Задача Дирихле для многомерных гиперболо-параболических уравнений изучена в ([4,5]).
В данной работе для вырождающихся многомерных гиперболо-параболических уравнений
доказано, однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задача Дирихле в цилиндрической области. В работе используется метод, предложенный в работах ([6,7]).
Пусть
  цилиндрическая область евклидова пространства Em1 точек ( x1 ,..., xm , t ), огра-
ниченная цилиндром  = {( x, t ) :| x |= 1}, плоскостями
тора
x = ( x1 ,..., xm ).
t =  > 0и t =   0
где
| x|
длина век-
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Обозначим через  и
жащие в полупространствах
Пусть далее
t  0, 0  x  1 в E
В области
  части области  , а через  ,    части поверхности  ле-
t > 0 и t  0 ;    верхнее, а    нижнее основание области  .
S  общая часть границ областей  ,   представляющее множество
m
.
 , рассмотрим вырождающихся многомерные гиперболо-параболические
уравнения
m

p
(
t
)

u

u

ai  x, t  u xi  b  x, t  ut  c  x, t  u , t  0

x
tt


i 1
0
m
q(t ) u  u  d  x, t  u  e  x, t  u, t  0

x
t
i
xi

i 1
где
p(t )  0 при t  0, p(0)  0, p(t )  C 0,   C
2
1
 0,  , g (t )  0 при t  0,
g (0)  0, g (t )  C   ,0 , ,а  x  оператор Лапласа по переменным x  x1 ,..., xm  , m  2 .
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1 ,..., xm , t к сферическим
r,1 ,..., m1 , t , r  0, 0   i   , i  1,2,..., m  2, 0    2 ,  1 ,..., m1 .
Задача 1(Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области   при
t  0 из класса
 
C   Ñ1     C 2      , удовлетворяющее краевым условиям
u   1 r ,  , u    1 t ,  ,
2
u    2 t ,  , u    2 r ,  ,
3




при этом 1 1,     1  ,  ,  2 1,0   2  , , 1 0,    2 0, .
Пусть
Y
k
n,m
( )система линейно независимых сферических функций порядка n,1  k  k n ,
m  2!n!k n  n  m  3!2n  m  2, W2l S  , l  0,1,... - пространства Соболева.
Имеет место ([8])
Лемма 1. Пусть f r ,    W2l S  . Если
l  m  1 , то ряд

kn
f r ,    f nk r Ynk,m   ,
(4)
n  0 k 1
а также ряды, полученные из него дифференцированием p  l  m  1 , сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того, чтобы f r ,    W2l S , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
ряда (4) удовлетворяли неравенствам
17
18
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
f 01 r   c1 ,

kn
 n
2
f nk (r )  c2 , c1 , c2  const. .
2l
n 1 k 1
~k
k
~ k r , t  , d~ k r , t ,  k ,  k r ,  k r ,  k t , b k r , t  ,  k t , обознаЧерез d in r , t , d n r ,t , e
2n
n
n
1n
1n
n
2n
n
чим коэффициенты разложения ряда (4), соответственно функций
d i r , , t  , d i
xi
 , er , , t  , d r , , t  ,   , i  1,..., m, 1 r , ,  2 r , ,  1 t , ,  2 t , ,
r
причем     C  H , H- единичная сфера в E m .
Пусть ai r , , t , br , , t , cr , , t   W2    C
l
 , d r, , t , er, , t  W  ,
l
2
i

i  1,..., m, l  m  1 , er , , t   0, r , , t     .
Тогда справедлива
Теорема 1. Если 1 r , ,  2 r ,   W2p S ,  1 t ,   W2
p
p
 ,  2 t,   W2l  ,
3m
и
2
cos  s ,n   0, s  1,2,...,
то задача 1 однозначно разрешима, где

да J
n
m  2 
z ,    
 s,n 
(5)
положительные нули функций Бесселя первого ро-
g  d .
0
2
2. Разрешимость задачи 1
Сначала покажем разрешимость задачи (1), (3). В сферических координатах уравнения (1) в
области
  имеет вид
m
m 1
1 

L1u  g t  u rr 
u r  2 u   utt   d i (r , , t )u xi  e(r , , t )u  0,
r
r


i 1
m 1
  
j 1
1
g j sin
m  j 1

(6)



2
(sin m j 1
) , g1  1 , g j  sin 1 ...sin  j 1 , j > 1 .
 j
 j  j
Известно ([8]), что спектр оператора

состоит из собственных
n  nn  m  2 ,
n  0,1,..., каждому из которых соответствует k n ортонормированных собственных функций
Ynk,m   .
Искомое решение задачи 1 в области
  будем искать в виде

kn
u r ,  , t    u nk r , t Ynk, m   ,
n  0 k 1
(7)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
где
u nk r , t   функции, подлежащие определению.
Подставляя (7) в (6), умножив полученное выражение на
    0 и проинтегрировав по
k
сфере H для u n получим ([6,7])
m
 m 1
 1
1
1
g (t )  01u orr
  01u ott

g (t )  01   d io1 u or
 e01 u ot1 
i 1
 r

 kn
m

 m 1

k
   g ( x)  nk u nrr
  nk u ntk  
g (t )  nk   d ink u nrk 
n 1 k 1 
i 1
 r


m

k
~
 e~nk  n 2n g (t )   d ink 1  nd ink
r
i 1

(8)
u  0.

k
n
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
1
1
g (t )  01uorr
  01uot

m 1
g (t )  01uor1  0, ,
r
m 1

g (t ) 1k u1kr  21 g (t ) 1k u1k 
r
r
m

1
    d io1 uor1  e~o1uo1 , n  1, k  1, k1 ,
k1  i 1

(9)
g (t ) 1k u1krr  1k u11t 

m 1
1
g (t )  nk u nrk  2n g (t )  nk u nk  
r
r
kn
k
g (t )  nk u nrr
  nk u ntk 

m
~

 e~nk1   d ink 2  n  1d ink 1
i 1

Суммируя уравнение (10) от 1 до
m k k
 d in1u ,n1r 

k 1  i 1
(10)
kn 1

 k 
u n1 , k  1, k n , n  2,3,... .
 
(11)
k1 а уравнение (11) - от 1 до kn , а затем сложив полученные
выражения вместо с (9), приходим к уравнению (8).
Отсюда следует, что если
u , k  1, k
k
n
n
, n  0,1,2,... - решение системы (9) - (11),то оно яв-
ляется решением уравнения (8).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить ввиде
m  1 k n k 
 k
g (t ) unrr

unr  2 un   untk  f nk r , t ,
r
r


где
(12)
f nk r , t  определяются из предыдущих уравнений этой системы, причем f1k r , t   0.
Далее, из краевого условия (3) в силу (7), будем иметь
unk r ,    2kn r  , unk 1, t    2kn t  , k  1, kn , n  0,1,...
В (12), (13) произведя замену
(13)
nk r , t   unk r, t   2kn t  , получим
m  1 k n k 
 k
g (t ) nrr

 nr  2  n    ntk  f nk r , t ,
r
r


nk r ,    2kn r  , nk 1, t   0 , k  1, kn , n  0,1,...,
(14)
(15)
19
20
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
f nk r , t   f nk r , t    2knt 
Произведя замену 
k
n
r, t   r
n g (t )
r
2
 2kn , 2n r   2n r   2n  .
k
k
k
1m 
2
nk r , t  задачу (14), (15) приведем к следующей задаче
 k

~

L nk  g t  nrr
 2n  nk    ntk  f nk r , t ,
r


 k r,    ~ k r ,  k 1, t   0 ,
n
n 
m  13  m  4n
4
,
~k
f n r , t   r
1m 
2
2n
f nk r , t  , ~2kn r   r
n
(16)
(17)
1m 
2
 2kn r  .
Решение задачи (16), (17) ищем в виде
nk r, t   1kn r , t   2kn r, t  ,
где
1kn r , t  - решение задачи
~
L1kn  f nk r , t  ,
1kn r ,    0, 1kn 1, t   0 ,
а 2n
k
(18)
(19)
(20)
r, t  - решение задачи
L2kn  0,
2kn r,    ~2kn r , 2kn 1, t   0 .
(21)
(22)
Решениевышеуказанныхзадачрассмотримввиде

 nk r , t    Rs r Ts t ,
(23)
s 1
при этом пусть


~k
k
~
f n r , t    as ,n t Rs r  ,  2 n r    bs ,n Rs r  .
(24)
s 1
s 1
Подставляя (23) в (19), (20), с учетом (24), получим
Rsrr 
n
r2
Rs  Rs  0, 0  r  1 ,
Rs 1  0, Rs 0   ,
Tst  g t Ts  as ,n t ,   t  0,
Ts    0.
(25)
(26)
(27)
(28)
Ограниченным решением задачи (25), (26) является ([9])
Rs r   r J  s ,n r ,
(29)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
где   n 
m  2 ,    2
s ,n .
2
Решением задачи (27), (28) является

t


 

  
2
2




Ts ,n t   exp    s ,n  g  d   a s ,n   exp  s ,n  g 1 d1 d .



0
0

  t

 

(30)
Подставляя (29) в (24) получим
r

1
2



~k
f n r , t    as ,n t J  s ,n r , r 2~nk r    bs ,n t J  s ,n r , 0  r  1.
1
s 1
(31)
s 1
Ряды (31)- разложения в ряды Фурье-Бесселя ([10]),если
ask,n t   2J 1  s ,n 
2
1
 f nk  , t J  s ,n d ,
(32)
 ~nk  J  s ,n d ,
(33)
~

0
bsk,n t   2J 1  s ,n 
2
1

0
 s ,n , s  1,2,... 
положительные нули функций Бесселя J z  расположенные в порядке возрас-
тания их величины.
Из (23),(29),(30) получим решение задачи (19), (20)

 r , t    rTs ,n t J  s ,n r ,
k
1n
где
(34)
s 1
as,k n t  определяются из (32).
Далее, подставляя (23) в (21), (22), с учетом (24), будем иметь задачу
Ts ,n   s2,n g t Ts  0, Ts    bsk,n ,   t  0,
решением, которого является



Ts ,n t   bs ,n exp   s2,n  g  d .
t


(35)
Из (29), (35) будем иметь




 2kn r , t    bs ,n r  exp  s2,n  g  d  J  s ,n r .
s 1
t


где
(36)
bs ,n находятся из (33).
Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (n=0), а затем(10), (13)(n=1) и т.д. найдем по-
следовательно все  n r , t  из (18), где
k
Итак, в области
1kn r , t , 2kn r , t  определяются из (34) и (36).
  , имеет место
   L udH  0.
1
H
(37)
21
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
22
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Пусть
f r, , t   Rr   T t , причем Rr  V0 , V0  плотна в L2 0,1,     C  H  
плотна в L2 H ,
в L2
T(t)  V1 ,V1  плотна в L2 (  ,0) . Тогда f ( , , t )  V ,V  V0  H  V1  плотна
 ([11]).

Отсюда и из (37), следует, что
 f r, , t L ud 
1
0

и
Lu  0 , r , , t     . .
Таким образом, решением задачи (1), (3) в области
  является функция
1m 
 kn 

u r , , t     2kn t   r 2 1kn r , t    2kn r , t  Ynk,m  ,
n 0 k 1 



(38)
где 1n r , t , 2 n r , t  находятся из (34), (36).
k
k
Учитывая формулу ([10]) 2 J z   J 1 z   J 1 z , оценки([12,8])
J  z  
2

  1

cos z      0 3
z
2
4 z 2


,  0,


(39)
k n  c1n m2 ,
1 q
q k
Y    c2 n 2
, j  1, m  1,q  0,1,...,
q n,m

m
а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции
 2 t , ,  2 t , , как в [4,5], можно доказать, что полученное решение (38)принадлежит классу
C     C 2   .
Далее, из (34), (36),(38) t
 0 имеем

kn
u r , ,0   r ,    nk r Ynk,m  ,
(40)
n 0 k 1

 nk r    2kn 0   r
s 1
2 m   
2



 2 

2


  s ,n g  d  J m2   s ,n r .




a

exp

g

d

d


b
exp
 s ,n 
s ,n 
1
1
s ,n
0

 
0
2




 0
Из (32)-(34), (36), а также из лемм вытекает, что 
r ,    W2l S , l  3m .
2
Таким образом, учитывая краевые условия (2) и (40), мы получим в области   задачу Дирихле для уравнения
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
m
L2 u  pt  x u  u tt   a i r ,  , t u xi  br ,  , t u t  cr ,  , t u  0,
(41)
i 1
сданными
u S   r , , , u    1 t ,  , u   1 r,  .


(42)
В [6] доказана следующая теорема
Теорема 2.Если  r , , 1 r , W2 S ,  1 t ,    W2  , l 
l
шение (5), то задача (41),(42) в классе C
l
3m
и выполняется соотно2
  C  . однозначно разрешима.
2
Далее, используя теорему 2 приходим разрешимости задачи 1.
В [6] приводится явный вид решения задачи (41),(42) поэтому можно записать представления решения и для задачи 1.
3. Единственность решения задачи 1
Сначала рассмотрим задачу (1), (3) в области
  и докажем ее единственность решения. Для
этого сначала построим решение первой краевой задачи для уравнения
m
L*1u  g  t   x  t   ai xi  d  0,
(6*)
i 1
c данными

kn
 S   r ,     nk r Ynk,m  ,    0,

n 0 k 1
где d x, t   e 
m
d
i 1
ixi
(43)
, nk r  G, G  множество функций  r  из класса C 0,1  C1 0,1. Мно-
0,1 [11]. Решение задачи (6*), (43) будем искать в виде (7), где функk
k
ции  n r , t  будут определены ниже. Тогда, аналогично п.2, функции  n r , t  удовлетворяют сижество G плотно всюду в L2
~k
k
стему уравнений вида(9)-(11), где d in , d in заменены соответственно на
~
~
 d ink ,  d ink а e~nk , на d nk ,
i  1,..., m, k  1, k n , n=0,1,... .
Далее, из краевого условия (43), в силу (7), получим
 nk r,0   nk r , nk 1, t   0, k  1, kn , n = 0,1,... .
(44)
Как ранее замечено, что каждое уравнение системы (9)-(11) представимо в виде (12). Задачу
(12),(44) приведем к следующей задаче
 k

~

L nk  g t  nrr
 2n  nk    ntk  f nk r , t ,
r


 nk r ,0   nk r , nk 1, t   0,
(45)
(46)
23
24
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
 r , t   r
k
n
1m 
2
 r , t  ,
k
n
~k
f n r , t   r
1m 
f r , t ,  r   r
k
n
2
1m 
k
n
Решение задачи (45), (46) будем искать в виде (18), где 1n
k
2
 nk r .
r, t   решение задачи для урав-
нения (19) с данными
1kn r ,0  0, 1kn r , t   0,
а 2n
k
(47)
r, t   решение задачи для уравнения (21) с условием
2kn r ,0   nk r , 2kn 1, t   0.
(48)
Решения задач (19), (47) и (21), (48), соответственно имеют вид





t

0
  t

  0







0




1kn r , t    r  exp   s2,n  g  d    as ,n   exp    s2,n  g 1 d1 d   J  s r ,
s 1





t

0



 2kn r , t    s ,n r  exp   s2,n  g  d   J  s ,n r ,
s 1
где
 s ,n  2J 1  s ,n 2    nk  , t J  s ,n d .
1
0
Таким образом, решение задачи (6*), (43) в виде ряда

kn
u r , , t    r
1m 
2
n 0 k 1

k
1n
r, t    2kn r , t Ynk,m  ,
построено, которая в силу (39) принадлежит классу C
В результате интегрирования по области
   C  .
2


  тождество [13]
L1u  uL*1  Pu   uP   uQ,
где

m



m


Pu   g (t ) u xi cos N  , xi , Q  cos N  , xi   ai cos N  , xi ,
i 1
i 1

a N - внутренняя нормаль к границе
  , по формуле Грина, получим
 r, ur, ,0ds  0.
(49)
S
Поскольку линейная оболочка системы функций
заключаем, что
 r Y   плотна L S  ([11]),то из (49)
k
n
k
n ,m
2
ur, ,0ds  0, r,  S . Стало быть, по принцип экстремума для параболиче-
ского уравнения (6) [14] u  0 в
 .
Далее, используя теорему 2 получим единственность решения задачи 1.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Отметим, что доказанная теорема для модельного многомерного вырождающегося гиперболо-параболического уравнения получена в [15].
Список литературы
1. Нахушев А. М. 2006. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука: 287.
Nakhushev, A.M. 2006. Problems with a Shift for Partial Differential Equations. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Врагов В. Н. 1983. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, Новосибирск, НГУ: 84.
Vragov, V.N. 1983. Boundary Value Problems for Non-classical Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk, NGU (in Russian): 84.
3. Каратопраклиев Г. Д. 1983. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в многомерных областях. Partial Diffential Equations Bаnach center publications, 10: 261-269.
Karatoprakliev G.D. 1983. Boundary Value Problems for Mixed Type Equations in Multi-dimensional Domains. Partial Differential Equations Banach Center Publications, 10: 261-269 (in Russian).
4. Алдашев С. А. 2013. Корректность задачи Дирихле для одного класса многомерных гиперболопараболических уравнений, Укр. матем. Вестник, 10: 147-157.
Aldashev, S.A. 2013. Well-posedness of Dirichlet problem for one class of multi-dimensional hyperbolicparabolic equations. Ukrainskii Matematicheskii Vestnik, 10(2): 147-157 (in Russian).
5. Aldashev S. A. 2013. Correctntss of the Dirichlet problem for a class of multidimensional hyperbolicparabolic equations. Journal of Mathematical Sciences, 194 (5): 491-498.
Aldashev S.A. 2013. Correctness of the Dirichlet Problem for a Class of Multidimensional Hyperbolic-Parabolic
Equations. Journal of Mathematical Sciences, 194(5): 491-498.
6. Алдашев С. А. 2012. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Чаплыгина, Научные ведомости БелГУ, Математика, физика, вып. 6. №5(124): 12-25.
Aldashev S. A. 2012. Correctness of Dirichlet‘s and Poincare‘s problems‘ in cylindrical domain for degenerated
multidimensional hyperbolic equations with CHapligin‘s operator. Belgorod State University Scientific bulletin Mathematics & Physics, vol. 6. №5(124): 12-25(in Russian).
7. Алдашев С. А. 2013. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина. Владикавказский матем. журнал, т 15, вып.2 : 3-10.
Aldashev S.A. 2013. The well-posedness of the Dirichlet and Poincare problems in a cylindric domain for the
multi-demensional CHapligin. Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 15( 2) : 3-10 (in Russian).
8. Михлин С. Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.:
Физматгиз: 254 .
Mikhlin, S.G. 1962 . Multi-dimensional Singular Integrals and Integral Equations. Moscow: Fizmatgiz (in
Russian).
9. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука: 703.
Kamke E. 1965. Handbook of Ordinary Differential Equations. Moscow: Nauka (Russian translation).
10. Бейтмен Г., Эрдейи А. 1974. Высшие трансцендентные функции, т.2, М.: Наука: 297.
Bateman H., Erdelyi A. 1974. Higher Transcendental Functions, Vol. 2. Moscow: Nauka (Russian translation).
11. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. 1976. Элементы теории функций и функционального анализа, М.:
Наука: 543.
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. 1976. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow:
Nauka (in Russian).
12. Тихонов А. Н., Самарский А.А. 1966. Уравнения математической физики, М.: Наука: 724.
Tikhonov A.N., Samarskii A.A. 1977. Equations of Mathematical Physics. Moscow: Nauka (in Russian).
13. Смирнов В. И. 1981. Курс высшей математики, Т.4, N.2, М.: Наука: 550.
Smirnov V.I. 1981. A Course of Higher Mathematics, Vol. 4, part 2. Moscow: Nauka (in Russian).
14. Фридман А. 1968. Уравнения с частными производными параболического типа, М.: Мир: 527.
Fridman A. 1968. Hyperbolic Partial Differential Equations. Moscow: Mir (in Russian).
15. Алдашев С.А. 2014. Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболопараболических уравнений. Владикавказский матем. журнал, т 16, вып.4: 3-8.
Aldashev S.A. 2014. Well-posedness of the Dirichlet problem for the degenerate multidimensional hyperbolicparabolic equations. Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 16(42): 3-8 (in Russian).
25
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
2 081 Кб
Теги
уравнения, гиперболы, вырождающихся, дирихле, задачи, параболические, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа