close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О линейных операторах с несобственными частными интегралами.

код для вставкиСкачать
24
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
УДК 517.9
О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ С НЕСОБСТВЕННЫМИ ЧАСТНЫМИ
ИНТЕГРАЛАМИ
ON LINEAR OPERATORS WITH IMPROPER PARTIAL INTEGRALS
А.С. Калитвин, В.А. Калитвин
A.S. Kalitvin, V.A. Kalitvin
Lipetsk State Pedagogical University, 42 Lenins St, Lipetsk, 398020, Russia
E-mail: kalitvinas@mail.ru; kalitvin@mail.ru
Аннотация. Вводятся пространства локально суммируемых функций, на которых определены
линейные операторы с несобственными частными интегралами. Получены условия, при которых линейные
операторы с частными интегралами действуют из этих пространств в пространства Лебега.
Resume. Be introduced the locally summable functions spaces, who the linear operators with improper
partial integrals are defined. The conditions, by which the linear operators with partial integrals acting from this
spaces in Lebesgue spaces, are obtained.
Ключевые слова: частные интегралы, несобственные частные интегралы, пространства локально
суммируемых функций.
Key words: partial integrals, improper partial integrals, the locally summable functions spaces.
Введение
В книгах [1–4] построены основы теории линейных операторов с частными интегралами в
различных классах функциональных пространств. При этом интегралы понимались в смысле
Лебега, что влечет суммируемоть функций по переменным интегрирования. Простейшие примеры
показывают, что линейные интегральные уравнения с частными интегралами, понимаемыми в
смысле Лебега, могут не иметь решений в том или ином классе функций, хотя такие же уравнения
с интегралами, понимаемыми как несобственные интегралы, могут иметь решения в этом классе
функций.
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение
x(t , s ) =
sint
t

 x( , s)d 
0
sins
s

(1)
 x(t,  )d ,
0
где t , s  (0,), а интегралы понимаются в смысле Лебега. Непрерывная функция
x0 (t , s ) =
(2)
sintsins
ts
не суммируема по каждой переменной на интервале (0,). Поэтому она не является решением
уравнения (1).
Если же интегралы в (1) являются несобственными, т.е.

a

0
0
a
 x( , s)d = lim x( , s)d ,  x(t, )d = lim x(t, )d ,
0
a 
a 
0
где интегралы по промежутку (0, a ] понимаются в смысле Лебега, то с учетом равенства


0
sinu
sinu

du = lim 
du =
a


u
u
2
0
a
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
25
________________________________________________________________
непосредственно проверяется, что несуммируемая функция
x0
удовлетворяет интегральному
уравнению (1) с несобственными частными интегралами, при этом интегралы
I (t ) =


0
0
 x(t,  )d , I ( s) =
 x( , s)d
сходятся равномерно относительно t  (0,) и s  (0,) соответственно, т.е. для любого
 > 0 существует не зависящее от t

a
0
0
|
и
s такое число a0 ,
 x(t,  )d  x(t,  )d |<  ,
|
что при
a > a0

a
0
0
 x( , s)d  x( , s)d |<  .
Приведенный пример показывает целесообразность изучения интегральных уравнений с
несобственными частными интегралами и свойств линейных операторов с такими интегралами.
Следующий пример показывает, что при изучении интегро-дифференциальных уравнений
Барбашина также полезно использование понятия несобственного частного интеграла.
Пример 2. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение Барбашина
x(t , s )
=  x (t , s ) 
t


 x(t, )d  2 e
t
0
с несобственным интегралом в правой части уравнения. Функция
 t sins
, s = 0,
e
x (t , s ) = 
s
e t , s = 0,
где t , s  [0,), как легко видеть, является решенем этого уравнения, хотя она и не является
суммируемой на [0,)  [0,) .
Пространства локально суммируемых функций
Пусть
J = (0,) или J = [0,) и D = J  J . Через
определенных на
D
X
обозначим множество
измеримых функций x(t , s ), суммируемых по каждой из переменных
t
и
s
на каждом конечном промежутке (0, a ], суммируемых по (t , s ) на каждом квадрате (0, a ]  (0, a ]
и удовлетворяющих условиям:
1. Несобственный интеграл

a
 x( , s)d = lim x( , s)d
a 
0
сходится равномерно относительно
(3)
0
s  J;
2. Несобственный интеграл

a
 x(t,  )d = lim x(t,  )d
a 
0
сходится равномерно относительно
3. На
D
t  J;
ограничены функции
0
(4)
26
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
a
a
0
0
u(a, s ) =  x( , s )d , v(t , a ) =  x(t ,  )d .
s, t  J , если функция x(t, s)
Отметим, что несобственные интегралы (3) и (4) сходятся для любых
суммируема по
t
s  J , и суммируема по s при любом t  J соответственно.
при любом
Равномерная сходимость интеграла (3) относительно
s  J и интеграла (4) относительно t  J
имеет место, если существуют суммируемые на
J
функции  (t )
и  (s ),
такие, что
| x(t, s) |  (t ) и | x(t, s) |  ( s).
Для равномерной сходимости интеграла (3) относительно
 >0
чтобы при любом заданном
нашлось такое число
s  J необходимо и достаточно,
a0 ,
не зависящее от
s,
чтобы
неравенство
a
a
a
0
0
a
(5)
|  x( , s )d  x( , s )d |=|  x( , s )d |< 
выполнялось сразу для всех
s  J при a  > a > a0 .
Аналогично, интеграл (4) равномерно сходится относительно
t  J точно тогда, когда
a
 > 0a0t  J  a > a > a0 |  x(t ,  )d |<  .
a
В множестве
X
можно ввести счетную систему полунорм
nn
x
n
=   | x( ,  ) | dd , n = 1, , x  X .
00
В этом случае
X
является локально выпуклым пространством Фреше относительно расстояния
x y

 ( x, y ) = 
n =1
Пространству
n
2 (1  x  y n )
n
, x, y  X .
X , при J = (0,), принадлежит решение (2) интегрального уравнения (1) с
частными интегралами.
Через
X0
будем обозначать множество определенных на
суммируемых по каждой из переменных
t
s
и
D
измеримых функций,
на каждом конечном промежутке
(0, a0 ],
для
которых
a
a
0
0
(6)
| x( , s )d | const < , | x( , s )d | const < ,
где
a, t, s  J , и сходятся несобственные интегралы (3) и (4).
Из приведенных определений видно, что
X  X 0.
Следующие разделы содержат условия, при которых на множествах
X
и
X0
определены
различные классы линейных операторов с несобственными частными интегралами, равномерно
сходящимися относительно (t , s )  D.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
Линейные операторы с несобственными частными интегралами, определенные на
27
X
Будем рассматривать линейные операторы с частными интегралами следующего вида:
( Kx )(t , s ) =


0
0
 l (t, s, ) x( , s)d   m(t, s,  ) x(t,  )d ,
где l (t , s, ) и m(t , s,  ) — заданные измеримые на
оператор (7) определен на
(7)
D  J функции. Условия, при которых
X , получаются с применением второй теоремы о среднем [5], согласно
которой
b

b
a
a

 f ( x) g ( x)dx = f (a )g ( x)dx  f (b)g ( x)dx (  [a, b]),
(8)
если f ( x ) — монотонная на отрезке [a, b] функция, а g ( x ) — интегрируемая на [a, b] функция.
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
а) функция l (t , s, ) монотонна по  и
| l (t, s, ) | L <  ( L = const , t, s,  J );
б) функция m(t , s,  ) монотонна по

и
| m(t, s,  ) | M <  ( M = const , t, s,   J ).
Тогда оператор (7) определен на пространстве
X . При этом каждый из частных интегралов
правой части равенства (7) сходится равномерно относительно (t , s )  D.
Доказательство. Докажем, что первое слагаемое правой части равенства (7)
определено на пространстве
X . Фиксируем x  X . В силу (8)
a

a
a
a

l (t, s, ) x( , s)d = l (t, s, a )x( , s)d  l (t, s, a)x( , s)d (  [a, b]).
Учитывая (5), выберем
a0
так, чтобы при
a  > a > a0
a
|  x( , s )d |<
a

2L
.
Тогда
a
| l (t , s, ) x( , s )d |<  .
a
По критерию равномерной сходимости интеграла (3) первое слагаемое правой части равенства (7)
является равномерно сходящимся относительно (t , s )  D интегралом.
Аналогично, второе слагаемое правой части равенства (7) является равномерно
сходящимся относительно (t , s )  D интегралом.
Теорема доказана.
Отметим, что условию теоремы удовлетворяет оператор, определяемый правой частью
уравнения (1).
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
28
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
X0
Линейные операторы с несобственными частными интегралами, определенные на
С применением второй теоремы о среднем доказывается
Теорема 2. Пусть:
а) выполнено условие а) теоремы 1 и функция l (t , s, )  0 при
относительно
равномерно
  
равномерно
t, s  J ;
а) выполнено условие б) теоремы 1 и функция m(t, s, )  0 при
относительно
  
t, s  J .
Тогда оператор (7) определен на пространстве
X 0.
При этом каждый из частных
интегралов правой части равенства (7) сходится равномерно относительно (t , s )  D.
Доказательство. Докажем, что первое слагаемое правой части равенства (7)
определено на пространстве
X 0.
Так как l (t , s, )  0 при
  
равномерно относительно
t, s  J , то
 > 0a0 > a0(t, s)  D | l (t, s, ) |<  .
x  X 0 . Учитывая (6), при a  > a > a0 будем иметь
Фиксируем
a

a
a
a

| l (t , s, ) x( , s )d || l (t , s, a )  x( , s )d |  | l (t , s, a)  x( , s )d | 2const.
Таким образом, первое слагаемое правой части равенства (7) является равномерно сходящимся
относительно (t , s )  D интегралом.
Аналогично, второе слагаемое правой части равенства (7) является равномерно
сходящимся относительно (t , s )  D интегралом.
Теорема доказана.
Линейные операторы с несобственными частными интегралами, действующие из
X0
в пространства Лебега
В следующей теореме приведены условия, при которых оператор (7) действует из
Lp (D)
X0
в
(1  p  ).
Теорема 3. Пусть
Z = Lp ( D)
(1  p  ),
p
q
k =1
l =1
l (t, s, ) = ak (t, s)bk ( ), m(t, s,  ) = cl (t, s)d l ( ),
где
ak , cl , Z ,
d l ( )  0
функции
при
bk
  
и
dl
— монотонны и ограничены, причем bk ( )  0 при
   и
(k = 1, , p, l = 1, , q).
Тогда оператор (7) действует из
X 0 в Z.
Доказательство. В условии теоремы 3 оператор (7) имеет вид
p

q

k =1
0
l =1
0
( Kx )(t , s ) = ak (t , s )  bk ( ) x( , s )d  cl (t , s )  d l ( ) x(t ,  )d ,
(9)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
где
29
x  X 0 . Так же, как в доказательстве теоремы 2, показывается ограниченность интегралов
a
a
b ( ) x( , s)d , d ( ) x(t, )d .
k
l
a
a
Отсюда и аддитивности интеграла по области интегрирования следуют неравенства (6) с
некоторыми константами. Тогда ограничены интегралы в (9). Учитывая теперь включения
ak  Lp (D), cl  Lp (D)
(k = 1, , p, l = 1, , q), получаем, что
Kx  Lp ( D) = Z .
Теорема доказана.
Пример 3. Пусть
p
l (t, s, ) = e
ak t bk s
q
f k ( ), m(t, s,  ) = e l
k =1
где
ak , bk , cl , d l < 0,
функции
fk
c t dl s
gl ( ),
l =1
gl
и
   и g l ( )  0 при   
X 0 в Lp (D) (1  p  ).
— монотонны и ограничены, причем
f k ( )  0
при
(k = 1, , p, l = 1, , q). Тогда оператор (7) действует из
Аналогично теореме 3 доказывается
Теорема 4. Пусть
Z = Lp ( D)
(1  p  ),


k =1
l =1
l (t, s, ) = ak (t, s)bk ( ), m(t, s,  ) = cl (t, s)d l ( ),
bk и d l — монотонны и равномерно ограничены, причем bk ( )  0
при    равномерно и d l ( )  0 при    равномерно (k , l = 1,2, ), а ряды
где
ak , cl , Z ,
функции


a (t, s), c (t, s)
k
k =1
сходятся в
l
l =1
Z.
Тогда оператор (7) действует из
X 0 в Z.
Работа поддержана Министерством образования и науки Российсой Федерации
(базовая часть гсударственного задания № 2015/351, НИР № 1815).
Список литературы
References
1. Калитвин А.С. 2000. Линейные операторы с частными интегралами. Воронеж, ЦЧКИ, 252.
Kalitvin A.S. Linear operators with partial integrals. Voronezh, CHKI, 252.
2. Калитвин А.С., Калитвин В.А. 2006. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра Фредгольма с частными интегралами. Липецк, ЛГПУ, 177.
Kalitvin A.S., Kalitvin V.A. 2006. Integral equations of Volterra and Volterra-Fredholm with partial
integrals. Lipetsk, LGPU, 177.
3. Калитвин А.С., Фролова Е.В. 2004. Линейные уравнения с частными интегралами. C-теория.
Липецк, ЛГПУ, 195.
Kalitvin A.S., Frolova E.V. 2004. Linear equations with partial integrals. C-theory. Lipetsk, LGPU, 195.
4. Appell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. 2000. Partial Integral Operators and Integro - Differential
Equations. New York-Basel, Marcel Dekker, 560.
5. Фихтенгольц Г.М. 1970. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М., Наука,
800.
Fihtengolc G.M. 1970. Course of differential and integral calculus. V. II. M., Nauka, 800.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
4 270 Кб
Теги
частными, интегралами, оператора, линейный, несобственные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа