close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об обтекании твердого тела ограниченного известной алгебраической поверхностью потоком жидкости или газа.

код для вставкиСкачать
ОБ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННОГО
ИЗВЕСТНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ,
ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА
К.В. Мануйлов, Л.П. Ильина
Из уравнений Эйлера, описывающих качение тяжелого твердого тела по плоскости, получены уравнения
Эйлера, описывающие обтекание тела, ограниченного поверхностью S реальной (вязкой) сжимаемой
жидкостью, посредством построения субстанциональных производных от составляющих линейной скорости жидкости.
Качение по неподвижной плоскости Pfix тяжелого твердого тела, ограниченного
известной алгебраической поверхностью
SN(x,y,z) = 0,
(1)
в каждый момент времени соприкасающейся с этой плоскостью в точке p, является зеркально эквивалентным движению по некоторой кривой L, лежащей на поверхности (1)
точки p соприкосновения плоскости P(t) с неподвижной поверхностью (1).
Из теории функций комплексной переменной следует, что при качении по плоскости Pfix поверхности (1) она будет переходить в себя так, как если бы движения принадлежащих ей точек (лежащих на ней точек), равно как и точек трехмерного пространства
были бы определены группой дробно-линейных преобразований, действующих на комплексную переменную z, заданную на плоскости C1, совпадающей с плоскостью Pfix
(см.[1]).
Если мы теперь примем поверхность (1) за абсолютную в некоторой проективной
геометрии [2, 3] и потребуем ее неподвижности, то определим этим самым движения
точек по ней и движения точек в пространстве, ее объемлющем, как вращения относительно двух систем осей, из коих первые суть оси касательные к эволютным поверхностям поверхности (1), а вторые суть оси, полярные первым относительно этой поверхности (см.[2, 3]). Этим самым движения частиц жидкости по поверхности (1), вызванные движением в последней твердого тела, ограниченного сказанной поверхностью,
определены как вращения относительно непрерывного семейства осей, касательных к
эволютным поверхностям поверхности (1) (см. рис.1).
А
А'
Рис.1 Оси, относительно которых вращается жидкость
В то же самое время качение тяжелого твердого тела, ограниченного известной
алгебраической поверхностью (1), по плоскости Pfix определено решениями дифферен-
169
циальных уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около
неподвижной точки, происходящее под действием системы внешних сил, заставляющих центр тяжести тела и нуль-центр вращающих сил (центр вращения) двигаться по
подобным пространственным кривым. Эти уравнения при условии, что угловые скоро~ определены относительно движущихся осей, имеют вид (см. [4])
сти ω
i
~ = ( A − A )ω
~ ω
~
Ai Dt ω
i
j
k
j k +
3
∑ Fl ( ~x j 0α ik − ~xk 0α ij ) ,
(2)
ijk =1
где Ai суть моменты инерции, являющиеся периодическими функциями времени; Fl –
периодически изменяющиеся во времени составляющие момента внешних сил, заставxi 0 = xi 0 (t ) – периодически изменяющиеляющие твердое тело катиться по плоскости; ~
ся во времени расстояния центра тяжести тела от центра вращения; угловые скорости
~ и направляющие косинусы α определены тригонометрическими функциями алгебω
ij
i
раической кривой рода 2, имеющими вид
'
~ = θ i θi (υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 ) = c θi (υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 ) ,
ω
(3)
i
i
θθ(υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
θ(υ1 , υ2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
где i = 1,2,3,
θ θ (υ , υ , κ , κ , κ )
θ (υ , υ , κ , κ , κ )
α ij = km km 1 2 1 2 3 = aij km 1 2 1 2 3 ,
(4)
θθ(υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
θ(υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
где j = k = 1,2,3; m = 4,5,6 (см.[4, 5]).
Из переменных, входящих в тэта-функции, υi суть линейные функции времени, а
κi – квадратичные, определенные начальными условиями задачи Коши для уравнений
(2).
Исходя из общей теории движения твердого тела относительно неподвижной точки, составляющие линейной скорости точек поверхности тела имеют вид
υ y i = x j (t )ωk − xk (t )ω j ,
(5)
где xi суть координаты точки на поверхности (1). Составляющие же линейной скорости
движения точки p по неподвижной поверхности (1) тела выражаются через главные радиусы кривизны поверхности и угловые скорости, с которыми тело вращается относительно системы трех взаимно перпендикулярных осей yi, пересекающихся в точке с1,
лежащей на одной из эволютных поверхностей тела, в виде (см.[6], ср.[7])
⎫
⎛R
⎞
% 2 ⎟ = R1ω
% ′2 ⎪
υ y1 = R1 ⎜ 2 ω
⎝ R1
⎠
⎪
⎪
%1
(6)
υ y2 = R1ω
⎬,
⎪
% 12 + R1ω
% ′22 ) dt ⎪
υ y3 = − ( R1ω
⎪⎭
~ суть регде R1 и R2 суть радиусы кривизны поверхности (1) в точке p (см. рис. 2),а ω
i
шения уравнений Эйлера, которые описывают качение тяжелого твердого тела по
плоскости, вращающегося около нуль-центра инерции вращающих сил, движущегося
по одной из эволютных поверхностей поверхности (1) (см. [6]).
Составляющие линейной скорости (6) являются сложными функциями времени и
координат точки p на поверхности (1), поведение которых определено законами изме~ , представляющих собой ненения радиусов кривизны R1, R2 и угловых скоростей ω
i
четные тригонометрические функции алгебраической кривой рода 2, определенные равенством (3).
∫
170
Для построения уравнений Эйлера, описывающих движение реальной жидкости
(вообще некоторой сплошной среды), обтекающей твердое тело, ограниченное поверхностью (1), правые части которых определяют силы сопротивления жидкости (сплошной среды) в явном виде, нам необходимо и достаточно построить субстанциональные
производные от составляющих линейной скорости движения этих частиц υ yi по сказанной поверхности. Эти уравнения имеют следующий вид (ср. [4]):
⎛ R ∂R2 R ∂R1 ⎞
− 2
3 ∂υ
⎜ 1
⎟
∂υ y1
x
∂
R
∂
y1
j
∂t ⎟ω
∂t
~′ + R ⎜
~ ′ + R R2 α ω
~ ~
+
= 1ω
2
1
2
1
2 1ω3 −
R1
R1
∂t
∂x j ∂t
∂t
⎜
⎟
j =1
⎜
⎟
⎝
⎠
3
3
3 ⎡ 2
⎞~
∂ 2 υ y1 ⎤
1 ⎛⎜ ∂c2
~
~
⎥−
Dt ki ⎟ω′2 +
amn(ijk )
− Fl (xk 0 α lj − xk 0 α lk ) −
⎢
⎜
⎟
c
k
u
u
∂
∂
∂
⎥⎦
i
m
n
2
⎢
⎝ i =1
⎠
l =1
ijk =1 ⎣mn =1
∑
∑
∑
3
⎛ ∂υ y1 ∂υ y1
amn(ijk ) ⎜⎜
+
u
∂
∂u 2
⎝ 1
ijk =1
∑
−2
∂υ y 2
+
∂t
3 ∂υ
y 2 ∂x j
∑
j =1
∂x j
∂t
=
∑ ∑
3
⎞
⎛ ∂υ y1 ∂υ y1 ∂K1 j ∂K 2 j ⎞
⎟⎟E(υ1 , υ 2 ) − Fi ⎜⎜
⎟⎟
,
,
,
u
u
k
k
∂
∂
∂
∂
i
i ⎠
1
2
⎠
i =1 ⎝
∑
3
∂R1 ~
~′ ω
~ −
ω1 + R1α1ω
Fl (~
x k 0 α lj − ~
xk 0 α lk ) −
2 3
∂t
l =1
∑
3
3 ⎡ 2
∂ 2υ y2 ⎤
⎞~
1 ⎛⎜ ∂c1
⎟
⎥−
−
Dt k i ω1 +
a mn(ijk )
⎢
⎟
∂
∂
u
u
c1 ⎜⎝ i =1 ∂k i
⎥⎦
m
n
⎢
⎠
ijk =1 ⎣ mn =1
∑
∑ ∑
3
⎛ ∂υ y 2 ∂υ y 2
+
a mn(ijk ) ⎜⎜
∂
∂u 2
u
1
⎝
ijk =1
−2
∂υy3
∂t
∑
3
+
j =1
3
∂υy3 ∂x j
∑ ∂x
∑
j
∂t
=
l =1
1⎛
⎜
c3 ⎜⎝
3
∑
i =1
3
⎞
⎛ ∂υ y 2 ∂υ y 2 ∂K1 j ∂K 2 j ⎞
⎟⎟E (υ1 , υ 2 ) −
⎟⎟
Fi ⎜⎜
,
,
,
∂
∂
∂
∂
u
u
k
k
1
2
i
i
⎠
⎠
i =1 ⎝
∑
3
∑
j =1
∑
3
⎞
⎡ 2
∂2υy3 ⎤
∂c3
%
Dt ki ⎟ ω3 +
⎥−
⎢ amn(ijk )
⎟
∂ki
∂um∂un ⎦⎥
⎢ mn=1
ijk =1 ⎣
⎠
⎛ ∂υy ∂υy ⎞
−2 amn(ijk ) ⎜ 3 + 3 ⎟E ( υ1 , υ2 ) −
⎝ ∂u1 ∂u2 ⎠
ijk =1
3
+
(7)(2)
∂R( x1, x2 , x3 )
% 3 + R( x1, x2 , x3 )α3ω
% 1ω
% ′2 −
ω
∂t
Fl ( x%k 0αlj − x%k 0αlk ) −
−
(7)(1)
∑∑
3
⎛ ∂υy3 ∂υy3 ∂K1 j ∂K2 j ⎞
% 12 + R2ω
% ′22 +
,
,
,
⎟ = R1ω
∂
∂
∂
u
k
k
1
2
i
i ⎠
∑F ⎜⎝ ∂u
i
i =1
(7)(3)
⎡t
⎤
% 12 + R2ω
% ′22 )dt ⎥
⎢ ( R1ω
⎢⎣ 0
⎥⎦ ∂x j
∂x j
∂t
∫
A j − Ak
, amn(ijk) суть функции времени, определенные свойствами сплошной
Ai
среды, κi, i = 1,2,3, суть модули, выражающиеся через начальные условия для уравнений Эйлера (2) (см. [4]), Kij суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [4]).
Правые части уравнений (7)(1), (7)(2), (7)(3) определяют силы сопротивления реальной (вязкой, сжимаемой) сплошной среды движущемуся в ней твердому телу. Их
выражения содержат, кроме слагаемых, входящих в правые части уравнений ЭйлераСтокса, описывающих движение несжимаемой жидкости (см. [8]), апериодические
функции, определяющие необратимые изменения движения жидкости, вызванной ее
где α i =
171
сжимаемостью и вязкостью. Все величины, входящие в правые части уравнений (7)(1),
(7)(2), (7)(3), являются известными функциями времени.
Рис. 2. Главные радиусы кривизны поверхности, ограничивающей тело,
катящееся по плоскости
Чтобы уравнения Эйлера, описывающие движение жидкости, вызванное в ней
движением твердого тела, ограниченного поверхностью (1), и представляющее собой
вращение жидкости относительно осей, касающихся эволютных поверхностей поверхности (1), давали бы точное и наглядное представление о движении частиц жидкости, а
именно были бы определены как их вращения относительно двух систем движущихся
осей, необходимо и достаточно построить полные субстанциональные производные от
составляющих линейной скорости точки p (6), выразив предварительно входящие в
них угловые скорости через углы Эйлера ψ, θ, ϕ
~ = dψ sin θ sin ϕ + dθ cos ϕ ⎫
ω
1
⎪
dt
dt
⎪
dψ
dθ
⎪
~
(8)
ω2 =
sin θ cos ϕ − sin ϕ⎬ ,
dt
dt
⎪
⎪
~ = dψ cos θ + dϕ
ω
3
⎪⎭
dt
dt
определенные формулами
⎛α ⎞
⎛ α ⎞
ϕ = arctg⎜ 13 ⎟ , ψ = arctg⎜ − 31 ⎟ , θ = arccos(α 33 ) ,
⎝ α23 ⎠
⎝ α 32 ⎠
(9)
θ j (i + 3) θ j (i + 3) (υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
, i,j = 1,2,3, – направляющие косинусы (см.
где α ij =
θθ(υ1 , υ 2 , κ1 , κ 2 , κ 3 )
(4)).
Аналогичным образом необходимо выразить через углы Эйлера (9) угловые скорости, входящие в выражения составляющих линейных скоростей движения жидкости,
вызванного в ней движением твердого тела, ограниченного поверхностью (1), и определяющие вращение жидкости относительно осей, полярных осям, касающихся эволютных поверхностей поверхности (1) [1, 2].
172
Отметим, что при построении гидродинамических уравнений Эйлера в результате
дифференцирования угловых скоростей, выраженных через углы Эйлера (8), мы получим аналитическое описание движения жидкости, представленное вращениями относительно систем движущихся осей, причем, вращения относительно этих осей будут описываться выражениями, подобными правой части уравнения движения маятника в сопротивляющейся среде [9]. Именно такими вращениями жидкости, происходящими относительно упомянутых двух систем осей, определено строение трехмерного пограничного слоя, наблюдавшееся авторами работы [10].
Литература
1.
Курант Р. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Л-М.:
ГТТИ. 1934. С. 128–155.
2. Котельников А.П. Проективная геометрия векторов. Казань, Типо-Литография
Императорского университета. 1899.
3. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936. С.128–142.
4. Мануйлов К.В., Курбатов А.А. Решение уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае. // Научнотехнический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. № 9. С. 131–139.
5. Krause M. Die Transformation der Hyperelliptischen Functionen erster ordnung. Leipzig,
Teubner, 1886.
6. Мануйлов К.В., Ильина Л.П., Панферов А.А. Качение тяжелого твердого тела, ограниченного известной алгебраической поверхностью, по плоскости и обтекание
этого тела потоком жидкости. / Материалы IV Окуневских чтений. СПб, СПб БГТУ
(в печ.)
7. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М-Л.: ОНТИ. 1937. С.19.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. С.452.
9. Мануйлов К.В. Точное аналитическое описание колебаний маятника в сопротивляющейся среде (настоящий сборник).
10. Christopher J. Chesnakas, Roger L. Simpson. Detailed Investigation of the ThreeDimensional Separation About a 6:1 Prolate Spheroid. // AIAA Journal. June 1997.
V.35. № 6. P. 990–999.
173
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 666 Кб
Теги
твердого, обтекании, потоков, тела, поверхности, известное, жидкости, газа, ограниченной, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа