close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Моделирование напряженно-деформированного состояния упругих тел с помощью полиномов.

код для вставкиСкачать
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
ВОДНЫЕ ПУТИ, ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ
СООРУЖЕНИЯ И ПОРТЫ
УДК 517.958:539.3
Д. П. Голоскоков,
д-р техн. наук, профессор,
ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
В. А. Данилюк,
старший преподаватель,
ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
УПРУГИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ
SIMULATION OF STRESS-STRAIN STATE OF ELASTIC BODIES WITH
POLYNOMIALS
В статье построено численно-аналитическое решение плоской задачи теории упругости с использованием метода взвешенных невязок в форме метода граничного решения [1]. В отличие от известных
подходов, решение строится в виде разложения по полиномам, априори удовлетворяющим однородным
уравнениям плоской задачи теории упругости в перемещениях внутри области. Коэффициенты разложения находятся из условия минимума невязки в выполнении граничных условий методом наименьших квадратов.
In the article the numerically-analytical decision of the plane task of the theory of elasticity with usage of
a method of the weighed discrepancies in the form of a method of the boundary decision [1] is constructed. Unlike
known approaches, the decision is under construction in the form of expansion on the polynomials, a priori fitting
homogeneous equations of the plane task of the theory of elasticity in relocation within the area. Expansion coefficients are found from a condition of a minimum of a discrepancy in performance of boundary conditions by the
least-squares method.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, численно-аналитический метод, полиномы, граничные условия, краевая задача, пакет Maple.
Key words: stress-strain state, numerical-analytical method, polynomials, boundary conditions, boundary
problem, package Maple.
1. Постановка задачи и метод ее решения. Цель решения задачи теории упругости состоит
в нахождении распределения напряжений и смещений в упругом теле, подверженном действию
заданной системы объемных сил и заданных напряжений или смещений на границах.
Как известно [2], система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающая
плоскую деформацию, имеет вид
Выпуск 1
;
8
.
(1)
Здесь u и v — горизонтальные и вертикальные перемещения соответственно.
Решение задачи в полиномах представляется в виде суммы частных решений — полиномов
от 0-го порядка до некоторого n-го, то есть
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
где полином порядка n задается следующим образом:
.
Например, частным решением 1-го порядка системы (1) будет пара функций: u1 = a1 ∙ x + a2 ∙ y;
v1 = b1 ∙ x + b2 ∙ y. Здесь коэффициенты a1, a2, b1, b2 произвольны.
Любой полином определенного порядка может удовлетворять уравнениям системы (1). Таким образом, частные решения системы (1) представимы в виде полиномов разных порядков. Однако, начиная с полиномов 2-го порядка и выше, линейно независимыми будут не все коэффициенты полиномов, а только четыре коэффициента для каждой пары un, vn порядка n. Покажем это
на примере частных решений 2-го порядка. Зададим частные решения в общем виде: u2 = a1 ∙ y2 +
+ a2 ∙ x · y + a3 · x2; v2 = b1 ∙ y2 + b2 ∙ x · y + b3 · x2. Подставив эти решения в уравнения системы (1) и
приведя подобные слагаемые, получим ограничения на коэффициенты: a2 = –4b1 + 4b1v – 2b3 + 4b3v;
b2 = –4a3 + 4a3v – 2a1 + 4a1v.
Таким образом, частными решениями 2-го порядка являются функции:
u2 = a1 ∙ y2 + (–4b1 + 4b1v – 2b3 + 4b3v) ∙ x · y + a3 · x2;
v2 = b1 ∙ y2 + ( –4a3 + 4a3v – 2a1 + 4a1v) ∙ x · y + b3 · x2.
Как видно, здесь мы имеем четыре произвольных независимых коэффициента: a1, b1, a3, b3.
Аналогично отыскиваются частные решения более высоких порядков.
Для удобства формализации математических преобразований все свободные коэффициенты ai, bi для решений, порядок которых выше 0-го, в дальнейшем нумеруются строго в порядке
возрастания и представляются в виде: a1, a2, ..., an. Так, для полинома 1-го порядка свободные коэффициенты обозначаем как a1, a2, a3, a4, для полинома 2-го порядка — a5, a6, a7, a8, 3-го порядка — a9,
a10, a11, a12, ..., для 20-го порядка — a77, a78, a79, a80, …, для n-го порядка — a4n–3, a4n–2, a4n–1, a4n и т. д.
Граница области аппроксимируется прямолинейными отрезками, в пределах которых функции, задающие граничные условия, непрерывны и дифференцируемы.
Коэффициенты ai частных полиномиальных решений системы (1) выбираются таким образом, чтобы перемещения u и v и соответствующие им напряжения как можно более точно аппроксимировали граничные условия. Оптимизация этих коэффициентов производится посредством
метода наименьших квадратов.
Аппроксимация граничных условий производится в два этапа — сначала аппроксимируют
граничные напряжения посредством коэффициентов a1, a2, ..., an и только затем граничные перемещения с помощью двух коэффициентов полинома 0-го порядка a0, b0. Для проведения этих
аппроксимаций граница рассматриваемого упругого тела должна быть разбита на конечное число
прямолинейных отрезков, каждому из которых ставится в соответствие уравнение прямой, на которой лежит этот отрезок: y(x) или x(y).
Функция невязок по границе тела, которую необходимо минимизировать, задается следующим образом:
.
,
Выпуск 1
Здесь, k — количество граничных отрезков, Ni (a1, a2, ..., an ) — функция невязок по нормальным напряжениям на i-м отрезке, Ki (a1, a2, ..., an ) — функция невязок по касательным напряжениям на i-м отрезке.
В случае если на i-м граничном отрезке заданы нормальные напряжения σ̃n, i (x, y) и касательные напряжения σ̃s,i (x, y), функции невязок для вертикально ориентированных граничных
отрезков имеют вид
9
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
;
для прочих отрезков:
Здесь xni, xki — начальная и конечная абсциссы i-го граничного отрезка; yni, yki — начальная и конечная ординаты i-го граничного отрезка; xi (y), yi (x) — функции, задающие прямую, на
которой лежит i-й отрезок; βi — угол ориентации i-го граничного отрезка (для вертикально ориентированных граничных отрезков
).
Для граничных условий в перемещениях функции невязок по напряжениям находятся по
формулам, которые здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
После определения на каждом из отрезков функции невязок по нормальным и касательным
напряжениям и вычисления суммарной функции невязок, решается система n линейных алгебраических уравнений:
, i = 1, 2, ..., n.
Из решения данной системы, определяются оптимальные значения коэффициентов a1, a2, ...,
an, при которых функция невязок F (a1, a2, ..., an ) имеет минимум. Таким образом, с учетом найденных коэффициентов a1, a2, ..., an полученная пара численно-аналитических решений u(x, y) и v(x, y)
отличается от истинных перемещений на константы a0, b0. Чтобы вычислить эти постоянные, общее решение задачи представляется как
.
На тех граничных отрезках, где граничные условия заданы в перемещениях, выражаем нормальные и касательные перемещения через переменные x, y, a0, b0:
.
Функции невязок для вертикально ориентированных отрезков по нормальным и касательным перемещениям будут следующими:
Выпуск 1
;
10
.
Функции невязок для прочих отрезков по нормальным и касательным перемещениям будут
следующими:
,
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
.
Здесь un,i и us,i — заданные граничные условия в перемещениях. Суммарная функция невязок
находится как
.
Пределы в суммах не указаны, поскольку граничные условия в перемещениях могут быть
заданы, например, на 1-м и 3-м отрезках, а на 2-м заданы в напряжениях. Сумма в данной формуле
предполагается для всех отрезков, на которых граничные условия заданы в перемещениях.
Решая систему из двух линейных алгебраических уравнений
,
определяем оптимальную пару коэффициентов a0, b0 и, как следствие, окончательное решение в
перемещениях.
После определения перемещений, используя соотношения напряжения–деформации, легко
вычисляются функции распределения напряжений в области.
Для реализации данного метода разработана программа в пакете символьных вычислений
Maple. Проведено тестирование программы на математических моделях ряда задач плоской теории упругости. Полученные численно-аналитические решения хорошо согласуются с решениями,
найденными альтернативными методами.
2. Числовой пример. В качестве примера рассмотрим задачу Ламе о равномерно нагруженном
с двух сторон кольце [2; 3]. Будем считать данное кольцо (рис. 1) сечением длинной изотропной трубы (E = 2 ∙ 1011 Па, v = 0,3), таким образом, мы имеем задачу на плоскую деформацию. Центр кольца
совпадает с началом координат, внутренний радиус кольца a = 0,5 м, а внешний — b = 1 м. С внешней стороны к поверхности трубы приложено равномерно распределенное давление p0, а с внутренней — p1. Решим данную задачу для двух случаев: в первом случае давления на поверхности примем
p1 = 1 000 000 Па и p0 = 800 000 Па, а во втором — p1 = 0 Па и p0 = 800 000 Па соответственно.
Выпуск 1
11
Рис. 1. Труба кольцевого сечения, сжимаемая равномерно распределенным
давлением изнутри и снаружи
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Граница представляется в виде набора прямолинейных отрезков, причем чем большим числом отрезков мы
аппроксимируем границу, тем точнее будет соответствовать наша математическая модель задаче Ламе. Ввиду
того, что каждая прямая, проходящая через начало координат, является осью симметрии сечения трубы, для моделирования напряженно-деформированного состояния всего сечения достаточно рассмотреть отдельно взятый сектор этого кольца. Причем чем меньше угловая мера этого
сектора, тем легче будет аппроксимировать его границу.
Если же взять угол сектора достаточно малым, например
5°, то границу можно аппроксимировать вообще четырьмя граничными отрезками без значительного ущерба для
точности аппроксимации границы прямолинейными отрезками и точности расчета (рис. 2).
Таким образом, будем решать плоскую задачу теории упругости для равнобокой трапеции ABCD, на сторонах которой заданы следующие граничные условия:
— на стороне AB трапеции имеем σn = –p0, σs = 0;
— на стороне CD трапеции σn = –p1, σs = 0;
— на сторонах BC и AD трапеции имеем un = 0,
σs = 0.
Данная задача имеет точное аналитическое решение
[2; 3]. Поскольку данная задача является центрально-симметричной,
то ее решение приведено в [2; 3] в полярных
Рис. 2. Расчетная схема
координатах. При этом радиальные σr и угловые σθ напрясектора трубы
жения распределяются в диаметральных сечениях кольца
одинаково, независимо от ориентации угла сечения относительно координатных осей. Поэтому для установления
достоверности полиномиального решения достаточно сравнить его с точным аналитическим решением только на одном диаметральном сечении. Наиболее удобным в данном случае будет сечение AD, так как в нем радиальное напряжение σr в полярных координатах полностью совпадает с
нормальным напряжением σy в прямоугольных декартовых координатах, угловое напряжение σθ
совпадает с нормальным напряжением σx в прямоугольных декартовых координатах, а радиальное
перемещение совпадает с вертикальным перемещением. Таким образом, для сечения AD кольца
имеем следующее аналитическое решение:
;
Выпуск 1
;
12
.
Полученные решения имеют погрешность аппроксимаций граничных условий в первом
случае (двустороннее нагружение) 0,14 % и 0,32 % во втором случае (одностороннее, внешнее
нагружение). Приведем для сравнения совместные графики аналитических и численно-аналитических решений данной задачи (рис. 3–8).
Ж У Р Н А Л
Рис. 3. Графики напряжений σy
в сечении AD для случая двустороннего нагружения
(синим цветом показано
численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Рис. 4. Графики напряжений σy в сечении
AD для случая одностороннего внешнего
нагружения (синим цветом показано
численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
Выпуск 1
13
Рис. 5. Графики напряжений σx
в сечении AD для случая двустороннего
нагружения (синим цветом показано
численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
Рис. 6. Графики напряжений σx
в сечении AD для случая одностороннего
внешнего нагружения (синим цветом
показано численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
Ж У Р Н А Л
университета
в о д н ы х
коммуникаций
Рис. 7. Графики перемещений v в сечении AD
для случая двустороннего нагружения
(синим цветом показано
численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
Рис. 8. Графики перемещений v в сечении
AD для случая одностороннего внешнего
нагружения (синим цветом показано
численно-аналитическое решение,
красным — аналитическое)
Как видно, разработанный численно-аналитический метод позволяет получить достаточно
точное решение плоской задачи теории упругости и для сложных криволинейных областей.
Список литературы
Выпуск 1
1. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. — М., 1986. — 318 с.
2. Александров А. В. Основы теории упругости и пластичности: учебник для строит. спец.
вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.
3. Тимошенко С. П. Теория упругости: пер. с англ. / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.:
Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975. — 576 с.
14
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
4 573 Кб
Теги
моделирование, деформированного, помощь, напряжения, состояние, упругие, тел, полиномов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа