close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые теоремы о разрешимости стохастических систем дифференциально-алгебраического типа.

код для вставкиСкачать
 УДК 517.9 + 519.216.2
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ТИПА
© 2014 Е. Ю. Машков
аспирант каф. математического анализа
и прикладной математики
e-mail: mashkovevgen@yandex.ru
Курский государственный университет
Под стохастической системой дифференциально-алгебраического типа понимается
специальный класс стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которых
в левой и правой частях имеются зависящие от времени непрерывным образом
прямоугольные вещественные матрицы одинаковых размеров. Кроме этого, в правой
части имеется слагаемое, зависящее только от времени. Этот класс уравнений является
естественным обобщением класса обыкновенных дифференциально-алгебраических
уравнений. Подобные уравнения встречаются в приложениях к экономике и радиотехнике.
Результатом статьи являются утверждения, в которых для рассматриваемого типа
уравнений приведены достаточные условия существования решений, а также приведены
формулы для нахождения этих решений.
Ключевые
слова:
дифференциально-алгебраическая
система,
уравнение
леонтьевского типа, винеровский процесс.
Рассматривается специальная система стохастических дифференциальных
уравнений в форме Ито (см. [Булинский 2005]), которая задается следующим образом:
!
!
!
    −  0 (0) = ! ()    + ! ()  + ! ()   , 0 ≤  ≤ , (1)
где () ∈ ! – искомый случайный процесс,   ,   , () – вещественные
непрерывные × – матрицы, () ∈ ! – интегрируемая вектор-функция, () ∈ ! винеровский процесс, заданный на полном фильтрованном вероятностном
пространстве {Ω, , ! !∈ !,! , }, подчиненный (! )!∈[!,!] и выходящий из нуля.
Системы уравнений типа (1) принято называть стохастическими системами
дифференциально-алгебраиче-ского типа [Alabert 2006; Winkler 2013], а в случае, когда
в рассматриваемой системе уравнений матрицы коэффициентов являются
постоянными, она еще называется стохастическим уравнением леонтьевского типа
[Шестаков 2010]. Данные системы уравнений применяются в моделировании
радиотехнических устройств [Шестаков 2010], финансово-экономической деятельности
предприятий [Власенко 2011] и других областях [Winkler 2013]. Приведем некоторые
теоремы о существовании решений системы (1), достаточные условия разрешимости и
формулы для вычисления решений.
Определение [Булинский 2005]. Решением системы (1) называется случайный
процесс () ∈ ! , имеющий п. н. непрерывные траектории, неупреждающий
относительно семейства -алгебр (! )!∈[!,!] , который с вероятностью единица
удовлетворяет равенству (1).
Символом ! будем обозначать матрицу, псевдообратную к матрице  (см.:
[Гантмахер 1967]). Из результатов работ [Бояринцев 1998; Mashkov 2014] вытекает
следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть в системе (1) матрицы   , () и вектор ()
удовлетворяют условию совместности:
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
!
!
!
−       {
!
+
 ∗   −   !     +
!
∗
!
  [ − ()
!
   [
!
!
!
 !!    ()]} =
!
=  −     {  + ()
 !!    ()},
!
где  – единичная матрица, а () является решением задачи Коши:
  =   !     +   ,  0 = 0.
Тогда если столбцы матрицы () линейно-независимы, то система (1) разрешима, а
ее общее решение имеет вид
  = !    , 0 ≤  ≤ ,
а вектор () является решением следующей задачи Коши:
  =   !     +    +     ,
!
 0 = − ! {
!
+
 ∗   −   !     +
!
 ∗   −   !    [
!
!
 !!    ()]} + .
!
Здесь  – произвольное решение уравнения  = 0, в котором матрица  вычисляется
по формуле
!
=
 ∗   −   !    ,
!
а матрица () является решением задачи Коши
()
=   !    ,  0 = .

□
Введем вспомогательные теоремы. Для этого рассмотрим систему
 = ,
(2)
где  – искомый вектор,  и  – матрица и вектор подходящих размеров (т.е. такие, что
возможно записать систему (2)). Тогда имеет место классическая теорема КронекераКапелли о разрешимости системы (2):
Теорема 2 (Кронекера-Капелли [Бояринцев 1998]). Для разрешимости системы
(2) необходимо и достаточно выполнения равенства
 − !  = 0.
Приведем теорему о представлении решений системы (2):
Теорема 3. [Бояринцев 1998]. Если система (2) разрешима, то ее общее решение
записывается по формуле
 = !  +  − !  ,
где  – произвольный вектор.
Если в системе (1) матрицы коэффициентов постоянные вещественные, то,
применяя к ней теоремы 2 и 3, получим следующую теорему о разрешимости.
Теорема 4. Пусть в системе (1) , ,  – постоянные вещественные матрицы и
выполняются условия
 − !  = 0,  − !   = 0,  − !  = 0.
Тогда (1) имеет решение вида
!
  =   (0) +  
!
!
 !!  !    +  
 !!  !   ,
!
где () – нормальная фундаментальная матрица системы
A u d i t o r i u m : э л е к т р о н н ы й н а у ч н ы й ж у р н а л К у р с к о г о г о с у д а р с т в е н н о г о
университета. 2014. № 4
Машков Е. Ю. Некоторые теоремы о разрешимости стохастических систем
дифференциально-алгебраического типа
  = !   ,  0 =  .
□
Также с применением теорем 2 и 3 к системе (1) с постоянными матрицами , , 
получаем следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть в системе (1) , ,  – постоянные вещественные матрицы,
 =  !  и выполняются следующие условия:
 − !  ≠ 0,  − !  = 0,
 − !  = 0,  − !  = 0, 0 !!!  !! !  = 0,
а также матрица !  не имеет среди собственных чисел нулей геометрической
кратности, отличной от алгебраической. Тогда уравнение (1) разрешимо и принимает
следующий канонический вид:
!
!
  −  0 = !    +  !! ! !    +  !! ! (),
(3)

0
где   =  !!   ,   = !
, ! () ≠ 0, 0 – нулевая матрица.
0 0!!!
□
Чтобы привести формулы для решения системы (3), введем обозначения   =
!
!
!
 (  ,   ), где  ∈ ! ,  ∈ !!! ,  !! ! !    =  ( !   , !   ,
 = ! 0  !! !  ∈ ! ,
 = (0 !!! ) !! !  ∈ !!! . Тогда с учетом этих
обозначений каноническая система (3) распадается на две независимые подсистемы.
Первая подсистема имеет вид
!
!
  −  0 = !!! !    + !!! !    + !!! ! 0  !! !   ,
для решений которой известна аналитическая формула
!
  = !   0 + ! 
!
+! 
!
!
!!!  !!!    +
!!!  !!! ! 0  !! !   ,
где ! () – нормальная фундаментальная матрица системы
! ()
= !!! !  , ! 0 = ! .

Вторая подсистема системы (3) задается таким образом:
!
!
   = −
откуда   = −  .
!
  ,
!
Библиографический список
Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы
решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998. 224 с.
Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 408 с.
Власенко Л. А., Лысенко Ю. Г., Руткас А. Г. Об одной стохастической модели динамики
предприятий корпорации // Экономическая кибернентика. 2011. №1–3 (67–69). С. 4–9.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 1967. 575 с.
Шестаков А. Л., Свиридюк Г. А. Новый подход к измерению динамически
искаженных сигналов // Вестник Южно-Уральского государственного университета.
2010. №16(192). С. 116–120.
Alabert A. Linear stochastic differential algebraic equations with constant coefficients /
A. Alabert, M. Ferrante // Electr. Comm. in Probability. 2006. 11. P. 316–335.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Mashkov E. Yu. On the stochastic sustems of differential-algebraic type // Journal of
Computational and Engineering Mathematics. 2014. Vol. 1. No. 1. P. 34–45, Publisher Center
of South Ural State University, Chelyabinsk, Russia
Winkler R. Stochastic differential algebraic equation of index 1 and applications in
circuit simulation // J. Computat. and Appl. Math. 2013. 157, №2. P. 477–505.
A u d i t o r i u m : э л е к т р о н н ы й н а у ч н ы й ж у р н а л К у р с к о г о г о с у д а р с т в е н н о г о
университета. 2014. № 4
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
6 407 Кб
Теги
типа, теорема, дифференциальной, разрешимости, система, стохастических, некоторые, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа