close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О равномерной аппроксимации решения сингулярного интегродифференциального уравнения i рода.

код для вставкиСкачать
54
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 6(107)
УДК 519.642
О РАВНОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ I РОДА
c 2013
А.В. Ожегова,1
Л.Э. Хайруллина2
В статье исследуется граничная задача для сингулярного интегродифференциального уравнения с ядром Коши первого рода. Вводится пара весовых
пространств, в которых доказывается корректность рассматриваемой задачи.
Устанавливаются достаточные условия сходимости общего прямого метода,
метода ортогональных многочленов в введенных пространствах и, как следствие, равномерные оценки погрешности приближенного решения.
Ключевые слова: сингулярное интегродифференциальное уравнение, приближенное решение, корректность задачи.
Введение
Данная работа посвящена исследованию равномерной сходимости приближенных решений сингулярного интегродифференциального уравнения вида
1
Ax ≡
π
Z1
x0 (τ )
dτ + Q(x; t) = y(t),
t−τ
−1 < t < 1,
(1)
−1
где x(τ ) — искомая функция, y(t) — данная функция, Q — данный линейный
оператор при краевых условиях
x(−1) = x(1) = 0,
(2)
а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
Традиционно интегральные уравнения I рода относят к классу некорректно
поставленных задач, кроме того, наличие сингулярности в ядре также указывает на некорректность во многих функциональных пространствах, в том числе и
пространствах непрерывных функций. Однако необходимость применения приближенных методов решения указанного уравнения требует их теоретического обоснования и установления равномерных оценок погрешностей.
1 Ожегова Алла Вячеславовна (alla.ozhegova@ksu.ru), кафедра теории функций и приближений Казанского (Приволжского) федерального университета, 420008, Российская Федерация,
г. Казань, ул. Кремлевская, 18.
2 Хайруллина Лилия Эмитовна (lxayrullina@yandex.ru), кафедра информационных систем
Казанского (Приволжского) федерального университета, 420008, Российская Федерация, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.
О равномерной аппроксимации решения сингулярного ...
55
Рассматриваемому уравнению посвящено достаточно много работ [1; 2], поскольку оно имеет многочисленные приложения в теории упругости, теории фильтрации, теории управления и устойчивых процессах, а также при определенном
выборе Q(x; t) является уравнением теории крыла. До настоящего времени исследования проводились в пространствах Гельдеровых функций или весовых пространствах квадратично-суммируемых функций.
В данной работе используется методика выбора пары пространств искомых элементов и правых частей на основе сужения пространств непрерывных функций, в
которых рассматриваемая задача (1)–(2) является корректной, что позволяет далее теоретически обосновать различные прямые методы и получить равномерные
оценки погрешности приближенного решения.
Указанный подход применялся ранее авторами к решению интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью в ядре [3] и сингулярному интегральному уравнению I рода с ядром Коши на отрезке вещественной оси [4].
1.
Корректность постановки задачи
Пусть
1
Iϕ ≡ I(ϕ; t) =
π
Z1
ϕ(τ )
dτ
t−τ
−1
— сингулярный интеграл
с ядром Коши, понимаемым в смысле главного значения
√
1
по Коши, ρ(t) = 1 − t2 , q(t) = ρ(t)
.
Обозначим через X пространство непрерывно дифференцируемых на [−1, 1]
функций x(t), удовлетворяющих условию (2), таких, что ρIx0 является функцией
непрерывной с нормой
kxkX = kρx0 kC + kρIx0 kC ,
(3)
где
kxkC = max |x(t)|.
−16t61
В качестве пространства правых частей Y выберем пространство непрерывных
функций y(t) таких, что I(ρy) также непрерывная функция. Норму в Y введем
соотношением
kykY = kρykC + kI(ρy)kC .
(4)
Полнота пространства Y была установлена в [5]. Полнота пространства X будет следовать из полученных ниже результатов.
Установим необходимые для дальнейшего свойства характеристического оператора G : X → Y, где
Z1 0
1
x (τ )
Gx ≡ G(x; t) =
dτ.
π
t−τ
−1
Лемма 1. Оператор G : X → Y является линейным ограниченным, причем
kGkX→Y = 1.
Доказательство. Представим x(t) в виде
∞
p
p
X
x(t) = 1 − t2 ψ(t) = 1 − t2
γk Uk−1 (t),
k=1
(5)
56
А.В. Ожегова, Л.Э. Хайруллина
где
sin k arccos t
√
,
1 − t2
— полиномы Чебышева II рода, а
Uk−1 (t) =
γk =
cU
k−1 (ψ)
k = 1, 2, ...
Z1 p
1 − t2 ψ(t)Uk−1 (t)dt.
2
=
π
−1
Вычислим
G(x; t) =
∞
X
k=1
1
γk
π
Z1
∞
X
(sin k arccos t)0
dτ =
kγk I(qTk ; t),
t−τ
k=1
−1
где Tk (t) = cos k arccos t, k = 0, 1, 2, ... — полиномы Чебышева I рода k-й степени.
С учетом известного [1; 2] соотношения
I(qTk ; t) = Uk−1 (t)
(6)
получим
G(x; t) =
∞
X
kγk Uk−1 (t).
(7)
k=1
С учетом известного [1] соотношения
I(ρUk−1 ; t) = Tk (t)
(8)
и определения норм (4), (5) найдем
X
X
∞
∞
=
+
kγ
I(ρU
;
t)
k
sin
k
arcsin
t
kGxkY = kρGxkC + kI(ρGx)kC = k
k−1
C
k=1
k=1
C
X
∞
X
∞
0
0
kγk cos k arccos t
kγk Uk−1 (t) + = ρ(t)
= kρIx kC + kρx kC = kxkX .
k=1
C
C
k=1
Откуда и следует, что kGkX→Y = 1.
Лемма 2.Оператор G : X → Y непрерывно обратим и
kG−1 k = 1,
G−1 : Y → X.
Доказательство. Рассмотрим характеристическое уравнение
Gx = y,
x ∈ X, y ∈ Y
(9)
при условиях (2). Решение уравнения (9) будем искать в виде (5), а правую часть
y(t) представим в виде ряда Фурье по полиномам Чебышева II рода. Тогда имеем
∞
X
kγk Uk−1 (t) =
k=1
∞
X
cU
k−1 (y)Uk−1 (t).
k=1
Используя метод неопределенных коэффициентов, находим
γk =
cU
k−1 (y)
,
k
57
О равномерной аппроксимации решения сингулярного ...
и потому решение x∗ (t) уравнения (9) существует при любой правой части y ∈ Y
и представимо в виде
x∗ (t) = G−1 y =
∞ U
p
X
ck−1 (y)
1 − t2
Uk−1 (t).
k
k=1
Оценим, используя (4), (5), (8),
p
∞ U
X
ck−1 (y)
0
−1
2
(sin k arccos t) +
kG ykX = 1 − t
k
C
k=1
p
Z1
∞
1 X cU
1
k−1 (y)
0
2
+ 1 − t
(sin k arccos τ ) dτ =
π
t−τ
k
C
k=1
−1
p
∞
∞
X
X U
U
2
ck−1 (y)Tk (t) + 1 − t
=
ck−1 (y)Uk−1 (t)
=
C
k=1
k=1
C
= kI(ρy)kC + kρykC = kykY ,
откуда и следует утверждение леммы.
В силу леммы 2 уравнение (1) является уравнением, приводящимся к уравнению II рода, причем оператор G−1 Q : X → X будет вполне непрерывным, если
таковым является оператор Q : X → Y. Тогда из теории Рисса-Шаудера [5] следует
Теорема 1. Пусть Q : X → Y вполне непрерывный оператор и однородная
задача, соответствующая (1), (2), имеет лишь тривиальное решение. Тогда оператор A = G + Q : X → Y непрерывно обратим.
2.
Аппроксимативные методы
2.1. Общий прямой метод. Пусть приближенное решение задачи (1), (2)
находится как точное решение следующего уравнения:
An xn ≡ Gxn + Qn xn = yn ,
xn ⊂ Xn ⊂ X, yn ⊂ Yn ⊂ Y,
xn (−1) = xn (1) = 0,
(10)
(11)
где Xn − есть подпространство X элементов вида
xn (t) =
n
n
p
X
X
1 − t2
γk Uk−1 (t) =
γk sin k arccos t,
k=1
(12)
k=1
Yn − множество алгебраических полиномов степени не выше n − 1, Yn ⊂ Y , Qn :
Xn → Yn и yn ∈ Yn − некоторые аппроксимации соответственно оператора Q :
X → Y и функции y(t). Из теоремы 7 главы I [6] следует
Теорема 2. Если оператор A = G + Q : X → Y непрерывно обратим и выполнено условие
εn = kQ − Qn kXn →Y → 0, n → ∞,
то при всех n ∈ N таких, что
qn ≡ εn kA−1 k < 1,
58
А.В. Ожегова, Л.Э. Хайруллина
операторы An : Xn → Yn непрерывно обратимы и
kA−1
n k=
kA−1 k
= O(1).
1 − qn
Если, кроме того,
δn ≡ ky − yn kY → 0,
то приближенные решения
= A−1 y, причем
x∗n
kx∗n − x∗ kX 6
=
A−1
n yn
n → ∞,
сходятся в X к точному решению x∗ =
kA−1 k
(δn + qn kykY ) = O(εn + δn ).
1 − qn
(13)
Следствие. В условиях теоремы будет иметь место равномерная сходимость приближенных решений к точному со скоростью
kx∗n − x∗ kC = O (εn + δn ) ,
kρ(x∗n0 − x∗0 )kC = O(εn + δn ).
(14)
Доказательство. Имеем в силу (2)
Zt
Zt
Zt
ρ(τ )x0 (τ ) dτ 0
0
|x(t)| = x (τ )dτ = =
dτ 6 kρx kC √
ρ(τ )
1 − τ2 −1
−1
= kρx0 kC
arcsin t +
π
2
−1
6
arcsin t +
π
kxkX ,
2
t ∈ [−1, 1].
Аналогично
Z1
π
|x(t)| = x0 (τ )dτ 6
− arcsin t kxkX ,
2
t ∈ [−1, 1].
t
Откуда следует
kxkC 6
π
kxkX .
2
Соотношение (14) следует из оценки (13) и определения нормы (3).
В качестве конкретной реализации общего прямого метода рассмотрим проекционный метод. Воспользуемся известной вычислительной схемой метода ортогональных многочленов.
Приближенное решение будем искать в виде (12). Тогда условия (2) для
xn (t) выполнены. Неизвестные коэффициенты найдем из условия ортогональности
невязки полиномам Чебышева II рода. Получим следующую систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ):
iγi +
n
X
βik γk = cU
i−1 (y),
k=1
где βik = cU
i−1 (Q(sin k arccos t, ti )).
i = 1, n,
(15)
О равномерной аппроксимации решения сингулярного ...
59
Пусть ΦU
n−1 − оператор Фурье, ставящий в соответствие любой функции ϕ ∈
∈ L[−1, 1] ее отрезок ряда Фурье
U
ΦU
n−1 ϕ = Φn−1 (ϕ; t) =
n
X
cU
k−1 (ϕ)Uk−1 (t).
k=1
Очевидно, что СЛАУ (15) эквивалентна следующему операторному уравнению:
U
An xn ≡ Gxn + ΦU
n−1 Qxn = Φn−1 y,
xn ∈ Xn , ΦU
n−1 y ∈ Yn .
Учитывая полученные в работе [4] оценки нормы оператора ΦU
n , а также оценки приближения функции отрезками рядов Фурье по полиномам Чебышева II рода в пространстве Y , с помощью теоремы 2 устанавливаются достаточные условия однозначной разрешимости СЛАУ (15) и равномерные оценки погрешности
∗
приближенных решений x∗n (t) = A−1
n yn к точному x (t) и их производных.
r
В частности, если y(t) ∈ W Hα [−1, 1], Q(x; t) ∈ W r Hα [−1, 1], где
r
W Hα [−1, 1] — множество функций, имеющих непрерывные производные
до r-го порядка, удовлетворяющие условию Гельдера с показателем α,
0 < α 6 1, r > 0, то
ln n
,
kx∗n − x∗ kC = O
nr+α
ln n
, 0 < α 6 1, r > 0, n ∈ N.
kρ(x∗n0 − x∗0 )kC = O
nr+α
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений I рода. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1994. 285 с.
Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО ”Янус”, 1995. 520 с.
Ожегова А.В. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань, 1996.
96 с.
Хайруллина Л.Э. Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши: дис. ... канд.
физ.-мат. наук. Казань, 2011. 103 с.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб.:
БВХ-Петербург, 2004. 816 с.
Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1980. 232 с.
Поступила в редакцию 11/IV/2013;
в окончательном варианте — 26/VI/2013.
60
А.В. Ожегова, Л.Э. Хайруллина
ON THE UNIFORM CONVERGENCE OF THE
APPROXIMATE SOLUTION OF SINGULAR
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FIRST
KIND
c 2013
A.V. Ozhegova,3
L.E. Hayrullina4
The article presents the study of the boundary problem for singular integro-differential equation of the first kind with Cauchy kernel. The authors introduce the pair of weight spaces to prove the correctness of the stated problem.
The article states the sufficient conditions for the convergence of the general
direct method, the method of orthogonal polynomials, and as a result uniform
estimates for errors of approximate solution.
Key words: singular
correctness of the problem.
integro-differential
equation,
approximate
solution,
Paper received 11/IV/2013.
Paper accepted 26/VI/2013.
3 Ozhegova Alla Vyacheslavovna (alla.ozhegova@ksu.ru), the Dept. of Theory of Functions and
Approximations, Kazan (Volga Region) Federal University, Kazan, 420008, Russian Federation.
4 Hayrullina Lilia Emitovna (lxayrullina@yandex.ru), the Dept. of Information Systems, Kazan
(Volga Region) Federal University, Kazan, 420008, Russian Federation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 389 Кб
Теги
рода, решение, уравнения, равномерная, сингулярного, интегродифференциальных, аппроксимация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа