close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегрируемость предельной модели плоского вакуумного диода и решение сингулярной краевой задачи.

код для вставкиСкачать
ВОПРОСЫ
ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 517.968.23:621.326.71
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПРЕДЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ
ПЛОСКОГО ВАКУУМНОГО ДИОДА И РЕШЕНИЕ
СИНГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ*
А. А. Косов, A. V. Sinitsyn
Для модели вакуумного диода изучается сингулярная краевая задача. Обоснована
интегрируемость рассматриваемой системы нелинейных дифференциальных уравнений
и построена полная система первых интегралов. Разработан метод решения сингулярной краевой задачи, предложены формулы для приближенного решения в окрестности сингулярной точки.
1. Описание модели и постановка задачи. Предельная модель плоского вакуумного диода была получена в [2] группой математиков Тулузского университета. Эта модель представляет собой систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка следующего вида:
d2 j
= j
(1 + j)
Заметим, что краевая задача (1) — (3)
является сингулярной, так как условия (2)
при их подстановке в (1) приводят к нулевому знаменателю. Поэтому классическое
определение решения как удовлетворяющей
(2) и (3) пары функций (j(x), a(x)), обращающих (1) в тождество на отрезке
x О [0,1] (с пониманием производных как
односторонних на концах отрезка), неприменимо к данной задаче и требуется определить, что понимать под решением (1)—(3).
Мы будем рассматривать систему (1) в об-
,
(1)
.
(1)
ласти W = (j, a) : (1 + j) - a - 1 > 0 , на
Здесь независимая переменная х О [0,1]
означает относительное расстояние от катода, x = 1 соответствует аноду. Функция
j(x) описывает изменение потенциала электрического поля при перемещении от катода
к аноду, соответственно функция a(x) —потенциал магнитного поля; j — плотность
тока через диод (единственный конструктивный параметр модели). Система (1)
описывает электрическое и магнитное поля
внутри диода и ее решение должно удовлетворять краевым условиям
каждом компактном подмножестве которого
правые части (1) имеют ограниченные частные производные и, следовательно, выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (1).
Кроме того, в силу очевидной симметрии
можно ограничиться изучением только решений с положительными 1 + j(x) и a(x),
т. е. вести все рассмотрения в области
W + = W I {(j, a) : 1 + j > 0, a > 0} .
Пусть на правом конце выполняются
условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши (т. е.
dx
2
2
d a
dx
2
= j
(1 + j)2 - a2 - 1
a
2
2
(1 + j) - a - 1
f(0) = 0, a(0) = 0, j ' =
dj
dx
f(1) = j1 , a(1) = a1 .
= 0,
(2)
(3)
{
2
2
2
}
2
q1 = (1 + j1) - 1 - a1 >0).
Определение. Решением задачи (1)—(3)
© Косов А. А., Sinitsyn A. V., 2012
* Работа выполнена при поддержке СО РАН (междисциплинарный проект № 80).
138
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
ТЕОРИЯ
будем называть такую определенную на
промежутке x О [0,1] и принимающую значения в множестве W + дважды дифференцируемую функцию (j(x), a(x)) , которая:
1) удовлетворяет краевым условиям на
правом конце (j(1) = j1, a(1) = a1);
2) на каждом отрезке x О [e,1], 0 < e < 1
обращает исходные уравнения (1) в тождества при подстановке (при этом на концах
отрезка производные считаются односторонними);
СОВРЕМЕННОЙ ПОЛИТИК
2
lim a(e) = 0, lim j '(e) = 0. В точке х = 0
e ®+0
e ®+0
эту функцию доопределяем по непрерывности с учетом первых двух равенств из ее третьего свойства.
Особенности данного определения:
а) оно не требует подстановки краевых
условий с левого конца отрезка в систему,
что позволяет уйти от необходимости делить
на нуль;
б) оно не накладывает никаких ограничений на поведение на левом конце отрезка
первой производной a '(x) и вторых производных;
в) оно может быть очевидным образом модернизировано и на случай
2
2
2
q = col(q1,q2 ) О R ,
p = col(p1,p2 ) О R
и функцию Гамильтона
1
- p12 + p22 + j (1 + q1 )2 - q22 - 1.
2
Тогда систему (1) можно записать в каноH(q, p) =
ническом виде:
. ¶H
,
q=
¶p
3) существуют пределы lim j(e) = 0,
e ® +0
И МЕТОДОЛОГ
.
¶H
p=.
¶q
(4)
Соответственно краевые условия в новых
переменных перепишутся так:
q1 (0) = 0, q2 (0) = 0, p1(0) = 0,
(5)
(6)
q1(1) = Q1 є j1, q2 (1) = Q2 є a1.
Новая краевая задача (4) — (6) полностью эквивалентна исходной (1) — (3) и
отличается от нее только гамильтоновой
формой записи системы дифференциальных
уравнений, что позволяет воспользоваться
методами интегрирования, разработанными
для задач аналитической механики [1].
Гамильтонова система (4) имеет интеграл
энергии
J2 є H(q, p) =
1
- p12 + p22 +
2
q1 = (1 + j1) - 1 - a1 = 0, когда сингулярность имеется и на правом конце отрезка.
При этом в рамках данного определения допустима и такая ситуация, когда пре-
(7)
+ j (1 + q1)2 - q22 - 1 = c1 = const.
Легко убедиться, что другой первый интеграл системы (4) имеет вид:
дел производной lim a '(e) не существует
Первые интегралы J1 и J2 не зависят
явно от времени, являются независимыми
(за исключением некоторого двумерного
подмножества рассматриваемой области) и
находятся в инволюции. Поэтому в соответствии с теоремой Лиувилля [1, § 121,
с. 367, § 148, с. 417] модель диода (4) является интегрируемой. Чтобы построить два
недостающих первых интеграла, выразим из
равенств (7) и (8) импульсы через координаты
x ®+0
либо является бесконечностью.
Основная цель данной работы — разработать способ построения решения сингулярной краевой задачи (1)—(3) в смысле
приведенного выше определения. Для этого
мы покажем, что система (1) интегрируется в
квадратурах, и построим полную систему
первых интегралов. Кроме того, будут получены явные формулы, аппроксимирующие
решение краевой задачи вблизи левого конца отрезка.
2. Представление в гамильтоновой форме и интегрируемость. Введем новые обозначения для независимой и зависимых переменных: t = x, q1 = j(x), q2 = a(x),
p1 = -j '(x),
J2 = (1 + q1)p2 + q2 p1 = c2 = const.
p1 = -
c2q2
z
2
m
c22 - 2 z2 c1 - j z2 - 1
z
ґ (1 + q1),
2
(8)
ґ
(9)
p2 = a '(x),
Серия «Физико-математические науки»
139
c22
c2 (1 + q1)
±
z2
p2 =
- 2z
2
c - j
1
z
2
z -1
2
ґ
3. Решение сингулярной краевой задачи. Полагая в (12) t = 1 и используя условия (6) для правого конца отрезка, получаем
с4 = -1. Аналогичным образом из (11) на-
(10)
ходим с3 =
ґ q2 ,
где
использовано
2
+ q1) -
обозначение
z 2 = (1 +
q22.
1
1 + Q1 + Q2
ln
. Из условий (2)
2
1 + Q1 - Q2
или (5) на левом конце отрезка и интегралов (7) и (8) следует, что p1(0) = 0,
p2 (0) = c2, c22 = 2c1. Введем в рассмотрение
функции
Эти формулы можно представить в виp1 =
де
¶F
¶F
, p2 =
,
¶q1
¶q2
где
функция
Ф(q1,q2, c1,c2) задается формулой:
Ф(q1, q2, c1, c2) =
±
т
(1+ q1)2 - q22
Интеграл в (11) сводится к элементарным и эллиптическим функциям. В соответствии с теоремой Лиувилля недостающие два
первых интеграла выражаются через функцию Ф(q1,q2,c1,c2):
J3 є
±
¶F 1
1 + q1 + q2
= ln
±
¶c2 2
1 + q1 - q2
(1+Q1 )2 -Q22
т
2
(1+ q1)
- q22
c2dz
z c22 - 2z2 c1 - j z2 - 1
(12)
=
ґ
т
ґ
(1+ q1 )2 - q22
zdz
c22 - 2 z2 c1 - j z2 - 1
= t + c4,
ґ
+ 2n z2 z2 - 1
G(и,n , Q1, Q2 ) =
(1+Q1 )2 -Q22
т
,
ґ
1
иdz
ґ
2
z и 1- z
2
+ 2n z2 z2 - 1
.
Эти функции представимы в виде комбинаций элементарных и эллиптических
функций своих аргументов. Из равенств
(12) и (13) с учетом полученных из краевых условий соотношений между произвольными постоянными следует, что если с2 = и*
и j = n * являются решением системы двух
нелинейных уравнений
(13)
Полученная полная система четырех первых
интегралов (7), (8), (12) и (13) может использоваться в области W + для решения начальных и краевых задач, в том числе задачи (4)—(6).
1 1 + Q1 + Q2
ln
,
2
1 + Q1 – Q2
(14)
то решение краевой задачи (4)—(6) существует и является решением задачи Коши
для (4) с начальными условиями на правом
конце отрезка, задаваемыми вытекающими
из (9) и (10) равенствами: q1 (1) = Q1,
c4 = const.
140
2
G(и,n , Q1, Q2 ) =
(1+Q1 )2 -Q22
т
1
F(и,n , Q1, Q2 ) = 1,
= c3 = const,
¶F
J4 є
m
¶c1
2
и 1- z
c2
1 + q1 + q2
±
ln
2
1 + q1 - q2
(1+Q1)2 -Q22
zdz
ґ
(11)
c22 - 2z2 (c1 - j z2 - 1)
dz.
z
(1+Q1)2 -Q22
F(и,n , Q1, Q2 ) =
p1(1) = -
и*Q2
Z2
-
и*2 1 - Z2 + 2n * Z2
ґ (1 + Q1),
Z2
Z2 –1
ґ
(15)
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
q2 (1) = Q2, p2 (1) =
+
и*(1 + Q1)
Z2
и*2 1 - Z2 + 2n *Z2
Z2 -1
Z2
дествам (17) и (18). Здесь d > 0 — некоторое положительное число. Из (17) имеем
+
(16)
Q2 ,
ставляя
где Z2 = (1 + Q1)2 - Q22 .
Отметим, что если система (14) несовместна, то это еще не означает, что у краевой
задачи (4)—(6) нет решения. Встречаются
такие ситуации, в которых в выражениях
(9), (10) импульсов через координаты на решении краевой задачи происходит смена
знаков и тогда равенства (14) нарушаются.
4. Асимптотика на левом конце.
Будем
рассматривать
функцию
ПродиффеQ(x) = (1 + j(x))2 - a(x)2 - 1.
ренцируем эту функцию несколько раз полным образом, используя исходное уравнение
(1), тогда получим следующие тождества:
Q(x) = (1 + j(x))2 - a(x)2 - 1,
1/ 2
+2 j Q
(x) + Q
-1/ 2
(17)
(x) ,
(18)
Интегрируя дифференциальное уравнение (18), понизим его порядок на единицу:
Q'' (x) + c = 2 j 3Q-1/ 2(x) - Q-1/ 2 (x) .
(19)
Произвольная постоянная в левой части
(19) должна быть взята в соответствии с
краевыми условиями (2) и (3). Для этого
возьмем произвольное малое положительное
число e > 0 и рассмотрим для (1) задачу
Коши с условиями j(e) = e, j '(e) = e,
a(e) = e, a'(e) = c2, где, как установлено
выше, число c2 = p2 (0) есть значение постоянной первого интеграла J2 на решении
краевой задачи (1)—(3). Решение этой задачи Коши обозначим через
( j(x), a (x)) ,
а
функцию Q вдоль этого решения — через
Q(x). Заметим, что при всех достаточно малых e > 0 начальная точка будет лежать в
области W + , поэтому функция Q(x) определена по крайней мере на некотором промежутке [e, e + d) и удовлетворяет на нем тожСерия «Физико-математические науки»
+
это
1 ц
ж
2 j з 2e +
ч
2e ш
и
в
(19),
и,
под-
находим
2
c=
- 2e + 4 j 2e . Важно, что в представлении постоянной с присутствуют только положительные степени малого параметра.
Переходя теперь к пределу при e ® +0,
получаем, что на решении краевой задачи
(1)—(3) функция Q(x) удовлетворяет
2
уравнению (19) при c = 2c2 и нулевому начальному условию Q(0) = 0.
Поэтому будем искать приближенное
решение (19) в виде Q(x) = kx a , где положительные параметры, т. е. степень a и коэффициент k подлежат определению. Выделяя и приравнивая после подстановки в
(19) главные члены в левой и правой частях,
4
3
2/ 3
ж 9j ц
ч
и 2 ш
и k=з
. Таким обра-
зом, на левом конце отрезка при малых значениях x > 0 функция Q(x) вдоль решения
краевой задачи аппроксимируется формулой
2/ 3
Q''' (x) є j 3Q-1/ 2(x) - Q-3/ 2 (x) Q '(x).
2c22
найдем a =
Q'(x) є 2(1 + j(x))j'(x) - 2a(x)a'(x),
Q''(x) є 2(j'(x))2 - 2(a'(x))2 +
Q''(е) = 2e2 - 2c22
% (x) = ж 9 j ц x 4 / 3.
Q
(20)
з ч
и 2 ш
Подставляя (20) в (1), мы разделяем эту
систему на два независимых скалярных
уравнения, для которых совершенно аналогичным образом с учетом условий на левом
конце отрезка получим приближенные решения
j( x ) =
1 ж 9j ц
з ч
2и 2 ш
2/3
x 4/3,
2/3
ж
ц
1 ж 9j ц
a%(x) = c2 x з 1 +
x4 / 3 ч .
з
ч
з
ч
14 и 2 ш
и
ш
(21)
(22)
Из (21) и (22) следует, что на плоскости
(j, а) кривая, дающая решение краевой
задачи, аппроксимируется вблизи начала
координат следующей функцией:
ж 9j ц
a = c2 23 / 4 з ч
и 2 ш
-1/ 2
1 ц
ж
j3/4 з 1 + j ч .
7 ш
и
(23)
141
Задаваемая уравнением (23) кривая выходит изнутри области W + на ее границу в
начале координат и имеет в этой точке вертикальную касательную, которая касается и
границы области W + . Отметим, что рассматривать задачу Коши для (1) с условиями
(2) и a '(0) = c2 некорректно, так как при
этих начальных условиях нарушены условия теоремы существования и подстановка
начальных условий в уравнение приводит к
делению на нуль. Однако, используя (21) и
(22), можно корректно ставить задачу Коши
для сколь угодно малого положительного значения независимой переменной x = x0 = e > 0.
5. Примеры. Рассмотрим задачу (1)—
(3) с единичными условиями на правом
конце, т. е. при q1(1) = q2 (1) = Q1 = Q2 = 1.
Решая соответствующую систему уравнений
(14) итерационным методом, найдем ее приближенное решение c2 = и* = 0,8798287042
и j = v* = 0,5337203307. Ему соответствуют
вычисленные по формулам (15) и (16) следующие значения импульсов на правом конp2 (1) =
це отрезка p1 (1) = -1,444231410,
= 1,162030057. Ниже на рис. 1—7 представлены найденные численным интегрированием справа налево от t = 1 до t = 0 графики компонент решения краевой задачи
(толстая линия) и вычисляемые в соответствии с формулами (20)—(23) асимптотики
решения вблизи левого конца отрезка (тонкая
линия).
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2
0,4
t
0,6
0,8
1
Р и с. 1. Решение краевой задачи по
первой координате q1(t) (толстая
линия) и его асимптотика по формуле (21) (тонкая линия)
Асимптотика практически совпала с решением, кривые на рис. 2 сливаются.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
142
0,2
0,4 t
0,6
0,8
1
Р и с. 2. Решение краевой задачи по
второй координате q2(t) (толстая линия)
и его асимптотика по формуле (22)
(тонкая линия)
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Рассмотрим теперь краевую задачу (1)—
(3) с существенно различающимися по величине значениями на правом конце, а именно
при q1(1) = Q1 = 10, q2 (1) = Q2 = 1. Решая соответствующую систему уравнений (14) итерационным методом, найдем ее приближенное решение: с2 = и* = 0,5404932672 и
j = v* = 12,14221503. Ему соответствуют
вычисленные по формулам (15) и (16)
следующие значения импульсов на пра-
вом конце отрезка p1 (1) = -16,33935466,
Приведем
только
p2 (1) = 1,534531629.
два графика изменения координат для данного варианта исходных данных.
В этом варианте кривые не сливаются
полностью, как это было на рис. 2, но, как и
на всех других графиках, наглядно проявляется высокая точность представления решения краевой задачи вблизи левого конца отрезка формулами (20)—(23).
2
1,5
1
0,5
Р и с. 3. Функция Q(t) вдоль решения
краевой задачи (толстая линия)
и ее асимптотика по формуле (20)
(тонкая линия)
0
0
0,2
0,2
0,4
0,4
t
t
0,6
0,6
0,8
0,8
1
1
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
Р и с. 4. Решение краевой задачи
по первому импульсу p1 (t)
(толстая линия) и его асимптотика
по формуле (21) (тонкая линия)
Серия «Физико-математические науки»
–1,2
–1,4
143
1,15
1,1
1,05
1
0,95
0,9
0
0,2
0,4
t
0,6
0,8
Р и с. 5. Решение краевой задачи по
второму импульсу p2 (t) (толстая линия)
и его асимптотика по формуле (22)
(тонкая линия)
1
10
8
6
4
2
0
0,2
0,4 t
0,6
0,8
1
Р и с. 6. Решение краевой задачи по
первой координате q1 (t) (толстая линия)
и его асимптотика по формуле (21)
(тонкая линия) для q1 (1) = 10, q2 (1) = 1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
144
0,2
0,4
t
0,6
0,8
1
Р и с. 7. Решение краевой задачи по
второй координате q2 (t) (толстая линия)
и его асимптотика по формуле (22)
(тонкая линия) для q1 (1) = 10, q2 (1) = 1
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ben Abdallach N. Mathematical Models of Magnetic Insulation / N. Ben Abdallach, P. Degond,
F. Mehats. — Rapport interne № 97.20. 1997, MIP, Universite Paul Sabatier, Toulouse, France.
2. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика / Э. Т. Уиттекер. — Ижевск : Изд-во Удмурт. унта, 1999. — 588 с.
Поступила
30.01.2012.
Серия «Физико-математические науки»
145
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
18 151 Кб
Теги
решение, вакуумного, плоского, краевой, диод, интегрируемости, задачи, модель, предельных, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа