close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование напряженно-деформированного состояния камеры судоходного шлюза с помощью полиномов.

код для вставкиСкачать
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Список литературы
1. Пат. 2044828. Головная система питания судоходного шлюза / Кривошей В. А.
2. Кривошей В. А. Увеличение пропускной способности судоходных шлюзов с головной системой питания: автореф. дис. … д-ра техн. наук / В. А. Кривошей; С.-Петерб. гос. ун-т водных
коммуникаций. — М.: МГАВТ, 2000.
3. Гапеев А. М. Совершенствование эксплуатационных качеств судоходных шлюзов с головной системой питания: дис. … д-ра техн. наук / А. М. Гапеев. — СПб.: ИТЦ СПГУВК, 1998.
4. Рябов Г. Г. Обоснование целесообразности применения головной комбинированной системы наполнения камер судоходных шлюзов / Г. Г. Рябов // Тр. науч.-практ. конф. молодых науч.
сотр. СПГУВК, 1–7 июня 2005 г. — СПб.: ИПЦ СПГУВК, 2005. — Т. III: Водные пути, гидротехнические сооружения, портовая техника, электромеханика, судостроение и судоремонт. — 311 с.
5. Рябов Г. Г. О гидравлическом расчете головной комбинированной системы наполнения судоходного шлюза / Г. Г. Рябов // Материалы Междунар. науч.-практ. конф., посвященной 100-летию
гидротехнической лаборатории им. проф. В. Е. Тимонова. — СПб.: ИПЦ СПГУВК, 2008.
6. Рябов Г. Г. Гидравлические исследования головной системы наполнения камеры судоходного шлюза с дополнительной подачей воды поверх опускных ворот / Г. Г. Рябов // Речной транспорт. — М., 2011.
7. Чепуренко В. Г. Вычисление погрешностей измерений / В. Г. Чепуренко, В. Г. Нижник,
Н. И. Соколова. — Киев: Издат. объединение «Вища школа», 1978. — 40 с.
8. Киселев П. Г. Справочник по гидравлическим расчетам / П. Г. Киселев. — М.: Госэнергоиздат, 1957.
9. Инструкция по исследованию гидравлического режима и условий стоянки судов при
шлюзовании. — Л.: ЛИВТ, 1963.
10. СНиП 2.06.07-87*. Подпорные стены, судоходные шлюзы, рыбопропускные и рыбозащитные сооружения.
УДК 517.958:539.3
Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, профессор,
СПГУВК;
В. А. Данилюк,
ст. преподаватель,
СПГУВК
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
КАМЕРЫ СУДОХОДНОГО ШЛЮЗА С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ
MODELLING OF THE INTENSE-DEFORMED CONDITION OF THE NAVIGABLE
SLUICE CHAMBER BY MEANS OF POLYNOMS
16
В статье построено численно-аналитическое решение плоской задачи теории упругости с использованием метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения [1]. В отличие от известных
подходов, решение строится в виде разложения по полиномам, априори удовлетворяющим однородным
уравнениям плоской задачи теории упругости в перемещениях внутри области. Коэффициенты разложения находятся из условия минимума невязки в выполнении граничных условий методом наименьших квадратов.
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
In article the numerically-analytical decision of a flat problem of the theory of elasticity with use of a method
of the suspended discrepancies is constructed in the form of a method of the boundary solving [1]. Unlike known approaches, the solving is being made in the form of decomposition on the polynoms a priori satisfying homogeneous
equations of a flat problem of the theory of elasticity in movings within an area. Decomposition factors are found
from a discrepancy minimum condition in performance of boundary conditions by a method of least squares.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, численно-аналитический метод, полиномы, граничные условия, краевая задача, камера судоходного шлюза, пакет Maple.
Key words: intense-deformed condition, numerically-analytical method, polynoms, boundary conditions,
regional problem, navigable sluice chamber, Maple package.
Постановка задачи
и метод ее решения
Цель решения задачи теории упругости
состоит в нахождении распределения напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах.
Как известно [2], система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающая плоскую деформацию, имеет вид
;
.
(1)
Здесь u и v — горизонтальные и вертикальные
перемещения соответственно.
Решение задачи в полиномах представляется в виде суммы частных решений — полиномов от 0-го порядка до некоторого n-го,
то есть
;
,
где полином порядка n задается следующим
образом:
=
.
Например, частным решением 1-го порядка системы (1) будет пара функций:
u1 = a1 ∙ x + a2 ∙ y; v1 = b1 ∙ x + b2 ∙ y. Здесь коэффициенты a1, a2, b1, b2 произвольны.
Любой полином определенного порядка
может удовлетворять уравнениям системы (1).
Таким образом, частные решения системы (1)
представимы в виде полиномов разных порядков. Однако начиная с полиномов 2-го порядка
и выше линейно независимыми будут не все
коэффициенты полиномов, а только четыре
коэффициента для каждой пары un, vn порядка n. Покажем это на примере частных решений 2-го порядка. Зададим частные решения
в общем виде: u2 = a1 ∙ y2 + a2 ∙ x ∙ y + a3 ∙ x2;
v2 = b1 ∙ y2 + b2 ∙ x ∙ y + b3 ∙ x2. Подставив эти
решения в уравнения системы (1) и приведя
подобные слагаемые, получим ограничения
на коэффициенты: a2 = – 4b1 + 4b1v – 2b3 + 4b3v;
b2 = – 4a3 + 4a3v – 2a1 + 4a1v.
Таким образом, частными решениями
2-го порядка являются функции:
u2 = a1 ∙ y2 + (– 4b1 + 4b1v – 2b3 + 4b3v) ∙ x ∙ y + a3 ∙ x2;
v2 = b1 ∙ y2 + (– 4a3 + 4a3v – 2a1 + 4a1v) ∙ x ∙ y + b3 ∙ x2.
Как видно, здесь мы имеем четыре произвольных независимых коэффициента: a1, b1,
a3, b3 . Аналогично отыскиваются частные решения более высоких порядков.
Для удобства формализации математических преобразований все свободные коэффициенты ai, bi для решений, порядок которых выше 0-го, в дальнейшем нумеруются
строго в порядке возрастания и представляются в виде: a1, a2, ..., an. Так для полинома 1-го
порядка свободные коэффициенты обозначаем как a1, a2, a3, a4, для полинома 2-го порядка — a5, a6, a7, a8, 3-го порядка — a9, a10, a11,
a12, …, для 20-го порядка — a77, a78, a79, a80, …,
для n-го порядка — a4n–3, a4n–2, a4n–1, a4n и т. д.
Граница области аппроксимируется
прямолинейными отрезками, в пределах которых функции, задающие граничные условия, непрерывны и дифференцируемы.
Коэффициенты ai частных полиномиальных решений системы (1) выбираются
17
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
таким образом, чтобы перемещения u и v и
соответствующие им напряжения как можно
более точно аппроксимировали граничные
условия. Оптимизация этих коэффициентов
производится посредством метода наименьших квадратов.
Аппроксимация граничных условий
производится в два этапа — сначала аппроксимируют граничные напряжения посредством коэффициентов a1, a2, ..., an и только затем граничные перемещения с помощью двух
коэффициентов полинома 0-го порядка a0, b0.
Для проведения этих аппроксимаций граница рассматриваемого упругого тела должна
быть разбита на конечное число прямолинейных отрезков, каждому из которых ставится
в соответствие уравнение прямой, на которой
лежит этот отрезок: y(x) или x(y).
Функция невязок по границе тела, которую необходимо минимизировать, задается
следующим образом:
–
–
Здесь xni, xki — начальная и конечная
абсциссы i-го граничного отрезка; yni, yki —
начальная и конечная ординаты i-го граничного отрезка; xi ( y ), yi ( x ) — функции, задающие прямую, на которой лежит i-й отрезок;
βi — угол ориентации i-го граничного отрезка
(для вертикально ориентированных граничных отрезков
.
Здесь k — количество граничных отрезков; Ni (a1, a2, ..., an ) — функция невязок
по нормальным напряжениям на i-м отрезке;
Ki (a1, a2, ..., an ) — функция невязок по касательным напряжениям на i-м отрезке.
В том случае если на i-м граничном отрезке заданы нормальные напряжения
и касательные напряжения
, то функции невязок для вертикально ориентированных граничных отрезков
имеют вид
,
18
;
для прочих отрезков:
).
Для граничных условий в перемещениях функции невязок по напряжениям находятся по формулам, которые здесь не приводятся
из-за их громоздкости.
После определения на каждом из отрезков функции невязок по нормальным и касательным напряжениям и вычисления суммарной функции невязок решается система n линейных алгебраических уравнений
, i = 1, 2, ..., n.
Из решения данной системы определяются оптимальные значения коэффициентов
a1, a2, ..., an, при которых функция невязок
F (a1, a2, ..., an ) имеет минимум. Таким образом, с учетом найденных коэффициентов a1,
a2, ..., an полученная пара численно-аналитических решений u(x,y) и v(x,y) отличается от
истинных перемещений на константы a0, b0.
Чтобы вычислить эти постоянные, общее решение задачи представляется как
.
На тех граничных отрезках, где граничные условия заданы в перемещениях, выража-
Ж У Р Н А Л
ем нормальные и касательные перемещения
через переменные x, y, a0, b0:
;
.
Функции невязок для вертикально ориентированных отрезков по нормальным и касательным перемещениям будут следующими:
–
;
–
университета
в о д н ы х
коммуникаций
определяем оптимальную пару коэффициентов a0, b0 и, как следствие, окончательное решение в перемещениях.
После определения перемещений, используя соотношения напряжения–деформации, легко вычисляются функции распределения напряжений в области.
Для реализации данного метода разработана программа в пакете символьных
вычислений Maple. Проведено тестирование
программы на математических моделях ряда
задач плоской теории упругости. Полученные
численно-аналитические решения хорошо согласуются с решениями, найденными альтернативными методами.
Числовой пример
.
Функции невязок для прочих отрезков
по нормальным и касательным перемещениям будут следующими:
)–
,
)–
.
Здесь un,i и us,i — заданные граничные
условия в перемещениях.
Суммарная функция невязок находится
как
.
Пределы в суммах не указаны, поскольку граничные условия в перемещениях могут
быть заданы, например, на 1-м и 3-м отрезках,
а на 2-м заданы в напряжениях. Сумма в данной формуле предполагается для всех отрезков, на которых граничные условия заданы в
перемещениях.
Решая систему из двух линейных алгебраических уравнений
,
В качестве примера рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии стены камеры Шекснинского шлюза № 8
Волго-Балтийского водного пути, вызванном
собственным весом. В своей диссертации
А. А. Семенов [4] построил конечно-элементную математическую модель НДС стены
камеры этого шлюза от поверхностных сил
(гидростатического давления грунтов засыпки и грунтовых вод) и температурных напряжений, однако он не учел влияния собственного веса. Оценим вклад гравитационного
фактора в напряженно-деформированное состояние сооружения по сравнению с другими
факторами.
Расчетная схема стены камеры шлюза
приведена на рис. 1. В задаче на собственный
вес все граничные условия будут нулевые. На
отметке y = 0 м по оси ординат имеем опорузаделку в пределах –4,014 м ≤ x ≤ 0,4 м по оси
абсцисс, с граничными условиями u = 0, v = 0
соответственно. Принимаем плотность бетона ρ = 2500 кг/м3, ускорение свободного падения g = 9,8 м/c2.
В диссертации А. А. Семенова вычислены напряжения σy от поверхностных сил в
среднем сечении второго блока (y = 6 м, обозначено толстой синей линией), график этих
напряжений представлен на рис. 2. Распределение напряжений в том же сечении от собственного веса представлено на рис. 3.
19
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Рис. 3. Распределение напряжений σy в горизонтальном сечении y = 6 м от собственного веса
Рис. 1. Расчетная схема стены камеры
Шекснинского шлюза № 8
Волго-Балтийского водного пути
Как видно из графиков, в данном случае напряжения, вызванные собственным
весом, не столь значительны по сравнению с
напряжениями от внешних сил. При этом под
давлением грунта засыпки в направлении оси
у бетон будет растянут на внешней стороне
стены и сжат на внутренней стороне, а под
действием собственного веса он будет сжат по
всему сечению, причем на внешней поверхности стены материал будет сжат сильнее, чем на
внутренней. Абсолютная погрешность найденного решения составляет ±0,02288 кг/см2,
так что найденное решение является достаточно точным.
20
Рис. 2. Распределение напряжений σy в горизонтальном сечении y = 6 м от давления грунта засыпки
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Список литературы
1. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. — М., 1986. — 318 с.
2. Александров А. В. Основы теории упругости и пластичности: учебник для строит. спец.
вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.
3. Тимошенко С. П. Теория упругости: пер. с англ. / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.: Гл.
ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975. — 576 с.
4. Семенов А. А. Влияние отрицательных температур на напряженно-деформированное состояние стен камер судоходных шлюзов: дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук /
А. А. Семенов. — СПб.: СПГУВК, 2005.
УДК 519.6+626.4
А. В. Матросов,
канд. техн. наук, доцент,
СПГУВК
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕДАЧИ УСИЛИЙ
ОТ БАЛКИ К ПЛАСТИНЕ
NUMERICAL-ANALITIC MODELING OF FORCE TRANSMISSION FROM
A BEAM TO A PLATE
В статье представлен численно-аналитический метод расчета плоских линейно-упругих конструкций сложной конфигурации, основанный на декомпозиции конструкции на прямоугольные области и использовании общего решения для прямоугольника, построенного на основе метода начальных функций. Этот
подход применим также и к пространственным конструкциям, элементы которых работают в условиях
плоской задачи теории упругости. На примере задачи определения распределения касательных напряжений при передаче усилий от балки усиления к пластине показана применимость развиваемого подхода к
расчету пространственных конструкций.
An algorithm for building a numerical-analytical solution for plane linearly-elastic constructions of irregular shape on basis of its decomposition on rectangular elements and using a general solution for a rectangular area
based on a method of initial functions is presented. This approach may be applied to three dimensional constructions all elements of which work as plane ones. Modeling of force transmission from a strengthen beam to a plate
has shown an applicability of the developed approach to 3D constructions.
Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, конструкции сложной конфигурации, пространственная конструкция.
Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, irregular shape structures, 3D constructions.
1. Введение. В работах [1, с. 8–14; 2,
с. 20–27] показано применение метода декомпозиции к расчету плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации: голова
шлюза, балка на слоистом упругом основании. Однако этот подход применим также и к
пространственным конструкциям, элементы
которых работают в условиях плоской задачи
теории упругости. На примере задачи передачи усилий от балки усиления к пластине показана применимость развиваемого подхода к
расчету пространственных конструкций.
2. Общее решение для прямоугольной
области. В работе [3] разработан и реализо-
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
1 965 Кб
Теги
моделирование, судоходного, камеры, деформированного, помощь, напряжения, состояние, шлюз, полиномов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа