close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
DOI: 10.14529/mmp140207
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗОРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ЖИДКОСТИ ПОСРЕДСТВОМ РЕДУЦИРОВАННЫХ
УРАВНЕНИЙ
Ю.И. Сапронов
Знание динамических характеристик жидкости в гидроциклонах и диффузорах
имеет большое значение для задачи оптимизации технических характеристик проточных частей турбинных насосов, участвующих в перекачке нефти по магистральным
трубопроводам. Описание же динамических характеристик жидкости в этих устройствах можно получить на основе имеющихся аналитических выражений для решений
модельных уравнений гидродинамики или их упрощенных вариантов, используемых
в подобных задачах. Как показывает практика, получаемые из уравнения Навье Стокса редуцированные (упрощенные) уравнения гидродинамического типа позволяют достаточно точно моделировать течения жидкости в областях произвольных геометрических форм. В данной статье использован подход, связанный с функциональной
редукцией уравнения Гельмгольца, в случае плоского диффузорного течения, к краевой задаче для ОДУ Джеффри Гамеля (посредством подстановки Гамеля). При
конечных значениях числа Рейнольдса установлена возможность построения приближений к решениям редуцированного уравнения через нелинейную аппроксимацию Галеркина Ритца по одной из (вариационных) версий метода Ляпунова Шмидта.
Посредством такой аппроксимации можно сколь угодно точно определять поле скоростей частиц жидкости и, как следствие, извлекать информацию о таких свойствах
течения, как его диффузорность или конфузорность на отдельных участках. В статье приведены примеры графических изображений приближенно вычисленных эпюр
скоростей для течений, близких к n-модовым, n ? 5.
Ключевые слова: уравнение Навье Стокса; уравнение Гельмгольца, диффузорное течение; подстановка Гамеля; вариационный метод Ляпунова Шмидта; эпюра
скоростей.
1. Постановка задачи и комментарии к предмету исследования
Необходимость отыскания точных и приближенных (в том или ином смысле) аналитических выражений для решений модельных уравнений гидродинамики возникает при изучении
и создании многих технических устройств. Например, описание динамических характеристик жидкости в гидроциклонах и диффузорах имеет большое значение для задачи оптимизации технических характеристик проточных частей турбинных насосов, участвующих в
перекачке нефти по магистральным трубопроводам. Описание же динамических характеристик жидкости в этих устройствах можно получить на основе имеющихся аналитических
выражений для решений модельных уравнений гидродинамики, используемых в подобных
задачах, или их упрощенных вариантов.
Упрощенные варианты уравнения Навье Стокса используются при изучении диффузорных течений, начиная с основополагающих работ Джеффри [1] и Гамеля [2] (1915 и
1917 гг.). Сведения по математическому моделированию на этой основе течений в плоском
диффузоре можно найти в [36].
Цель статьи 1 заключена в демонстрации того, что задача о динамике жидкости в диффузорах (плоском, объемном и диффузоре-улитке) допускает применение нелокальной ре1 Работа
74
выполнена при поддержке ОАО ѕТурбонасосї.
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
?????????????? ?????????????
?????????? ????? ???????? ? ??????, ??????????? ??????? ????? ????? ?????? ?????
????????? ???? ????????? ?????? ???????? ? ???????? ???????????? ?????????????? ????.
??? ????? ??????? ??????????? ? ?????????????? ?????????? ? «???????????? ?????????»
???????, ?????????? ?? ?????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ??? ??????????
???????? ??????????? ? ???????? ??????? [7].
????? ????? ??????????????? ???????? ? ?????? ???????? ????????? ???????? ?????????????? ???????? ? ??????? ?????? ??? ??? (??????????? ??????????? ?????? ???
???????? ???????) ? ??????????? ?????????????? ???????? ?????? ??????????????? ??????????? ???. ??, ??? ????????, ????????????? ??????? ????? ????????????? ???????
?? ????????????? ??????????? ??????????? ? ???????? ??????????? ? ?????????? ????????????? ???????? ???????????? ?????? ???????? ????????????? ??????? ? ??????????.
? ??????? [3, 4] ???????????? ?????????? ?????????? ???????????? ??????? ??????????????? ????????? ?? ?????? ??????????? ?????? ?????? ?????????? ??????????. ? ????
?? ??????? ???? ??????????? ????????????? ?????????? ???????????? ??????? ? ?????????? ??????? ? ? ?????????? ?????? ????????????? ??????? ?????????????? ??????? ?
????????????? ????????.
??? ?????? ??????? ? ????? ?? ??????????????? ????????: ?????????????? ????????
? ??????? ?????? ??? ??? ? ???????????? ????????????? (?????? ???????) ? ???????? ?
?????????????? ??????????????? ????????? (?????? ???????) ? ????? ?????????? ????????????? ????????? ? ????? ?? ????? ???????? ? ??????.
????? ????????? ?????????????? ? ?????? ????????????? ???? ??????????????? ????????? ??????????? ??? ???????? ? ????????? ????????? ? ?????????-??????. ? ?????????
????????? ???? ????????? ????? ?????????, ??? ??????? ???????? ????????????? ???????????, ????????? ? ??????????? ???????????? ?????????.
2. ????????? ????????? ????? ? ?????? ? ???????????
????????? ? ?????????? ????????? ????? ? ?????? [5]
v? +
2
?v
v = ??(v) ? grad (p).
?x
(1)
2
?
?v
?
????? ? = ?x
2 + ?x2 ? ????????? ?????????, ?x ? ??????? ????? ??????? ???????? v =
1
2
v(x1 , x2 , t) ?? ??????????? ????? x = (x1 , x2 ) , p = p(x1 , x2 , t) ? ????????. ??????? ????
???????? ???????? v ????????? ???????? ?? ????????? ???????????? ??????? ? ? R2 ?
??????? ???????? ? «????????????» ???????? ?????????.
? ???????? ??????????? ???????????? ????????? ?????-?????? ????????? ?????????
??? (??. [5]):
)
e ? 22 ?v ? u2 ),
e ? v2 = ? ?p + (?u
(U · ?)u
r
?r
r ??
r
(2)
e + uv = ? 1 ?p + (?v
e + 22 ?u ? v2 ),
(U · ?)v
r
r ??
r ??
r
???
e =u
(U · ?)
v ?
?
+
,
?r r ??
2
2
e = ? +1 ? + 1 ? .
?
?r2 r ?r r2 ??2
? ?????????? ????? ? ?????? ??????????? ????????? ?????????????
?u u 1 ?v
+ +
= 0.
?r
r
r ??
2014, ??? 7, ? 2
75
?.?. ????????
? ???????????????, ?????????? ????????? (1), ???????????? ????????? ???????????
(??????????????? ???????????????? ?????????):
?v
?v
rot
v = [?, ?(?)].
= grad (??);
rot
?x
?x
?v1
?v2
? ?x
, ?(x1 , x2 , t) ? ??? ?????????? ???????? ???????, [?, ?] ? ???????
????? rot (v) := ?x
1
2
??????? ?, ? .
??????? ????????????? div(v) = 0 ??? ????????? ???????? ? ??????????? ???????
???????? ? ????, ??? ??????? ??????? ????????? ????????? ???:
v := sgrad(?) =
?? ??
,
?
?x2 ?x1
?
.
??? ??????? ? ??????????? ??????????? ?????????? ?????????? ???????
(n, sgrad (?)) = 0,
(3)
??
n ? ???? ???????? ? ??????? ???????.
????? u := rot(v) = ?(?), ? u? = rot(v?) = ?(??). ???????? ????????? ????? ? ????? ?
?????? ?????? ????????? (1), ??????? ????????? ??????????? ([5], ???. 406)
?(??) = [?(?), ?] + ? ?2 (?).
(4)
3. ??????????? ?????? ? ???????? ? ???
?????? ????????????? ????????
[?(?), ?] + ? ?2 (?) = 0
(5)
????????? ??????????? (4) ????? ???????????, ????????? ??????????? ??????? ? ???????
?????? ??? ??? ([5], ?. 450 ? 484). ???????? ????????? ????????? ???????? ???????????
??????, ?????????????? ??????????? ??????? ?????????????R ????????? ??????????? ??
?
????? ??????? ???? (??. [5], ?. 478) ? = Q q(?). ???? Q := 0 r u d? ? ????? ????????
????? ??????????? ???? ?????????? {0 ? ? ? ? , r = const} , ? ? ???????? ????????
???????????? ????.
????????? ???????????
?? ?
? 2 q ??
6 q ??
q ??
22q q
[?(?), ?] = ?Q
,
,
=
?(?) = Q 2 ,
r
r4
?r2 r2
r4
1 ?
r ?r
q ??
r2
2 q ??
=? 4 ,
r
1
r2
q ??
r2
??
=
q ????
r4
??????? (????? ??????????? ??????) ?????? (5) ????????? ???:
q ???? + 4 q ?? + 2R q ?? q ? = 0 ,
(6)
??? R = Q
? ? ????? ??????????.
? ?????? ???????? ????????? ????????? (6) ??????????? ???????? ????????? (??. (3))
q(0) = 0 ,
76
??????? ?????. ?????
q(?) = 1 ,
q ? (0) = q ? (?) = 0.
?????????????? ????????????? ? ?????????????????
?
?????????????? ?????????????
??????? q(?) = 1 ???????? ?? ????, ???
R?
q ? d? =
0
1
Q
R?
r u d? = 1 ? (?????????????) ?????
0
????? ??????? ????????? ??????????? r = const (??. [3, 4]).
????? ??????????????? ?????????????? ??????? ?????????? ? ?? ?? ??????? ??????? ??????
e q ?? q ? = 0,
q ???? + ? q ?? + 2R
(7)
q(0) = 0,
q(1) = 1,
q ? (0) = q ? (1) = 0,
(8)
e = ? ?1 R.
R
??? ? = 4? ?2 ,
????????? 1. ???????? ??????????, ??? ??????? ?????? (7) ? (8) ???????? ????????????:
????? ????? ????????? (7) ???????? ?????????? ???????????
V =
Z
1
L(q ?? , q ? ) d?,
L(q ?? , q ? ) =
0
? 3
(q ?? )2
(q ? )2
e (q ) .
??
+R
2
2
3
(9)
????? ???????, ??????? ????????? (7) ???????? ???????????? ??????????? (9) (??? ??????? (8)). ?????????????, ?????????? ??????? ????????? (7) ????? ???????????? ?? ??????
????????? ? ??????????? ?????? ????????????? ?????? ???????? ? ??????.
????????? 2. ? ??????? [3, 4] ???????????? ?????????? ?????????? ???????????? ??????? ????????? (7) ?? ?????? ??????????? ?????? ?????? ?????????? ??????????. ? ???? ??
??????? ???? ??????????? ????????????? ?????????? ???????????? ??????? ? ??????????
??????? ????????? (7) ? ? ?????????? ?????? ????????????? ??????? ?????????????? ??????? ? ????????????? ????????. ????? ??????????? ??????? ?????????? ???????????????
????????? (7). ????????????? ??????? ????? ????????????? ??????? ?? ????????????? ??????????? ??????????? ? ???????????? ?????????? ????????????? ???????? (10?4 ? 10?6 )
???????????? ?????? ???????? ????????????? ??????? ? ??????????. ????????? ????????
? ??????????? ?????????? ??????? ? 10?8 ? 10?10 ? ????.
????? ?????????? ?????????????? ????????? (7) ? ?????? q ? = u ??????? ???????
??????
e u2 = c ,
u?? + ? u + R
c ? const
(10)
(????????? ??????? ? ??????),
(11)
u(0) = u(1) = 0
??? ?????????????? ???????????? ???????????
Z
1
(12)
u d? = 1 .
0
????? ????? ????????? (10) ???????? ?????????? ??????????? ????????
V :=
Z
0
1
1
2
? 2
(u ) ? ? u
2
1
+ u3
3
d?
(13)
??? ??????? ???????? (11). ?????????? (13) ?????? ????????????? (??. [7]) ?? ????????????
???????????? H 1 [0, 1], ????????? ?? ????????? ??????????? ???????, ???????????????
??????? (11) ? ??????? ??????????? ?????? L2 [0, 1]. ????????? ???????????? ? H 1 [0, 1]
R1
???????? ???????????? hu, vi1 = u? v ? d?.
0
2014, ??? 7, ? 2
77
?.?. ????????
?????????????? (?????????) ????????? (10) ???????? ? ?????????? ?????????????
??????????? (? ????? ??????????? c, d):
e
R
1
(u? )2 + ? u2 + u3 ? cu = d ,
2
3
(14)
2
3
e
3
+R
c u = de, ??? ? = ?e , e
c = c + ?e , de = d ? ?e 2 .
3 (u + ?) ? e
2R
4R
24R
????????? ???????? ?????????? ???????? ? ????????? ??????? (???. 1) ? ???????????? ?????? (???. 2), ?????? ?? ??????? (?? ??????? ???????? ???. 2) ?????????? ????????
e c ????? ???????? ????? ?????? ? ?? ???????????? (????? ???????? ??????? ?????????? ?, R,
Re 3
1
2
2
??? 2 v + ? u + 3 u ? cu).
???
1 ? 2
2 (u )
???. 1. ?????? ???????, ?????? ????? ????? ????????????? ??????????? (14)
-4,0
-4,0
-4,0
-3,2
-3,2
-3,2
-2,4
-2,4
v
u
-0,8
-3
-2
-1
0
v
-1,6
u
-4
-2,4
v
-1,6
1
2
3
-4
-3
-2
-1,6
u
-0,8
-1
0
1
2
3
-4
-3
-2
-0,8
-1
0
1
0,0
0,0
0,0
0,8
0,8
0,8
1,6
1,6
1,6
2,4
2,4
2,4
3,2
3,2
3,2
4,0
4,0
4,0
2
3
???. 2. ???????????? ?????? ????????? (10) ??? ????????? ????????? ???????-
??? (14)
e c, d, ????? ???????? ??????????? ???????????? ???«????????» ??????????? ?, R,
??????????? ???? ???????????? ?????? ? ?? ???????????? ???????????? ??????? ????????? u, v (v := u? ) ?? ??????? ?????????. ???????????? ??????????? ????????????? ??????? ?????? u = 0, ????? ???????? ????????????? ? ??? ?????????? ???????????? ??????,
??????? ???? ??????? ??????? ?????? (10) ? (11). ???????????? ????????????? ??????? ??? ???? ?????????? ????? ????????, ???????? ??????????? ?????????????? ??????
(????????, ??????, ?????????????? ? [3, 4, 7, 15]).
??-????????, ??????????? ?????? ????? ????????? ??? ???????? ?????? ????????????????? ???????, ????????, ????????????? ? [8?10].
78
??????? ?????. ?????
?????????????? ????????????? ? ?????????????????
?
?????????????? ?????????????
4. ?????? ???????? ???????? ????? ??????????
e=0:
?????????? ?????? (10) ? (11) ??? R
??
u + ?u = c,
u(0) = u(1) = 0 ,
Z
1
u d? = 1 .
(15)
0
??????? ?????? (15) ???????? ???????????? ??????? ????????????? ???????????
Z
0
?? ??????????????
1
1
(u? )2 ? ? u2 d?
2
1
M = {u ? H [0, 1] :
Z
(16)
1
(17)
u d? = 1}
0
? ?????? E = F = H = H 1 [0, 1] (??. [7]).
??????? 1. ???????????? ??????????? ??????? ??????????? (16) ?? ?????????????? (17)
???? ??????????? ????????? ????? ???????? (??? ??????????????? ????????? ????????? ?):
?k
sin(? k ?) ,
? = ?0,k := (? k)2 ;
(S0 )
s0,k =
2
s?,k = a(?) ?? (?), ?? (?) := sin(? + (? k ? 2?)?) ? sin(?) ,
(S? )
? = ??,k := (? k ? 2?)2 ;
k = 2m ? 1,
m = 1, 2, . . . ,
a(?) ? ????????, ???????? ? ???????? ???????? ??????? ?? (?);
s?,2m =
=
1
(sin(2? m ? ? ?) + sin(?)) =
sin(?)
1
(cos(?) sin(2? m ?) + sin(?)(1 ? cos(2? m ?))),
sin(?)
? = ??,2m := (2? m)2 ,
f0,j = 1 ? cos(2 j ? ?) ,
f?,j = b(?) ?? (?),
m = 1, 2, . . . ,
(SC ? )
m = 1, 2, . . . ;
? = µ0,j := (2 j ?)2 ;
?? (?) = cos(? + 2(j? ? ?)?) ? cos(?) ,
? = µ?,j := 4 (j ? ? ?)2 ,
(C0 )
(C? )
j = 1, 2, . . . ;
b(?) ? ????????, ???????? ? ???????? ???????? ??????? ?? (?).
?????????????? ?????????? ?? ?????? ????? ??????? ??????? ????????? ????????????? ????????? (15) ? ??????????? ???????? ????????, ??????????????? ??????? ?
???????? ???????????? ? (15).
5. ?????? ????????? ???????? ????? ??????????
??? ????? ????????? ????? ?????????? ?????????? ?????????? (13), ????????? ??
?????????????? (17), ????? ????????? ??? ????? ???????????, ????????? ?? ????? ??????????, ? ??????????? ?????? ??????????, ?????????? ?? ???????????????? ??????????
??????? ? ??????? ???????. ??? «????????» ????????? ????? ?????????? ????????? ????????????? ?????????? ????? ?????? ??????? ??????????? ??????? [11], ????????, ?????????? ??????????? ?????? ????????? ? ????? ?? ????? ???????? ? ??????.
2014, ??? 7, ? 2
79
?.?. ????????
??????????? ??????????? ????????????? ???????? ? ??????? ?????? (10) ? (11) ??????? ??????? ?? ?????????? ???????: ?????? ????? ????????? x = ?(x?x2 +x = 1) ????????
????????? ???????????? [?2, 2] ?? [?2, 2] ??? ?????????? ????? ????????? ?????????
?). ?????????? ???????? ?????? ??? ??????????? x ?? ?(x?x2 + 1) ???????? ? ?????????
????????.
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,5
K
2
K
0
1
1
K
2
2
x
K
K
2
x
0,5
2
2
1
1
K1
1
K
0,5
K2
0
1
0
1
x
K2
2
K1
0
1
2
x
K1
K1
???. 3. ??????? ??????? f (x) = x ? ?(x ? x2 + 1) ??? ? = 0, 8, 0, 3, 0, 1, 0, 05
??????????? ?????? ??????????? ????? ????? ? ? ?????? ?????? ???????????? ?????????
x = B(g(x, x) + Cx + c), x ? F
(18)
? ????????? ???????????? F , ???? ????? kBkF ?????????? ????. ????? g(x,x) ? ???????????
???????????? ???????? F ?? F , B, C ? ???????? ??????????? ????????? F ?? F , c ? F .
???????? ??????????? ????????? K(x) := B(g(x, x) + Cx + c) ????????? ???????????
???????????? ??????? ????????? (18) ??????????? ??????????? ???????? xn = K(xn?1 )
[11].
??? ????????????? ??????????? ???????? ????????-?????? ? ??????? ?????? (10) ?
(11) ??????? ?? ? ???? ???????????? ?????????
f (w) := Aw ? ? w + g(w, w) + c = 0,
w ? E,
(19)
e w2 , c ? const. ?????? E = C 2 [0, 1] ? {w(0) = w(1) = 0}, A = ?d2 /d?2 , g(w, w) := R
????? f ????????? ?? E ? F = C[0, 1]. ???????? ???????? A ???????? ????????????? ?
???????????????:
?
?
X
X
(?k)2 ?k ek ,
(20)
?k ek 7?
k=1
80
??????? ?????. ?????
k=1
?????????????? ????????????? ? ?????????????????
?
?????????????? ?????????????
?
ek = ?k2 sin(?k?) ? ??????????? ??????? ????????? A, ?????????? ???????????? ???????? (?k)2 . ???????, ??? ??????????? ??????? ek ???????? ????????????????? ??????? ?
H 1 [0, 1].
????????? ????????? (19) ? ????
w ? A?1 (g(w, w) + ? w ? c), w ? H 1 [0, 1].
(21)
????????? ????????? ?????????????? ?????????? ???????????? ? ????? ??????????????,
???????? ????????? (21) ? ??????? ???? ?????????
u ? A?1
1 (g1 (w, w)) + ? u ? a) = 0,
(22)
v ? A?1
= 0,
2 (g2 (w, w)) + ? v ? b)
n
P
??? A1 := AN , A2 := AN ? ?E , N := Lin(e1 , . . . , en ), w = u + v, u =
?k ek , v =
?
P
k=n+1
?k ek , a =
n
P
k=1
?k ek , b =
?
P
k=1
?k ek , ?k = hc, ek i1 . ?????? ????????? ??????? (22)
k=n+1
?????????? ? ???????????? ??????? N ? ? H 1 [0, 1]. ?? ???????????? ??????? ???????? A
(??. (20)) ????????, ??? ??? ?????????? ??????? ???????????? ???????? n ????? ?????????
?1
?
1
?
1
A?1
2 : N ? H ?? N ? H ?????????? ?????, ? ??????? ???????? K(v) := A2 (g2 (u + v, u +
v) + ? v ? b) ????????? ????????? ??? kvkH 1 ? L (? N ? ? H 1 ) ? ????, ??????? ??? ????
?????????. ?? ???? ?? ??????????? ? ???????? ??????? ?????????. ??? ????????, ???
??????? ??????? ????????? ??????? (22) ????? ???????? ? ????????????? ?????
(23)
v = ?(u),
? ????? ??????? ???????? ?????????, ??????????? ???????? vn = K(vn?1 ). ????????? ????????? (23) ? ?????? ????????? ??????? (22), ??????? ??? ?????????? ???????? ?????????
? (u) := f1 (u + ?(u)) = 0
(24)
?? ????????????? ???????????? N . ??? ????????????? ? ?????????????? ???????? ?????????
????????? ? ??? ??????? ??????????? ???????? ?????????? ? ??? ????????? [7]. ?????
????? ????????? ????????? ? ????????? ????????? ?????????????? ????????
w = u + ?(u).
????????? (24) ???????? ????????????? ? ??????????? (???????? ????????)
W (u) := V (u + ?(u)),
u ? N.
????? ? ?????? ??????????? ??????????? V ????? ???????????? ??????????? ????????
??????????? ???????? ??????? W . ?????????? ??????? W ? ?????? ?? ??????????? ?????
????? ???????????? ?? ???????????, ?????????? ? [7, 11?15].
?????????????? ???? ???????????? ????? ?????????????? ????? ??????? ? ?????? ???
??????? ?????? (10) ? (11), ??? ??????? ??????????? ??????????? (12).
6. ??????? ?????????????? ?????????? ?????????
??????????? ?????? ??????? ?????? ??????????? K ? ??? ????????? ??????? ?????
????? ??????? ???????, ?? ??????? ??????????? ????????????? ???????? ????????? w =
K(w).
2014, ??? 7, ? 2
81
?.?. ????????
?????????????? ???????, ??? ????? ????? ????????? ???????????:
kwkF ? kwk1
?w ? H 1 ,
kA?1
2 (v)k1 ?
? 2 (n
1
kvk1
+ 1)2
?v ? N ? ? H 1
(25)
(??. (20)). ?????????????,
s
kg(w.w)k1 = 2
Z
1
0
(ww? )2 d? ? 2kwkF kwk1 ? 2 kwk21 .
(26)
????? w ? TL = {w ? H 1 [0, 1] : kwk1 ? L}. ?? ?????? (26) ????????
kK(v)k1 = kA?1
2 (?v + g2 (w.w) ? bk1 ?
? 2 (n
1
? L + 2 L2 + ? ,
2
+ 1)
(27)
??? ? = kbk1 . ?????????????, ???? kK(v)k1 ? L, ?? ???????? K ????????? ??? TL ? ????.
????????? ??????????? ??????????? ? ?????? ?????????? ??????????? (??. (27))
? 2 (n
???
1
? L + 2 L2 + ? ? L
2
+ 1)
L2 ? p L + q ? 0 ,
2
(28)
2
??
??? p = ? (n+1)
, q = ?2 . ??? ??????????? ???????? ??????????? ????????? K : TL ??
2
TL ????????? ? ?????? ????? ???????? ???????? K ? ???????????? ???? ????? v1 , v2 :
?(v2 ? v1 ) + R (u + v2 )2 ? (u + v1 )2
kK(v2 ) ? K(v1 )k1 = kA?1
2
?
? 2 (n
1
(? + 4L)kv2 ? v1 k1 .
+ 1)2
k1 ?
???????? ??, ??? ??? ??????????? ???????? ??????????? K ?????????? ??????????? ?????????? ???????
1
? := 2
(? + 4L) < 1,
(29)
? (n + 1)2
???, ??? ???? ? ????, ???????
? + 4L < ? 2 (n + 1)2 .
(30)
????? ???????, ??????????? ????????? ???????????:
??????? 2. ??? ?????????? ??????? (28), (30) ? ??? kuk1 ? L ???????? K(v) :=
2
1
A?1
2 (R(u + v) + ? v ? b) ????????? ??? TL = {v ? H [0, 1] : kvk1 ? L} ? ???? ? ???????? ????????? ???????????? TL ?? TL .
????????? 3. ????????? ? (??. (29)) ????????? ????????? ???????? ?????????? ???????? vm+1 (u) = K(vm (u)) ? ????????????? ??????????? ?(u):
kvm (u) ? ?(u)k1 ? ? m
82
??????? ?????. ?????
D
,
1??
D=
RL + ?
.
? 2 (n + 1)2
?????????????? ????????????? ? ?????????????????
?
?????????????? ?????????????
0,7
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
0,5
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0,1
0
0
0,5
1,0
1,5
0
0
0,5
1,0
1,5
0
0,7
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
0,5
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0,5
1,0
1,5
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
1,5
0
0
0,7
1,0
0,1
0
0
0,5
0,5
1,0
1,5
0
0,5
1,0
1,5
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1,0
1,5
0
0
0,5
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
1,5
???. 4. ????? ????????? ??? ???????, ??????? ? n-???????, n ? 5
7. ??????? ???? ????????? ???????????? ???????,
??????????????? ??????????? ??????????? ????????
???? ????????? ??????? ??????????? ??????????? ???? ????????? ?? ??????????
r = 1 ??? ???????, ??????? ? n-???????, n ? 5 (???. 4).
????????? 4. ????? ?? ??????????? ???? ????????? ????? ????????? ???????? ??????????????? ?? ?????? (2) (????????? ????? ? ?????? ? ???????? ???????????).
??????????
1. Je?ery, G.B. The Two-Dimensional Steady Notion of a Viskous Fluid/ G.B. Je?ery// Phil.
Mag. Ser.6. ? 1915. ? V.29, ?172. ? P. 455?465.
2. Hamel, G. Spiralfo?rmige Bewegungen za?her Flu?ssigkeiten / G. Hamel // Jahresber. Detsch.
Math. Ver. ? 1917. ? Bd 25. ? P. 34?60.
2014, ??? 7, ? 2
83
?.?. ????????
3. ????????, ?.?. ?????????? ????????? ????????????? ??????? ?????? ???????? ? ??????? ????????? / ?.?. ????????, ?.?. ???????? // ???????? ???. ???????? ????????
? ????. ? 2005. ? ?3. ? ?. 25?36.
4. ????????, ?.?. ?????????? ???????????? ??????? ?????? ???????? ? ??????? ????????? / ?.?. ????????, ?.?. ???????? // ?????????? ?????????? ? ????????. ? 2008.
? ?. 72, ???. 3. ? ?. 431?441.
5. ?????, ?.?. ????????????? ?????????????. ?. 2 / ?.?. ?????, ?.?. ??????, ?.?. ????.
? ?.: ?????????, 1963. ? 728 ?.
6. ??????, ?.?. ????????????? ??????. ?. VI. ????????????? / ?.?. ??????, ?.?. ??????. ? ?.: ?????, 1986. ? 736 ?.
7. ?????????, ?.?. ?????????? ??????????? ????????????? ????????????/ ?.?. ?????????, ?.?. ????????, ?.?. ????? // ??????????? ??????????. ???????????????
???????????. ? 2004. ? ?. 12. ? ?. 3?140.
8. ????????, ?.?. ????????????????? ?????????? ???????????? ???????????? ????????? ???? ???????? / ?.?. ???????? // ???????? ?? ????, ????? ??????????????. ?
1993. ? ?. 57, ?3. ? ?. 192?207.
9. ????????, ?.?. ? ?????? ???????? ??? ??????????? ??????????????? ????????? ?????????? / ?.?. ????????, ?.?. ????????? // ???????? ?????. ??????????. ? 2003. ? ?7.
? ?. 54?58.
10. ?????????, ?.?. ? ?????? ????????? ? ???????? / ?.?. ????????? // ???????? ?????.
??????????. ? 2007. ? ?3. ? ?. 22?28.
11. ??????????????, ?.?. ?????????????? ?????? ??????????? ??????? / ?.?. ??????????????, ?.?. ????????. ? ?.: ?????, 1975. ? 512 ?.
12. ????????, ?.?. ?????????? ?????????? ????????????? ? ???????????? ??????????
??????????? / ?.?. ????????, ?.?. ???????, ?.?. ???????? // ??????? ???????????? ???????????????? ????????????. ?????: ??????. ??????????. ? 2003. ? ???. 2. ?
?. 100?112.
13. ????????, ?.?. ?????????? ??????? ????????????? ???????? ? ??????????? ???????
??????? ????? ?? ??????? ????????? ???????? / ?.?. ???????? // ??????? ??????
??????????????? ?????????? ???. ? 2005. ? ???. 9. ? ?. 9?22.
14. ??????, ?.?. ?? ????? ????? ??????? ??????????? ???????? ????? ???????????? ??????? ????? / ?.?. ?????? // ??????? ???????? ????. ? 2008. ? ?. 418, ?4. ? ?. 295?299.
15. ???????, ?.?. ??????????? ?????????? ???????? ??????? ? ?????? ? ?????????????
???????? ???????????? ????????? / ?.?. ??????? // ??????? ???????????? ???????????????? ????????????. ?????: ??????. ??????????. ? 2011. ? ?1. ? ?. 181?186.
???? ???????? ????????, ?????? ??????-?????????????? ????, ?????????, ???????
?????????????? ??????????????, ??????????? ??????????????? ??????????? (?. ???????, ?????????? ?????????), yusapr@mail.ru.
?
????????? ? ???????? 3 ?????? 2014 ?.
84
??????? ?????. ?????
?????????????? ????????????? ? ?????????????????
?
?????????????? ?????????????
Bulletin of the South Ural State University.
Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",
2014, vol. 7, no. 2, pp. 74?86.
MSC 90C30, 90C90
DOI: 10.14529/mmp140207
Modelling Liquid Flows in Di?users by Reduced Equations
Yu.I. Sapronov, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, yusapr@mail.ru
To know the dynamic characteristics of liquid in hydrocyclones and di?users is
important for optimizing the technical parameters of the liquid ends of turbine pumps
on long-distance oil pipelines. It is possible to describe these characteristics by using the
available analytic expressions for the solutions to the model equations of hydrodynamics or
their simpli?ed versions used in these problems.
It is known that the simpli?ed systems of hydrodynamic type derived from the Navier
? Stokes equation allow us to model quite precisely liquid ?ows in regions of arbitrary
geometric shape. In this article we reduce the Helmholtz equation in the case of a ?at
di?user ?ow to a boundary value problem for the Je?rey ? Hamel ODE by means of the
Hamel substitution. At ?nite values of the Reynolds number we establish the possibility of
constructing approximate solutions to the reduced equation via nonlinear Ritz ? Galerkin
approximation using a variational version of the Lyapunov ? Schmidt method. With this
approximation, we can determine the liquid velocity ?eld to arbitrary precision. The article
includes examples of approximately computed velocity diagrams for the ?ows close to nmodal with n ? 5.
Keywords: Navier ? Stokes equations; Helmholtz equations; di?user current; Hamel
substitution; Lyapunov ? Schmidt variation method; velocity diagram.
References
1. Je?ery G.B. The Two-Dimensional Steady Notion of a Viskous ?uid. Phil. Mag. Ser. 6, 1915,
vol. 29, no. 172, pp. 455?465. DOI: 10.1080/14786440408635327
2. Hamel G. Spiralfo?rmige Bewegungen za?her Flu?ssigkeiten. Jahresber. Detsch. Math. Ver.,
1917, Bd 25, pp. 34?60.
3. Akulenko L.D., Kumakschev S.A. Bifurcation of a Main Steady-State Viscous Fluid
Flow in a Plane Divergent Channel. Fluid Dynamics, 2005, no. 3, pp. 359?368.
DOI: 10.1007/s10697-005-0076-6
4. Akulenko L.D., Kumakschev S.A. Bifurcation of Multimode Flows of a Viscous Fluid in
a Plane Diverging channel. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72,
issue 3, pp. 296?302. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2008.07.007
5. Kochin N.E., Kibel I.A., Rose N.V. Teoreticheskaya gidrodinamika. Ch. 2 [Theoretical
Hydrodynamics. Part 2]. Moscow, Fismatgiz, 1963. 736 p.
6. Landau L.D., Lifschic E.I. Teoreticheskaya ?zika. T. VI. Gidrodinamika [Theoretical Physics.
V. VI. Hydrodynamics]. Moscow, Nauka, 1986. 736 p.
7. Darinskii B.M., Sapronov Yu.I., Tsarev S.L. Bifurcations of Extremals of Fredholm
Functionals. Journal of Mathematical Sciences, 2007, vol. 145, no. 6, pp. 5311?5453.
DOI: 10.1007/s10958-007-0356-2
2014, ??? 7, ? 2
85
Ю.И. Сапронов
8. Sviridyuk G.A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev
Type. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1994, vol. 42, no. 3, pp. 601614.
DOI: 10.1070/IM1994v042n03ABEH001547
9. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. On the Verigin Problem for the Generalized Boussinesq
Filtration Equation. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2003, vol. 47, no. 7,
pp. 5559.
10. Zagrebina S.A. On the ShowalterSidorov Problem. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ.
Matematika), 2007, vol. 51, no. 3, pp. 1924. DOI: 10.3103/S1066369X07030036
11. Krasnoselskii M.A., Zabreiko P.P. Geometricheskie metody nelineinogo analiza [Geometric
Methods of Nonlinear Analysis]. Moscow, Nauka, 1975. 512 p.
12. Borzakov A.Yu., Lemeschko A.A., Sapronov Yu.I. [Nonlinear Approximation and
Visualization Rittsevskie Extremals Bifurcation]. Vestnik VGU. Seriya: Fizika. Matematika
[Proceedings of the Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics], 2003, issue 2,
pp. 100112. (in Russian)
13. Borzakov A.Yu. [Application of Methods of Finite-Dimensional Reduction to Global Analysis
of Boundary Value Problems for the Equation Dung]. Sbornik trudov matematicheskogo
fakul'teta VGU [Proceedings of the Math. Faculty of VSU], 2005, issue 9, pp. 922. (in
Russian)
14. Kostin D.V. Analysis Scheme for Bimodal Deections of a Weakly Inhomogeneous
Elastic Beam. Doklady Mathematics, 2008, vol. 77, issue 1, pp. 4650.
DOI: 10.1134/S1064562408010122
15. Kostina T.I. [Nonlocal Calculation of the Key Functions in the Problem of Periodic Solutions
of Variational Equations]. Vestnik VGU. Seriya: Fizika. Matematika [Proceedings of the
Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics], 2011, no. 1, pp. 181186. (in
Russian)
Received January 3, 2014
86
Вестник ЮУрГУ. Серия
?Математическое
моделирование и программирование?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 459 Кб
Теги
уравнения, моделирование, диффузорными, посредством, редуцированного, жидкости, течение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа