close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об изгибно-крутильных колебаниях крыла.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ТОМ
уд к
ЗАПИСКИ
Х
ЦАГИ
Мб
1979
629.735 .33.015.4
ОБ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРЫЛА
я. М .
Пархомовский
Рассматривается кра евая задача об и з г и б н о- к р у т и л ьн ы х колеба­
ни ях крыла с помощью метода малого параметра. Устанавливаются
н екоторые свойства е е соб ственных характеристик - частот и форм
с о в м е с т н ы х колебаний.
Работающая на изгиб и кручение балка использ уе тся в качестве
ра счетной модели при решении большого кр уга за дач д и н а м и ч е с к ой
прочности крыла. Имеются хорошо разработанные способы расчета
собственных характеристи к балки, совершающе й с в я з а н н ы е изгибно­
крутильные колебания". И тем не менее, насколь ко нам известно,
даже в простейших случаях
для
этих
характери стик
не установ­
лены общие , качественные, закономерности. По л учение некоторых
из них
-
предмет настоящей статьи.
Краевая задача, из которой определяются собств енные харак­
теристики изгибно-крутильных колебаний прямо й к о н с о л ь н о й балки
постоянного сечения, определяется [1] системой уравнений
1.
(1)
01р _dd ~ 2'1' +р 21т сот -p2ma(~) у =о
2
и краевых условий
концах балки:
при
при
~=O
е =
*
l
на
закрепленном
(~= о)
ep(~)= y(~) = :~ = о,
d rr _
d 2У _
- - -d ;2- - - - .
d';
1
d3 У _ О
ds з
и
свободном
(~=
[)
(2)
J
Со бственными харак теристиками мы называем час то ты и формы собствен­
н ы х колебаний или эквивале нтные и м собственные значения и функц ии соотве т­
ствующе й к р а е в о й за да чи.
60
В
Е! и О!р соответственно жесткость балки на изгиб и кру­
(1)
-
чение, т
масса единицы длины балки, Р
(f т =
т относительно оси балки
mр2), р
ради ус инерции массы
-
кр уговая частота, у (Е) и
-
ер(~)-амплитуды прогиба балки и ее угла закручивания, a(~)
-
рас­
стояние центра масс от оси балки. Величина а (~) - определяющий
параметр системы (1), который связывает два независимых уравне­
ния в единую систему. Величина и характер изменения а (~) по дли­
не балки определяют, в основном, качественную картину поведения
собственных характеристик краевой задачи (1), (2). Все остальные
параметры изменяют их лишь количественно. По этой причине мы
в
(1)
положили Е! = О!р
постоянными также
т
= сопst.
и
Помимо этого
мы будем считать
р.
Система уравнений (1) становится более обозримой, ес ли вве­
сти новые переменные Х и
и параметр p~:
f
~=
L* х,
У=р!,
р2=orРб'
(З)
где
(4)
и
l /GJ
E=~,
L=_l_=_l_
L*
р
t'
Р
После этого система
p
.
(5)
Е!
примет вид ;
(1)
f'V (х) - orf+ sor;ep
ер" (х)
+ orep - sor;f
О,
=
}
О.
=
(6)
=
Краевые условия, записанные при х
О и х = L, сохраняют струк­
туру, прнведенную в (2). Параметры z И L назовем соответственно
связью и связанностью системы (1). При этом о (х) = 00'; (х), ао -наи­
большее (по абсолютной величине)
1;(x)l-< 1.
При в
= О система
уравнений
значение о (х).
распадается на две независимых.
(6)
Одна из них описывает "чисто крутильные"
нагибные"
(ер
= О)
колебания
систем хорошо изучены
Дл я
чисто
г-я
собственная
другая -
этих
"чисто
парциальных
.
+ уер =
функция
О,
9 (О) =
'1 г
=
=
2.
УL
SIП а. г -
2г -
2
= О,
I
,,(г
(7)
так,
что
1)
<POr ll
=
'1 г - собr.твенные характеристики
- будут:
-
еро r
ер' (L)
<РОг (х) (нормированная
и г-е собственное значение.
г-го тона крутильных колебаний,
1)
(/=0),
Свойства
крутильной системы:
<р" (х)
=
балки.
[2].
Таким образом,
х
L
=
а 1
'1 = L: ' J~
2
г
,
1, ')_,
. . . ).
(7а)
Круговая частота ~гo тона крутильных колебаний
_
(Рг)кр -
а г -./О!р
L
V
mр2
•
(7б)
61
Для чисто изгиб ной системы;
1(0) = l ' (О) = 1" (L) = 1'" (L) = О,
lor(x) (lIfor~= 1) будет
/' У (Х) - Ч = О,
г-я собственная функция
IOr=
;r [С1 (~rLx)- ~:~::; з, (\х)]
=
(г
(8а)
1, 2, . . . );
C1(~)=ch~-cos~,
С2 (~) = сЬ ~
SI(IO=Sh~-SiП~,}
(~) = sh ~
sin ~,
+ соз З,
(8б)
+
S2
а г-е собственное значение
~r
(8)
корни уравнения
-
D(~) =
ch ~ cos
+ 1 =0.
~
(9а)
При этом
~1=1,8751,
А
1'2=4,69409, ~r::::::
2г
-)
2
It
при г>2.
(9б)
Круговая частота г-го тона нагибных колебаний
(Рrизг-) _ ~~
L2
Мы будем искать
Е!
11I -.
(9в)
т
собственные
характеристики
задачи
(6), (2)
в предположении малости связи е. (Это обычно имеет место для
крыльев, не несущих на себе сосредоточенных грузов) .
Приближенное решение поставленной задачи, т. е. собственную
функцию (совокупность {f, ЧJ }) и собственное з н а ч е н и е 1.1. системы
(6), (2), ищем в виде отрезков рядов по степеням s
N
N
I(x) = L. s k Ik (х),
k=O
N
9 (х) = L. ek 9k (х),
!J. = L. ek (-I-k'
k=O
k=O
Требуя теперь, чтобы каждое из уравнений
(6)
(10)
удовлетворялось
выражениями (10) с точностью до членов, содержащих eN +1 , полу­
чаем для искомых Ik (х), 9k (х), I.I.k следующие две раздельные системы
краевых
з а д а ч:
/JV - . f-Lo/o =0, fl V k
IV
Л
-- (-I-olk= L(-I-tЛ-t-
~~
а ~(-I-t<Рk-I-1
1=1
k
-
+ РОо 9\ =
)
- (-1-\ 90 + 1.1.0 ';/0'
k
L. f l 9k- 1
+ ; L.I.I.I fk- I-1
1=1
(На)
(k
= 2,
3 . . . ).
)
(Нб)
1=1
Каждая из функци й
/k' 9k
fk (О) =
;;. (L)
должна удовлетворять условиям
h (О) =
О,
= IZ' (L) =
9k (О) = 9~ (L)
62
(k=2, 3, . . . );
1=0
9~ + (-1-0 9 0 = О, 9;
rт~ + f-L o 9k =
(-1-01 = 1.1.1/0 - (-1-0";;90,
k
=
О,
О.
}
(12а)
(12б)
Краевые задачи для систем (Па), (12а) и (11б), (12б) - рекур­
рентны. Они обладают важной особенностью - каждая из них имеет
свою, одну и ту же, общую для всей системы совокупность соб­
ственных значений. Для краевых задач (Па), (12а) это собственные
значения л, чисто изгибных колебаний:
(100
для задачи же
(11б), (12б) это
=
А"
-
собственные значения
(13)
'1,
крутиль­
ных колебаний :
(1ос
Числа л, и
'10
= '1,.
(14)
формирующие основной член собственных з н а ч е ­
ний решаемой краевой з а д а ч и , образуют две независимые друг от
друга числовые последовательности. Их, в свою очередь, можно
упорядочить. Мы б удем считать, что ни одно из чисел Л, не сов­
падает с '1s ' т . е. , что собственные значения краевых задач (11) и
(12) различны, хотя 11 могут быть достаточно близкими друг
к другу",
2. Если ограничить ся в (10) членами, содержащими (02, то можно
покааать, что решение задачи (6), (2), .люрожденное" г-м тоном
изгнбных колебаний (т. е. при (100=1.,), будет иметь следующий вид**:
(Л, изг =
/ 0, + (02 (/2)' иа гэ (rp), изг =
= )" + е ([12)' нзгэ
A,/o, + (/;),нзг'
«(1о),-;'з г
е (epl)' изгэ
)
2
(15)
(/2)' н зг =
Действительно , согласно известным свойствам краевых задач:
функции 9k(X) определяются единственным образом [при этом
-
1'0 (Х) == О];
- ([11)'
=
изг
О , так как для того, чтобы существовало ограни­
ченное решение уравнения для (f), иэг , необходимо и достаточно,
чтобы правая часть уравнения была орт ого на льна к
=
/ 0"
может им еть место только при «(101)' изг
О;
- (/1)' и зг
О. в самом деле, решение однородного
==
для /)(Х) будет
1) (х)=С/о,(х).
Последнее
уравнения
Так как мы требуем, чтобы [1/ ( 1) = 1,
то отсюда след ует, что С = О;
- ф ункция (9]), и зг - решение уравнения
(16а)
будет
(rp), изг =
~/}.,
[!
;(s)/o, (s) вш
Vл, (х .-
s) ds -
_ ,sin~~x
S';'(s)/о,(s)соs1/л,(L -S)dS] ;
cos А, L о
(1Iа»
иа ус ловия ограниченности решения для
(/2)'
(16б)
и зг
имеем (см.
L
«(102)' иэг = Л, S-; (s) (rp1 (s»), иаг 10, (s) ds.
(17)
о
*
**
Это означает, что парциальные части
крутильных и нагибных ко лебаний
различны. Случай нх совпадения не представляет интереса.
Компоненты изгиба и кручения формы
и собственные значения снаб жены индексом
собственных колебаний равно как
.из·
или .кр·
соответственно.
63
Сама же функция
(/2), и зг
будет иметь вид
(2)' изг = А, /0,
где
(/;), II ЗГ -
+ и;), изг:
частное решение уравнения для
(/;),
изг=
41--
21/ л;
( 18)
/ 2 (х).
[(р.2)'ИЗГ Х\" /0, (S)SI (t1л,(х-s»)
б
ds-
-А,j;(S) ('Рl (S»), ИЗГ Sl (;;~(Х - S») dS] ;
здесь S 1 (Ю дается (8б).
Постоянную А, определяем из условия нормирования
Отсюда
(18а)
11(f), и зг 1 = 1.
L
- S/о,U;),изг dх .
А;
(19)
о
Наконец, ('Р2)' изг = о.
Мы показали, что решение, .люрожденное" изгибом, имеет вид
(15). Входящие в него величины определяются формулами (8а), (16б) ,
(17) - (19).
Таким же способом
можно
установить, что решение, .порож­
денное" г-м тоном крутильных колебаний, имеет вид:
(Л, кр
= Е (/1)' кр ,
(<P2)'kp = 'Ро,
(р.), кр = У,
Здесь
(/1)' кр -
+е
2
+ 0;2(В, 'Ро, + (ер;),кр'
(tJ-2)' кр •
I
(20)
решение краевой задачи для уравнения
111V -
У'/I
-
= - 'I, a epo, '
(/1)' кр = 11 SI
.
(t1 У, х ) + 12 С1 (V";'- х)s;;(я) SI (V"У, (x-S) )<Ро, (8) ds,
- V;,
4 -
Х
(21)
о
где
(р.2)' кр =
L
'1,
J;'Ро
r (
!I ), кр dx,
(22)
(J
*
Таблицы комбинаций этих 11 аналогичных КРУГОВЫХ и тригономет рических
функций даны в (3).
64
(/f;), кр -
частное
решение краевой задачи для уравнения:
ЧI" + '1, ер =
т.
+ v,7J (/1)' крэ
(fL2)":KP Рог
-
е.
Х
I
5[(fJ-2)' kpPO,(s)-v,а(S)(/I)'Кр]
(Р;),кр=- y~,
_
'
Х
о
Х s l п V'I, (х - s) ds .
(23)
L
В, =
-
J(ер;), крЧlогdх.
(24)
u
Полученные
результаты
можно
сформулировать
следующим
образом. При фиксированных законе распределения ;;(Х) и связан-.
ности
L:
собственные значения (частоты) связанной системы отлича­
ются от собственных значений их породивших чистых тонов на
величины, пропорциональные
квадрату
пара метра
инерционной
связи :02;
- компонента формы (Л, ивгэ порожденная г-м тоном изгибных
колебаний, отличается от чисто изгибной
(х) на слагаемое по­
рядка Е2, компонента же (/f), изг пропорциональна первом степени Е.
Аналогичное положение имеет место для форм связанных коле­
баний, порож д енных кручением; остается почти "неизменной" ком­
понента (ЧI), кр и появляется малая, пропорциональная Е компонента
-
/0,
(ЛГ кр-
3. Пер ейдем теперь к рассмотрению случаев, когда указанная
занономерность нарушается. Для дальнейшего анализа решений (15)
и (20) удобно использовать аппарат интегральных уравнений.
Так, решение уравнения (16а) можно представить в виде
со
(Ч'I)' 113Г = - J.,
L '; _л
ak,
k=1
k
ЧlОk (Х)
(25)
,
И по (17) и (25) получить, что соответствующая поправка к собст­
венному значению будет
2
со
ak r
(J.12)' и зг = - .Аг2 2 :
л
k=l';k ' -
Точно та" же выражения
(21)
и
(22)
г
.
(26)
можно представить в виде
со
(/1 (х»)г кр =
-
У, L лk~ "г
10 k (Х)
(27)
k=1
и
получить
(28)
в формулах
(8а), а
(25), (27)
ЧlОk (х)
и
IOk (х)
даются
выражениями
(7а) и
L
':lkr =
S-; (s) ~Ok (s)/o,(S) ds.
. (29)
u
Коэффициент rJ. k , - инерционная связь форм k-ro тона чисто кру­
тильных колебаний с Г-М тоном колебаний чисто изгибных. Из (29)
5- Ученые
за п иск и Х'1 5
,
65 '
следует. что при каком-нибудь фиксированном тоне (например г-м
иагибном) и возрастании k a. k r -+ О, т. е. связь парциальной формы
данного тона с тонами другой парциальной системы уменьшается
ио
мере удаления их друг от
друга.
Из формул (25)-(28) следует, что при близости двух парциаль­
ных собственных значений (ПСЗ) '1s И Л m
(30)
будет доминировать тот член
ность. Он будет порядка
рядов,
который
содержит
1/0..
эту раз-
.
У становим теперь, когда реализуется соотношение
(30).
Вторым параметром, который при данной величине связи Е а (s)
определяет собственные характеристики системы (6), (2) является
ее "связанность" L . Используя (5), (7б) и (9в) можно L выразить
через парциальные частоты n-го тона изгибных и т-го тона кру­
тильных колебаний
L
=
p~ (Рm)кр
аm
то
значение
L,
при
котором
,
(31)
(Рn)изг
(Рm)кР = (Рn)изг можно назвать
кри­
тическим. Близость величины L к критическому значению характе­
ризует близость между собой соответствующих парциальных час­
тот (ПЧ) .
. Положим теперь, что значение L близко к критическому и при­
мем n
2, т
1. Это наиболее интересный в приложениях случай.
Пусть, следовательно,
=
=
L =
~2
_2 (1
аl
- 60.),
/61 :;)- 1, /6 1Е ~ 1.
Выделяя в (25) -- (28) доминантный член О
(+),
(31а)
получаем
а
2 в1: /02 (Х), (ер 1)2 изг = ;~: СРО1 (Х),
. (/t)II<P .::::::; -
)
(32)
(1[2
=
"'.
J-; (s) 'РО1 (S)/02 (s) ds.
о
Следовательно, по
(
f.L ) 1 кр
=
и
(15)
(20)
Е
'11 -
( / (Х»)1 кр
2 •
"2O IX12
'11'
=-
;~2 /02 (Х),
(СР (Х»)2 изг
= ;~2 СРОI (х). I
Далее имеем
(СР)1 кр .~ 'РОl (х)
+ :; (СР2)1 кр
И
]
(/)2 изг =/02
+
Z
(/2)2 изг
•
(33)
(34)
Из (33) и (34) следует, что если значение L близко к критиче­
скому (близки между собой две какие-нибуль частоты парциальных
систем), то, даже при малой связи, ситуация, описанная в конце
п. 2, радиально меняется.
66
2-и тон
З-и тон
~'02
~.
~
~
~ -"t.:--\ '
Рис.
Именно, (СР) 2 и зг уж е не ФУНКЦИЯ порядка а, а конечная, причем
она проп орци о нальн а СРО I (х); д о б а в ка к
(х) - первого по в порядка
/ 02
ма ло с ти . Собственная же ф орма совместных колебаний, по рожден­
ная первым тоном кр утильных колебаний, имеет конечную изгиб­
н ую к ом понент у , пр оп орциональную
(х), и добавка к е е крутиль­
ной компонен т е ст ан овится первой, по в , порядка малости. При
близких парциальных частотах им еет место большая "связанность"
кол ебаний . В первую очередь оч ень связанными между собой ока­
з ы ва ют с я формы тех тонов совместных кол ебаний, которые по рож­
д ен ы б ли зким и частотами парциа льных с и с т е м" .
Пр едс т ав л ение о формах колебаний при з н а ч е н и я х L, близки х
к критическим, д а е т рис. 1. На нем приведены пол ученные чис­
л е н н ы м расчет ом краевой задачи * * (6), (2) формы 2-1'0 и 3-1'0 тонов
с о в м е с т н ы х ко лебаний для k = 0,95 -+- 1,05. (Здесь и ниже, если не
/ 02
оговорено противное, результаты расчетов даны для в
L=
~~
k,
= 0,3, -;-1)
(Рl)КР
k=
а!
(Р2)ИЗГ
На рис . 1 д а н ы эпюры линейных пер емещений двух точек с е­
чения, равно удаленных от
оси балки. Кроме того, на нем п ункти­
ром нанесены уз ловые линии тона колебаний - геометрические
места точек, остающихся неподвнжными. Мы видим, что при свя­
занности близкой к критической уже тру дно или даже нельзя
"распознать " происхождение тона совместных колебаний. Формы
и
2-1'0
3-1'0
тон а
близки между
з а н н о ст ь форм и меет место
собой.
только
Заметим, ч то большая свя­
в уз ко й
причем о б ласть эта тем у ж е , чем меньше в.
об ласти
значений
L,
.
Вне это й У З К ОЙ области · связанность
форм
невел ика. Это
можно усмотр еть на рис. 2, на котором для того же (достаточно
большого) значения z =0,3 даны эпюры 2-1'0 и 3-1'0 тонов колеба­
ний, но для k = 0,3 , 0,5, 0,75, 1,5, когда справедливы соотношения
ком
* Этот факт д ля д р у гих
** Расчеты , приво д имые
и
механических систем был обнар ужен А . Н . Резни ­
автором.
ни ж е, по на шей просьбе были выполнены авторо м
прогр аммы опре де ле ни я с обс твенных характеристик Е . И . Соболевым. По льз уемся
с лу ч а е м выразить ему благодарность .
67
[-у тон
~
. \ -\ \~~~=О,З&
Рис.
(15)
и
з- г тон
6=0,.1
(20).
2
Формы совместных колебаний этих
точно близки к формам парциальных
k = 0,5,
например, это
гонов з десь доста­
систем их породивших. Для
соответственно l-й
и
2-й тона крутильных
колебаний.
Первыми при значениях L, близких к критическому, по по ­
рядку малости по € становятся и поправки к собственным значе­
ниям '11 и Л 2 * . Знак этих поправок определяется знаком 6, т. е.
тем, какая из парциальных частот Л 2 или "1 выше т ".
Наконец, рассматривая формулы (32), Мы замечаем и следующее.
Если
1
J
';(8) rp01 (s)10r(8)
(112 =
ds = О,
(35)
о
т. е. оборвана инерционная связь между двумя близкими парци­
альными тонами, то даже при L, близком к критическому, функции
('f1)2 изг
И (11)1 кр останутся порядка в, и форм Ы колебаний окажутся
не слишком связанными. (a. 12 - "балансировка" балки на l-й тон
КРУТИЛЬНЫХ и 2-й тон . нагибных колебаний. Выражение (35) - част­
ный случай общего выражения, когда погонная масса меняется по
длине балки).
Таким образом, подбирая соответствующий закон а (8), можно
управлять в нужном направлении связанностью форм. Колебания
наиболее чувствительны к изменению инерционной связи при L,
близком к критическому .
=
Обрыв связи (т. е. (112
О) при '11 И )'2' далеких друг от друга, не
изменит существенно положения, как это следует из (25) - (28).
Обратим в связи с этим внимание на следующее. Известно [5],
*
На
это обстоятельство указал Л. И. Мандельштам,
ния систем с двумя степенями свободы
**
Напомним, что формулы
тенденцию изменения
числений.
68
(32)
и
рассматривая колеба­
[4] .
следующие
собственных характеристик
из них имеют целью указать
и не
предназначены для вы ­
что чем дальше отстоят друг от друга ПЧ степеней свободы, фор­
мирующих флаттер, тем выше критическая скорость флаттера VKP '
Сближение ПЧ
сопровождается уменьшением
VKP
и
близким
ПЧ
соответствует зона минимума VKp ' Рассмотрим изгибно-крутильный
флаттер крыла . Выше было отмечено, что при далеких друг от
друга ПЧ формы совместных иагибно-нрутильных колебаний свя­
заны мало, что при сближении их связанность увеличивается и
что наиболее сильно формы колебаний связаны при близких ПЧ. Это
д а е т основание для другой интерпретации поведения
жении
ПЧ:
чем
больше
связанными
между
VKp
собой
при сбли­
оказываются
парциальные системы степеней свободы формирующих флаттер,
чем больше связаны между собой формы совместных колебаний,
тем меньше величина VKp ; увеличить VKp можно, уменьшив свя­
занность форм колебаний. Но именно при близких ПЧ сравни­
тельно малого изменения инерционной связи достаточно, чтобы
связанность форм колебаний
резко уменьшить.
Следовательно,
при прочих равных условиях наиболее эффективная балансировка
крыла должна оказывать при близких ПЧ. Так оно и имеет место
. в действительности. Таким, в общих чертах, конечно, представ­
ляется механизм действия инерционной связи на величину VKp •
Такой же , как описанная выше, будет ситуация и при условии
=
'1s - Л m
ев.
Остановимся теперь на некоторых качественных соотноше­
ниях, вытекающих из полученных формул.
а) Зафиксируем ряд Л i и будем увеличивать '11 (а, следовательно,
4.
и все '1 к ) ' Пусть между неизменными
)'1
два исходных значения '1: '1? и ';~
1.1* <
о
о
'11 <
'12 <
= л;
И 1..2 = л; расположены
-, *
1.2 •
(
<
36)
Из (26) тогда
следует,
что (f12)1 изг
О и,
следовательно,
и зг
1..1 (первая частота совместных колебаний меньше низшей
частоты системы парциальной. С ростом У, (1-'-)1 изг снизу стремится
<
{tt)1
к 1.1'
У становим
теперь
как
изменяется
Из (28) вытекает, что до тех пор, пока
личину ([-10 2)1 к р
) ,; <'11
дают
<1,;
слагаемые
(f12k кр
ряда
r
кр
при
увеличении
2,* + --л-*
2] .
<111
:::::; '11
(1-'-)1
<
<112
1_ _
L
'11'
'11
л;, основной вклад в ве­
"окаймляющие" '11' т. е. при
1
(37)
1 __
2
'11
'11
Эти слагаемые разных знаков. Сначала в сумме (37) преобладает
первое слагаемое и с ростом '11 (fL2)1 кр убывает, оставаясь положи­
тельным. Сперва, следовательно, ([-10)1 кр
'11' При дальнейшем воз­
>
растании
'11
превалирует
{1J-)IKP<V 1 (см.
'11
уже
также (33)).
слагаемое
и
теперь
уже
Когда же, при дальнейшем увеличении
становится большим, чем
ряда (28) и при ),;
второе
< '1 < л;,
),;,
основной вклад дают другие члены
кр = [-~
+ 1 _<1~3л.]
_
1 __
2
<112
([-102)1
'11
л·2
3
'11
'11
69
и, значит, снова повторяется описанная выше картина. Аналогич­
ным способом из формул
(26) у с т а н а в л и в а е м поведение .лтоправок "
К тону .порожваемому" л;. Если, например, 'J 1 л; '12' то при уве­
л и ч е н ии '11 (1-'-)2изг > ),; при '11 л; И (1-'-)2 изг л; при '11 > л;.
Типический вид зависимостей (1-'-)1 кр !'1 1 = f('11/'J~) И (11')2 изгfl·; =
= f('ll /'1~), полученный по числовому расчету, привелев на рис. 3.
<
Там же
пунктиром
ным формулам
(11') 2 изгвенные
Мы
(37)
видим,
нан есены
и
(20)
что
кривые, полученные по приближен­
кр И аналогичным формулам
(11')1
расчет подтверждает
закономерности .
ную точность при
для
< <
<
полученные
для
качест­
Приближенные формулы дают достаточ-
1
161> 2"" .
=
Легко усмотреть, что зависимость (11'), кр
/('11), порождаемая
'1, - одного типа (тип 1), в то время как зависимость (1-'-), ив г /('11) д р у г о г о (тип 1/).
Если был бы
зафиксирован
ряд
и
'1k
относительно его пере­
двигался ряд Л, мы получили бы снова картину, подобную и зобра­
женной на рис. 3, с той лишь разницей, что по типу
лись бы «(.I.)изг' по типу же 11- «(.I.)KP'
Таким образом, соотношения между парциальными
1 и зменя­
собствен­
ными значениями (ПСЗ) и собственными значениями сист емы (СЗ),
имеющие место 8 случае систем с двумя степенями свободы [4],
в системе с распределенными характеристиками, перестают быть
справедливыми. Они заменяются другими, более сложными. Соот ­
ношения, установленные для систем с двумя ст епенями свободы ,
выполняются
лишь
СЗ, близки между
тогда,
собой
и
когда два ПСЗ,
всего остального спектра ПСЗ.
ИЗ формул
связи (!I12 - О)
(28)
следует
формир ующих да н н о е
.преодолеваюг"
также,
искажвюшее влияни е
что
при обрыве I1нерционной
+
аIзл" ]
1 __
3
'1 1
I
)L"
кр/У , ~
1,2
1,1
I
I
~~
'--.- - ' - ~ .
7,0
ь.
_.
f--.- r--- ,- f--. -
\
tJ,S
I,S
1
I
r
..
Jl2, "З Г/'>"2
1,7
1,0
/,
--
tJ,S
v~
//
/
?
I I
Рис. 3
70
-
1,5
И, по крайней
мере, при
),;
< "1< J.; (11)1 кр =
монотонно убы­
/("11) -
вающая функция, остающаяся большей чем "11 (см. штрихп унктир­
н ую кривую на рис. 3).
б) Рассмотрим теперь как изменяются при увеличении "/1 (всех
"i k )
собственные характеристики данного, фиксированного
тона
совместных колебаний. Ограничимся, для определенности , исход­
ным расположением ПСЗ
(36).
Начнем со второго тона совместных колебаний. ИЗ соображе-
ний, приведвнных в п . 2, следует, что при
(Тlljv
1O
/
5,0
'/
Ч,О
1,0
)
11 /
13
I
0,5
<},;
он формируется
чисто
крутильных
второй тон трансформируется уже
из второго тона чисто нагибных коле­
/
баний и его СЗ будет оставаться поч­
ти неизменным, какой бы большой
не была величина "11' Сказанное иллю­
1-
стрируется рис.
4
(кривая
1),
на кото­
ром дан график
11 (,~ )
r----щ-
'/
о
"/1
тона
с ростом "11' Когда же '11> л;, тот же
2
/1
первого
колебаний. В его собственной
фор­
ме будет преобладать
крутильная
компонента, а СЗ будет возрастать
I
i/
3,0
2,0
-
I
из
I,S
1,0
Рис.
2,0
4
=f(k).
(!Jo(II) - СЗ п-го тона совместных коле­
К баний). За"l~ принято значение, по-
лучнемое при L
~2
= -2
2 .
11,
НаПОМНИ:'1 также, что
Эту
смену форм можно увидеть, рассматривая эпюры для k =
и k = 1,5, приве денные на рис. 2. Окрестности k =
0,5, 0,75
0,3,
1 ( '/1
близкие к 1.;) будет соответствовать переходная область, в кото­
рой сильно связаны формы колебаний (см. рис. 1).
Повторяя приведенное выше рассуждение, можно установить
следующее чередование наименований, определяющих, так сказать,
этиологию 3-го тона совместных колебаний": 2-й крутильный
изгибвый - 1-11 крутильный - З-й изгибный.
График
,. (
V
'1.(3 ) ,
-
2-й
'
'~ = f(k), иллюстрирующийсказанное, дан на рис .4
(кривая 2). Смену же форм колебаний - первые три из указанных
выше - д л я третьего тона можно увидеть на рис. 2. (Эпюры для
k = 0,5, 0,75, 1,5). На рис. 4 также нанесена зависимость
= f(k) *
кривая
3.
Вся совокупность наименований форм третьего тона
крутильный - I-й ивгибный - 2-й крутильный - 2·изгибныЙ З-изгибныЙ.
V
,1.( II )
~=
"1
д а е т с я РЯДОМ: З-й
I·Й крутильный­
71
Вообще же зависимость
.... /
V
"I.L(n)
,,~O)
= f(k)
представляет собой кри-
вую, в которой чередуются между собой n почти прямолинейных
"подъемов" с п "площадками". Каждому подъему соответствует
крутильная форма совместных колебаний, площадке - форма из­
гибная. В конце концов, при очень больших ч, характеристики
n-го тона совместных колебаний становятся близкими к характе­
ристикам n-го тона колебаний чисто нагибных.
2-u
то»
q>
lf=0,5
___
2,8f-----!--+--+---b"'+--j
2,0
0,2
О,Ч
--
0,6
0,8 Х/l
Е=О,2
О,З
Рис.5
Аналогичная картина будет иметь место при изменении жест­
кости
на изгиб (величин
1-.).
В конечном
счете n-й тон совместных
колебаний становится близким к n-му тону колебаний
крутильных .
в) Происходящая как бы скачком при L критическом смена
наименования тона колебаний подготовлена постепенной перест­
ройкой его формы. Она происходит все время с ростом V!, пока
сохраняется постоянным наименование тона.
Так, рассматривая совокупность кривых {j, ер) при 0:=0,3 для
второго тона колебаний (см. рис. 5) легко заметить, что с ростом
k
при
0,5<k< 1,
т. е.
когда
рассматриваемый
тон
-
l-й тон кру­
тильных колебаний, компонента ff (х) формы колебаний монотонно
убывает; в то же самое время вторая компонента - f(x) сначала
безузловая, характерная для первого тона колебаний, становится
затем узловой, свойственной 2-му тону колебаний, причем по
мере роста k узел f(x) передвигается вправо, к концу балки.
(На рис.
5 и 7 компоненты fn (х) приведены к значению fn (1) =
1).
Затем, при k> 1, когда 2-й тон совместных колебаний трансфор­
мируется из 2-го изгибного тона, компонента f(x) формы колебаний
изменяется сравнительно мало, в то время как компонента ер (х)
продолжает убывать. Интересно отметить, что теперь (при k> 1)
компонента rp (х) достигает наибольшего значения не на свободном
72
J-/i
тон
,
-- -;
f
!р
г-г тон ;6 =0,3
1, qt---t--~f---7"""";...,--+----j
1, 2 f--f---+l_=-+~
!
:1
11
, I
I
I
о, ч
0,2
0,5
Рис.
I
0,8 X/L
6
Рис.
7
конце б ал к и, а в ее средней части. На рис. 6 приведсны графики
ЧJ2 (х) для р а зных k, иллюстрирующие сказанное. (На рис. 6 принято
1).
92 (1) =
На
рис.
7
можно
проследить
постепенное
изменение
форм,
происхо дящ е е с ростом k на третьем тоне колебаний. Обращаем
вни ман и е на то, что компонента j(x) формы колебаний сперва
у з л о в а я , впос л е дствии (при
1, когда третий тон совместных
ко ле б аний - п е р в ы й тон колебаний кр утильных) становится без у з­
л о в ой . При э т ом наибольшее значение f(x) достигается в с р е д н е й
k>
части балки, а не на свободном конце.
г) Говоря о формах колебаний, остановимся еще на одном
обстоятельст ве. д л я п арциальных - чисто кр утильной и изгиб ной сис те м
с ущ е с тв ует
о дно значная
свя зь
между
порядковым
но­
меро м тона к олеб а н и й и числом узл о в ых точек соответств ующе й
ему формы ко л ебаний.
Анал огом у зл о в ы х точек д ля системы связанно й с л уж ат уз ло ­
вые
линии
-
кривые
R, (х) =
-
f n (x )
'f n ( t") ,
г де f n (х) и 9n (х ) -- компоненты фор мы n-го тона совме стны х кол е­
бан ий. Кривая Rn (х) о бращае тся в н у л ь в точ ках x~, д л я которы х
fп (x~) = О и в б еск о не ч н о сть в точ ках
Xk ,
для которых tp (Xk ) = О.
Дл я совместны х колебаний не существу ет зависимости между
порядковым
н о м е р о м тона колебаний и видом узловой линии или
числом точек x~ и
тона
могут
Xk •
Одному
соответствовать
различное чис ло точек x~ и
И тому же порядковому номеру
различные
Xk •
л я е т с я тем , ка к о й и з т о н о в и
виды
узл овых
линий-
Х а ра кт е р узловы х линий опреде­
какой именно парциальной систем ы
формирует д а н н ый тон совместных к о л е б а н ий . Примеры у з л о в ы х
линий т р е т ь е г о тона колебаний даны на ри с. 2.
73
Узловая линия n-го тона колебаний может иметь 2n различных
видов - от непрерывной кривой с n - 1 точками х; до кривой
тангентоидного типа с n- 1 точками Xk •
Переход от n - 1-го тона совместных колебаний к n-му может
и не сопровождаться увеличением числа точек х; и
может
рис.
даже
уменьшиться
(см. например
эпюры
Xk •
для
Число их
k= 1,5
на
2).
д) Увеличение Е делает форму колебаний менее " ч и с т о й " .
Этот, впрочем априорный, факт можно усмотреть из рис. 5 и 7,
на которых даны формы колебаний для Е = 0,3 (сплошная кривая)
и Е = 0,2 (пунктирная).
Отметим в заключение,
что все полученные качественные
зависимости
сохраняются
меняются
длине .
по
и
тогда,
ког да
характеристики
крыла
ЛИТЕРАТУРА
1. Г р о с с м а н Е. П . • Курс вибраций частей самолетов". М.,
.Оборонгнэ ", 1938.
2. Т и м о ш е н к о С. П .• Теория колебаний в инженерном д е л е" ,
М. - Л. , ГНТИ, 1932.
3. А н а н ь е в И. В ., Е г о р ш е в а Н. И . .Табуянроваиаые зна ­
чения круговых и гиперболических функций' , М . , .Машиностроение·,
1974.
4. М а н Д е л ь ш т а м Л. И . • Лекции
собр. соч., т.4, М., Изд. АН СССР, 1955.
по
кояеёвнням-. Полное
5. Пар х о м о в с к и й Я. М. Крутияьно-руяевой флаттер хвосто- ­
вого опер ения. Тр уды ЦАГИ, вып . 524, 1940.
Рукопись поступила 15/ХI
1978
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
5 355 Кб
Теги
крыла, колебания, крутильных, изгибно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа