close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К задаче об обтекании излома образующей тела вращения околозвуковым потоком.

код для вставкиСкачать
ЗАПИСКИ
УЧЕНЫБ
т о.п
удк
к
VJI
ЦАГИ
1976
.м6
533.6.011
ЗАДАЧЕ
ОБ
ОБТЕКАНИИ
ИЗЛОМА
ОБРАЗУЮЩЕЙ
ВРАЩЕНИЯ ОКОЛОЗВУКОВЫМ
ТЕЛА
ПОТОКОМ
А. И. Есuн
В естественных координатах (линии тока и нормали к ним) рас­
смотрено решение
Вальо - Лаурина - Шугаева обтекания
излома
поверхности тела, уточняется вопрос о форме I(OHTypa, для дозвуко­
вой зоны течении выяснена возможность нахождеНIIЯ постоянных
интегрироваНIIЯ. В сверхзвуковой зоне рассматриваемое решение
сращивается с течением типа простой волны. Строится равномерно
пригодное решение. Приведены результаты расчетов.
1. Исследование характера особенности в звуковой угловой точке было
проведено в работе [1] с целью выяснения локальной нерегулярности, при водя­
щей к потере устойчивости и точности конечно-разностных схем при прохож­
дении такой точки [2]. Позднее эта задача приобрела самостоятельное зна чение
и специально рассматривалась в работах [3 - 6]. В последней работе показано,
что вид особенности , исследован ный в [1], не является едннственно возможным.
Высшие приближения наиболее полно исследованы в [4, 5]. В частности, в [5]
построено продолжение решения в сверхзвуковую окрестность угла. В данной
работе уточняются некоторые детали решения типа [5], а продолжение его
в
сверхзвуковую
окрестность
осуществляется
методом
сращиваемых
асимптоти­
ческих разложений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений [7J, описывающих плос­
кое ('1
О) И осеСlIммеТРИЧIlое ( '1
1) установившееся изоэнергетическое течение
=
=
идеального
газа:
(M2-1) дlп л. -т.!!!
д'l'
д~
_
_ -112
а * р* yq
д Iп_
л. = ____
т dS ;
_
д'l'
д~"( М2
д
дf
d(x+iy)
=
_1_ eiO d<pIII
6
тельная
d<jJ
(1 n т
q)-_ "( М2
1 d<jl
[LS.
,
1
(1.1 )
е
i
(6---")2 d<jJ;
а * рл.у"
a* p*q
где л.
w max ;
SlПtl
= '1
д<f
=
у' (Р*
q)-' рл,
коэффициент скорости, отнесенной к максимально возможной скорости
- угол наклона вектора скорости к оси симметрии (фиг. 1); q - вспомога­
неизвестная
функция
(q
==
л. в потенциальном
течении);
М
-
число М,
117
р, Р*
-
плотность
и
критическое
значение
плотности,
отнесеиные
к
плот н ос
набегающего потока роо; а* - критическая скорость з вука; S - энтропия . от ~
сенная к газовой постоянной; у - отношение у дельных теплоемкостей; Х, )' с­
картовы координаты
(фиг.
отнесенные к радиусу
1),
вую точку; Ф - функция тока, отнесенная к
R*,
проведенному в Yf.J G-
R:+ 1 роо w max;
ная вдоль линий, ортогональных к линиям тока;
вому излому соответствовало '1' = <j;
О.
=
'? - функция, постоя в ­
Ф выбраны так , чтобы звп; ()­
'1',
у
.:z:
Фиг.
Следуя
[1, 4, 5],
решение
1
системы
(1.1),
удовлетворяющее
гранич н ых
.Условиям:
л
-
1 ,..... ("(
можно
+
6-6 *=ао(- 'I')" + ... , 0>0,6 при ф=О, '1'< 0;
л - 1 = О, 0- 0* = о при '1' = Ф = О;
1)-1 ('I'/ф)2, 6 - 0* ~ (-2/3) (у
1 )-1 (ср/ф)Э при 0/ -+ О, <р> О,
+
записать
в
л
о
-
виде
+ ~иl (~) фр, + ~и2 ( ~) ФР1 + . . . ; }
О'" = ио (С) ф3/4 + и 1 (С)фРl+1 /4 + и2 ( ~Hp,+1 /4 +... ,
-
1 = ~иo (с) ф1/2
('
где ф~О, ' = ~срф-5!4 фиксировано; 1/2<Рl<Р2<"'; ~ =(''(+Iгl /3 ; Oz I! Ь.
(1.3) соответствуют автомодельному реше !!
[1] и имеют следующие коэффициенты [8]:
даны. Главные члены разложений
4
и о (' ) = С 2 (t - Iг 1 / (t - 4);
]
tIU(~) = (-2/3)СЗ(t-l)I /8(t + 8);
С = (1 /5) C(t где С
-
1)-5/8 (5 t - 8),
1
<t < +
00,
постоянная, определяемая некоторым интегральным законом coxpa B~ -
и зависящая от условий вдали от точки излома.
При подстановке разложений (1.3) в систему
с необходимостью существуют показатели
Р; =
[2
+ (2 -
'/)
jl/4,
i
С другой стороны, первое граничное условие
(1.1)
убеждаемся в то м .
= 1, 2, . ..
(1.2)
требуег существования
зателей
Pj
118
= (50 -1)/4 + и- 1)/2,
j= 1'2' ...
D
В первом случае коЭффициенты и! и О! удовлетворяют неоднородным системам
дифференциаль ных уравнений; во втором .. есл и Pj:f Pi, коэффициенты U и О,
соответствующие Р
(50 - J)/4, яв л яются решением однородной системы:
=
(Р
+ 4""1 ) v -
5
,
' .
5
о'
+4
ри
-
=
(и '
]
= О;
- ио и ' - ии о
4 ~O '
(I . б)
f
О.
При помощи за м ены переменных
U
=
ф' ( ~);
Ф« ( ) =~
(Р +
v=
3
15
2
8
- - р--
+)ф «() - {- (ф ' (С);
(I_ ~)
1
5
~
8
--р - -
система (I . б) сводится к гипергео ме трическому
11 (Е), Е =Г 1
++ ( ~ Р +); ]
~ )( + +
) О.
Е( 1 - Е) h" + [- ~ Р + (2 р +
+
D
( 1.7)
уравне н ию
+
h'
+
( 1.8)
h =
При рассмотрении обтекания т е ла с прямолинейной образующ е й в дозвуко­
вой области должна быть решена первая задача о собственных значениях:
найти значения р, при которых решение системы (I.б) удовлетворяет следующим
граничным
условиям:
vфР+ I /4
и, v при Ф
из
О, '?
-+
о
при
Ф
-+
О,
'?
>О
< О;
(1.9)
имеют особенност!>, не большую, чем та, которая следует
тр е тьего условия (1.2).
Решение уравнен и я (1 .8), у д овлетворяющее первому условию (1.9), и м еет вид
-+
+;
hl(~) = F(-2Р--+; {Р+ ~;
r д е F - гипергеометрическая функция
продолжени е [9] в окрестность ~
О
h 1 (Е)
=
+
Г ( )Т (+ р + J~_)
Г (2р + 3) Г ( - ~ р - ~)
5) (2 + 7);
2
Г
- 2р -
11 аходим ,
Г
что
зР
Записывая
(I.JO)
его
ан а литическое
~
(
F - 2р -
Г(+) Г (._+p-~) ~ p+~
+ (
Гаусса .
=
I-e),
2 '
(
2 24
.
17
t)
F 2P + 3' -З Р -З;З Р +б; ', '
(1.11)
(3
( 1.10) удовлетворяет второму условию (1.9) ТО .1ЬКО при
р =
3
2
]
k
+ 2'
k
= ],
(1 . 12)
2, . . ,
в этом случа е перво е слагаемое в (1.]]) обращается в ноль , а ряд во втором
обрыва е тся и превращается в полином. Собственные Зllа чен ия (1.12) принадле­
жат классу (1.5) .
Чтобы выяснить вопрос о допустимой форме образующей в J\ОЗВУКОВОЙ
области, рассмотрим вторую задачу о собственных значениях : найти значения
р, при которых решение системы (I.б) уд овлетворяет граничным условиям:
vфР + I /4~ ( _ т)1,
п ри
ф -> О,
uфl', 1,фР+I /4 при Ф --" О,
,?< О ;
l
>О
J
'f
(1. ]3)
имеют особенность не большую, чем третье ус ловие в (1,2).
Р е шение уравнения (1 .8), которое м о жет удовл е творять
(].13),IIMeeT
первому усл о вию
вид
h 2 ( ;) = (I- Е)I /2 F ( - 2р-2,
2
5
зР + з;
3
2 ;
1-
Е).
,
( 1.14)
119
При ~ -->-
1 оно дает следующее асимптотическое· представление :
( IГ
Сравнивая первое условие
и
(1.13)
(1.15).
(, = (4р
находим допустимые з на чен ия
+ 1)/5.
( 1. : I
Записывая аналитическое продолж е ние ряда (1.14) в окрестность ~ = О и
удовлетворения второго условия (1.13). полу чаем
Р
3
Tp e 6 ~' ji
1
=2
4'
k-
k = 1. 2,. . .
( 1.
=
Собственные значения (1 . 17) при ~
1 принадлежат классу (1.5). При
класс (1.5) должен быть расшире н путем объе д инения с (1.17). ибо то л ько
можно удовлетворить первому грьничному условию (1 .2). Последнее. таким
зом. будет формироваться собственными решениями. соответствующими
I
',
t.)
т о г J<!
о бра·
р 113
( 1. 17).
Из
(1.16)
и
(1.17)
находим спектр значений. которы е может принимать ~:
i}
=
6 k /5.
k
=
( 1. ' )
1. 2 • . ..
2. На основании результатов предыдущего ра з де л а мож н о .заключить . ч т о
значений р. отличных от (1.5), в задаче (1 . 1) (1.2) не существует. Таким о б р а ­
зом, показатели разлож е ний (1.3) однозначно определяются условием устран ен !!и
неоднородностеЙ. возникающих при по д стаиовке разложения (1.3) в СИС Т(' )I ~
(1.1), первая IIЗ которых порождается автомодельным решением (при ~
О), Н. II
правой частью уравнения неразрывности (при 'i
1). Для Pi. определ я е~IЫ .\ В О
(1 .5), уравнение (1.8) допускает вырожденные решения (полиномы Яко б и [5]).
В частнос т и. д ля
'i
1 ряды (1.1 О) и (1 . 14) об р ываются. первый - 11 ;!
i=2n-l, ВТОРОЙ-ПРИ 1 = 2n. n = l. 2•... (i-номер приближения) . Реш е н,, ('
уравнения (1 .8). у довлетворяющее третьему у словию (1 .:1). мо ж но записать в ви де
=
=
=
~ Р + J..!...
6 F
h = С(Р)~З
(2
2
- зР-з,
где с( Р) - произвольные lIостоянные.
Исследуя с помощью (2.1) поведение
2р+3;
4
Р;
иметь
первое
=
(i
+ 2) /4,
граничное
i
=
~
)
.
(2. 1)
поперечной
<jJ - О, 'Р <О , находим. что спектр собственных значений
Отсюда
17
зР+Т;
*
скорости v<jJ P+I /4
(1.17) расширяется:
1, 2, ... ; 1 6, 12. 18, . .. ,
(1.2) может быть л ибо о д норо д ным ,
услови е
11
i!
.1H
вид
12 .:' 1
где
Oi=(i + 3)!5.
i = 1, 2, ... ; 1 * 6'12'18 . . ...
В 9ТОМ случае мультипликативные
множители с(Р)
находятся и :> усл о вия
0(11'"
кания .
Общие решения, соответ с твующие 1 = 6. 12, 18 •...• у д овлетворяют ОДН О РО_.о
ному граничному УСЛОВИЮ (1 .9). при 9ТОМ множители с(Р) остаются неопре..1 е. е _о
ными, они Зависят от у словий вне окрестно с ти звукового излома. В прямо уг о .J о
ных коОРДИнатах х, у условие (2.2) раВНОСIIЛЬНО тому. что уравнение Д ОЗВУК О ВО.
части образующ е й имеет вид
у= ы (- х)а.
+ Ь 2 ( _ х)а, + .. ..
где
rJ.i = (i +8)/5, 1=1,2, ... ; 1 + 6.
12.18 •...
В частности, из всех аналитических форм стенок с особенностью
излома
согласуются
лишь
те,
для
которых
с праведливо
(1)
в Т ОЧ i.с
уравнение
ас
y = ~ ~ k(_ x)I+k,
~3=~9 = ~ 15= '"
= 0.
(2
k=1
Через К09ффици е нт ~ 1 находится мультипликативный множитель второго ПРll БJ i!'
жения,
120
Если уравнение дозвуковой части образующей записано
коэффициенты первых двух ПРllБЛllжеНIfЙ можно записать так:
И!
и 2 = С 2 Ф; + C"
= О.
;5
~ фz--{-(ф;) +
V2=C2(
Vj
= -'/ (l/а* р*)siп 6*;
·~ (t - 1г l / 2 [ - - } (10"( - 3)
+
+
(22"(
+ 15) t -
в
виде
(2.3).
то
++ J
(2'(
(2"( + 5)C5 p(t-1)-1/8(64-35t+7t 2 )+
3) t 2
(O)~.
=
где С2 - мультипликативный множитель; ш
(1/~"() (dS/d~) - постоянная, харак­
теризующая завихренность «О) == О в потенциальном течении); Ф2 определяется
по формулам (1.7). В плоском случае uз = Vз == О. что соответствует [4].
.
3. Решение (1 :3) вдоль линий ~ = const в сверхзвуковой окрестности точки
излома. пригодно лишь при малых С поскольку при ,-+
нарушается условие
малости возмущений. для нахождения решения при (-+
введем новую .сжа­
+=
тую" переменную г = ~/~ = ~-1
рому и третьему граничным
'л
+=
Решение системы (1.1). удовлетворяющее вто­
условиям (1.2), будем искать в виде
(t 1/4.
= /0 (г) + /1 (z) ~" + /2 (г) (j/' + /3 (z) ~" + ... ;
б - А*
=
go (г)
+ gl (z) ~"
+ g2 (г) ~" + gз (г) <j/З + ... .
< < ...
г де ~ -> О; г фиксировано; 0< Гl
1"2
Главные члены /0' go разложений
удовлетворяют
(3.1)
}
(3.1 )
системе нелинейных
дифференциальных уравнений
00
(/5 -- \) /~ + г/о (1 -
а: /~) 1/(,-1) g~ = О;
г (1 - а: /~) 1/(1-1) /~
где 00= [2/("(
+ \)]1 /(-,-1).
+ ~%
g~ = О,
=
Одно из ее решений (/0 = cons!, go
const) определяет однородный поток.
не удовлетворяющий третьему условию (1.2); второе
/0 (г) =
go
(г) = arctg
где
V- .
S
1-
г = 0o(s -
----\-"
2
а s
SI /2;
...!.. arctg (а*
а*
1)1/2 (1 - а: sг 2 1'-;
1
s-\) '
v I-a;s
.. 1
< s < 41-";
s - параметр; tJ. = 1/4а 2 • определяет простую волну разрежения. Значение пара­
метра s = 1 соответств'ует звуковой линии, s = 4tJ. - последней характеристике
полной волны разрежения. Коэффициенты /;. gi последующих ПРllближений - ре­
шения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка - нахо­
дим
в
виде
1
/; (z) = sl/2(s _1)(';-2)/4 (1 -- а; S)2 -I'-f j [А ; + Е; (s)];
gi (z) = (Г; 2) ri l (s - 1)'i/ 4 (1 -- а: sГ f1Гj [А; + Е; (5)] + Р; (s),
+
где
1
E;(s)=_1_Ss-1(S_I)(2-Г;)/4(I_а 2 s{Г 2
2
А;
-
•
постоянные; Р;
(s), Qi (s) -
функции
Qj(s)ds. i=l; 2.... ;
предыдущих приближений, в част­
ности,
Р1
=
Q1 = Рз
=
Qз
==
О;
sin 0*
а* Р.;.
-+ ~ ",г + О (Z2);
cos б*
5
Q2 = '/ - - + -16 СУ + 2) ~ы + О (г).
а* р*
Р2
= - '/
121
Показатели разложен ий (3.1) и
из сращивания решений (1.3) и (3.1):
постоянные А ; находятся
последоват с.J
-
А 1 = - 9·5-1 с З3 ~l f3 001/3;
Г 1 = 2/3;
Гз= 10/9;
AJ
=
Г 2 = 1; А 2 = О;
10·57-1 C2C-5/9~5/9005/9;
тем самым учитываетсн потерянное первое граllичное условие (1.2). Правая г р" ­
ница области ПРИГОДIIОСТИ решения (3. 1) существенно зависит от веЛИЧИ1lbl уг
jj
,
(Jl/J
о
Фиг.
Фиг.
2
3
О,JОг-----------r-----------~
g
о
(J.f 0,10
Фиг.
4
излома и формы стенки за изломом. Как показано в [10], здеС1, возможно по
ление ска чка уплотнен ия. На основе разложений (1.3) и (3.1) можно по с т POI[ решение, равномерно пригодное во всем интервале О
~
со. Применя я . • .,,пример, правило аддитивного составления [11], получим
< <+
л =
10 + ~ (ио -
'2
+ 9.5-1 с /
8 3
,-2/3) +1/2
+ {!z + ~ [и 2 + 2- 1 ~ (2-( + 3)~4 + 18 ·5-1 ?еР :4/3 +.fз +1().9
б-
б*
=
go
122
2.5-1 (2"(
-1- 3) ~ ;:5
-
ы~
-
10·57-1 С2 е-59 г 4 / 9 ] i ,~
-+-
+ ... ;
+ g! +213 + (v o + 2.1-1 (3 + 36.5-1
+ {v 2 -
+ Л +2/3 +
+ g2 + + gз <jiIO/9 +
~ 5/9} +5/4 + ...
с 8 / 3 ~1/3) +3/4
28.57-1 С2 с- /
5 9
На
линии
'Р
=
О решения
(1.3)
и
(3.2)
непрерывно переходят друг в друга. Пер­
вые три члена разложений (3.2) дают продолжение в сверхзвуковую зону авто­
модеЛЫIОГО решения (1.4), последующие члены учитывают осевую симметрию и
завихренность. На фиг. 2-4 изображены ЛIIНИИ постоянных скоростей и накло­
нов, рассчитанные по первым трем членам решения (3.2), и те же линии, приве­
денные в работе [1]. Постоянная С полагается равной 1,25 . з-3/8, тогда на звуко­
=
вой линии автомодельного течения'
построенных по решениям (1.4) и (3.2),
ковой зоне.
Качественное различие линий уровня,
становится заметным далеко в сверхзву­
1.
ЛИТЕРАТУРА
1. V а g I i о - L а u r 1 n R. Transonic rotational flow over а сопуех corner. J. Fluid Мес11., vol. 9, N 1, 1960.
2. Р и х т м а й е р Р., м о р т о 11 К. Разностные методы решения
краевых задач. М . , .Мир·, 1972.
3. F r i е d m а n М. Р. T\vo-dimensiona1 and axisymmetrlc rotatlonal
f10ws past а Iransonic corner. J. Aero{5pace 5cl., val., 29, N 4, 1962.
4. Б е л о Ц е р к о в с к и й О. М., с е Д о в а Е. С., Ш У г а е в Ф. В.
Сверхзвуковое обтекание тел вращения с изломом поверхности .• Ж.
ВЫЧИСЛ. матем. и матем. физ.", Т. 6, N~ 5, 1966.
5. Обтекание зату пленных тел сверхзвуковым ПОТОКОМ газа.
Теоретическое и экспериментальное исследования. Под ред . О. М. Бе­
лоцерковского. Труды BU АН СССР, 1967.
6.
Л и в ш и Ц Ю. Б.,
Ш 11 фри Н Э. Г. к задаче о трансзвуковом
обтекании выпуклого угла. ИЗВ. АН СССР, МЖГ,
1971, Ng 2.
С е в о с т ь я н о в Г. д. О плоских вихревых
течениях газа. Изв. АН СС(:Р, МЖГ, 1973, Ng 5.
7.
околозвуковых
8. Ф а л ь к о в и ч С. В., Ч е р н о в И. А. Обтекание тел вращения
звуковым потоком газа. ПММ, т. 28, ВЫП . 2, 1964.
9.
ции, т.
Б е й т м е н Г., Эр д е й и А.
1, М . , .Наука", 1965.
Высшие
трансцендентные функ­
10. Ш и фри н Э. Г. О скачке уплотнения при трансзвуковом
обтекании выпуклого угла. Изв. АН СССР, МЖГ, [974, Ng 5.
1[. в а н - Д а й к
М., .Мир·, [967.
М.
Методы возмущений в механике жидкости.
[2. Б е л о Ц е р к о в с к и й О. М. Численное исследование неко­
торых трансзвуковых задач аэродинамики. Труды секции по числен­
ным методам в газовой динамике второго международного коллок­
виума по газодинамике взрыва и реагирующих систем (Новосибирск,
[9-23 августа 1969 г.), т. 1. BU АН СССР, [971.
Рукопись поступила
28/VJII 1975
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 352 Кб
Теги
образующей, обтекании, потоков, вращения, изломе, околозвуковой, тела, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа