close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об обтекании тел вращения вязкой несжимаемой жидкостью II. Третье приближение

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИ
V/I
ЦАГИ
1976
М2
533.6.011.32:532,582,33
ОБ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ
11.
ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
л. А. Ло.м.а"UIl, О. с. Рыжов
в разложении решения уравнений
Навье -Стокса
в
асимптоти­
ческий ряд рассматриваются вторые члены для внешней области и
третьи - для внутренней, занятой вихревым следом. Их сращивание
приводит к системе парных краевых задач. Решение этой системы
получено в явном виде; регуляризация входящих в него функций
позволяет написать третье
всей
окрестности
приближение,
бесконечно
у'даленной
ра'вномерно
точки.
при годное
Дается
во
сравнение
полученных результатов с точными оценками поведения на больших
расстояниях достаточно гладкого решения краевой задачи о 'бтекания,
для которого интеграл Дирихле имеет
конечную величину.
В настоящей работе продолжена сквозная нумерация
и формул части
составлен
пунктов
Список цитируемой литературы для удобства
1 [1].
отдельно.
Покажем, как построить младшие члены во введенном в
части 1 классе асимптотическихразложений для пара метров не­
5.
сжимаемой жидкости, которая обтекает тело вращения. Рассмо­
трим второе приближение для внешней области. Входящие в него
функции удовлетворяют соотношениям
,
д'f2
V x 2= д['
,
д Ф2
V,2= д"
д 2 'Р2
дд~2) ддl2 ->д'f2 (;~:Тj; 6)
д'f2 _ О
+ Т1 д1"д '"r д[-'
СР2 = СР2 (~, С;
О при Y~2 + ~2 ~ CO, L -< с;
д~2
(5.1)
6);
2
Ll-l д'Р2 (;~~Тj; 6) =
0(64/~;) при 6 ~ О,
Первое из них есть не что иное, как интеграл Бернулли, записан­
ный во втором приближении; в нем можно отбросить регуJIЯрную
правую часть, если
по
слагаемых
части.
в левой
2- У ченые з аписки М 2
порядку
величины
Последнее
она ' окажется
соотношение
меньше
ограничивает
17
рост обеи х ч а стны х
к полуоси (~> о, с
ПРОИЗВ О ДН h! Х ФУ Нlщии 'Р 2 при приближ е нии
оно н у ж да ет с я в уточнении,
к оторое
= о),
нельзя получить,
не зная третьего приближения для области
вихревого следа. Найде м содержащиеся в не м функц и и из реш е ­
ния следующей задачи
av x +)
I
2
TV'I ~
+ V ,2 aVXI
a'l)
8 дРЗ=_6.6(V
3 a'l)
г [дV х з
3
хl
'Ох 3'
д;
_1_
I
'1)
V,S ,
aVi3kJl
~~
_
д;2
дУ] 'YJ ~
YJ
,
aV'l+ aVr ~ _a~Vr. l + д2 VХ 2 +др~3) ). 1
aV'l + V
-L
д;
_a2Vx~
д'~
,1
д ('I)V, 3)]
д;
д ;~
= _ 6.6 [дV:;~
дт,
-L _1_
д;
+
Р3 ~ О при V~2
'YJ
2
д~ д'l)
.
d 'lj
,
0 -< [1
-+ CX} ,
(5.2)
I
д ('11\j'~3~)]
'1)
I
(h) , ' }
< с;
'О' з ~ О при 'yj ~ о ,
связь которой с задачей (5.1) осущ е ств л яет с я при помощи прин­
ципа сращивания асимптотических ра зл о ж ений [21. Как и при ана­
лизе
старших
членов,
применение
написать предельные условия при
внутреннего разложения, а при ~
=
внешнего. Таким образом, задачи
пару
в упомянутой
в
части
этого
~ =
>
и
(5.1)
1 [1]
принципа
позволяет
+ (0)
const, 'yj ---:)О ([1 -для
const о, с -+ о (L 2 ......
(0) -для
+
составляют
(5. 2)
рекуррентной
вторую
системе.
Через
6.2 v:;~, 6.2 И3~ И 6.2 p~3) обозначены главные части функций, образу­
ющих остаточный член Я, (V х 2 , V,2' Р2) второго приближения
для вихревого следа. Для них верны равенства :
р(3) _
V Х(3)2 -_
-
) _
V ,(32
-
я~3)= ~
2
-
2 -
3С\
V
8Jt~3 е
3Сl
[ 2
8 1t;З
L3
1
+
!.
зс2
L
1
32 1t 2 е з
V;
1
я ( 3)
2,
'П 2 + 21n ~
+ !пЦ - Еи (- ~-2 L~)
Е
I
Из второго уравнения системы
ci
6,,6
рз=gз(~ ·6.)-,
Ез
где gз ...... О
отношение
+
при ~ ......
8з/ 6.6 = О
161t2;3
+ 00.
(1).
С
[1
·-е
4
(5.2)
+ Eu ( _ _21 (0) .
\
сле д ует
_1.2 L~ -
(1- L I - l
2
)
8
е
Как показывает написанная
учетом этого порядкового
-
~
L2
4
1
]
'
формула,
равенства
принцип сращивания асимптотических разложений позволяет сфор­
мулировать краевые условия для функций (5.1). В самом деле,
'
Р2
......
Ез
'Е з
s;- gз ( ~ , 6.),
при с
'ОХ 2 ...... -
. . . о,
~ gз ( ~ ;
е>о.
в свою очередь, последнее из соотношений
V x 3. а именно
(5.3)
ничное условие для
'о Х з -+ -
18
gз (~;
6.)
6.)
при 'YJ ...... 00,
~
> о.
1
J
определяет
(5.3)
гра­
Принимая во внимание это условие, выделим "потенциальную"
часть функции 'V х 3. Оставшееся слаГ.;lемое найдем, как и при ана­
лизе старших членов [1], из требования, чтобы вихревые возму­
щения не проникали в области ~< О, которое необходимо учиты­
вать
при
интегрировании
первого
уравнения
из
системы
Поскольку правая часть указанного уравнения выражается
функции автомодельной переменной [ 1 , то в результате
'V ..
('~,~
. А)
_
з --g з
+ 'V x 2
(1) ("
• А)
(2)
~,r" ~ ,'V х з
I
(5.2).
через
(е~ ,r,,~,
. А).
(1)
116 1 [ (1)
2 Il:
2
11 2
*
]
'V Х 3=-Тз"" 1з (L 1 )ln ~+lз (L 1 )1п. +/з (L 1 );
Ез
..
:;
~
С 31
(1)
1з
( 1
+2 е
1) е-+Lt+{. С3(1)(161 [1 -- +2)+
81 [ 1
С1
8" + 44L
276 + 1024",З Х
4
2048 ",З т6 L 1 -
=
c~ (1
[2
1з(2)=- 1024",3
т
2
С 1 (1 L1
+ 256 ",2 16 -
1 -
6
*
Х [ 5 - Li + ( ц -
)
2
L1
-1 L 2
-
4
J
1,
4
[ 2
1
I
3
4
1
2
1 -
)
+ i)) ]} е +Li
L~ SФз [з - + ~
LI + 2) (ln Li + Е u ( 1
1; = - -~ (-k L{ - [~ + 2 ) е - 4"
L
-
L
(5.4)
.
(fL)
fL2
О
1 fL4 + (.16
(J-2
+ 2)Еи (1Т fL2 ) е- ~4 \L'] (J-df1- +
Здесь функция
Ф3 = - fз2) (L 1 )
2
+ 128С1 {4
1 2
е4
1
L -
'"
]O;~ (L~ - 56 [~ + 864 Ц - 3840 Li
+ 288 L 2 384) [ln2
L
4
2
- .!.Lt} + 128",З
C~ {l+е- .!.L~
1 2)] . 1
-Еи ( -тLl ~s(7L 1 -I44L 1 +448)е
",2
[ 1. -
19 [ 2+ 92 - з2
1
(L 6
36 [ 4
1
1
1-
+ 3072) +
1 --
1-
4
2
-
-+[ L~-12+ <Li-6)(ln/,i- (-+Li))] e-fL~}_
EU
-
2~ '" (L~ - 36 Ц + 288 Li - 384)
+ 2~~;2 (Ц -
1
16 Li
+ 48)е- 4
2
L1
,
а коэффициент с&l) выбирается из условия нормировки
19
+ 'Yj>
в силу которого Е-З J; (L]) -+ О при ~ -+
О,
О. дЛЯ функции
v~~ нужно, следовательно, поставить задачу Коши
ди~~
д
1
. " ди~~ -
о·,
~-~д1I"--aYj-
vх( 2)з
О при ~
-+
+ о,
-+
..,,>0.
.,
Ее обобщенным решением в рассматриваемом приближении служит
квадруполь
_ L ~ -L 2)
е-
определил ась
с
1 ц
- 66 _С_З- ( __
v~)з =
€з
4 1t~З
Таким образом, функция
lб
V хЗ
L2
..!..
4 1
I
точностью
до
не­
известного пока слагаемого gз ( ~ ; ~).
Интегрирование третьего уравнения из системы
с2
Д
1
3---2
6
V
r
€3
81t
1
~З у' L
~
•
-
1
(1
-е
2
-у L1 )
(5.2)
дает
t
1]
1 SдVхз«.,f'-,Д) d
-f.I. f.I.
'IJ
д;
.
(5.5)
О
1
Переходя здесь к интегрированию по L 1 , нетрудно убедиться
в том, что как при ~ -+
О,
О, так и при 'yj -.. 00, ~
о величина
'Yj>
+
v, з -
-21
'yj
dd~З
+~
€з
..
>
J [
ез
~
e~2)(el) 1п Е..- + е~З)
L1
~
(e l ,
е 2 )]
.
Сог ласно принципу сращивания асимптотических разложений, имеем
отсюда
,
V r 2 -+ -
]
2
Ез
- , ~
dg з
->
dc;
€2
Х (1П д; -1п L 2)
1 [2
+ -, - ез (е 1 ) х
~ L~
д8
€2
4
+ е~З) (e1, е2 )]
при С
-+
О. ~ > О.
(5.6)
Предельные условия (5.3) и (5.6) уточняют последние Аз фор­
мул, входящих в систему (5.1); они содержат необходимую инфор­
мацию о поведении функций второго приближения внешнего
(~> О, ~ = О).
раз­
ложения в окрестности полуоси
Как и при построении пер ног о приближения во внешней обла­
сти, начнем с
решения
вспомогательных
задач.
Именно,
введем
потенциал
ф
-
12 -
(1)
CD ?
т-
•
А)
-, L-,' u
("С
+
где каждая из функций <p~]),
Лапласа с цилиндрической
А)
'.:..>
~,~,
Ф (2)("
•
I
2
r
<p~2) И 'P~3)
+
д 2 <,,(3) ( Е ~ . О)
.2
"
д~2
.
'
удовлетворнет
симметрией.
условий, то они имеют вид : при ~ -+ О, ~
Что
> О,
касается
1
}
уравнению
граничных
(5.7)
J
Заметим, что граничное условие дЛЯ q;~З)
ным интегрированием по ~ и С
подучено формаль~
соответствующей
части
соотноше­
ния (5.6). В первой и третьей задачах интерес представляют лишь
частные решения, во второй з адаче требуется найти общее реше­
ние .
20
Легко видеть, что потенциал <p~l) выражается через производ­
ную по ~ функции rp\l), взятую е надлежащим коэффициентом. По­
этому
(1)
!f2
пишем
сразу
1 /18 [ (З)
)
3
(2)
]
1
=4-;;
СЗ (C l ,C2 -тсз (C t ) Q
ф~l) = (2L~
ф~2)=
_
[ф(l)
2
(
/12
L 2 ) IП Т+
Ф (2)
2
]
(L 2) ,
5
_ 1)(1
+ L~) - 2,
{(2L~ - 1) 'П [(1 -1- L~)(L2
+ V-l-+-L--;:~)] 5
- L 2(2L 2
+ 3 V 1 + LЫ (l + Ц) - 2.
При отыскании функции <р~з) будем исходить из структуры по­
(5.7). Имеем
следнего из граничных условий
rp~З)=
+
:;8 c~2)
(C l )
+
[Ф~3)(L2) In2 ~2 -1- ф~4)(L~) In
4- + ф&5) (L 2)] •
Интегрируя обыкновенные дифференциальные уравнения, кото­
рым удовлетворяют величины Ф~), фъ4 ) и ф~5),
потребуем, чтобы
были скомпенсированы особенности, порождаемые ими в пред­
ставлении потенциала <p~3) при приближении к отрицательной полу-
оси ~. Конечный результат гласит
ф~З) = (1
1
+ L~)- 2,
ф~5)= (1
+Ц
1
+ L~)- 21n [2 (1 -1- [~) (L 2 -1- V 1 + Ц »),
2
)-1/2 {ln (1 + Ц) - In 2 (L + V 1 + L~ ) +
ф~4) =
_
2 (1
2
L,
-1- In 41n [(1 + L~)(Y 1 + Ц - L 2 )]
+ 4 J(1 + tJ-2)-llп (!1- + Уl + tJ-2) !1-d f1}.
О
Проведем регуляризацию производных дсрР)/де, д<р~l)/дС, да rp~3)lд~3
И д З rp~З)/д~2 дС на полуоси (~> О, С = О). С этой целью выделим
в области Е> О сингулярные части функций rp~l) (Е, С; ~), cp~) (~, С; Ll)
и положим в ней
~~1)=_+ :;[C&3)(C l ,C2)-; C~2)(Cl)] (2~2_C2) (E2 +C~)-5/2In ~2 ~Rеg<р&J),
~~2) =
+
~: c~2) (С 1) (Е2 + C2)-1/2In [ 2 (е 2
+ С2 ) (Е -1- Уе 2 -1- C)-1] ln /1~2 +Reg <p(~~
2
Пусть теперь /2 (Е, С; Ll), h~l) (е, С; Ll) и h(~) (~, С; Ll) означают регуляр­
ные функции, которые определены следующим образом: /2 = h~I)=
= h&2) = О при Е О, (е, С) :/ (О, О) и
-<
/2 = -
-41 ~
Е2
2
дд: {у
"
1
~2
+ '2
[C~3) (C t , С 2 ) - ~2 c~2) (C l ) - C~2)(Cl) In Х
Х (2(~2 + С )(Е -1- VE 2+C2)-I) ]}[ Еи ( -
+::~) - Еи +00)] ,
(-
21
h~2) =
-
+
~ дЕ~~r fV
-
Е2
• t
[c~3) (с l , С2) -
1
+ С"
1;2
c~2) (С I ) In (2(е 2 + С 2 )(е + УЕ 2 -+ С 2 ) 1)]} [Еи (-
-}
c~2) (C 1) -
-+ 11;2~) - Еи (- +00)1
при е, с>о.
Линейные комбинации
д'f'~l)
да 'f'&3)
дЕ
I
-L
+ д~3
I
д3
д ~
д[
' ( l)(t У.!!.)_
V х2
С;,'",
-
"eg 'Р2(1) +
3
12.
Reg 'Р2(3)
де з
(2)
- 2 СЗ (СI )
при ~
д'f'~1)
, , (1)
V, 2 (Е, с;
д'
0)=
> О,
+
где С=0,577
.l8 [
Е
I
I
~4 ~ С - Т
(3) (
С3
2
С 1> С 2 )
-
42 )
+ In т
;
(5.8)
( = О;
д 3 'f'~З)
(1)
!
дЕ2 д' Т h 2
О при Е
I
]
+ 6 -,
+h
(2)
(Е, С)
2· ,
t
(е:;;>о, с
= О);
~=O,
>0,
постоянная Эйлера. регулярны всюду, за
-
исключе­
нием начала координат; вне полуоси (Е:;;> О, С = О) с точностью до
трансцедентально малых по оси
!!. слагаемых они совпадают
с a'P~l)/дE
д З 'Р&З)/де з и ar.p~I)/aC
д З r.p&З)/дЕ 2 дС.
+
+
Возьмем общее решение
вспомогательной
задачи
для
потен­
циала ~~2>, продолжив по непрерывности его производные на ПОло­
жительную полуось Е. В результате имеем
• (2)
V x 2 (Е, с;
!!.) =
е> О, с = О,
E~ gз (Е; !!.);
--
(5.9)
"2
О;
е>о, с=о.
Вернемся к разложению для внутренней области. Выделим из
выражений для V x з И Рз сингулярные члены, а оставшиеся слагае­
мые продолжим в область
е
< О.
Естественно тогда
ввести
вели­
чины
{
vх з +g з ;
их 3 = О; Е
-<: О,
е>о,
(Е, 71)
-* (О, О),
и
РЗ
-
{О;
'РЗ
-
gз;
е
-<: О,
е>о,
(Е,
71) =1=
(О, О).
Можно проверить теперь, что функции
(З) ( )
V x Х,Г =J::зи хз
+"
р(З) (х, г) = J: з иРа - Е; (V~~)
22
(1)
(2)
J::2(VX2+Vx2),
+ V:r(~»
.
(З)
)
,
, (1) I
' (2)
V, (X,r=J::2(V'2 -r-V(2),
- ~!!.8 [(v~(:)
+ V~ <l»2 + (v~ \1)+ V~ \2»2]
задают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удален­
ной точки третье приближение при условии, что продолжение (5.9)
производных потенциала cp~2) на полуось (Е> О, ~ = О) осуществля­
ется регулярным образом. Подвергнув V~~) и V; ~2) преобразованию
Кельвина [3], получим на основании этого
• (2)
Vx 2
А6 с;
2~2 -
= -- ~ 4п
(2
Написанные соотношения
АВ 3 с;
, (2)
(~2 + ( 2)5/2 '
V,2
-
отвечают
диполю,
i10рождаемые
диполем
возмущения
больше тех, которые задают
по
не
V; ~I).
нарушалась
(5.9)
и
величины
Однако эти
гладкость
Из вида формул (5.4), · (5.5) и (5.10) вытекает 8; = Е з
тим, наконец, что формулы
(5.10)
•
показывает,
(05.8)
порядку
функции V~ Ч) И
функции нужно сохранить, чтобы
сматриваемого приближения .
(
расположенному
в начале координат. Сравнение их с равенствами
что
~
~ ~ (~Ч (2)5/2
-
=
рас­
Д6. Заме­
определяют вид функции
(5.10)
6. У становим соответствие введенного в части 1 [1] и более
подробно проанализированного выше класса асимптотических раз­
ложений для параметров несжимаемой жидкости классу" ламинар­
ных" решений уравнений Навье - Стокса. Точные оценки для крае­
вой задачи обтекания конечных тел содержатся в работах [4-6].
В применении к осесимметричным течениям такое сравнение огра­
ничивается, правда, лишь первыми приближениями как внутрен­
него, так и внешнего разложений. детальное сравнение проведено
авторами [7] на примере плоскопараллельных течений у профиля
несущего
крыла,
поскольку
в
последнем
случае
имеется
значи­
тельно большее число оценок.
Как следует из работы [6], любое достаточно гладкое реше­
ние задачи обтекания с конечным интегралом Дирихле у довле­
творяет
условию
:; (х, r) --
:;00
=
О (Я-а),
а.
> 1/2.
На больших расстояниях от тела для него справедли во асимп­
тотическое
;
(х, г) =
] r: =
Vi (1')
представление
+v
(х, r) + ;3/2 (х, г) + О [Я-2 (R
~ н (Р) Vi3/2 (...
~
дНik
~ a k ik 1"
~) = ~ G jk --ar'
V co
1
k=1
j, k=1
=
х + 1)-1/2Iп 3 Я],
r:
l' =
(Q
1'1,
~2'
Q)
)1
(6.1)
1'3 •
J
-+
Здесь
a={a k} -вектор
силы, jаjk}-тензор моментов, {H1k}-мат-
рица Грина для системы линейных уравнений Озеена,
пробегает значения 1, 2, 3. Элементы матрицы Грина
-
H ik (~
-
-'0 =
I
°ik
s/2
д2 ф
VfФ -
д~l д~k
dt
'
индекс
i
1 = (11' 12, Тз),
......
Ф(S)=-4it S(1-e- t )-t ' S=I~-II-~l+ll,
О
а символ 0ik означает единичный тензор.
23
=
при
и
Для течений с осевой симметрией а 2 = аз
О , а 22 = азз, ajk = О
j:/ k~ Переходя в . формулах (6.1) к внутренним переменным
производя
разложение
по
малому
параметру
Д
полученных
таким образом соотношений, имеем для продольной составляющей
вектора
скорости
.
-2
v x (x,r)=I+a!H!1(x,r)+O(R
In З R) = 1+a 1 (дд уФ2
2
+ O(R- 2 In3 R) =
Для
поперечной
!
2
1 - д2 4a~~ e-4 L !
составляющей
. д2 Ф )
т- дг 2
+
+ .. ..
вектора
скорости
выводим
аналогично
r ) --
V r ( х,
-=
cos1 3 [ й 1
22
Н2 1 (х, r ) + а 22 дН
--ау +·
дН2з ]
а з з -ау
+ О ('R-
2
1n 3 R)
=
_1_[_а
~ + (а 22 -а)
R)cos 3
1 дх ду
33 ~]+О(R-2IП3
дудг2
.
_
~~+О(R-2
1п3R)=-Д3~~
-+Li + .. .
cos3 дхду
8п: ~ у, е
Одночленное внешнее разложение гласит
vxCx, r) = 1 + а ! НН (х, r)
+ О (R-5/2!n
+ о (R- 5/ 2 lп 3 R) = 1 + д4 а4 1
3
1t
v, (х, r) = ~
H~• ! (х, r)
cos u
Чтобы результаты
+ О (R-5/2!n
3
R) = 1 +
Е
(;2 +
С2)
3/2
R) = д4 4а!1t
асимптотического
ближении совпали с выводами точной
а ! = -Ct •
а! C;y~
+ д;~) +
+ ... ,
,
(~2
анализа
+ ( 2)312
в
+ ...
первом
теории, следует
при­
положить
ЛИТЕРАТУРА
1. Л о м а к и н Л. А ., Рыж о в О. С . Об обтекании тел враще­
ния вязкой несжимаемой ЖИДКОСТЬЮ. 1. Главные члены разложений .
• У ченые записки UАГИ· , 1976, т . УН, .N2 1.
2. В а н - Д а й к М . Мето д ы возмущений в механике жидкости.
М., .Мир·, 1967.
е 1 10 g g О . О . Fоuпdаtiопs of potentlal theory. ВесНп, Springer3.
I<
Verlag, 1929.
4. F i n n R. Оп the exterior stationary probIem for the Navier - Stokes
equatIons, and associated реrturЬаtiоп probIems. Arch. Rat. Mech. and
Anll.lysis, vol. 19, М 5, 1965.
5. Б а б е н к о К. И., В а с и л ь ев М. М . Об асимптотичес­
ком поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от
тела. ПММ, т. 37, вып. 4, 1973.
6. Б а б е н к о К . И. О стационарных решениях з адачи об т е­
:кания тела вязкой несжимаемой ЖИДКОСТЬЮ. Матем . сборник, новая
·сер . , т. 91, .N2 1, 1973.
7. Л о м а к и н Л . А . , Рыж о в О. С . О IIрименении метода
·сращивания внешних и
внутренних
асимптотических разложен ий
к решению задач динамики вязкой
жи д ко с ти .
• Ученые записки
UАГИ·, т. VI , N~ 2, 1975.
Рукопись поступила
2/IV 1975
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 752 Кб
Теги
жидкость, третья, приближение, обтекании, вращения, тел, вязкой, несжимаемой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа