close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О геометрии транссасакиевых многообразий.

код для вставкиСкачать
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
О ГЕОМЕТРИИ
ТРАНССАСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Аила Демедерос
Аннотация. В работе изучаются почти контактные метрические структуры,
линейное расширение которых принадлежит классу W4 Грея-Хервеллы. Такие структуры называются транссасакиевыми (короче, TS-) структурами. Получена полная группа структурных уравнений TS-структур, вычислены компоненты тензора римановой кривизны, тензора Риччи на пространстве присоединенной
G-структуры. Установлена связь между квазисасакиевыми и транссасакиевыми
структурами. Приведены частные случаи транссасакиевых структур. Рассмотрены транссасакиевые многообразия постоянной кривизны.
Ключевые слова: почти контактные метрические структуры, линейное расширение, транссасакиевые структуры, пространство присоединенной G-структуры, интегрируемая транссасакиева структура, квазисасакиева структура, тензор
римановой кривизны, тензор Риччи, скалярная кривизна.
Summary. In this paper we study almost contact metric structures, linear expansion
which belongs to the class W4 Gray-Hervella. Such structures are called trans-sasakian
(in short, TS-) structures. The full system of structural equations TS-structures, compute
the components of the Riemann curvature tensor, the Ricci tensor in the space of the associated G-structure. The relation between the structures of quasi- and trans-sasakian.
Found special cases trans-sasakian structures. Considered trans-sasakian manifolds of
constant curvature.
212
Keywords: almost contact metric structures, linear expansion, trans-sasakian structure,
space associated G-structure is integrable trans-sasakian structure, quasi-Sasakian structure, the Riemann curvature tensor, the Ricci tensor, the scalar curvature.
Г
еометрические свойства почти эрмитовых и почти контактных метрических структур имеют ряд интересных взаимосвязей. Например, хорошо известно [1; 2], что если М – почти контактное метрическое многообразие, то на
многообразии M x N канонически индуцируется почти эрмитова структура (называемая линейным расширением исходной почти контактной метрической
структуры [3]). Вопрос о связи этих структур многократно изучался. Классическим результатом в этом направлении является известный результат Накаямы,
утверждающий, что почти контактная метрическая структура нормальна тогда
и только тогда, когда ее линейное расширение является эрмитовой структурой
[4]. С другой стороны, А. Греем и Л. Хервеллой [5] естественным образом выделена в известном смысле полная система, состоящая из 16 классов почти эр-
Преподаватель XX
ВЕК
3 / 2013
Физика и математика
митовых структур. Это наводит на мысль о классификации почти контактных
метрических структур, соответствующий классификации их линейных расширений. На этом пути Обиньей [6] были выделены классы транссасакиевых и
почти транссасакиевых структур, линейные расширения которых принадлежат
классам W4 и W2 5 W4 Грея-Хервеллы, соответственно. В работе [3] получен ряд
глубоких результатов, касающихся геометрии транссасакиевых и почти транссасакиевых многообразий.
В настоящей работе изучаются почти контактные метрические структуры, линейное расширение которых принадлежит классу W4 Грея-Хервеллы. Такие структуры естественно называются транссасакиевыми (короче, TS-) структурами.
Напомним, что почти контактной метрической (короче, АС-) структурой на
многообразии М называется совокупность (p, h, U, g =< $ , $ >) тензорных полей
на М, где ξ – векторное поле, называемое характеристическим, η – дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой, Ф – эндоморфизм модуля ( )
гладких векторных полей многообразия М, называемый структурным эндоморфизмом, g =< $ , $ > – риманова метрика. При этом:
1) ( ) = 1; 2) Φ( ) = 0; 3)
2
° Φ = 0; 4) Φ = −
5) <Φ , Φ > = < , > − ( ) ( );
!
,
+
, ;
( )
Такие структуры естественно возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], на пространствах главных T 1-расслоений над симплектическими многообразиями с целочисленной фундаментальной формой
(расслоения Бутби-Вана [8]) и, более обще, над почти эрмитовыми многообразиями [9] и являются естественными обобщениями так называемых контактных метрических многообразий, возникающих на нечетномерных многообразиях с фиксированной 1-формой максимального ранга (контактной
структурой).
Хорошо известно, что многообразие, допускающее AC-структуру (короче,
АС-многообразие), нечетномерно и ориентируемо. В
-модуле ( ) гладких векторных полей на таком многообразии внутренним образом определены
два взаимно дополнительных проектора
и
. Их
образы обозначим
и , соответственно. Таким образом,
.
2n+1
Задание AC-структуры на многообразии M
равносильно заданию
G-структуры
на М со структурной группой
= ( ) × { 1} . Элементами тотального пространства этой G-структуры являются комплексные реперы многообразия М вида = , , 1 , …, , 1 , …,
. Эти реперы характеризуются тем,
что матрицы тензоров Ф и g в них имеют, соответственно, вид:
Φ
=
0
0
0
0
√− 1
0
0
0
− √− 1
;
=
1
0
0
0
0
0
0
,
где In – единичная матрица порядка n. Будем предполагать, что индексы i, j, k, ...
пробегают значения от 0 до 2n, а индексы a, b, c, d, ... – значения от 1 до n. Положим
. Хорошо известно [10], что первая группа структурных уравнений G-структуры имеет вид:
3 / 2013
Преподаватель XX
ВЕК
213
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
=
+
/
= −
=
+
/
/
+
/
/
+
/
+
/
+
+
/
+
/
+
/
+
/ ;
/
+
/ ;
+
/
(1)
,
/
– компоненты формы римановой связности V метрики
– компогде
ненты формы смещения,
– естественная проекция тотального
пространства G-структуры на многообразие М,
=
√−1
Φ ,
2
=−
=−
,
√−1
Φ ,
2
=
,
√−1
Φ , ̂,
2
= √−1Φ0, ,
= −√−1Φ0, ,
1
= −√−1 Φ0, − 2 Φ
= √−1Φ0
√−1
Φ[ , ] ,
2
,0
,
1
,
= √−1 Φ0, − 2 Φ
= −√−1Φ[0
,
= −√−1Φ0 ,0 ,
= −√−1 Φ0 , + Φ0 , , Φ
,0
,
(2)
, ],
= √−1Φ0 ,0 .
,
= 0, Φ
,
= 0, Φ00, = 0.
При этом
= − , = − ; = − ; = − ;
= ; = − ; = − .
214
Коротко напомним конструкцию линейного расширения AC-многообразия
М (или, что то же самое, линейного расширения его AC-структуры). Заметим,
что на многообразии M X N внутренним образом определено двумерное распределение Δ, такое, что
. Очевидно, это распределение снабжено
канонической почти эрмитовой структурой
, где – оператор поворота
на угол в положительном направлении. Очевидно также, что пара
, где
– метрика декартова произведения, является почти эрмитовой структурой на многообразии M X N. Заметим, что распределение
инвариантно относительно эндоморфизма J. Тройка
называется
линейным расширением исходного АС-многообразия [3]. На многообразии
внутренним образом определены векторное поле ν, порожденное единичным вектором числовой оси R, дуальная ему замкнутая 1-форма ζ, определяющая вполне интегрируемое уравнение Пфаффа
, максимальные интегральные многообразия которого естественно отождествляются с многообразием М,
а также векторное поле ξ и ковекторное поле η, соответственно, характеристическим вектором и контактной формой многообразия М. С их помощью реперы
типа
многообразия М естественно дополняются
до реперов типа
многообразия
. С этим
Преподаватель XX
ВЕК
3 / 2013
Физика и математика
многообразием естественно ассоциируется G-структура со структурной группой
, первая группа структурных уравнений которой имеет вид [11]:
(3)
(индексы
пробегают значения от 0 до n). Элементами тотального пространства этой G-структуры являются комплексные реперы вида
, где
.
Дополнив систему (1) уравнениями
, где
, и используя матрицу
перехода от репера к реперу , нетрудно установить фундаментальную связь
между структурными объектами G-структуры и [3]:
(4)
и формулы, комплексно сопряженные.
Пусть М –
-мерное почти контактное метрическое многообразие,
снабженное AC-структурой
. Обозначим через
фундаментальную форму структуры;
.
Определение 1 [3]. Формой Ли почти эрмитовой структуры
гообразии
называется форма
, где
на мно– фун-
даментальная форма структуры, δ – оператор кодифференцирования. Вектор β,
дуальный форме Ли, называется вектором Ли. Под формой Ли AC-структуры в
этой работе мы будем понимать форму Ли её линейного расширения.
Несложно проверить, что на пространстве присоединенной G-структуры
компоненты вектора (или формы) Ли находятся по формуле
или
с учетом (4),
(5)
Определение 2 [6]. AC-структура называется транссасакиевой (короче, TS-)
структурой, если ее линейное расширение принадлежит классу
в классификации Грея-Хервеллы.
AC-многообразие, снабженное транссасакиевой структурой называется транссасакиевым (короче, TS-) многообразием.
3 / 2013
Преподаватель XX
ВЕК
215
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
Напомним [5], что АH-структуры класса
в классификации Грея-Хервеллы
(структуры Вайсмана-Грея) на многообразии
определяется тождеством
,
– фундаментальная форма АН-структуры, δ – оператор ко-
где
дифференцирования. Непосредственным подсчетом проверяется, что это тождество равносильно следующим соотношениям на пространстве присоединенной G-структуры:
, где
– функ-
ции на пространстве присоединенной G-структуры, являющиеся компонентами
формы Ли.
– TS-многообразие.
Пусть
Теорема 1 [12]. АС-структура является TS-структурой
+ на пространстве
присоединенной G-структуры:
Доказательство. Пусть M – TS-многообразие. Согласно определению это
означает, что линейной расширение его AC-структуры принадлежит классу
Грея – Хервеллы. Как уже отмечалось, это равносильно соотношениям:
216
. Расписывая (4) с учетом этих соотношений, получаем: (1)
т.е.
; (3)
т.е.
; (5)
, т.е.
, т.е.
, а значит,
; (8)
; (2)
, т.е.
; (7)
, т.е.
,
; (4)
,
; (6)
, т.е.
, т.е.
, а значит,
, а значит,
. Наконец,
. Аналогично проверяются оставшиеся соотношения.
Следствие 1 [12]. Первая группа структурных уравнений TS-структуры на
пространстве присоединенной G-структуры имеет вид:
(6)
Преподаватель XX
ВЕК
3 / 2013
Физика и математика
Следствие 2. Для компонент ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма TS-структуры на пространстве присоединенной G-структуры
имеем:
,
а остальные компоненты нулевые.
Тензором (или оператором) Нейенхейса эндоморфизма Ф называется тензор типа (1,2), определенный формулой:
.
(7)
Его обращение в нуль равносильно интегрируемости структуры [13]. Прямой подсчет с учетом тождества
показывает, что
.
(8)
С учетом Следствия 2 получаем отсюда, что на пространстве присоединенной G-структуры компоненты тензора N определяются тождествами
(9)
.
Остальные компоненты тензора Нейенхейса тождественно равны нулю.
Из (9) следует, что TS-структура интегрируема тогда и только тогда, когда
.
Кроме того из Следствия 1 следует, что контактная форма TS-структуры замкнута тогда и только тогда, когда
.
Таким образом, условие интегрируемости и замкнутости контактной формы
для TS-структуры равносильны.
Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если
. Учитывая, что
, – естественная проекция пространства присоединенной G-структуры на многообразие М, то согласно Следствию 1
и (9), условие нормальности равносильно соотношению
.
Таким образом, TS-структура нормальна тогда и только тогда, когда
.
Т.е. доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть
– AC-структура. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
(1)
интегрируемая TS-структура;
(2)
– TS-структура, имеющая замкнутую контактную
форму;
(3)
– нормальная TS-структура.
Далее, компоненты фундаментальной формы AC-структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид
, а значит,
. Дифференцируя это соотношение внешним образом с
учетом Следствия 1 получим, что
3 / 2013
.
Преподаватель XX
ВЕК
217
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
Напомним [10], что нормальная почти контактная метрическая структура с
замкнутой фундаментальной формой называется квазисасакиевой структурой.
Таким образом, TS-структура имеет замкнутую фундаментальную форму тог. А значит, TS-структура является квазисасада и только тогда, когда
киевой тогда и только тогда, когда
, т.е.
– контактная форма
является козамкнутой. Т.е. доказана следующая теорема.
Теорема 3. TS-структура является квазисасакиевой тогда и только тогда, когда
, т.е.
.
Напомним [14], что нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой структурой. А AC-структура, характеризуемая тождество
, то из Следствия 1 следует следующая
теорема.
Теорема 4. TS-структура является: сасакиевой
; косимплектической
; Кенмоцу
.
Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы
структурных уравнений дает нам вторую группу структурных уравнений TSструктуры на пространстве присоединенной G-структуры:
(10)
.
Кроме того получим следующие разложения:
;
(11)
.
218
При этом имеют место следующие соотношения:
1)
4)
[
[
|0| ]
]
[
=
= 0; 5)
= 0; 10)
9)
0
[
[
]
; 2)
]
]
0
[
]
=
= 0; 6)
=
1
2
{(
0) 2
[
|0| ] ;
= 0; 7)
−(
0)
2} [
00
3)
[
]0
]
−
= −
00
1
√2
; 11)
0
Рассмотрим соотношение (12:8), т.е.
+
[
=
1
√2
0
1
√2
{(
];
0) 2
8)
0
−(
0
; 12)
0)
2}
= −
[
= 0;
1
√2
]0
0
=
1
√2
Преподаватель XX
. Аналогично, из равенства
ВЕК
]
.
, т.е.
.
Таким образом,
либо
0
,
которое с учетом (12:1), дает
по индексам a и c равенство
[
(12)
. Проальтернируем это
равенство по индексам a и c, тогда с учетом (12:12)
, т.е.
;
. И, наконец, свернем
, тогда
, т.е. либо
получим либо
,
, либо
3 / 2013
Физика и математика
. Далее в работе мы полагаем, что
, т.е.
. А, значит,
.
Тогда разложения (10) и (11) примут вид:
,
где
(14)
.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 5. Полная группа структурных уравнений TS-структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид:
;
;
;
;
;
.
Для тензорных компонент формы римановой связности имеем следующие
соотношения на пространстве присоединенной G-структуры [10]:
219
(15)
.
Согласно Следствию 2 к Теореме 1 соотношения (15) для TS-структуры примут вид:
(16)
.
Продифференцировав (16) внешним образом, с учетом (6) и (13), получим:
3 / 2013
Преподаватель XX
ВЕК
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
3)
0
= −
4)
0
=
5)
0
= −
6)
0
=
1
1
0
√2
√2
1
√2
1
√2
0
0
√2
−
/
−
/
00
1
√2
+
00
√2
1
00
√2
+
1
√2
(
0) 2
(
√2
1
+
00
1
+
√2
1
+
/
0
1
+
/
0)
2
(
2
0)
/ ;
(17)
1
√2
/ ;
0) 2
(
/ ;
/ .
Рассмотрим вторую группу структурных уравнений римановой связности
[10]:
(18)
,
– компоненты тензора Римана-Кристоффеля.
где
Расписывая (18) на пространстве присоединенной G-структуры, получим:
1
1
( 0) 2 ;
1) 0 0 = −
00 +
√2
√2
2)
0
3)
4)
=
0
1
= −
0 0
=
−
1
2
√2
1
[
6)
0 0
= −
0(
= (
=
1
+
1
0) 2
1
√2
0)
2 [
]
0(
0
0) 2
+
;
;
1
2
0
0;
(19)
];
[
+
0) 2
(
0)
−
= (
[
2
0
00
√2
7)
8)
00
]
1
+
√2
1
(
+
√2
√2
5)
220
00
(
]
0)
;
;
0)
−
2
−
1
2
0
.
0
А остальные компоненты нулевые.
Используя (19), вычислим по формуле
S на пространстве присоединенной G-структуры:
1)
00
= −
00
√2
+
00
+
1
√2
= − √2
Преподаватель XX
ВЕК
[(
0) 2
00
+
0)
+(
1
√2
(
2]
0)
2
компоненты тензора Риччи
= − √2
00
+
1
√2
(
0) 2
;
3 / 2013
(20)
Физика и математика
5)
= −
1
−
√2
−
= −
6)
−
00
√2
−
0
2
0
[
+
1
2
+
]
0) 2
(
√2
2
0)
+
0
1
+
(
√2
0
2
1
1
+
00
(
[
2
0)
1
+
0) 2
]{(
[
0
−
0}
−
;
2
[
]{(
](
0) 2
.
0) 2
0
−
0}
−
В частности, скалярная кривизна χ QS-многообразия вычисляется по
формуле
=
−
−
−
00
=
−
00
√2
( − 1)
2
00
√2
+
(
1
√2
0) 2
(
00
+
1
√2
0) 2
− √2
+
(
+
0)
+
00
2
( 1− )
+
( 1− )
4
−
= −
0) 2
{(
2(
0)
2
0) 2
{(
4
−
0
0
−
0}
0}
2
−
( 3 − 1)
+
00
√2
+
00
2
−
0
2
0
2
0
2
+
[(
( 1− )
2
0) 2
( 1− )
+
0
+
0
1
√2
2
(
0)
2
+(
0)
(
2
0)
= −2
0.
2]
−
−
−
−
(21)
В заключение рассмотрим TS-многообразия постоянной кривизны k.
Известно, что в случае постоянства кривизны ковариантный тензор римановой кривизны удовлетворяет условию:
.
Пусть
(22)
– AC-многообразие, снабженное TS-структурой
( , , Φ,
=
221
.
Поскольку ненулевые компоненты тензора римановой кривизны имеют
вид:
1
1
( 0) 2 ;
1) 0 0 = −
00 +
√2
√2
1
1
00
( 0) 2 ;
2) 0 0 = −
+
√2
√2
1
1
00
( 0) 2 ;
3) 0 0 =
+
√2
√2
4)
=
−
1
2
[
3 / 2013
0 0
0(
= (
5)
6)
]
=
1
√2
0)
00
0
0)
−
2
+
+
1
0
2
];
[
1
√2
(
0;
(23)
0)
2
;
Преподаватель XX
ВЕК
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ
= (
7)
8)
= −
+−
1
2
0)
[
2 [
0(
]
]
0
;
0)
−
−
1
2
0
,
0
то соотношение (22) можно расписать на пространстве присоединенной
G-структуры следующим образом:
0
1)
0
= −
1
т.е. −
00
√2
1
00
√2
+
1
√2
(
0)
1
+
2
(
√2
0)
2
= −
=
−
т.е.
1
2
3)
(
0)
2
(
0)
2
[
= (
−
]
0
1
[
2
0(
)2
0
[
0(
]
0)
−
]
=
−
00
0
0)
=
,
. Свернем полученное равенство по индексам
=
a и b. Тогда получим
2)
(
=
0
+
(
−
1
0)
1
+
0
2
00
√2
1
+
√2
1
(
0
2
0
0)
0
= −
2
.
(
=
) = −
−
,
.
) =
−
(24)
−
= −
, т.е.
.
[
] = −
Рассмотрим равенство
[
]
= −
1
= − 2(
−
, т.е.
0)
2
−
). Полученное
равенство свернем сначала по индексам a и c, а затем по индексам b и d, тогда
получим
1
( − 1) = − (
2
0)
2
( − 1). Отсюда, поскольку мы рассматриваем
многообразия размерности больше 3, мы получаем, что
1
222
= − 2(
Из (24) и (25) следует, что
00
Теорема 6. TS-многообразие
0)
2
.
(25)
= 0.
постоянной кривизны k является много-
образием не положительной кривизны k, причем
тогда и только тогда,
когда 0 = 0, т.е. TS-многообразие является косимплектическим.
Доказательство непосредственно следует из (25) и Теоремы 4.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Sasaki S., Hatakeyama Y. On differential manifolds with certain structures which are closely
related to almost contact structure // II, Tôhoku Math. J. – 13 (1961). – № 2. – P. 281–294.
Tashiro Y. On contact structure of hypersurfaces in almost complex manifolds // Tôhoku Math. J.
– 192 (1963). – № 15. – P. 62–78.
Кириченко В.Ф., Родина Е.В. О геометрии транссасакиевых многообразий // Фундаментальная и прикладная математика. – 1997. – Т. 3. – № 3. – С. 837–846.
Nakayama S. On a classification of an almost contact metric structures // Tensor. – 1968. – V. 9.
– № 1. – P. 1–7.
Преподаватель XX
ВЕК
3 / 2013
Физика и математика
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants
// Ann. Math. Pura ed Appl. – 1980. – V. 123. – P. 35–58.
Oubiña J.A. New classes of almost contact metric structures // Publ. Mat. – 1985. – V. 32. –
№ 3–4. – P. 187–193.
Goldberg S. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds // Pacif. J. Math. – 27 (1968).
– № 2. – 275–281.
Kobayashi S. Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group // Tôhoku Math. J. – 8
(1956). – P. 29–45.
Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия главных тороидальных расслоений // Фундаментальная и прикладная математика. – 6 (2000). – № 4. – 1095–1120.
Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. – 2002. – Т. 193. – № 8. – С. 70–100.
Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Мат. сб. – 198 (1998). – № 1. – С. 21–44.
Родина Е.В. Линейные расширения почти контактных метрических многообразий: Дис. …
канд. физ.-мат. наук. – М.: МПГУ, 1997.
Кобаяши Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. – М.: Наука, 1981.
Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – М.:
МПГУ, 2003. – 495 с.
■
223
3 / 2013
Преподаватель XX
ВЕК
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 567 Кб
Теги
транссасакиевых, геометрия, многообразие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа