close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О движении и устойчивости гибкой нити в ньютоновском центральном поле сил.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
11. Onsager L. Electric moments of molecules in liquids // J. Am.
Chem. Soc. 1936. V. 58. P. 1486–1493.
12. Kirkwood J. G. Theory of solutions of molecules containing
widely separated charges with special application to amphoteric
ions // J. Chem. Phys. 1934. №2. P. 351–361.
13. Lee C., Yang W., Parr R. G. Development of the ColleSalvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 785–789.
14. Tomasi J. Mennucci B., Cancès E. The IEF version of the
PCM solvation method: an overview of a new method addressed
to study molecular solutes at the QM ab initio level // J. Mol.
Struct. (THEOCHEM). 1999. №464. P. 211–226.
15. Bartmess J. E., Scott J. A., McIver Jr. R. T. Scale of Acidities
in the Gas Phase from Methanol to Phenol // J. Am. Chem. Soc.
1979. V. 101. P. 6046–6056.
16. Smith J.R., Kim J.B., Lineberger W.C. High-resolution
Threshold Photodetachment Spectroscopy of OH // Phys. Rev.
A. 1997. V. 55. P. 2036.
17. Неэмпирическое квантово-химическое исследование
механизма реакции образования этинид-иона в системе
С2Н2/MOH/ДМСО (M = Li, Na, K) / Е.Ю.Ларионова [и др.] //
Журн. структур. химии. 2009. Т. 50, № 1. С. 33–39.
18. Нуклеофильное присоединение к ацетиленам в сверхосновных каталитических системах VII. Винилирование низших
спиртов / Б.А.Трофимов [и др.] // ЖрОХ. 1995. Вып.5, т.31.
С. 647–650.
19. Chipman D.M. Computation of pKa from Dielectric Continuum Theory // J. Phys. Chem. 2002. V. 106. P. 7413–7422.
20. Westphal E., Pliego J.R. Absolute solvation free energy of
Li+ and Na+ ions in dimethyl sulfoxidesolution: A theoretical ab
initio and cluster-continuum model study // J. Chem. Phys.
2005. V. 123. Р. 074508.
21. Almerindo G. I., Tondo D. W. , Pliego Jr. J. R. Ionization of
organic acids in dimethyl sulfoxide solution: a theoretical ab initio
calculation of the pKa using a new parametrization of the polarizable continuum model // J. Phys. Chem. A. 2004. V. 108.,
№1. P. 166–171.
22. Bordwell F.G. Equilibrium Acidities in Dimethyl Sulfoxide
Solution // Acc. Chem. Res. 1988. V. 21. P. 456 – 463.
23. Lima G. F., Duarte H. A., Pliego Jr. J. R. Dynamical Discrete/Continuum Linear Response Shells Theory of Solvation:
+
−
Convergence Test for NH4 and OH Ions in Water Solution
Using DFT and DFTB Methods // J. Phys. Chem. B. 2010. V.
114., №48. P. 15941–15947.
24. Неэмпирическое квантово-химическое исследование
формирования анионных нуклеофилов в координационной
сфере гидроксидов щелочных металлов MOH (M = Li, Na, K
Rb) в сфере ДМСО / Е.Ю.Ларионова, А.Д.Скитневская,
Н.В.Кэмпф, С.А. Пивоварова // Всероссийская молодежная
конференция–школа, идеи и наследования А.Е. Фаворского
в органической и металлорганической химии XXI в.: тез.
докл., (Санкт-Петербург, 23 – 26 марта 2010.). – СПб., 2010.
С. 79.
УДК 629.7.087.22
О ДВИЖЕНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ ГИБКОЙ НИТИ В НЬЮТОНОВСКОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ
ПОЛЕ СИЛ
С.А.Сенотова1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
На основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получены нелинейные дифференциальные
уравнения движения нити с грузом на конце в ньютоновском центральном поле сил. Найдено частное решение,
соответствующее положению равновесия. Построен функционал Ляпунова-Четаева. С его помощью на основании теоремы Мовчана доказана устойчивость положения равновесия.
Библиогр. 11 назв.
Ключевые слова: орбитальные тросовые системы; вариационный принцип Гамильтона-Остроградского;
теорема Мовчана.
ON MOTION AND STABILITY OF A FLEXIBLE FILAMENT IN A NEWTONIAN CENTRAL FIELD OF FORCES
S.A. Senotova
National Research Irkutsk State Technical University,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
Based on the variational principle of Hamilton-Ostrogradsky the author obtains nonlinear differential equations of motion
of the filament with a weight at the end in the Newtonian central field of forces. A particular solution corresponding to the
equilibrium position is found. Lyapunov-Chetaev’s functional is constructed. With its help on the basis of the Movchan’s
theorem the stability of the equilibrium position is proved.
11 sources.
Key words: orbital cable systems; variational principle of Hamilton-Ostrogradsky; Movchan’s theorem.
Изучению движения и устойчивости гибкой нити
посвящены работы многих авторов [1-3]. В последние
годы к этой задаче возник интерес в связи с изучением орбитальных тросовых систем [4-7].
Тросовые системы отличаются тремя основными
особенностями от космических аппаратов традиционного типа [6]. Первая – большая протяженность, обеспечивающая устойчивое вертикальное положение
___________________________
1
Сенотова Светлана Анатольевна, кандидат технических наук, доцент кафедры общеинженерной подготовки, тел.:
89021723488, e-mail: sveta-senotova@mail.ru
Senotova Svetlana, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Departmen t of General Engineering Training, tel.:
89021723488, e-mail: sveta-senotova@mail.ru
ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (51) 2011
187
Естественные науки
системы на орбите, причем на концах системы создается малая искусственная тяжесть. Вторая особенность – гибко изменяемая конфигурация, возможность
изменения длины тросов путем их выпуска и втягивания. Это позволяет регулировать взаимное положение
и ориентацию аппаратов, присоединять и отцеплять
другие объекты от тросов, передвигать по ним грузы.
Третье отличие – активное взаимодействие электропроводного троса с внешней средой, в первую очередь, с магнитным полем и ионосферой Земли, обеспечивающее функционирование системы в генераторном, двигательном, электропередающем и излучательном режимах.
1. Уравнения движения. Рассмотрим гибкую, однородную, нерастяжимую нить длины l в ньютоновском центральном поле сил, один конец которой закреплен, а другой конец несет точечный груз массы
M . Положение точки C нити задается дуговой координатой s  OC в положении равновесия. Обо-
vs, t  , u s, t  проекции точки C на
значим через
оси Ox , Oy .
Расстояние от точки закрепления нити до притягивающего центра R . Расстояние от начала координат
до точки C1 с декартовыми координатами
xs, t   vs, t  , ys, t   s  us, t 
v
r0 
Расстояние от точки
тра
2

 u  s  .
2
C1 до притягивающего цен-
O1
r  v2  R  u  s  .
2
Так как нить предполагается нерастяжимой, то в
каждой ее точке выполняется условие нерастяжимости
 v   u 
V1     1    1 .
 s   s 
2





M 2
T   v  u ds 
v1  u12 ,
2
2
0
2
2
рассмотрение
U 
0

r
ds 
M
r1
членами второго порядка малости.
Обозначим
g
(1.2)
(1.3)
где  – произведение гравитационной постоянной и
массы притягивающего центра,  – плотность нити,
r1  v12  R  u1  l  , v1  vl , t  ,
2
u1  ul , t  .

R
2
,
 02 

R3
.
(1.4)
С учетом (1.4) приближенное выражение силовой
функции примет вид




l


2
2
U     gR  g u  s   0 2u  s   v 2  ds 
2

0 
(1.5)


 02
2
 M  gR  g u1  l  
2u1  l   v12  .
2


Запишем уравнения движения нити с приближенным выражением силовой функции, которые были
получены на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского [8]:
 v 
  0 v 
 T
    02 v;
s  s
 u 
  0  u 
 T 1 
    g  2   02 u  s .


 s    s  
s  l
v
M v1   M 02 v1  T 10 1 ;
s
При
(1.6)
 u 
M u1  M g  2  02 u1  l   T 101  1  ,
s 

0
0
где T s, t  – натяжение нити, T 1 l , t  .


v0, t   0 , u0, t   0 .
(1.7)
Система (1.6) – (1.7) распадается на две краевые
задачи. Первая задача описывает перемещения нити
с грузом на конце по горизонтали
При s  l
,
параметр
r0
 1 и разложим силовую функцию (1.3) в ряд
R
Тейлора в окрестности точки   0 , ограничиваясь
 v 
l
малый

(1.1)
 
где   
,
 t 
  0 v 
 T
    02 v
s  s
M v1  M 02 v1  T 10
 
v1
s
При s  0 v 0, t  0 .
Вторая задача описывает перемещения по вертикали
 u 
При
188
в
Условие закрепления нити имеет вид
2
Кинетическая энергия и силовая функция представляются выражениями
l
Введем
  0  u 
 T 1 
    g  2   02 u  s 


 s    s  
s l
ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (51) 2011
Естественные науки
 u 
M u1  M g  2  02 u1  l   T 101  1 
s 

При s  0 u 0, t   0 .



l
0
l
l
2
2
  T 0 s v ds  g  M   l  s u ds  (2.2)
0
Теоремы существования и единственности решения для краевых задач в области 0  s  l , t  0
рассматриваются в книге А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [9]. Однако достоинство прямого метода Ляпунова состоит в том, что он позволяет исследовать
устойчивость частного решения системы уравнений,
не находя общего решения.
Умножим первое уравнение системы (1.6) на v ,
второе – на u , третье – на v1 , четвертое – на u1 .
Проинтегрируем первое и второе уравнения по s от
0 до l и сложим первое уравнение со вторым, а третье с четвертым. В ходе преобразований учтем краевые условия (1.7), условие нерастяжимости нити (1.1)
и в результате получим интеграл энергии
l

1


2
E    v 2  u 2    02 R u  2u  s   v 2  ds 
(1.8)
2
2


0 







M 2 2
1


2
v 1  u 1  M 02 R u1  2u1  l   v 12 .
2
2




T 0 s   g M   l  s    02 2M l   l 2  s 2 .
2. Устойчивость. Исследуем на устойчивость положение равновесия (1.9). Построим функционал Ляпунова-Четаева в виде
l
1
V  E  E0   T 0 s V1 ds ,
20
0



  02  2M l   l 2  s 2 u ds 

0
2

M v  u 12   02 v 12  2  02 u 12 ,

2
1
где  ' 

 
.
 s 
Определенно-положительность функционала (2.2)
нетривиальна, так как имеются слагаемые с отрицательными знаками. Поэтому рассмотрим две задачи
на собственные значения.
Утверждение 1.
f1
 2 ,
f2
F1 
(2.3)
l
f1   g M   l  s u ds ,
2
l
(1.9)

l
0
Система (1.6) допускает частное решение, соответствующее положению равновесия, в котором нить
расположена по вертикали
v 0, u 0,

2 2V    u 2  v 2   02 v 2  2 02 u 2 ds 
(2.1)
E – интеграл энергии, E0 – значение интеграла
энергии вдоль невозмущенного движения, V1 опреде0
ляется формулой (1.1), T s  имеет вид (1.9).
f 2    u 2ds  M u 12 ,
0
где 2 – наименьший положительный корень уравнения



l  
l 
l 
J 0  2  2   g Y0  2 1    l1 Y0  2 1  
g  
g
g  (2.4)






l  
l 
l 
Y0  2  2   g J 0  2 1    l1 J 0  2 1   0.
g  
g
g 



J 0 и Y0 – функции Бесселя первого и второго
M
рода нулевого порядка, l1 
, l2  l1  l .

Утверждение 2.
где
Разложим функционал (2.1) в ряд в окрестности
положения равновесия. Вдоль невозмущенного движения функционал и его первая вариация обращаются в ноль, все вариации, начиная с третьей, также
равны нулю. Таким образом, из определенноположительности и непрерывности второй вариации
функционала
будет
следовать
определенноположительность и непрерывность самого функционала.
Запишем вторую вариацию, сохранив прежние
обозначения для отклонений переменных от их невозмущенных движений.
l
F2 
f3
 2,
f2



(2.5)
f3   2M l   l 2  s 2 u ds .
2
0
Докажем неравенства (2.3) и (2.5). Найдем минимум функционалов F1 и F2 в классе функций, опре-
 
деленных на отрезке 0, l , имеющих непрерывные
производные до второго порядка включительно и удовлетворяющих кинематическим граничным условиям
(1.7). Для этого приравняем нулю первые вариации
F1 и F2 , в результате получим задачи на собственные значения.
Представим u s, t в виде произведения двух
функций
u s, t   s  t .
(2.6)
 
 
ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (51) 2011
  
189
Естественные науки
F1
 x  0  0
С учетом (2.6) краевая задача для функционала
примет вид
d 
d 
Mg   g l  s     1    0
ds 
ds
 d

g



1  s l  0
 ds


(2.8)
 0  0
Положим 1
ных по формуле
(2.9)
 2 и произведем замену перемен-
l2  s 
g
4
z2 .
2
(2.10)
После подстановки (2.10) уравнение (2.7) приведется к уравнению Бесселя
z2
d 2
d
z
 z 2  0 .
2
dz
dz

l3  l
(2.7)
(2.14)
 l  2M l
.


2
Уравнение (2.13) при   n n  1 будет уравнением Лежандра. Его решением являются функции Лежандра первого и второго рода. При n  0 ,   0
решение будет тривиальным. Полагая n  1 ,   2 ,
получим ненулевое решение краевой задачи (2.13) –
(2.14)
 x  x.

Следовательно,   2 – наименьшее собственное значение.
С учетом неравенств (2.3) и(2.5) функционал (2.2)
примет вид

l

2  2V    u 2  v 2   02 v 2 ds 
0
l
 T s v ds 
2
0
Его решение имеет вид
0
l
 z   C1 J 0 z   C2 Y0 z 
 [  Mg   g l  s u ds 
2
(2.11)
0
l
или (снова переходим к переменной
 2   u 2 ds  2 M u 12 ] 
s)

l s 

  2  2
g 

0
l


l s 
l s 
  C2 Y0  2  2
.
 C1 J 0  2  2



g
g




(2.12)
 2   u 2 ds  2 M u 12 
0
l



 [ 02  2 M l   l 2  s 2 u ds 
2
0
l
Подставим (2.12) в краевые условия (2.8) и (2.9) и
получим систему однородных алгебраических уравнений относительно C1 и C 2 , которая имеет ненулевое
решение тогда и только тогда, когда ее определитель
равен нулю. Раскрыв определитель, получим уравнение (2.4). Это уравнение имеет бесчисленное множество положительных корней, которые можно определить на ЭВМ [10].
Введем новую переменную x
 l 2  2M l
и напишем краевую задачу для функционала
d  2
d 
 x 1
  0
dx 
d x
 d

    x  l3  0
2 x
 dx


190


0

 M v 12  u 12   02 v 12 .
Отсюда следует, что функционал ЛяпуноваЧетаева определенно положителен по метрике
1    u 2  v 2  u 2  v 2  ds 
l
0
 u  v 12 u 12  v 12
2
1

xs
 2  02   u 2 ds  2  02 M u 12 ] 
и непрерывен по метрике
F2
l


2  1   T 0 s  u2  v2 ds .
0
(2.13)
На основании теоремы Мовчана [11] заключаем,
что положение равновесия (1.9) устойчиво по метрикам 1 2 .
ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (51) 2011
Естественные науки
Библиографический список
1. Минаков А.П. Основы механики нити // Научно7. Асламов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой
исследовательские труды Московского текстильного инстина колебания спутника // Прикладная математика и механитута. 1941. т. 9. вып. 1.
ка. 2010. т. 74. № 4. С. 582–593.
2. Щедров В.С. Основы механики гибкой нити. М.: Машгиз.
8. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями,
1961.
содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.
3. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука.
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
1980.
физики. М.: МГУ. 2004.
4. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросо10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз.
вых систем. М.: Наука, 1990.
1961.
5. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость
11. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам.
упругих спутников. Новосибирск: Наука, 1990.
// Прикладная математика и механика. 1960. т. 24. вып. 6.
6. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. Космические тросовые системы: история и перспективы развития // Земля и Вселенная.
1998. № 4.
ВЕСТНИК ИрГТУ №4 (51) 2011
191
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 988 Кб
Теги
поле, движение, нити, устойчивость, ньютоновские, сил, центральной, гибкой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа