close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем когерентных состояний.

код для вставкиСкачать
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2014. № 7(118)
17
УДК 519.57, 519.6:517
О КОНСТАНТАХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ НЕКОТОРЫХ
ПОДСИСТЕМ КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
c 2014
⃝
М.В. Журавлев,1
И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков2
Константы неопределенности для когерентных состояний принимают минимально возможное значение. Но в задачах интерполяции и ортогонализации требуется от исходной системы функций переходить к линейным комбинациям. Изучается локализованность линейных комбинаций подсистем когерентных состояний, заданных на прямоугольной решетке. Получены формулы для констант неопределенности этих комбинаций в общем случае и при
дополнительных предположениях на коэффициенты. Получена формула для
константы неопределенности для линейной комбинации равномерных сдвигов функции Гаусса. Для частного случая узловой функции, построенной с
помощью равномерных сдвигов функции Гаусса, приведены результаты численных расчетов.
Ключевые слова: константа неопределенности, когерентые состояния, преобразование Фурье, равномерные сдвиги одной функции, функция Гаусса, узловая
функция, фреймы.
Введение
Системы функций вида
(
)
(x − kω1 )2
exp −
ei mω2 x , k, m ∈ Z,
2
нашли свое применение в квантовой механике с первых же лет возникновения
этой дисциплины (см. доказательство квантовой эргодической теоремы в монографии И. Неймана [1]). Интерес к данным функциям, получившим после работ
Р. Глаубера [2] название ”когерентные состояния”, обусловлен тем, что для них
константа неопределенности минимальна.
При решении задач интерполяции, ортогонализации, генерации волновых пакетов с помощью когерентных состояний возникает проблема оценки степени локализованности линейных комбинаций таких функций. Основным параметром системы
1 Журавлев Михаил Васильевич (soracul@bk.ru), ОАО ”Водоканал”, 105005, Российская Федерация, г. Москва, Плетешковский пер., 2.
2 Новиков
Игорь
Яковлевич
(igor.nvkv@gmail.com),
Ушаков
Сергей
Николаевич
(ushakowww@ya.ru), кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета, 394006, Российская Федерация, г. Воронеж, Университетская пл., 1.
18
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
когерентных состояний является величина ω1 · ω2 . При условии ω1 · ω2 6 2π данная система оказывается полной в L2 (R) [3, гл. 3; 4; 5, гл. 1]. В случае строгого
неравенства получаются переполненные системы (фреймы) [3, гл. 3; 6, гл. 1].
В данной работе рассматриваются линейные комбинации для неполных подсистем когерентных состояний. В общем случае формулы для констант неопределенности получаются достаточно громоздкими и малопригодными для численной
реализации. При дополнительных предположениях на коэффициенты линейной
комбинации и параметры системы формулы существенно упрощаются. Но даже и
в этих случаях вычисление константы неопределенности оказывается нетривиальной задачей, что показывается на примере системы равномерных сдвигов функции
Гаусса.
1.
Обозначения, определения, формулы
Введем обозначения для когерентных состояний
(
)
(x − kω1 )2
fk,m (ω1 , ω2 , x) = exp −
ei mω2 x
2
и для системы равномерных сдвигов функции Гаусса
(
)
(x − k)2
fk (σ, x) = exp −
.
2 σ2
В работе изучаются их линейные комбинации
∑
F (ω1 , ω2 , x) =
ck,m fk,m (ω1 , ω2 , x),
(1.1)
(1.2)
(1.3)
k,m
G (σ, x) =
∑
ck fk (σ, x) .
(1.4)
k
Все индексы в суммах здесь и в дальнейшем меняются от −∞ до +∞. Нас будет
интересовать случай, когда G (σ, x) — узловая функция, то есть для нее выполнена система равенств
G (σ, m) = δ0m , m ∈ Z,
(1.5)
где δ0m – символ Кронекера.
Предполагается абсолютная сходимость рядов (1.3)–(1.4), чтобы можно было
произвольным образом менять порядок суммирования и группировать слагаемые
при перемножении рядов. Для этого достаточно, например, выполнения условий
(
)
(
)
ckm = O (k 2 + m2 )−1−ε , ck = O k −1−ε , ε > 0.
Скалярное произведение функций ⟨·, ·⟩ и норма ∥ · ∥ в пространстве комплекснозначных функций L2 (R) определяются обычным образом
 ∞
 12
+∞
∫
∫

.
∥f ∥ =
⟨f, g⟩ =
|f (x)|2 dx
f (x) g(x) dx,


−∞
−∞
Пусть f (x), xf (x) ∈ L2 (R), причем ∥f ∥ ̸= 0. Тогда радиус ∆f функции f задается
формулой

 ∞
2  12


∫
∫∞


1
1 
2

=
∆f :=
x|f
(x)|
dx
x2 |f (x)|2 dx −
2

∥f ∥ 
∥f ∥


−∞
−∞
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
=
1
∥f ∥
{
⟨x2 f (x), f (x)⟩ −
1
⟨xf (x), f (x)⟩2
∥f ∥2
} 12
19
.
Аналогично определяется радиус ∆fb для преобразования Фурье fb:

 ∞
2  12


∫
∫∞


1
1 
2 b
2
2
b

∆fb :=
ξ|f (ξ)| dξ
,
ξ |f (ξ)| dξ −

∥fb∥ 
∥fb∥2


−∞
−∞
где преобразование Фурье имеет следующий вид:
1
fb(ξ) = √
2π
∫∞
f (x) e−ixξ dx.
−∞
Произведение uf = ∆f · ∆fb называется константой неопределенности [6, с. 49;
7, с. 103].
При вычислении константы неопределенности возникают интегралы, значения
которых выпишем заранее, воспользовавшись [8, с. 367]:
+∞
√
∫
α2
2
2
π − 4β
2
e−β (x−r) ei αx dx = ei αr
e
,
β
(1.6)
−∞
+∞
(
)
√
∫
α2
π i αr − 4β
iα
−β 2 (x−r)2 i αx
2
r+ 2 ,
xe
e
dx =
e
e
β
2β
(1.7)
−∞
+∞
√
∫
(
α2
(
)2 )
2
2
π i αr − 4β
2
x2 e−β (x−r) ei αx dx =
e
e
2β 2 − α − 2irβ 2
,
5
4β
(1.8)
−∞
где параметры α, β, r ∈ R, β > 0.
2.
Константа неопределенности в общем случае
Формула для константы неопределенности функции F (ω1 , ω2 , x) получается
слишком громоздкой, поэтому мы в виде лемм просто выпишем все ее составные части.
Лемма 1. Справедливы формулы
)
(
2
∑
√
(k − k ′ ) ω12
2
×
∥F (ω1 , ω2 , x)∥ = π
ck,m ck′ ,m′ exp −
4
′
′
k,m,k ,m
(
)
)
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
,
2
∑
√
⟨xF (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ = π
ck,m ck′ ,m′ ×
(m − m′ ) ω22
× exp −
4
2
(
exp
(k − k ′ ) ω12
× exp −
4
2
)
(
(
k,m,k′ ,m′
(m − m′ ) ω22
exp −
4
2
)
×
(2.1)
20
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
(
)
k + k′
m − m′
× exp
ω1 + i
ω2 ,
2
2
√
π ∑
ck,m ck′ ,m′ ×
⟨x2 F (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ =
4
k,m,k′ ,m′
(
)
(
)
2
(k − k ′ ) ω12
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
× exp −
exp
×
4
2
(
)
2
)
(m − m′ ) ω22 (
2
2 − ((m − m′ ) ω2 − i (k + k ′ ) ω1 ) .
× exp −
4
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
2
)(
Доказательство. Квадрат модуля функции имеет вид
∑
2
ck,m ck′ ,m′ fk,m (ω1 , ω2 , x)f k′ ,m′ (ω1 , ω2 , x).
|F (ω1 , ω2 , x)| =
(2.2)
(2.3)
(2.4)
k,m,k′ ,m′
Преобразуем произведение функций в сумме
fk,m (ω1 , ω2 , x) · f k′ m′ (ω1 , ω2 , x) =
(
)
′
(x − k ′ ω1 )2
e
exp −
e−i m ω2 x =
2
)
2
′
k 2 ω12 + k ′ ω12
2
′
= exp −x + kω1 + k ω1 −
ei (m−m )ω2 x =
2
(x − kω1 )2
= exp −
2
(
)
i mω2 x
(
( (
)
)2
2
2
′
k + k′
(k + k ′ ) ω12
k 2 ω12 + k ′ ω12
= exp − x −
ω1 +
−
ei (m−m )ω2 ,
2
4
2
что приводит в итоге к соотношению
fk,m (ω1 , ω2 , x) · f k′ m′ (ω1 , ω2 , x) =
( (
)
)2
2
′
k + k′
(k − k ′ ) ω12
= exp − x −
ω1 −
ei (m−m )ω2 x .
2
4
В формулах (1.6)–(1.8) положим r =
используя (2.5), получим
k+k′
2 ω1 ,
(2.5)
β = 1, α = (m − m′ )ω2 . Тогда,
(
)
2
√
(k − k ′ ) ω12
⟨fk,m (ω1 , ω2 , x), f k′ m′ (ω1 , ω2 , x)⟩ = π exp −
×
4
(
)
(
)
2
(m − m′ ) ω22
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
× exp −
exp
,
4
2
⟨xfk,m (ω1 , ω2 , x), f k′ m′ (ω1 , ω2 , x)⟩ =
(
)
(
)
2
2
√
(k − k ′ ) ω12
(m − m′ ) ω22
= π exp −
exp −
×
4
4
(
)(
)
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
k + k′
m − m′
× exp
ω1 + i
ω2 ,
2
2
2
⟨x2 fk,m (ω1 , ω2 , x), f k′ m′ (ω1 , ω2 , x)⟩ =
(2.6)
(2.7)
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
(
)
(
)
√
2
2
π
(k − k ′ ) ω12
(m − m′ ) ω22
=
exp −
exp −
×
4
4
4
(
)
)
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2 (
2
× exp
2 − ((m − m′ ) ω2 − i (k + k ′ ) ω1 ) .
2
21
(2.8)
Из формул (2.4), (2.6)–(2.8) следуют равенства (2.1)–(2.3). Лемма доказана.
Лемма 2. Справедливы формулы
(
)
2
2 √
∑
(k − k ′ ) ω22
b
i (m′ k′ −mk)ω1 ω2
c−m,k c−m′ ,k′ e
· exp −
×
F (ω1 , ω2 , ξ) = π
4
′
′
k,m,k ,m
(
(m − m′ ) ω12
× exp −
4
2
⟨ξ Fb (ω1 , ω2 , ξ) , Fb (ω1 , ω2 , ξ)⟩ =
)
exp
(
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
2
∑
√
π
)
(2.9)
,
′ ′
c−m,k c−m′ ,k′ ei (m k −mk)ω1 ω2 ×
k,m,k′ ,m′
)
)
(
2
2
(k − k ′ ) ω22
(m − m′ ) ω12
× exp −
exp −
×
4
4
(
)(
)
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
k + k′
m − m′
× exp
ω2 + i
ω1 ,
2
2
2
(
⟨ξ 2 Fb (ω1 , ω2 , ξ) , Fb (ω1 , ω2 , ξ)⟩ =
√
π
4
∑
(2.10)
′ ′
c−m,k c−m′ ,k′ ei (m k −mk)ω1 ω2 ×
k,m,k′ ,m′
(
)
(
)
2
(k − k ′ ) ω22
i (k + k ′ )(m − m′ )ω1 ω2
× exp −
exp
×
4
2
)
(
2
)
(m − m′ ) ω12 (
2
2 − ((m − m′ ) ω1 − i (k + k ′ ) ω2 ) .
× exp −
4
Доказательство. Сначала с помощью формулы (1.6), положив β =
= mω2 − ξ, r = kω1 , найдем fbk,m :
(
(ξ − mω2 )
fbk,m (ω1 , ω2 , ξ) = exp −
2
=e
i mkω1 ω2
(
2
)
2
(ξ − mω2 )
exp −
2
ei (mω2 −ξ)kω1 =
)
e−i kω1 ξ .
В итоге fbk,m (ω1 , ω2 , ξ) = ei mkω1 ω2 · fm,−k (ω2 , ω1 , ξ),
Fb (ω1 , ω2 , ξ) =
∑
c−m,k e−i mkω1 ω2 · fk,m (ω2 , ω1 , ξ).
k,m
Отсюда, используя (2.6)–(2.8), получаем утверждение леммы 2.
(2.11)
√1 ,
2
α=
22
3.
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
Основной результат
Для получения более содержательных результатов введем дополнительные
условия на F (ω1 , ω2 , x). Нас будет интересовать случай неполной системы когерентных состояний:
ω1 ω2 = 4πN, N ∈ N.
(3.1)
Относительно коэффициентов ck,m предположим, что
ω2
1
ck,m = cω
k · cm ,
(3.2)
где ω1 , ω2 — это верхние индексы, означающие зависимость констант от этих
параметров. Кроме того, будем считать, что линейная комбинация F (ω1 , ω2 , x)
является четной вещественной функцией. Отсюда коэффициенты ck,m вещественные и выполнено
ω1
ω2
ω2
1
cω
(3.3)
k = c−k , cm = c−m .
Данные предположения естественны, если мы строим с помощью линейной
комбинации когерентных состояний узловую функцию или проводим ортогонализацию с сохранением структуры сдвигов. В случае выполнения условий (3.1)–(3.3)
удается разделить частотную и пространственную составляющие линейной комбинации (1.3).
Преобразуем формулы (2.1)–(2.3)
∑
√
2
ck,m ck′ ,m′ · exp (i 2(k + k ′ )(m − m′ )πN ) ×
∥F (ω1 , ω2 , x)∥ = π
k,m,k′ ,m′
(
(k − k ′ ) ω12
× exp −
4
2
)
(
(m − m′ ) ω22
exp −
4
2
)
=
(
(
)
)
2
2
√ ∑ ω1 ω1
(k − k ′ ) ω12 ∑ ω2 ω2
(m − m′ ) ω22
ck ck′ exp −
cm cm′ exp −
= π
.
4
4
′
′
m,m
k,k
′
Сделаем замену индексов l = k − k , k = l + k ′ :
(
)
( 2 2)∑
2
∑
∑
(k − k ′ ) ω12
l ω1
ω1 ω1
ω1
1
ck ck′ exp −
=
exp −
cω
l+k′ ck′ .
4
4
′
′
k,k
l
Введем новое обозначение
aw
l =
∑
k
w
cw
l+k′ ck′ .
(3.4)
k′
Тогда
∑
1 ω1
cω
k ck′
k,k′
(
(k − k ′ ) ω12
exp −
4
2
)
=
∑
l
( 2 2)
l ω1
1
exp −
aω
l .
4
Аналогично преобразуем другой ряд
)
(
( 2 2)
2
∑
∑
l ω1
(m − m′ ) ω22
ω2 ω2
2
cm cm′ exp −
=
exp −
aω
l .
4
4
′
m,m
l
Введем обозначение
Aw =
∑
l
( 2 2)
l w
exp −
aw
l ,
4
(3.5)
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
или, что то же самое,
∑
Aw =
w
cw
k ck′
k,k′
(
(k − k ′ ) w2
exp −
4
2
)
23
(3.6)
.
Утверждение 1. Для коэффициентов aw
l верно соотношение
w
aw
−l = al .
(3.7)
′
В формуле (3.4) сделаем замену индекса n = l + k , получим
∑
∑
w
w
cw
cw
aw
l+k′ ck′ =
n cn−l .
l =
k′
Теперь вместо n запишем k
n
′
∑
w
w
cw
k′ −l ck′ = a−l .
k′
Следствие 1. Верно соотношение
( 2 2)
∑
l w
l exp −
aw
l = 0.
4
(3.8)
l
Следствие 2. Верно соотношение
(
)
∑
(k − k ′ )2 w2
′
w w
ck ck′ (k − k ) exp −
= 0.
4
′
(3.9)
k,k
В итоге
2
∥F (ω1 , ω2 , x)∥ =
√
π · Aω1 · Aω2 .
(3.10)
С помощью формул (3.1), (3.6) и (3.9) получим
⟨xF (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ =
(
)
(
)
2
∑
√
k + k′
(k − k ′ ) ω12
ω1 ω1
= π · Aω2 ·
ck ck′
ω1 exp −
=
2
4
k,k′
(
)
)
(
2
∑
√
(k − k ′ ) ω12
k − k′
ω1 ω1
= π · Aω2 ·
ck ck′
ω1 exp −
+
2
4
k,k′
)
(
2
∑
√
(k − k ′ ) ω12
ω1 ω1 ′
=
+ πω1 · Aω2 ·
ck ck′ k exp −
4
k,k′
)
(
2
∑
√
(k − k ′ ) ω12
ω1 ω1 ′
.
= πω1 · Aω2 ·
ck ck′ k exp −
4
′
k,k
′
Сделав замену l = k − k , k = l + k ′ в последнем ряде, получим
(
)
( 2 2)∑
2
∑
∑
(k − k ′ ) ω12
l ω1
ω1 ω1 ′
ω1
1
ck ck′ k exp −
=
exp −
k ′ cω
l+k′ ck′ .
4
4
′
′
k,k
l
Введем новые обозначения
bw
l =
∑
k′
w
k ′ cw
l+k′ ck′ ,
k
(3.11)
24
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
Bw =
∑
l
( 2 2)
l w
exp −
bw
l .
4
(3.12)
Утверждение 2. Для коэффициентов bw
l верны соотношения
w
w
w
w
bw
l = −b−l , bl = b−l − lal .
В силу (3.3)
∑
bw
l =
w
k ′ cw
l+k′ ck′ =
∑
w
k ′ cw
l+k′ c−k′ ,
k′
k′
′
сделаем замену k = −k . Тогда
∑
∑
w
w
w
bw
kcw
kcw
l =−
l−k ck = −
k−l ck = −b−l .
k
k
Теперь в формуле (3.11) сделаем замену индекса n = l + k ′ , получим
∑
∑
∑
w
w
w
w
w
w
w
bw
(n − l)cw
ncw
cw
l =
n cn−l =
n cn−l − l
n cn−l = b−l − la−l = b−l − lal .
n
n
n
Следствие 3. Верно соотношение
l w
bw
l = − al .
2
Следствие 4. Верно соотношение
( 2 2)
∑l
l w
Bw = −
exp −
aw
l .
2
4
(3.13)
(3.14)
l
Следствие 5. Верно соотношение
Bw = 0.
(3.15)
⟨xF (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ = 0.
(3.16)
В итоге
В случае формулы (2.3) сначала распишем
((m − m′ ) ω2 − i (k + k ′ ) ω1 ) =
2
= (m − m′ ) ω22 − 2i (m − m′ ) (k + k ′ ) ω1 ω2 − (k + k ′ ) ω12 .
2
2
С помощью (3.1), (3.6) получим
⟨x2 F (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ =
)
(
√ 2
√
′ 2 2
∑
π
πω2
(m
−
m
)
ω
2
1
ω2 ω2
Aω1 · Aω2 −
Aω1
cm
cm′ (m − m′ ) exp −
+
=
2
4
4
′
m,m
(
)
√ 2
′ 2 2
∑
πω1
(k
−
k
)
ω
2
ω1 ω1
1
+
Aω2
ck ck′ (k + k ′ ) exp −
=
4
4
′
k,k
)
(
√
√ 2
2
∑
π
πω2
(m − m′ ) ω12
ω2 ω2
′ 2
=
Aω1 · Aω2 −
Aω1
cm cm′ (m − m ) exp −
+
2
4
4
′
m,m
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
(
)
√ 2
2
∑
(k − k ′ ) ω12
πω1
ω1 ω1
′ 2
+
Aω2
ck ck′ (k − k ) exp −
+
4
4
k,k′
)
(
2
∑
√ 2
(k − k ′ ) ω12
ω1 ω1
′
+ πω1 Aω2
.
ck ck′ kk exp −
4
′
k,k
′
Сделав замену l = k − k , k = l + k ′ , преобразуем получившиеся ряды
(
)
2
∑
(k − k ′ ) ω12
ω1 ω1
′ 2
ck ck′ (k − k ) exp −
=
4
′
k,k
=
∑
l
( 2 2)∑
( 2 2)
∑
l ω1
l ω1
ω1
2
1
1
aω
l2 exp −
cω
l
exp
−
c
=
l .
l+k′ k′
4
4
′
k
l
Аналогично
(
)
( 2 2)
2
∑
∑
(m − m′ ) ω22
l ω2
ω2 ω2
′ 2
2
cm cm′ (m − m ) exp −
=
l2 exp −
aω
l .
4
4
′
m,m
l
И последний ряд
∑
′
1 ω1
cω
k ck′ kk
k,k′
=
∑
l
(
(k − k ′ ) ω12
exp −
4
2
)
=
( 2 2)∑
( 2 2)
∑
l ω1
l ω1
ω1
′ ′ ω1
1
exp −
l exp −
(l + k )k cl+k′ ck′ =
bω
l +
4
4
′
l
k
( 2 2)∑
∑
l ω1
2 1
ω1
exp −
+
k ′ cω
l+k′ ck′ .
4
′
l
k
Введем обозначения
1
dω
l =
∑
ω1
1
k ′ cω
l+k′ ck′ ,
2
k′
( 2 2)
l ω1
1
exp −
dω
l ,
4
l
( 2 2)
∑
l w
Cw =
l2 exp −
aw
l .
4
D ω1 =
∑
l
Тогда
)
2
(k − k ′ ) ω12
= Cω1 ,
(k − k ) exp −
4
k,k′
)
(
′ 2 2
∑
(m
−
m
)
ω
2
2
′
2 ω2
cω
= Cω2 .
m cm′ (m − m ) exp −
4
′
∑
1 ω1
cω
k ck′
′ 2
(
m,m
Для вычисления последнего ряда воспользуемся (3.15)
)
(
′ 2 2
∑
1
(k
−
k
)
ω
1
′
1 ω1
cω
= − Cω1 + Dω1 .
k ck′ kk exp −
4
2
′
k,k
В итоге
⟨x2 F (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩ =
√
π
Aω1 · Aω2 −
2
25
26
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
√ 2
√ 2
√
πω2
πω1
−
Aω1 · Cω2 −
Aω2 · Cω1 + πω12 Aω2 · Dω1 .
4
4
Теперь найдем ∆2F (ω1 , ω2 ), используя (2.1)–(2.3)
(3.17)
∆2F (ω1 , ω2 ) =
=
⟨x2 F (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩
2
∥F (ω1 , ω2 , x)∥
√
=
π
2 A ω1
√ 2
πω2
4 Aω1
· Aω2 −
=
−
⟨xF (ω1 , ω2 , x) , F (ω1 , ω2 , x)⟩2
=
4
∥F (ω1 , ω2 , x)∥
√ 2
√
πω
· Cω2 − 4 1 Aω2 · Cω1 + πω12 Aω2 · Dω1
√
=
π · Aω1 · Aω2
1 ω22 Cω2
ω 2 Cω1
D ω1
−
− 1
+ ω12
.
2
4 Aω2
4 Aω1
Aω1
В итоге
∆2F (ω1 , ω2 ) =
1 ω22 Cω2
ω 2 Cω1
D ω1
−
− 1
+ ω12
.
2
4 Aω2
4 Aω1
Aω1
Теперь найдем ∆2Fb (ω1 , ω2 ). Из формул (3.2) и (3.3) следует, что
1 ω2
c−m,k = cω
m ck .
Отсюда, из формулы (2.11) и соотношения (3.1) получим
∆2Fb (ω1 , ω2 ) =
1 ω12 Cω1
ω 2 Cω2
D ω2
−
− 2
+ ω22
.
2
4 Aω1
4 Aω2
Aω2
Теорема 1. Пусть выполнены условия (3.1)–(3.3), тогда верна формула
(
)
1 ω22 Cω2
ω 2 Cω1
D ω1
u2F (ω1 , ω2 ) =
−
− 1
+ ω12
×
2
4 Aω2
4 Aω1
Aω1
(
)
ω 2 Cω2
D ω2
1 ω12 Cω1
−
− 2
+ ω22
.
×
2
4 Aω1
4 Aω2
Aω2
Следствие 6. Пусть в условиях теоремы
√
ω1 = ω2 = 2 πN ,
тогда верна формула
) 1
( √
√
D√
C√
uF 2 πN , 2 πN = − 2πN 2√πN + 4πN 2√ πN .
2
A2 πN
A2 πN
Следствие 7. Пусть в условиях теоремы
√
ω1 = ω2 = 2 π,
тогда верна формула
∞
∑
( √
√ ) 1
uF 2 π, 2 π = − 4π l=1
2
√
2 π
l2 e−l π al
2
√
2 π
a0
( √
)
√
∞
∑
2
2 π
2 π
− d0 + 2
e−l π dl
+2
∞
∑
l=1
где
√
2 π
al
=
∑
k
√
√
2 π 2 π
cl+k ck
,
√
2 π
dl
=
∑
k
l=1
√
2π 2 π
−l
e
al
√
√
2 π 2 π
k 2 cl+k ck
,
.
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
4.
27
Константа неопределенности для G (σ, x)
В этом разделе выводится формула для константы неопределенности линейной комбинации функций fk (σ, x), которые можно рассматривать в качестве подсистемы когерентных состояний. Кроме того, приводятся числовые значения этой
величины для узловой функции, построенной из целочисленных сдвигов Гаусса.
Заметим, что
)
(
1
x
fk (σ, x) = fk, 0
, 0,
.
σ
σ
Тогда отсюда и из формулы (2.5) получим
(
(
)
(
)2 )
2
(k − m)
1
k+m
exp −
.
(4.1)
fk (σ, x) f m (σ, x) = exp − 2 t −
σ
2
4σ 2
Квадрат модуля G имеет вид
2
|G (σ, x)| =
∑
ck cm fk (σ, x) fm (σ, x) .
k,m
В формулах (1.6)–(1.8) положим r =
получим
k+m
2 ,
1
σ,
α = 0. Тогда, используя (4.1),
)
(
2
√
(k − m)
⟨fk (σ, x) , f m (σ, x)⟩ = πσ exp −
,
4σ 2
(
)
2
√
k+m
(k − m)
⟨xfk (σ, x) , f m (σ, x)⟩ = πσ
exp −
,
2
4σ 2
(
)
√
2
( 3
)
(k − m)
π
2
2σ + (k + m)2 σ .
⟨x fk (σ, x) , f m (σ, x)⟩ =
exp −
2
4
4σ
Соответственно,
β=
)
2
(k − m)
∥G (σ, x)∥ = πσ
ck cm exp −
,
4σ 2
k,m
(
)
2
√ ∑
k+m
(k − m)
⟨xG (σ, x) , G (σ, x)⟩ = πσ
ck cm
exp −
,
2
4σ 2
2
√
∑
(
(4.2)
(4.3)
k,m
⟨x2 G (σ, x) , G (σ, x)⟩ =
(
)
√ ∑
2
( 3
)
(k − m)
π
=
ck cm exp −
2σ + (k + m)2 σ .
2
4
4σ
(4.4)
k,m
Преобразование Фурье-функции fk (σ, x) вычислим с помощью формулы (1.6),
положив β = √12 σ , α = −ξ, r = k:
( 2 2)
ξ σ
e−i kξ ,
fbk (σ, ξ) = σ exp −
2
(
)
fbk (σ, ξ)fbm (σ, ξ) = σ 2 exp −ξ 2 σ 2 ei (m−k)ξ .
b ξ):
Теперь найдем G(σ,
b ξ) = σ
G(σ,
∑
k,m
( 2 2)
ξ σ
ck exp −
e−i kξ .
2
28
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
Квадрат ее модуля
2
∑
(
)
b
ck cm exp −ξ 2 σ 2 ei (m−k)ξ .
G(σ, ξ) = σ 2
(4.5)
k,m
В формулах (1.6)–(1.8) положим r = 0, β = σ, α = m − k. Тогда, используя (4.5),
получим
(
)
2
2 √
∑
(k − m)
b
ck cm exp −
,
G(σ, ξ) = π σ
4σ 2
k,m
(
)
√ ∑
2
π
(k
−
m)
b ξ), G
b (σ, ξ)⟩ = i
ck cm (k − m) exp −
⟨ξ G(σ,
,
2σ
4σ 2
k,m
b ξ), G
b (σ, ξ)⟩ =
⟨ξ 2 G(σ,
)
(
√ ∑
2
( 2
)
π
(k − m)
ck cm exp −
2σ − (k − m)2 .
=
3
2
4σ
4σ
k,m
Сделав замену индекса l = k − m и введя новые обозначения
∑
∑
∑
al =
cl+m cm , bl =
mcl+m cm , dl =
m2 cl+m cm ,
m
получим
m
(4.6)
m
(
)
√ ∑
l2
al exp − 2 ,
∥G (σ, x)∥ = πσ
4σ
l
(
)
(
)
√ ∑
l
l2
al + bl exp − 2 ,
⟨xG (σ, x) , G (σ, x)⟩ = πσ
2
4σ
2
(4.7)
(4.8)
l
⟨x2 G (σ, x) , G (σ, x)⟩ =
(
)
√ ∑
(
) )
l2 ( 3
π
=
exp − 2
2σ al + l2 al + 4lbl + 4dl σ .
4
4σ
l
(
)
2 √
∑
l2
b
al exp − 2 ,
G(σ, ξ) = π σ
4σ
l
)
(
√ ∑
l2
b ξ), G
b (σ, ξ)⟩ = i π
⟨ξ G(σ,
al l exp − 2 ,
2σ
4σ
l
)
(
√ ∑
)
l2 ( 2
b ξ), G
b (σ, ξ)⟩ = π
⟨ξ 2 G(σ,
a
exp
−
2σ − l2 .
l
4σ 3
4σ 2
l
Теорема 2. Пусть выполнены условия ck ∈ R, ck = c−k . Тогда
( 2 ) ∑
( 2 )  21

∑ 2
l
l
l
a
exp
−
d
exp
− 4σ
2
l
l
4σ 2
 σ2

l
l
( l2 ) + ∑
( l2 )  ×
− ∑
uG = 
2
4 al exp − 4σ2
al exp − 4σ2
l
l
)  12
l2
l2 al exp − 4σ
2

 1
( l2 )  .
× 2 − l ∑
2σ
4σ 4 al exp − 4σ
2

(
∑
l
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
29
Доказательство. Из соотношений (3.8) и (3.13) следует, что (4.8) и (4.11)
равны нулю. Воспользовавшись (4.7)–(4.12), получим
u2G =
∑
l
( 2 )(
( 2 )(
(
)) ∑
)
l
l
2σ 2 al + 4dl − l2 al
al exp − 4σ
2σ 2 − l2
exp − 4σ
2
2
( l2 )
( l2 )
· l
=
∑
∑
4 al exp − 4σ2
4 σ 4 al exp − 4σ
2
l
l
( 2 ) ∑
( 2 ) 
( 2 ) 
∑ 2
l
l
l
l2 al exp − 4σ
l al exp − 4σ
dl exp − 4σ
2
2
2
1
σ



l
( l2 ) + ∑
( l2 )  ·  2 − l ∑
( l2 )  .
− l∑
=
4
2
2σ
4 al exp − 4σ2
al exp − 4σ2
4σ
al exp − 4σ2

2
∑
l
l
l
Теорема 2 доказана.
В таблице приведены значения радиусов ∆G , ∆Gb и констант неопределенности
при разных значениях параметра σ.
Таблица
Константа неопределенности для узловой функции
σ
0, 10
0, 20
0, 30
0, 40
0, 50
0, 60
0, 70
0, 80
0, 90
1, 00
1, 10
1, 20
1, 30
1, 40
1, 50
1, 60
1, 70
1, 80
1, 90
2, 00
∆G
0, 070711
0, 141421
0, 211635
0, 272663
0, 322888
0, 373692
0, 426811
0, 481323
0, 536669
0, 592555
0, 648813
0, 705339
0, 762064
0, 818943
0, 875943
0, 933039
0, 990213
1, 047452
1, 104745
1, 165617
∆Gb
7, 071068
3, 535535
2, 363315
1, 870185
1, 717851
1, 689765
1, 696535
1, 711056
1, 725660
1, 738413
1, 749076
1, 757878
1, 765138
1, 771152
1, 776167
1, 780378
1, 783942
1, 786978
1, 789579
1, 791853
uG
0, 500000
0, 500000
0, 500160
0, 509930
0, 554673
0, 631451
0, 724099
0, 823571
0, 926108
1, 030105
1, 134823
1, 239899
1, 345149
1, 450473
1, 555821
1, 661162
1, 766482
1, 871774
1, 977047
2, 088614
Для G (σ, x) коэффициенты известны ([9], [10]) и вычисляются по формуле
)
(
( 2 ) ∑
∞
2
1
k
(r + 0.5)
r
dG,k (σ) =
exp
,
(−1) exp −
C (σ)
2σ 2
2σ 2
r=|k|
где
∞
∑
(
2
(2r + 0.5)
(4r + 1) exp −
C (σ) =
2σ 2
r=−∞
)
.
30
М.В. Журавлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков
Аспекты численной реализации нахождения dG,k (σ) обсуждаются в [11]. Стоит
отметить быстрый рост коэффициентов dG,k (σ) при увеличении σ. Это обстоятельство не позволяет получить достоверные значения uG при σ > 2.0.
Литература
[1]
Нейман И. Математические основы квантовой механики / пер. с нем.; под ред.
Н.Н. Боголюбова. М.: Наука, 1964. 367 с.
[2]
Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов: курс лекций М.: МИР,
1966. 178 с.
[3]
Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ ”Регулярная и хаотическая
динамика”, 2001. 464 с.
[4]
Переломов А.М. Замечание о полноте системы когерентных состояний // ТМФ.
1971. Т. 6. № 2. С. 213–224.
[5]
Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука,
1987. 272 c.
[6]
Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит,
2005. 616 с.
[7]
Чуи Ч. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.
[8]
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: в 3 т. Т. 1.
Элементарные функции. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2002. 800 с.
[9]
Maz’ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA
J. Num. Anal. 1996. V. 16. P. 13–29.
[10] Maz’ya V. Approximate approximations
Monographs. 2007. V. 141. 350 p.
//
AMS
Mathematical
Surveys
and
[11] Журавлев М.В., Минин Л.А., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2009. № 13(68). Вып. 17/2.
С. 89–99.
References
[1]
Neumann I. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: Translation from
German. N.N. Bogolyubov (ed.) M., Nauka, 1964, 367 p. (in Russian)
[2]
Glauber R. Optical coherence and statistics of photons. Course of lectures M., MIR,
1966, 178 p. (in Russian)
[3]
Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Izhevsk: NITs ”Regulyarnaya i khaoticheskaya
dinamika”, 2001, 464 p (in Russian)
[4]
Perelomov A.M. On the completeness of a system of coherent states, TMF, 1971, Vol. 6,
no. 2, pp. 213–224 (in Russian)
[5]
Perelomov A.M. Generalized coherent states and their applications. M., Nauka, 1987,
272 p. (in Russian)
[6]
Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Wavelet Theory. M., Phizmatlit, 2005,
616 p. (in Russian)
[7]
Chui Ch. An Introduction to Wavelets. M., Mir, 2001, 412 p. (in Russian)
[8]
Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and Series: in 3 Vol. Vol. 1.
Elementary functions. 2-nd edition, corrected. M., Phizmatlit, 2002, 800 p. (in Russian)
О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем. . .
[9]
31
Maz’ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA
J. Num. Anal. 1996. Vol. 16. P. 13–29.
[10] Maz’ya V. Approximate approximations. AMS Mathematical Surveys and Monographs.
2007. Vol. 141. 350 p.
[11] Zhuravlev M.V., Minin L.A., Sitnik S.M. On computing features of interpolation
by means of integer shifts of Gaussian functions. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo
gosudarstvennogo universiteta [Scientific Bulletin of Belgorod State University], 2009,
no. 13(68), Vol. 17/2, pp. 89–99 (in Russian)
Поступила в редакцию 25/IV/2014;
в окончательном варианте — 25/IV/2014.
ON THE UNCERTAINTY CONSTANTS FOR LINEAR
COMBINATION OF SOME SUBSYSTEMS OF COHERENT
STATES
c 2014
⃝
M.V. Zhuravlev,3
I.Ya. Novikov, S.N. Ushakov4
Uncertainty constants for coherent states obtain irreduciable value. But problems of interpolation and orthogonalization requires the original system of functions to move to linear combinations. Localization of linear combinations of
coherent states subsystems which have been set on a rectangular lattice are
studied. Formulas for uncertainty constants of these combinations in general
case and at additional assumptions on coefficients are received. Formulas for
uncertainty constants of linear combinations of uniform shifts of Gauss function in general case and at additional assumptions on coefficients are received.
Results of numerical calculations are given for the interpolating scaling functions
constructed for uniform shifts of Gauss function.
Key words: uncertainty constant, coherent states, Fourier transformation, uniform
shifts of single function, Gaussian function, node function, frames.
Paper received 25/IV/2014.
Paper accepted 25/IV/2014.
3 Zhuravlev Mikhail Vasilievich (soracul@bk.ru), OJSC ”Vodokanal”, Moscow, 105005, Russian
Federation
4 Novikov
Igor
Yakovlevich
(igor.nvkv@gmail.com),
Ushakov
Sergey
Nikolaevich
(ushakowww@ya.ru), the Dept. of Functional Analysis and Operator Equations, Voronezh State
University, Voronezh, 394006, Russian Federation
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
1 764 Кб
Теги
неопределенность, когерентных, состояние, линейный, некоторые, подсистемы, константин, комбинации
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа