close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению.

код для вставкиСкачать
УДК
517.925
Вестник СПбГУ. Сер.
10, 2004,
вып.
4
Н. А. Степен:к;о
О ДИССИПАТИВНОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ПО НЕЛИНЕЙНОМ'У ПРИБЛИЖЕНИЮ
В данной статье рассматриваются задачи, связанные с исследованием свойств огра­
ниченности движений возмущенных систем по нелинейнему приближению.
В. И. Зубов в работе
[1]
показал, что при воздействии на асимптотически устойчи­
вую однородную систему возмущениями, порядок которых больше порядка функций,
входящих в правые части системы, нулевое решение остается асимптотически устойчи­
вым. А в случае когда порядок возмущающих функций меньше порядка правых частей
системы, возмущенная система будет равномерно диссипативной
[2].
В
[3]
изучались
системы с обобщенно-однородными правыми частями и были выделены классы систем,
все решения которых ограничены при возрастании времени. В
[4]
для некоторых клас­
сов нестационарных систем получены условия равномерной диссипативности, которые
существенно расширили область возможных порядков функций, входящих в правые
части систем.
Развивая эти исследования, в п.
1
настоящей статьи в качестве систем первого
приближения рассматриваются системы уравнений, правые части которых являются
обобщенно-однородными функциями.
Предполагая, что для системы первого при­
ближения существует непрерывно дифференцируемая обобщенно-однородная функция
Ляпунова, определяются достаточные условия равномерной диссипативности возму­
щенных систем по обобщенно-однородному первому приближению, причем порядки
возмущающих функций могут превосходить порядок правых частей исходной системы.
В п.
2
изучается вопрос о равномерной диссипативности систем уравнений по пер­
вому приближению специального вида.
В работе
[5]
была доказана теорема о канонической структуре силовых полей, со­
гласно которой любая автономная система дифференциальных уравнений с непрерывно
дифференцируемыми правыми частями всегда может быть представлена в виде
Х = дW(Х) G(X)X
ах +
'
где
G(X) -
кососимметрическая матрица.
ференцируемая при всех Х Е
En,
Здесь функция
(1)
W(X),
непрерывно диф­
является потенциалом поля скоростей, а функция
G(X)X представляет собой солен.оидалън.ое поле. Физическое свойство соленоидаль­
нога поля сил заключается в том, что оно не дает вклада в элементарную работу, а
именно X*G(X)X
=
О.
В данной статье, рассматривая в качестве системы первого приближения сис­
тему
(1), определяются условия сохранения равномерной диссипативности систем при
наличии внешних возмущающих воздействий.
При этом предполагается, что
W(X)
является отрицательно-определенной однородной функцией.
1.
Пусть задана система дифференциальных уравнений
Х = F(t,X),
©Н . А . Степенко,
160
2004
(2)
в которой функция
Определение
F(t, Х)
1 [2,
с.
определена и непрерывна при всех
289].
Система
(2)
t 2::
О, Х Е
En.
называется равномерно диссипативной,
D, -ч.то для любого Q > О найдется
достато-ч.но болъшое Т> О тах:ое, -ч.то для х:а:ждой на-ч.алъной то-ч.х:и Хо,
< Q, и
всях:ого на-ч.алъного мо.мента времени to 2:: О вътолняется неравенство
Хо,
<
если существует тах:ое поло:жителъное -ч.исло
IIXoll
IIX(t, to)ll
<D
при всех
t
2::
to
+ Т.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
k
х = F(X)
+ LBj(t)Hj(X).
(3)
j=l
=
=
Вектор-функции F(X)
(f1(X), ... ,fn(X))*,Hj(X)
(hlj(X), ... ,hпj(X))* опреде­
лены и непрерывны при всех Х Е En, а вектор-функции В j (t) = ( blj (t), ... , Ьnj (t)) *
непрерывны и ограничены при
t 2::
О вместе с интегралами
t
Isj(t)=
Jьsj(т)dт,
s=1, ... ,п,
j=1, ... ,k.
о
Будем считать, что функции
(m1, ... , тп) порядка m 8
as 2:: О.
fs(X), hsj(X)
+ f-L и m
8
являются обобщенно-однородными класса
+а s соответственно, причем f-L, а s
<О
и
ms + J-L, ms +
Предположим далее , что существует непрерывно дифференцируемая положитель­
но-определенная обобщенно-однородная функция
V(X)
класса
(m 1 , ... , тп)
порядка
т> О такая, что функция
W(X) =
:t дV(Х)
дхs
s=l
отрицательно-определенная.
нородной функцией класса
Известно
(m 1 , ... , тп)
[3,
с.
fs(X)
187], что W(X) будет обобщенно-од­
m+ f-L· Тогда нулевое решение системы
порядка
Х
= F(X)
В работе [3, с. 197, 198] показано, что при а 8 > f-L нуле­
(3) также асимптотически устойчиво, а при а 8 < f-L система (3)
асимптотически устойчиво.
вое решение системы
равномерно диссипативна. Докажем теперь теорему, которая позволяет уточнить эти
известные условия равномерной диссипативности для систем вида
Теорема
1.
(3).
Если фунх:ции
дVд(Х) hsj(X),
s = 1, ... , n, j
= 1, ... , k,
(4)
Xs
непрерывно дифференцируемы, то при выполнении неравенств
2а 8
система
(3)
< J-L,
(5)
s = 1, ... , n,
.является равномерно диссипативной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию Ляпунова
[4]
вида
161
Здесь выражения
дVд(Х) hsj(X),
s = 1, ... , n, j = 1, ... , k,
Xs
есть обобщенно-однородные функции класса (т 1 ,
если ввести обозначение
z=
n
L
1
lxs 1 тn~
,
... ,тп)
порядка т+ а 8 •
Поэтому
тонетрудно увидеть, что выполнены следующие
s=1
неравенства:
av(x) h SJ·(x)l <- azm+0'3 '
1д
где а
-
Xs
некоторая положительная постоянная, а т
+
а s ~ О, так как это значение
является порядком непрерывной обобщенно-однородной функции.
Тогда, в силу ограниченности интегралов
Isj(t),
также будут выполнены нера-
венства
s=1
в которых а1, а2, аз
s=1
- положительные постоянные, причем а2 ~ а1.
Найдем теперь полную производную от функции
здесь функция
(т1,
... ,тп)
V1 (t, Х) в силу системы (3). Имеем
отрицательно-определенная обобщенно-однородная класса
W(X) -
порядкат+J.L. Из ограниченности функций Ьri(t),Isj(t) при
t
~О следует,
что
dV,1 (t Х)
'
dt
постоянные а 4 , а 5 , а 6
Учитывая, что а 8
1
(3}
-
<
-
n
-а zm+JL +а """zm+O'~+I-' +а
/
4
5
L.J
s=l
6
n
"""
zm+O"~+O'r
L.J
'
r,s=1
положительные.
<
О и принимая во внимание неравенства
(5),
получаем, что в
некоторой области
t ~ о, IIXII ~ R,
где
R -
достаточно большое положительное число, функция
(6)
V1 (t, Х)
удовлетворяет
оценке
~a1zm ~ V1(t,X) ~ ~a2zm,
а ее полная производная в силу системы
(3)
-оценке
dV1 (t, Х) 1 < --a4z
1
m+JL .
(3} 2
dt
(7)
Тогданетрудно показать, что выполнены условия теоремы Йосидзавы (2, с. 290], и,
следовательно, система
162
(3)
является равномерно диссипативной.
3
а меч а н и е
1.
Система
(3)
будет равномерно диссипативной и в случае J-L
если функции Ьsj(t) на промежутке
(0, +оо)
= 20" 8 ,
удовлетворяют неравенствам
(8)
при т
3
-
достаточно малой положительной величине.
а м е ч а н и е
оценки
(8)
интегралов
Когда же функции Ьsj(t) не являются достаточно малыми,
2.
можно заменить аналогичными условиями, накладываемыми на величины
lsj(t).
Пусть возмущенная система
(3)
имеет вид
k
Х = F(X)
+ 2::::: Cj(wt)Hj(X).
(3')
j=l
Здесь w - положительный параметр, вектор-функции
рывны и ограничены при
Теорема
2.
t
Cj(t)
= (clj(t), ... , Cnj(t))*
непре­
~О вместе со своими интегралами.
Существует положителъное -число
тах;ое, -что при всех
w0
w
~
w0
и
при вътолнении неравенств
20" 8 ~J-L,
систе.ма
(3')
s=1, ... ,n,
является равномерно диссипативной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Несложно убедиться, что
lьri(t)I,;(t)l = ~~c,.i(wt)
wt
1
c,;(r)drl ::: : ,
о
где а 6 -
положительная постоянная.
доказательству теоремы
1,
Тогда при достаточно большом числе
Следовательно, система
Проводя дальнейшие рассуждения аналогично
получаем, что
(3')
w0
в области
(6)
будет выполнена оценка
(7).
равномерно диссипативна.
Покажем далее, что в случае, когда функции Ьsj(t) удовлетворяют некоторым до­
полнительным условиям, область значений параметров
равномерная диссипативность системы
(3),
J-L и О" s, при которых имеет место
можно расширить, используя несколько мо­
дифицированный способ построения функции Ляпунова
d~ji) (t) = Ьri(t)Isj (t),
непрерывные и ограниченные при
t
r, s = 1, ... , n,
(6].
Рассмотрим функции
i, j = 1, ... , k,
~О. Предположим, что функции
(4)
непрерывно
дифференцируемы, а интегралы
1d~ji)(r)dr,
t
J;ji)(t) =
r,s = 1, ... ,n,
i,j = 1, ... ,k,
о
ограничены при
t
~О.
163
Теорема
3.
Если фунх;ции
r, s = 1, ... , п,
i, j = 1, ... , k,
непрерывно дифференцируемы, то при вътолнении неравенств
3(]' 8 <р,,
система
(3)
s=1, ... ,п,
является равномерно диссипативной.
Для доказательства теоремы достаточно выбрать функцию Ляпунова вида
и повторить весь ход рассуждений доказательства теоремы
3
а меч а н и е
3.
1.
Накладывая аналогичным образом новые условия на функции
Ьsj(t), можно продолжить процесс построения функций Ляпунова и расширить область
параметров р, и
(]' s,
при которых имеет место равномерная диссипативность системы
Для пояснения этого замечания рассмотрим случай, когда система
(3)
(3).
представима
в виде
±s = fs(X)
+ b(t)hs(X),
s = 1, ... , п.
(9)
Тогда функции Ляпунова можно определить по формуле
v.(t, Х)
f (-k~)k JЬ(т)dт)
t
= V(X)
+
(
k=1
где
~ ask-1(x)
Sk(X) = L.....J
hs(X), S 0 = V(X).
k S•(X),
о
Условия равномерной диссипативности,
s=l
Xs
получающиеся с помощью этих функций, имеют вид
Если все функции
то система
(9)
Vp(t,X)
щихнеравенствам J.L <О,
3
непрерывно дифференцируемы по компонентам вектораХ,
равномерно диссипативна при любых значениях J.L и
а меч а н и е
4.
(]' 8 <
О и
m8
8
удовлетворяю­
8
Требование непрерывной дифференцируемости функций
водит к существенным ограничениям на параметры J.L и
диссипативности системы
ференцируемы при
(]' 8 ,
+ р, 2:: О, m + (]' 2:: О.
(3)
IIXII 2:: R,
(]' 8 •
(4)
при­
Однако для доказательства
достаточно, чтобы эти функции были непрерывно диф­
R > О.
Исследуем теперь условия существования периодических решений нестационарных
систем. Рассмотрим систему
k
Х = F(X)
+ LBJ(t)HJ(X) + Ф(t).
(10)
j=l
Здесь элементы вектор-функций
F(X), Hj(X)
определены и непрерывны при Х Е
En
и удовлетворяют условию Липшица во всякой ограниченной области изменения Х,
164
а элементы вектор-функций
Bj(t)
и Ф(t)
непрерывные w-периодические функции,
-
причем функции Ьsj(t) имеют нулевые средние значения.
Теорема
При вътолнении условий теоремы
4.
1
система
(10)
.явл.яетс.я равно­
мерно диссипативной и имеет по 'К:райней .мере одно периоди"'iес'К:ое решение.
Для доказательства равномерной диссипативности достаточно взять функцию Ля­
пунова
V1 (t, Х), а существование периодического решения следует из [7, с. 32].
2. Рассмотрим теперь в качестве системы первого приближения систему вида (1).
Предполагая, что потенциал поля скоростей является отрицательно-определенной од­
нородной функцией, на основе методов, предложенных в работе
[8],
определим условия
равномерной диссипативности такого рода систем, находЯщихся под воздействием не­
стационарных возмущений.
Пусть задана система дифференциальных уравнений
·
Х =
Здесь
W(X) -
дW(Х)
дХ
.
+ G(X)X + B(t)P(x_).
непрерывно дифференцируемая отрицательно-определенная однородная
функция порядка
J.L
+ 1, О<
при всех Х Е Еп; матрица
кососимметрическая матрица, непрерывная
J.L < 1; G(X) -
B(t)
порядка
х
n
k
непрерывна и ограничена при
k-мерный вектор Р(Х) определен и непрерывен при всех Х Е
вида
(6)
(11)
En
t 2::
О;
и внекоторой области
удовлетворяет неравенствам
где /З1, /З2
-
положительные постоянные и О
Нетрудно доказать (см.
[1]),
что при G'
< G' < 1.
< J.L
система
(11)
будет равномерно диссипа­
тивной. Покажем теперь, что при некоторых дополнительных ограничениях на правые
части системы
(11)
равномерная диссипативность может сохраняться и в случае, когда
(}' 2:: J.L·
Пусть для матрицы
G(X)
в области
IIG(X)II
справедлива оценка
(6)
~ riiXII-Л,
т> о, л> о,
а интеграл
t
I(t)
J
= В(т)dт
(12)
о
ограничен при
Теорема
t 2::
5.
О.
При вътолнении неравенства
.
G'<mш
система
(11)
{J.L+
1
}
--,J.L+Л
2
(13)
.явл.яетс.я равномерно диссипативной .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем функцию Ляпунова
V1.(t, Х) =
~Х* Х- Х* I(t)P(X)
165
и найдем ее полную производную, в силу системы
матрицы
B(t)
и интеграла
большом числе
R
Учитывая ограниченность
(11).
I(t) , атакженеравенство (13),
в области
(6)
при достаточно
будут выполнены оценки
~IIXII 2 ~ V1(t,X) ~ ~IIXII 2 ,
dV1 (t, Х)
dt
~ -aiiXII~t+1'
1
(11)
в которыха - положительная постоянная. Таким образом, используя теорему Йосид­
завы, получаем равномерную диссипативность системы
Пример.
(11).
Рассмотрим математическую модель движения твердого тела, враща­
ющегося в инерциальном пространстве с угловой скоростью
инерции О. Предположим, что с телом связаны оси
Oxyz,
w
вокруг своего центра
которые являются его глав­
ными центральными осями. Уравнения вращательного движения тела под действием
управляющего момента М и момента внешних возмущающих сил М1 имеют вид
Bw + w
где В- тензор инерции тела; В=
Будем считать,
что М
=
х
Bw =
М
+ М1,
(14)
diag{A 1 ,A2,A 3 }.
дW(w)
-а;;-'
а
W(w) -
отрицательно-определенная однородная порядка J.L
непрерывно дифференцируемая
+1
функция, О
<
J.L
< 1.
Также
предположим, что М1
= B(t)P(w), B(t) -матрица порядка 3 х k, непрерывная и огра­
ниченная при t ~О вместе с интегралом (12), а k-мерный вектор P(w) непрерывен при
всех
wЕ
Ез и является непрерывно дифференцируемым в пекоторой области вида
(6).
Пусть
1
P(w) = (j
Такая составляющая
8
-
+ 1 8I.JJ
(11Bwllи+ 1 ).
P(w) момента внешних возмущающих сил М1 обеспечит при рас­
смотрении функции Ляпунова
V(w) =
сокращение компоненты
(14),
тем
самым обеспечив возможность получить условия равномерной диссипативности а
< J.L,
w
а при применении теоремы
х
1
2w*Bw
5
Bw
в ее полной производной, в силу системы
и расширить область параметров до
J.L+1
(j
< -2-,
(15)
при которых система (14) будет равномерно дИссипативна.
Если же твердое тело имеет одну ось симметрии, т.е.
два из трех значений
As
совпадают, то в качестве возмущений, не нарушающих равномерной диссипативности,
можно взять
P(w)
1 ).
= -+1-!__(llwllи+
1 дw
(j
Для простоты предположим, что А2
= Аз и B(t) - скалярная функция, а I(t) -
интеграл от нее. Тогда в качестве функции Ляпунова возьмем функцию
166
Продифференцировав функцию
V1 (t, w),
в силу системы
(14),
имеем
dV1 (t, w) 1
= (J.L + 1)W(w)- I(t) (дW(w) - w х Ow
dt
{14)
дw
+
+ B(t)P(w)) * o-l дllwllи+l
дw
Учитывая, что
и выполнено неравенство
нетрудно показать, что система
(15),
(14)
равномерно дисси­
пативна.
Рассмотрим теперь систему вида
(16)
Здесь
- непрерывно дифференцируемые п-мерные вектор-функции, которые в
Hj(X)
некоторой области вида
удовлетворяют неравенствам
(6)
IIH;II :'0 /3зiiXJI",
где
/33 , (34
-
д~ (Х' H,(X))II :'0 MXII",
11
положительные постоянные и О
ограничены при
t
Ij(t) =
< 1;
функции Ьj(t) непрерывны и
t
JЬj(т)dт,
Jij(t) =
о
6.
CI
т,
~ О вместе с интегралами
t
Теорема
<
j = 1, ... ,
JЬi(т)Нj(т)dт,
i,j = 1, ... , т.
о
При выполнении неравенства
. {J.L+2
--,J.L+Л }
CI<mш
систе.ма
(16)
3
.явл.яетс.я равномерно диссипативной.
Действуя аналогично теореме
f
в качестве функции Ляпунова достаточно взять
= ~Х' Х-
V2(t,X)
+
5,
i,j
t,
·
=
Н;(Х) +
Jij(t)Hi*(X) д~ (Х* Hj(X)).
Рассмотрим теперь случай, когда система
Х
I;(t)X'
дW(Х)
дХ
(11)
представима в виде
+ G(X)X + b(t)P(X).
(17)
167
Здесь скалярная функция Ь( t) непрерывна и ограничена при
t
~ О вместе с интегралом
t
I(t)
=
JЬ(т)dт,
о
а п-м ерный вектор Р(Х) определен и непрерывен при всех Х Е
En.
Далее будем пред­
полагать, где это необходимо, непрерывную дифференцируемость данных функций по
компонентам вектораХ в области
чениях
R,
(6),
по крайней мере при достаточно больших зна­
а также выполнение в этой области неравенств
где Q1(X) = х• Р(Х); Q,(X) = ( дQ,{j~(X)) • Р(Х); {15 , {16 - положительные постоян­
ные.
Теорема
7.
При выполнении неравенства CJ
< р, +Л
система
(17)
.явл.яетс.я равно­
мерно диссипативной .
Выберем функцию Ляпунова следующего вида:
Vr(t,X) =
в которой
r -
1
2х
*
Х+
L --1)s,-I (t)Qs(X),
r
(
s
8
s=l
достаточно большое натуральное число, выбираемое так, чтобы выпал-
нялось неравенство
CJ<1-1-p,
r+1
для любого фиксированного положительного числа CJ
силу системы
< 1.
Ее полная nроизводная, в
(17),
dVr(t, Х)
dt
х
= (
1
(17)
t (-s~)s
р,+
1)W(X)
ls (t) a~lX)
+ ·(aW(X)
· . ах
+ G(X)X) * х
+ (-r~)r b(t)Ir(t)Qr+l (Х).
s=l
Отсюда из полной ограниченности функций
и
b(t)
J(t)
следует, что функция
Vr(t, Х)
будет удовлетворять теореме Йосидзавы, и тем самым получаем равномерную дисси­
пативность системы
3
(17).
5.
а м е ч а н и е
щего случая, когда
пекоторой области
W(X)
(6)
Результаты теорем
5-7
будут также верны и для более об­
- непрерывно дифференцируемая функция, для которой в
выполнены неравенства
Х* aW(X) < -а IIXII1l+l
ах
где а 1 , а2, а 1
168
-
положительные постоянные.
-
з
'
Summary
А.
Stepenko N.
mation.
On ultimately boundedness of non-autonomous systems
Ьу
nonlinear approxi-
The boundedness properties of solutions of non-autonomous systems Ьу nonlinear approximation
are investigated. Some criteria of uniform ultimately boundedness are obtained.
Литература
1.
2.
3.
Зубов В. И. Устойчивость движения. М.,
с.
1967. 472
с.
1959. 324
Але-х:сан.дров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем
математика и механика.
5.
с.
Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулиро­
вания. Л . ,
4.
1973. 272
Де.мидовu'Ч Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.,
1996.
Т.
60,
вып.
2.
С.
11
Прикл.
205-209.
Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. М.,
1983. 344
с.
6. Але-х:сан.дров А. Ю. Об асимптотической устойчивостивнелинейных системах
11 Теоре­
тические и методические проблемы подготовкИ учителя в системе непрерывного образования
(математика, информатика) : Межвуз. сб. науч. трудов . Мурманск,
7.
8.
1997. С. 157-160.
1964. 368 с.
Плисе В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний . М.; Л.,
Але-х:сан.дров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтоном­
ных систем
11 Изв.
АН. Сер . Теория и системы управления.
Статья поступила в редакцию
19
октября
2004
1999 .
.N~
2.
С.
5-9.
г.
РЕФЕРАТЫ
УДК
512 .643.8
Б е сп а л о в А. А. Матричный метод проверки изоморфизма графов
терб. ун-та. Сер.
10. 2004 .
Вып.
3.
С.
11 Вести.
С . -Пе­
3- 12.
Предложен эффективный метод проверкиизоморфизма графов, основанный на рассмотре­
нии матричных инвариантов частного случая преобразования подобия. Кроме того, дан кон­
структивный метод нумерации вершин графов в случае их изоморфности. Библиогр.
УДК
8
назв.
539.3
Бочкарев А . О. Граничные интегралы в геометрически и физически нелинейной
плоской задаче
11 Вести.
С . -Петерб. ун-та. Сер .
10. 2004.
Вып.
3.
С.
13-21 .
В геометрически и физически нелинейной теории упругости формулируются общие ин­
тегральные соотношения, аналогичные формулам Грина, теореме взаимности Бетти, а также
представлению регулярных решений в форме Сомильяны применительно к плоским краевым
задачам . Библиогр.
УДК
назв .
519.1
Г о р ь к о в ой
2004.
9
Вып .
3.
С.
В. Ф . О 5-хроматических графах
11
Вести.
С.-Петерб .
ун-та.
Сер.
10.
22- 29.
С помощью специальных преобразований, изменяющих раскраску, выясняются свойства
169
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
1 450 Кб
Теги
приближение, неавтономных, система, нелинейного, диссипативного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа