close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Многомерная задача Дирихле для одного класса сингулярных гиперболических уравнений.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
18
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
УДК 517.956
МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
СИНГУЛЯРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
MULTIDIMENSIONAL DIRICHLET'S PROBLEM FOR ONE CLASS
SINGULAR HYPERBOLIC EQUALIZATIONS
С.А. Алдашев
S.A. Aldashev
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Казахстан.
Kazakh National Pedagogical University named after Abai, Almaty, Kazakhstan.
E-mail: Aldash51@mail.ru
Аннотация. На плоскости было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики - изучение колеблющейся струны некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области.
Как показано далее, задачи Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений.
В работах автора изучена задача Дирихле для линейных многомерных гиперболических уравнений,
где показаны корректность этой задачи, существенно зависящая от высоты рассматриваемой цилиндрической области.
В данной статье для одного класса сингулярных гиперболических уравнений доказано разрешимость
и получен явный вид многомерной задачи Дирихле.
Resume. It has been shown in a plane that one of fundamental problems of Math Physics, i.e. studying the
behavior of a hesitating string, is not correct when boundary conditions are given on the whole boundary of the domain. As it is shown below, Dirichlet problem is incorrect not just for a wave equation but for general hyperbolic
equations.
In works of author the Dirichlet's problem is studied for linear multidimensional hyperbolic equalizations,
where shown correctness of this task, substantially depending on the height of the examined cylindrical area.
In this article for one class of singular hyperbolic equalizations solvability is well-proven and the obvious type
of the multidimensional Dirichlet's problem is got.
Ключевые слова: многомерная задача Дирихле, сингулярные гиперболические уравнения, разрешимость, система уравнений.
Key words: multidimensional Dirichlet's problem, singular hyperbolic equalizations, solvability, system of
equalizations.
1. Постановка задачи и результат
Пусть D - конечная область евклидова пространства Em1 точек x1 ,..., xm , t  в полупространстве
t  0,
ограниченная
конической
 (r )  C (( ,1))  C  ,1 , |  r  | 1
x  x1 ,..., xm  , m  2 , 0    1 .
3
1
поверхностью T : t   (r ) ,
и гиперплоскостью
 ( )   (1)  0 ,
t  0 , где r | x | - длина вектора
Пусть далее S - множество t  0,   r  1 точек из Em .
В области D рассмотрим многомерное сингулярное гиперболическое уравнение
m
Lu   x u  utt   ai ( x, t )u xi  b( x, t )ut 
i 1

ut  c( x, t )u  0 ,
t
 x - оператор Лапласа по переменным x1 ,..., xm , а  - действительное число.
Через u обозначим решение уравнения (1) при данном  .
где
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (1).
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
19
Задача D. Найти в области D решение уравнения (1) , удовлетворяющее краевым условиям
ua
s
  x  , u Т   x  при   1 ,
(2)
u Т   x  при   1 ,
(3)

u
  ( x) ,
ln t S 

  ( x) , u Т   x  при   1.
S
Отметим, что эта задача при   0 изучена в [1-3] .
t  1u
(4)
x1 ,..., xm
В дальнейшем нам понадобится связь декартовых координат
со сферическими
r,1 ,..., m1 , t , 0  1  2 , 0   i   , i  2,..., m  1 .
Пусть
Y
k
n,m
( )- система линейно независимых сферических функций порядка n,1  k  k n ,
m  2!n!k n  n  m  3!2n  m  2,   (1 ,..., m1 ) , W2l S  , l  0,1,... пространства Соболева.
Лемма 1 ([4.c.147]). Пусть
f r, W2l S  . Если l  m  1 , то ряд

kn
f r ,    f nk r Ynk,m   ,
(5)
n 0 k 1
сходится абсолютно и равномерно.
Лемма 2 [4.c.150]. Для того, чтобы f r ,  W2l S  , необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (5) удовлетворяли неравенствам
f 01 r   C1 ,

kn
 n
n 1 k 1
Через
2l
2
f nk (r )  C 2 , C1 , C2  const .
 r  ,  r  , a~ink r, t  , aink r, t  , bnk r , t  , cnk r , t  ,  nk
k
n
k
n
ложения ряда (5) соответственно функций  r ,   ,  r ,   ,
обозначим коэффициенты раз-
ai r, , t    , ai pi   ,
pi 
br , , t  , cr , , t  ,    , i  1,..., m .
xi
,
r
Введем множество функций
 kn
2
2

  exp 2n 2 n 2l < ,
M sl ( S )   f (r , ) : f  W2l ( S  ),   f nk r  s
 f nk r  s  2
C  ,1
C  ,1 

n 0 k 1


l>

3m

, s  0,1,... .
2

Через
H
обозначим проекцию области
D
на плоскость r, t  .
Пусть p  0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам   2 p  m  1 , если
 0
  2 ; q  0 - наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам 2    2q  m  1 , если 0 <   1 и   2q  m  1, если 1   < 2 ; а также s , такое,
 
 
что s    если   0 и s    1 , если   2 , где   -целая часть числа  .
 2
2 
l
Если ai r , , t , br , , t , cr , , t  W2 D  , i  1,2,..., m , l  m  1 , то имеет место
и 2    2 p  m  1 , если
Теорема. Пусть
 r,   M l S ,
 r ,   M sl 1 S  , при
 r ,  M ql 1 S  при 0 <   1 и 1   < 2 , 
в классе
 0
и
  2;
 r ,  ,
 maxs  1, p. Тогда задача D имеет решение

W2l D   C 2 De , при  < 1 и W2l D   C 2 D   D \ S
 при   1 , l  m -1.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
20
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
2. Доказательство теоремы
В сферических координатах
Lu  u rr 
1
  
g j sin
j 1
уравнение (1) имеет вид
m
m 1
1

u r  2 u  utt   ai (r , , t )u xi  b(r , , t )ut  ut  c(r , , t )u  0 ,
r
t
r
i 1
m 1
где
r, 1 ,..., m1 , t
m  j 1


(sin m j 1  j
),
 j
 j  j
g1  1 ,
При этом известно ([4]), что спектр оператора
n  nn  m  2 ,
ственных чисел
Так как

(6)
g j  sin 1 ...sin  j 1  , j > 1 .
2
состоит из собственных чисел
n  0,1,..., каждому из которых соответствует
Ynk,m   , k  1, k n .
kn
ортонормированных соб-
u  W2l D  , l  m  1 , то в силу леммы 1 она разложима в ряд

kn
u r , , t    uk ,n r , t Ynk,m   .
(7)
n 0 k 1
Подставим (7) и (6). Затем полученное выражение умножим на     0 и проинтегрируем
по единичной сфере
k
Г из Em . Тогда для u ,n получим ряд
 1
 m 1 1 m 1  1
 0   aio   u ,or  b01u1 ,ot  0 u1 ,ot  c10 u1 , 0 
t
i 1
 r

 01u1 ,orr   01u1 ,ott  
 k k

 m 1 k m k  k
k k
    n u ,nrr   n u ,ntt  
 n   ain u ,nr  bnk uk ,nt   nk uk ,nt 
t
n 1 k 1 
i 1
 r



k m
 cnk  n 2n  a~ink 1  naink uk ,n  0.
r i 1



kn


(8)

Здесь мы использовали тот факт, что ([4])
1
o ,m
Y
   const ,
x , причем
Q
xi
Qnk
 k
Yn ,m   
xi
xi
k
n
 npiYnk,m   , Qn x   r Yn,m   — гармоническая функция от
k
n
k
r 1
есть m - мерная сферическая функция
Ynk1,m   порядка n  1.
r 1
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
 01u1 ,orr   01u1 ,ott 
m 1 1 1

 0 u ,or   01u1 ,ot  0 ,
r
t
(9)

m 1 k k

1 u ,1r  1k uk ,1t  21 1k uk ,1 
r
t
r

 bo1u1 ,ot  c1o u1 ,o , n  1, k  1, k n ,

1k uk ,1rr  1k u1 ,1tt 
1 m
    aio1 u1 ,or
k1  i 1
 u
k k
n  , nrr
 u
k k
n  , ntt

m 1 k k

1

 n u ,nr   nk uk ,nt  2n  nk uk ,n  
r
t
kn
r
m
 k
 cn1   a~ink 2  n  1aink 1
i 1


(10)
m k k
k
k
 ain1u ,n1r  bn1u ,n1t 

k 1  i 1
k n 1
 k 
u ,n 1 , k  1, k n , n  2,3,... .



Нетрудно показать, что если
u , k  1, k
k
 ,n
n
(11)
, n  0,1,2,... —решение системы (9)—(11), то оно
является и решением уравнения (8).
Далее из краевых условий (2)-(4) для функций
uk ,n r , t  с учетом
леммы 1 будем иметь
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
u1 ,o r , o   o1 r  , u1 ,o r, r    o1 r  ,  < 1 ,
(12)
uk ,n r, o   nk r  , uk ,n r , r    nk r  , k  1, kn , n  1,2,... ,  < 1 ,
uk ,n
ln t
(13)
  nk r  , uk ,n r , r    nk r  , k  1, kn , n  0,1,2,... ,   1 ,
t 0
t  1uk ,n
t 0
(14)
  nk r  , u ,n r , r    n r  , k  1, k n , n  0,1,2,... ,  > 1 .
k
21
k
Таким образом, задача D сведена к системе задач Дирихле в области
H
(15)
для уравнений (9)-
(11).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде
L uk ,n  uk ,nrr  uk ,ntt 

m 1 k

u ,nr  uk ,nt  2n uk ,n  f k,n r , t  ,
r
t
r
k  1, k n , n  0,1,...,
(16)
fk,n r , t  определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f1,0 r , t   0 .
где
Теперь приведем некоторые свойства оператора
L , которые необходимы для исследования за-
дачи Дирихле.
1.
Если u - решение уравнения
L u  0 , то функция
u2  t  1u
является решением уравнения
2. Оператор
(17)
L2 u  0 .
L - обладает свойством

L u  t 1 L2 t  1u
.
(18)
Указанные свойства устанавливаются аналогично тому, как они были доказаны для уравнения
Эйлера-Дарбу-Пуассона ([5])
 x u  utt 
Наряду с уравнением (16) рассмотрим уравнение
L0 u0k,n  u0k,nrr  u0k,ntt 

t
ut  0 .

m 1 k
u0,nr  2n u0k,n  f 0k,n r , t  ,
r
r
(19)
k  1, k n , n  0,1,...
(20)
Имеет место следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16) и (20).
Утверждение 1. Если
щее условию
u02,,nk r , t  ,-решение задачи Коши для уравнения (20), удовлетворяю-
u02,,nk r ,0  0 ,  u02,,nk r ,0  g r  ,
t
то функция

1
u2,,kn r , t     t   u02,,nk r , t  1   2
при
 <0


 1
2
d    Г (
0

2

) Dot22 u02,,nk r , t 
(21)
будет решением уравнение (16), удовлетворяющее условию
Если же
u2,,kn r ,0  0 , lim t   u2,,kn  g r  .
t 0
0 <  < 1, то функция
 1  2 q 1 1, k
u 0, n r , t  1   2
t

0

1, k

1  u
r , t  

 2   2 q 2 q 1 Г (q   1) Dot2 2  0, n


2
t


1  
u2,,kn r , t    2  k  2 q 

 t t 
(22)
t
q


q

2

d  

(23)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
22
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
является решением уравнение (16) с начальными данными (22), где

Г z  -Гамма-функция, Dot -оператор Римана – Лиувилля, а
начальным условием
 
  1
 Г     2 Г 
,
2
 2 
u01,,kn r , t  - решение уравнения (20) с
g r 
 1,k
,
.
1   3   ...2q  1    t u0,n r,0  0
fk,n r , t  и f 0k,n r , t  связаны по формуле (21), при  < 0 , и по формуле
u01,,kn r ,0 
При этом функции
(23) при 0 <  < 1.
Справедливость утверждения устанавливается аналогичным образом, как это доказано для
уравнений (19) и многомерного волнового уравнения в [6,7].
Теперь переходим к решению задачи Дирихле для уравнения (16).
1) Случай  < 1 . Сначала решим задачу (9), (12). Ее решение будем искать в виде
u1 ,0  u1,1,0  u2,,10 , где u1,1,0 r , t  - решение задачи Коши для уравнения (9) с данными
u1,1,0 r ,0   01 r  ,  u1,1,0 r ,0  0 ,
(24)
t
u2,,10 r , t  - решение задачи Дирихле для уравнения (9) с условием
а
u2,,10 r , t   0 , u2,,10 r , r    01 r   u1,1,0 r , r ,  < r < 1.
Пусть
u  ,1 x, t  - решение задачи Коши для (19) с данными
u  ,1 x,0   x  ,
Тогда и силу леммы 1 и
1,1
 ,0
u
(25)
r, t  в виде (7).

u ,1 x,0  0 .
t
u W2l D  , l  m  1
нетрудно найти решение задачи (19), (24)
Учитывая формулы (21), (23) а также обратимость оператора
дится к задаче Дирихле для уравнения
Она однозначно разрешима в классе
L0u02,,01  0
 
с условием
C H   C H   3 .
Dot
([5]) задача (19),(25) сво-
u02,,01 r ,0  0, u02,,01 r , r   
Далее, решив задачу (10), (13) (n  1) , а затем (11), (13) n  2,3,... , найдем все
1
0
r  .
uk ,n r , t   0 ,
k  1, k n , n  0,1,... .
2) Случай   1 . Сначала решим задачу (9), (14), при n  0 , k  1 и ее решение будем ис1
1,1
2,1
2,1
u 2,1
кать в виде u1,0  u1, 0  u1, 0 , где u1, 0 r , t  - решение уравнения (9) с данными lim 1, 0   11, 0 r  , а
1,1
1, 0
u
r, t  - решение краевой задачи для (9) с условием
1,1
1
2,1

u r ,0  0 , u1,0 r , r    0 r   u1,0 r , r  ,  < r < 1 .
t
ln t
1,1
1, 0
Пусть u 1,2 x, t  - решение уравнения (19) с данными lim
t 0
леммы 1 и u W2l D  ,
Аналогично случаю
данными
t 0
u1, 2
ln t
(26)
  x  из [8]. Тогда в силу
2,1
l  m  1 , нетрудно найти u1,0 r , t  в виде (7).
 < 1 задача (9), (26) сводится к краевой задаче для уравнения L0u01,,10  0
1,1
 1,1
u 0, 0 r.0  0 , u0,0 r , r   
t
образом, как и задача (7), (8) в [2].
1
0
с
r  , которая в свою очередь решается единственным
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
23
Аналогично решаются задачи (10), (14) (n  1) и (11), (14) (n  2,3,...) . Следовательно,
найдены все
u1k,n r , t  , k  1, k n , n  0,1,... .
В силу свойства (18) оператора
к исследованному случаю  < 1 .
Таким образом, показано, что
L , а
также с учетом формулы (17) задача (16), (15) сводится
   LudГ  0 .
(27)
Г
Пусть f r, , t   Rr   T t  , причем Rr  -плотна в L2 t   ,1  t  ,


в L2  Г  , а T(t)- плотна в L2 0, (1   ) / 2 . Тогда f ( , , t ) -плотна в
Отсюда и из (27) следует, что
 f r, , t LudD
 0 и Lu  0 ,
   C  Г  - плотна
L2 ( D ) .
r, , t  D .
D
Учитывая лемму 2, ограничения на заданные функции  r ,  ,  r ,  и на коэффициенты
уравнения (1) можно показать аналогично тому, как это было доказано в [2], что полученное решение u r , , t  задачи D в виде (7) принадлежит искомому классу.
Список литературы
References
1. Aldashеv S.A. 1995. On the correctness of Dirichlet problem for multimeasural wave equation and equation of Lavrentiv- Bitsadze. Reports of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan, No1 :35-37.
2. Алдашев С.А. 1996. О корректности задач Дирихле для многомерных волнового уравнения и
уравнения Лаврентьева- Бицадзе. Укр. Мат. журн. , 48( 5) : 701-705.
Aldashev S.A. 1996. Oh Dirichlet correctness task mnogomernıx volnovogo equation and the equation Lavrenteva- Bïcadze. Ukrainian . Matt . Zh ., 48 (5): 701-705. (in Russ).
3. Алдашев С.А.2014. Кооректность задач Дирихле и Пуанкаре в многомерной области для волнового уравнения. Укр. Мат. Журн., 6(10): 1414-1419.
Aldashev S.A. 2014. Correctness of Dirichlet and Poincare problems in a multidimensional area for wave
equalization. Ukrainian math journal., 6(10) : 1414-1419. (in Russ).
4. Михлин С.Г. 1962. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнение. М., Физматгиз, 254.
Mikhlin S.G. 1962. Multidimensijnal singular integrals and integral equations. M.: Physmathgiz., 254 (in
Russ).
5. Weinstein A. 1954. On the wave equation and the equation of Euler- Poisson. The Fifth Symposium in
applied Math. MCGraw. Hill . New York : 137-147.
6. Терсенов С. А. 1973. Введение в теорию уравнений, выраждающихся на границе. Новосибирск:,
НГУ, 94 с.
Tersenov S.A. 1973. Introduction to the theory of equations confluent on the boundary, Novosibirsk , NGU,
94 (in Russ).
7. Алдашев С. А. 1994. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений.
Алматы, Гылым, 170.
Aldashev S.A. 1994. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations. Almaty, Gylym, 170 (in Russ).
8. Blum E.K. 1954. The Euler - Poisson - Darbux equation in the exceptional cases. Proc. Amer . Math Soc.,
5(4) : 511-520.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
4 333 Кб
Теги
уравнения, одного, класс, дирихле, задачи, гиперболическое, многомерная, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа