close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К вопросу об аппроксимации распределений сумм зависимых случайных величин безгранично делимыми распределениями.

код для вставкиСкачать
16
ВЕСНІК МДПУ
===========================================================================
Summary
We consider perturbed linear systems with perturbation which are power integrable on
the semiaxis with positive weight and with perturbation which are vanishing in the power mean
with positive weight. A sufficient condition for the upper bound of Lyapunov exponent of such
systems to be evaluable by means of the algorithm by N.A. Izobov is established.
Поступила в редакцию 05.04.06.
УДК 519.21
М.Д. Юдин
К ВОПРОСУ ОБ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
В данной статье устанавливается корректность найденных нами ранее [1] условий
аппроксимации распределений сумм зависимых случайных величин безгранично делимыми
распределениями.
Пусть
nsns1 ,
n  1,  – система серий случайных величин, имеющих нулевые
n
математические ожидания (м. о.), и конечные дисперсии, S n    ns , n (t) – характеристическая
s
функция (х. ф.) суммы Sn , Gn (x) – функция распределения (ф. р.) суммы Sn ,

n

K n ( x)   M  ns ;
s 1
 ns  x ,
2
an   M ns nq ,
sq


 n (t )   e  1  itx

itx
 1 dK ( x)  a t
2
n
x
n
2
2 ,
Fn (x) – ф. р. с х. ф. expψn (x).
Заметим, что функция Kn (x) ограниченная и неубывающая.
Положим,
 c

 c
 2
Kn 
 o   Kn  
 o   bn , c  0 ,
 n

 n



n
 M  ns ;
s 1
 ns 
2
c 
  gn .
n
2
(1)
(2)
(3)
В [1] доказываются теорема и лемма, содержание которых мы сформулируем в виде
одного предложения.
Теорема. Пусть системы серий  ns  mn  m0 n – зависимая, где 0 ≤  < 1/4, m0 – любое

постоянное число, кроме того, существуют постоянные Н1, Н2, n0 и с такие, что при n  nо,

0  p  s  m0 n ,
0  q  s  m0 n

выполняются условия:
max  ns 
2
s
H1
n
,
max   ns nr nq 
s, p,q
inf an  0 ,
n
(4)
H2
n
3/ 2
,
(5)
(6)
МАТЭМАТЫКА
17
===========================================================================
2
2
bn  g n .
1 2 
Тогда при t  An
(7)
, где δ > 0, A – любое постоянное число, найдется n1 такое, что при n ≥ n1,
будут выполняться неравенства
 n (t )  exp n (t ) 
C1 t
3
1 22
,
(8)
n
C2
1 8  2
sup Gn ( x)  Fn ( x) 
,
(9)
n
x
где C1 и C2 – независимые от n постоянные.
Мы ставим перед собой задачу нахождения примера серий mn – зависимых случайных
величин, которая удовлетворяла бы всем условиям приведенной теоремы.
Пример. Пусть Yn1, Yn2, …, Yn(n + 1), Zn1, Zn2, …, Znn – система серий, n  1,  , независимых
(в совокупности) случайных величин, где Ynq, q  1, n  1 , случайные величины, имеют одинаковое
распределение:
1
 
 n , p1  2 ,
Ynq  

1

,
p2  ,   0.
2
 n
Величины Znp также распределены одинаково, причем

0,
Z np  
 1,

n
p1 
,
n
p2 

  0.
p  1, n,
,
n
Составим систему серий m = 2 зависимых случайных величин  ns , имея в виду, что
MZ np 

, положив
n


n


 n 2  Yn 2  Yn 3  Z n 2  , 

n

  

 nn  Ynn  Yn ( n 1)  Z nn   , n  1, .
n
 n1  Yn1  Yn 2  Z n1 

,
Очевидно, что величины системы (10) имеют нулевые м. о., для этой системы ρ = 0, m0 = 2.
Заметив, что
2
MYnq 


M  Z np 

2
n


1


2
2
n
2
1

2
2

n
2

2
n
2
  MZ np 
n



n
,

2

n
2
,
найдем для величин системы (10), в силу независимости слагаемых, Yns, Yn(s + 1), Zns,
(10)
18
ВЕСНІК МДПУ
===========================================================================
M ns2 
2

2

n
2

n
n
2
.
(11)
Из (11) следует, что существует число H1 > 0 такое, что
H1
M ns 
2
,
n
т. е. условие (4) теоремы выполняется.
Пусть Bns – σ-алгебра, порожденная величиной  ns . Тогда, очевидно,

M  np
2
Bns  


2

n
2

n


2

n
n
|p – s| = 1.
,
2
Поэтому, используя также (11), найдем
M
2
 ns np
M
 M 
np
2
 np
Bns

2
 2 2  2  1 / 2
 

 2  M
 np
n
n 
 n
 2 2  2 
 

 2 
n
n 
 n
3/ 2
. Если же
s, p и q различны, то какие-то две величины из  ns ,  np ,  nq независимы. Пусть, например,  ns
и  nq независимы. Тогда


M  ns np nq  M  ns M  np
 

Bns M  nq Bns 
 2 2  2  1 / 2 2  2 2  2 
 

 2  M  ns  

 2 
n
n 
n
n 
 n
 n
3/ 2
.
Таким образом, найдется постоянная H2, при которой будут выполняться неравенства
M  ns np nq 
H2
n
3/ 2
.
Это значит, что условие (5) выполняется.
Впрочем, оценку смешанных моментов третьего порядка можно было провести
непосредственно, не пользуясь условным м. о.
Оценим в нашем примере an. Очевидно, здесь
an 

0 | s  p | 1
M ns np .
Поскольку


Mξ nsξ n(s 1)  M  Yns  Yn(s 1)  Z ns 
λ 
 Yn(s 1)  Yn(s  2)  Z n(s 1)   
n 
n 
λ 
2
 MYn(s 1) 
то
an 

0  | s  p | 1
σ
2
n
,
M ns np  2( n  1)

2
.
(12)
n
Следовательно, при n > 1 infan > 0. Это показывает, что выполняется условие (6).
'
Выберем числа σ > 0, c > 0 и no так, чтобы при n  n0 выполнялось неравенство

n


n

c
n
1

n


n
.
(13)
МАТЭМАТЫКА
19
===========================================================================
2
2
Очевидно, это всегда можно сделать. Подсчитаем непосредственно значения bn и g n , определенных
в (2) и (3). Имеем
c 
 c

 c
 n  2
 o  Kn 
 o    M   ns ;  ns 

n
 n

 n
 s 1 
bn  K n 
2
2
2
2

 2 2 52 

   
1 n
   
 4
   2 2  4
  
n  
 2 n    .
n
n
n
4
n
n
2n 
n
n









Также


n
g n   M   ns ;  ns 
2
s 1
2
c 

n
2
2
2

 2 2   2 
 2    
1 
    2     
  
 1     2 1    
 1    
n
  1    .

n
n
n
4
n
n
n
n



 
 n  

 




Таким образом, мы получили
2
bn
 2 2 52 
 
 2  n    n
 2 2 ,

2n 
 n
2
gn
 2 2   2 
 

 1
  .
n 
 n  n  


Следовательно, если взять в неравенстве (13) 0 < λ < 2σ2, то, начиная с некоторого
2
n0" , будет
2
bn  g n , т. е. будет выполняться условие (7) теоремы.

'
"
Таким образом, при n0  max n0 , n0

система серий (10) будет удовлетворять всем
1/ 2 
условиям теоремы. Следовательно, при t  A
, где A – любое постоянное число, для системы
(10) найдется n1 и независимые от n постоянные C1 и C2 такие, что будут выполняться
неравенства (8) и (9).
Если в нашем примере рассматривать действия величин Yns в сумме S n    ns как
«помехи», причем соседние две «помехи» накладываются, то следует заметить, что поскольку
an  2 , то «корреляционный шум» сохранится и в предельном распределении Sn.
Условие (7), по-видимому, выполняется в тех случаях, когда значения величины,
попадающие в окрестность нуля, имеют сравнительно большие вероятности, а сами значения
убывают «не очень быстро». Это ведет к появлению нормального компонента в предельном
распределении Sn, дисперионный параметр которого даст скачок функции
2
K x   lim K n x  в нуле.
n 
Кстати, имея в виду асимптотическое поведение
bn2 и g n2 , получим
, x  0,
 0
 2
K x   2
, 0  x  1,
2

2



,
x  1.

(14)
20
ВЕСНІК МДПУ
===========================================================================
Если воспользоваться теоремой 1 из [2], ее условия в нашем примере выполнены, то из равенств
an  2
(14), (1) и соотношения
2
последует, что суммы Sn будут иметь предельное
распределение, логарифм х.ф. которого
 ( x) 
 e

itx
 1  itx
1
x

2
2 t
2 2
dK( x) 
.
2
или
2 t
2 2
 ( x)  
2
Поскольку
2 t
it
.
   e  1  it  


2
2 2
 4 2t 2 
 – х. ф. нормального распределения с дисперсией 4 σ2
2 

exp  


и нулевым м. о., а exp  e  1  it – х. ф. сдвинутого распределения Пуассона, то суммы Sn
будут иметь предельное распределение, которое является сверткой нормального и пуассоновского
распределений.
it
Литература
1. Юдин, М.Д. Замечание к аппроксимации распределений сумм зависимых величин
безгранично делимыми распределениями / М.Д. Юдин // Весці АН БССР, Сер. фіз.-мат. навук. –
1987. – № 2. – С. 38–41.
2. Юдин, М.Д. Об обобщениях формул Колмогорова и Леви-Хинчина на суммы
зависимых величин / М.Д. Юдин // Доклады АН БССР. – 1986. – Том ХХХ, № 1. – С. 29–31.
Summary
It is built example, in which the distribution of the sums of dependent random variables is
approximated by the infinitely divisible distribution.
Поступила в редакцию 24.03.06.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 413 Кб
Теги
величины, суммы, вопрос, случайных, безграничного, делимыми, распределение, аппроксимация, зависимый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа