close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математическая модель контура текучести анизотропных материалов.

код для вставкиСкачать
УДК 519.63:539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТУРА ТЕКУЧЕСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
И. В. Ефимов
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, gendalf44@yandex.ru
1. Введение. Актуальные задачи металловедения тесно связаны с построением
математических моделей и применением статистических методов при обработке экспериментов. Известно, что любая математическая модель является приближением к
реальности в условиях принятых для этой модели допущений и ограничений. Чем меньше таких допущений и ограничений, тем более общий характер имеет математическая
модель, тем шире диапазон её применения на практике. Использование современных
компьютерных технологий позволяет не только применять численные методы, сопровождаемые большим количеством вычислительных операций, но и привлекать к решению задач интеллектуальные возможности человека, тем самым дополняя их скоростью и точностью вычислений. Основным препятствием такого объединения является
отсутствие прикладного программного обеспечения, разработанного для конкретной
предметной области.
В современном тяжёлом машиностроении, в частности, в судостроении, используются материалы, прошедшие специфическую обработку, например, скручивание и экструзию. В результате материалы приобретают свойство ортотропии, разносопротивляемость (эффект SD) и области с внутренними напряжениями. Приобретенные свойства
оказывают существенное влияние на прочность деталей и конструкций, изготовленных
из этих материалов [1]. Использование математических моделей позволяет избежать
больших затрат, связанных с проведением натурных экспериментов. Предлагаемая модель позволяет определять некоторые характеристики прочности материалов, прошедших специфическую обработку. Одной из таких характеристик является поверхность в
пространстве напряжений, отделяющая область пластичности от области упругой деформации [2]. Для случая плоского напряженного состояния эта поверхность сводится к контуру, называемому контуром текучести. Разработка математической модели
контура текучести материала и является основной целью предлагаемой работы. Для
получения численных значений коэффициентов аналитической модели в работе решается задача создания прикладного программного обеспечения, реализующего идею
сочетания интеллектуальных возможностей человека и вычислительных возможностей
компьютера.
2. Аналитические формы модели. Рассматривается случай плоского напряжённого состояния, поэтому в главных осях поверхность текучести сводится к контуру
текучести, заданному уравнением
Φ(σ1 , σ2 ) = 0.
(1)
В 1948 году Хиллом [1] было предложено условие текучести для трансверсальноc
И. В. Ефимов, 2011
57
изотропных материалов следующего вида
σ12 + σ22 − Aσ1 σ2 = B,
(2)
где А и В — параметры, определяемые свойствами конкретного материала. Это равенство задает контур, изображенный на рис. 1.
Рис. 1. Критерий Хилла.
Развитием результатов Хилла [1] является теория О. Г. Рыбакиной [3], предложившей критерий текучести вида
p
α1 σ1
α2 σ2
α3 σ3
F (σ2 − σ3 )2 + G(σ1 − σ3 )2 + H(σ1 − σ2 )2 +
+
+
= 1.
(3)
3
3
3
Для случая плоского напряжённого состояния выражение (3) преобразуется к виду
a11 σ12 + 2a12 σ1 σ2 + a22 σ22 + a13 σ1 + a23 σ2 + a33 = 0,
(4)
где
α21
;
9
α2
= F + H − 2;
9
α1 α2
=2
− 2H;
9
α1
=2 ;
3
α2
=2 ;
3
= 1.
a11 = G + H −
a22
a12
a13
a23
a33
(5)
Cоотношение (4) определяет кривую второго порядка, геометрической интерпретацией которой, с учётом физического смысла, является произвольный действительный
эллипс, охватывающий начало координат (рис. 2).
Последний критерий текучести описывает свойства текучести ортотропных материалов с эффектом разносопротивляемости, имеющих ненулевые начальные напряжения.
58
Рис. 2. Критерий О. Г. Рыбакиной.
Пусть заданы результаты измерений — набор точек на плоскости напряжений, каждая из которых соответствует пределу текучести в направлеии её радиус-вектора. Задача заключается в проведении контура текучести наиболее близкого к полученным
точкам, после чего можно будет судить о пределе текучести материала при нагрузках
во всех направлениях.
3. Постановка задачи. Задача построения кривой определённого вида, наиболее
близкой к некоторому фиксированному набору точек, является задачей регрессионного анализа и решается путём минимизации некоторой целевой функции Е. В данном
случае целевая функция задана следующим равенством:
E=
N
X
li2 ,
(6)
i=1
где li — расстояние от точки, полученной из i-го эксперимента, до контура пластичности. Таким образом, целевая функция Е, подлежащая минимизации, при фиксированном наборе точек, является функцией шести коэффициентов контура (4) (рис. 3).
Рис. 3. Определение целевой функции.
Задача заключается в нахождении таких коэффициентов aij , при которых целевая
функция Е, определённая равенством (4), будет минимальна.
59
4. Способы решения. В данной работе рассматриваются три метода построения
контура пластичности: метод ручного подбора коэффициентов aij в соотношении (4),
метод покоординатного спуска, метод наискорейшего спуска.
Для их реализации разработана программа на языке Object Pascal в среде Delphi 7.0
для ОС Windows, в которой реализованы необходимые алгоритмы и предоставлены в
виде визуального интерфейса нужные инструменты для осуществления каждого из
рассматриваемых методов и фиксирования результатов. Ввиду многомодульности и
громоздкости каждого из модулей, исходный код программы к работе не прилагается.
Программа предполагает ниличие ОС Windows 95 или выше, библиотеки OpenGL,
процессора Pentium 166 ггц или более, 128 mb оперативной памяти, 64 mb видео памяти.
4.1. Построение методом подбора вручную. Для реализации первого метода
в представленной программе предусмотрены различные визуальные инструменты. На
рис. 4 изображено основное окно и цифрами отмечены основные группы инструментов: 1 — средства изменения формы и положения контура; 2 — средства добавления,
удаления и перетаскивания точек; 3 — поле отображения текущего значения целевой
функции; 4 — панель выбора текущего коэффициента; 5 — панель изменения текущего
коэффициента; 6 — панель просмотра значений всех коэффициентов; 7 — кнопка запуска метода покоординатного спуска; 8 — кнопка запуска метода наискорейшего спуска;
9 — область отображения контура текучести с заданным набором точек и отрезками
перпендикуляров, опущенных из точек на контур.
4.2. Построение методом покоординатного спуска. Суть этого способа заключается в поочерёдном фиксировании пяти из шести коэффициентов и поиска минимума целевой функции Е как функции от одной переменной (E(aij ), где aij — единственный не зафиксированный коэффициент), модифицированным методом дихотомии [6].
Модифицированный метод дихотомии проиллюстрирован на рис. 5.
В достаточно большом интервале с шагом da осуществляется выбор наименьшего
значения целевой функции E(a0 )
Далее, в интервале [a0 − da/2; a0 + da/2] применяется метод дихотомии. Таким образом избегаются все локальные минимумы, и коэффициент aij получает новое значение.
Коффициенты подбираются в следующем порядке: a33 , a13 , a23 , a11 , a22 , a12 , что
обеспечивает подбор сначала размера контура (коэффициент a33 ), затем положения
(a13 , a23 ), затем формы (a11 , a22 , a12 ). Процесс подбора коэффициентов повторяется до
тех пор, пока изменение целевой функции Е не станет меньше заданной точности.
4.3. Построение методом наискорейшего спуска
Суть этого метода заключается в движении в пространстве коэффициентов контура
в сторону, обратную вектору градиента целевой функции Е [6]. Градиент определяется
равенством:
∆E(aij ) =
∂E ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E
,
,
,
,
,
∂a11 ∂a12 ∂a22 ∂a13 ∂a23 ∂a33
,
(7)
∆E направлен в сторону наибольшего роста функции Е.
Сначала выбираются начальные значения коэффициентов, т. е. вектор ~aij , затем
вычисляется вектор градиента ∆E(~aij ), затем вычисляются новые значения коэффи60
Рис. 4. Визуальные инструменты для постоения контура текучести.
Рис. 5. Модифицированный метод дихотомии.
циентов по формуле
~aij = ~aij − λ∆E,
(8)
где λ — заранее заданное число, определяющее скорость спуска.
Процесс повторяется до тех пор, пока изменение целевой функции Е не станет меньше заданной точности.
В результате метод приводит к точке ~aij , которая сообщает функции Е локальный
минимум, на «склоне» которого находилась отправная точка алгоритма.
5. Сравнение приведенных способов. Первый метод — метод построения контура текучести путем ручного подбора — полностью зависит от исследователя, что одновременно является как положительной стороной данного метода, так и отрицательной.
61
Второй метод — метод покоординатного спуска — отличает простота реализации,
несмотря на которую он почти всегда уверенно находит глобальный минимум. Однако
вследствие того, что метод реализует спуск по поверхности только поочередно вдоль
каждой из осей, существуют случаи, когда метод останавливается в точке, находящейся
рядом с глобальным минимумом, но не соответствующей ему.
Третий метод — метод наискорейшего (градиентного) спуска — отличает гарантированная сходимость к локальному минимуму, выбор которого зависит от начальной точки, которая выбирается при запуске алгоритма [5].
6. Постоение контура текучести. Предлагается следующая последовательность
действий для построения контура на основе рассмотренных методов: сначала проводятся эксперименты, результаты которых в виде набора точек в пространстве напряжений
передаются для обработки по первому методу — методу построения контура текучести
вручную. Результатом работы первого метода является контур текучести, близкий к
искомому, который и передаётся для обработки по второму методу — методу подбора
коэффициентов по одному, который использует его в качестве начальной точки в своём
алгоритме и уточняет его. Полученный контур, наконец, передаётся для обработки по
третьему методу — методу наискорейшего спуска, который приводит к искомому глобальному минимуму целевой функции Е.
Указанным способом, с использованием разработанной программы, по экспериментальным данным, приведенным в диссертации Пачулий В. Ш. [4], построены контуры
текучести для сплавов Цирколой-1 и Цирколой-2. На рис. 6 и 7 приведены контуры
текучести для Цирколой-1 и Цирколой-2. На обоих рисунках цифрой 1 отмечены контуры текучести, определяемые равенством (4), учитывающем ортотропию, эффект SD
и начальные напряжения, а цифрой 2 — контуры Хилла, определяемые равенством (2).
Учет ортотропии, эффекта SD и начальных напряжений позволил точнее построить
контур и уменьшить значение целевой функции в 8 раз для сплава Цирколой-1 и в 50
раз — для сплава Цирколой-2.
Рис. 6. Контуры текучести для Цирколой-1.
62
Рис. 7. Контуры текучести для Цирколой-2.
Литература
1. Бэкофен В. Процессы деформации. М.: Металлургия, 1977.
2. Унксов Е. П., Овчинников А. Г. Теория пластических деформаций металлов. М.: Машиностроение, 1983.
3. Рыбакина О. Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом
SD. Исследования по упругости и пластичности // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. № 14. С. 132–
142.
4. Пачулий В. Ш. Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук «Некоторые осисимметричные
задачи теории идеальной пластичности анизотропного материала». Тула, 1983.
5. Ефимов И. В., Павилайнен Г. В. Выбор критерия текучести текстурированных сплавов
// В документах международной научной конференции «Нелинейная механика на рубеже
тысячелетия», посященная столетию со дня рождения Н. А. Ляпунова. СПб.
6. Бахвалов Н. С. Численные методы. 2-е изд. М.: Наука, 1975.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.
63
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
1 510 Кб
Теги
контур, математические, материалы, текучесть, модель, анизотропные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа