close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной лемме теории бескоалиционных дифференциальных игр.

код для вставкиСкачать
УДК
Вестник СПбГУ . Сер .
518.9
С. В.
10 , 2004 ,
выn .
2
Чистя~ов
ОБ ОДНОЙ ЛЕММЕ ТЕОРИИ
БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР
Введение. Если в бескоалиционной дифференциальной игре с терминальными
1.
выигрышами каждый из игроков будет использовать свою максиминную стратегию ,
устроенную по принципу обратной связи , то в ситуации, образованной такими страте­
гиями, в силу отсутствия фактического противодействия игроков друг другу, текущие
их максиминные выигрыши с течением времени будут не убывать.
Поэтому если в
любой текущей позиции максиминный выигрыш каждого игрока соэпадает с его же
текущим
минимаксным выигрышем,
то
ни
одному
из
игроков в
одиночку
невозмож­
но гарантировать себе выигрыш, сколь-либо существенно больший, чем тот, который
он получит при развитии процесса вдоль трn.ектории , порождаемой соответствующими
максиминными стратегиями. Поскольку ситуация равновесия в смысле Нэша представ­
ляет собой такой набор стратегий игроков , от которого в одиночку не имеет смысла
отклоняться ни одному из них, то ясно , что изложенные соображения могут быть по­
ложены в основу доказательства существования решения бескоалиционной дифферен­
циальной игры.
Сложность реализации этой идеи обусловлена тем , что мы не можем
гарантировать существование максиминных страЧ'егий, устроенн·ых по принципу об­
ратной с вязи .
Впе рвые близкая иде я рассматривалась А.
Ф.
Конаненка
[1],
сформулировавшего
свойства траекторий управляемой системы, а точнее свойст~а так называемых движе­
ний
[2, 3] ,
которые достаточны для существования решения бескоалиционной диффе­
ренциальной игры двух лиц.
К недостатку этих условий относится прежде всего то,
что свойства движений являются вторичными по отношению к свойствам правой части
управляемой системы ~~
= f(t , х, и1, иz), а свойств правой части этой системы, ко~рые
бы гарантировали выполнение соответствующих свойств ее движений, в
[1]
указано не
· было .
В терминах предположе ний на правую часть управляемой системы теорема о сущест­
в овании решения бескоалиционной дифф еренциальной игры впервые была доказана в
депонированной в ВИНИТИ статье
лены в
[5].
[4]. Позднее ее результаты были кратко представ­
В основе доказательства теоремы существования решения бескоалиционной
дифф ере нциальной игры лежит так называе мая основная лемма , которая близка по со­
держанию к утверждению , что в ситуации, образованной максиминными стратегиями,
текущие максиминные выигрыши не убывают.
Доказательство этой леммы и пред­
ставляет главную цель данной статьи.
2.
Постановка исследуемой задачи.
Пусть процесс управления описывается
системой
(1)
а каждый из его участников (и гроков ) i Е
={
I
1, 2, . .. , т} распоряжается своими
управлениями щ Е Pi Е Comp Rk (i) и при заданном начальном условии (начальном
сос тоянии процесса )
x(to)
©
11 о
С. В . Чи с тяко в,
2004
= ха
(2)
оценивает качество этого процесса по конечному состоянию х(Т) {Т>
своей непрерывной функции Н;
: Rq ---+ R,
ta)
с помощью
большие значения которой на конечных
состояниях системы соответствуют более высокому качеству процесса.
f
Предполагается, что вектор-функция
прерывна по совокупности
п е ременных
в лебеговском смысле измерима по
.. . , um,
х, и1,
стоянной , независящей от управлений и1,
. .. , Um,
локально липшицева по
х
не­
t,
с по­
удовлетворяет условию равномерной
продолжимости решений
lif(t, х, и1, . .. , um)ll::; X(l
+ llxll)
(Л=
const)
и условию выпуклости вектограмм
F(t , х) = {f(t,
х, и1, ... , um)IUi Е
Pi , i
Е
I}.
Наконец , если не оговорено противное, считается, что все игроки в каждый момент
вр емени t располагают точной информацией о текущей позиции
(t, x(t)) системы (1).
3. МаксиминнЬiе выигрыши: вспомогательные утверждения. Пусть Р; [r, 19]
(i Е 1, [r, 19] С [ta, Т]) - множество всех измеримыхпоЛебегу функций щ(-) : [r, 19) -t Pi,
называемых далее допустимыми программными управлениями игрока i Е 1 на соответ­
ствующем промежутке;
(траекторий) х (:)
A(ta , ха)
- множество всех абсолютно непрерывных решений
:
x(t)
= x(t , ta , ха, и1( · ), ... , um(·)),
t
Е
[ta, Т],
.
'
задачи Коши (1) , (2) на отрезке [ta, Т], которые соответствуют д~nу:стИ:мым программным управлениям щ(·) Е P;[ta, Т], i Е 1;
D •= {(t , x)jx = x(t), t
Е
[to, Т], х(-) Е A(io, хо)}
-отрезок интегральной воронки на сегменте
[ta, Т].
Наряду с игрой Г(tа, ха) будем рассматривать семейство аналогичных игр Г(t*, х*),
(t*,
х*) Е
D,
которые отличаются от нее только начальными данными. Зафиксируем
(t*, х*) Е D, t* < Т, и Ui : [ta, Т] х Rq -t Pi - позиционная
i Е 1 (ниже ее достаточно считать определенной лишь на множестве
D). Тогда, вводя , как и в [3], понятие пучка движений X(t*, х,., Ui), порождаемог.о по­
зиционной стратегией Ui в позиции (t*, х*), t* <Т, максиминный выигрыш Wi-(t,.; х*)
игрока i в игре Г(t,. , х,.) можно определИть равенством
произвольное i Е 1. Пусть
стратегия игрока
(в классе стратегий типа кусочио-программных равносильное его определение приве­
денов
[5]).
По определению считается, что
Функцию w;_(-):
(t*,x*)
t----7
Wi-(t,.,x*), (t*,x,.)
(t,., х,.) Е D).
Е
D, будем называть потенциалом
игрока i (на семействе игр Г(t,. , х,.),
D функций w : D -t R.
: C(D) ---+ C(D), полагая, что в каждой точке (t*, х,.) Е D
..Значение Фi- ow(t,., х*) образа Фi- ow(·) функции w( ·) Е C(D) оnределяется по правилу
Пусть
C(D) -
пространство непрерывных на множестве
Определим оператор Ф;_
Фi- о
w(t*, х*)
= tE[t.,T]
max max
inf
w(t, x(t, t*, х,., ui, ui\i(·))),
u;EP; UJ\iEPI\i[t.,t]
(3)
111
где PI\i [t,. , t]
=
П
Pj [t*, t] .
jEI ,j:/.i
При исследовании интересующих нас свойств потенциалов игроков будем опираться
на следующие факты
1) потенциал
[6- 8]:
Wi _ ( ·) игрока
i Е I является равномерным пределом последов а тельных
приближений
w(n) ( ·)
t-
= Ф · _о w~n-l) (·)
1
t-
'
п Е .N
(4)
'
решения уравнения
Фi - о
с начальным приближением w;~
2)
w(·) ~ w( ·)
. (5) .
(·):
справедливы неравенства
(7)
Кроме того , отметим , что из определения оператора Фi- и начального приближения
уравнения
(5)
следует, что каждое из последовательных приближений
чальным приближением w1~
(4)
вместе с на-
(·) удовлетворяет одному и тому же краевому условию
(8)
3 а м е ч а н и е
1. Из определения начального приближения w;~(·) вытекает,
i в классе постоянных стратегий. · В свою
очередь, из определения оператора Фi- следует, что п-е приблиЖение w;~)(-) (п 2: 1)
можно назвать потенциалом игрока i в классе кусочио-постоянных управлений с небо­
что его можно назвать потенциалом игрока
лее чем п коррекциями управления, осуществляемыми в процессе игры. Точнее, здесь
предполагается, что первый момент коррекции управления и постоянное управление
на промежутке до этого момента определяются в начальный момент времени, а каж­
дый из следующих моментов коррекции управления и скорректированное, постоянное ·
управление до очередного момента коррекции
-
в предшествующий момент коррекциИ
на основе доступной игроку информации о <<ходе>> процесса управления в этот момент
времени.
Лемма
1. Для любых i Е J , п Е NU{O} и (t*, х*) Е D , t * <Т, существуют управле­
ЕР; и .момент времени t1n) t~n)(t*, х*) Е (t *, Т] тах:ие, что не- ..
зависимо от выбора набора допустимых программных управлений и I\i ( ·) Е PI\i [t*, Т]
ние u~n)
= u}n)(t*, х*)
=
для любого t Е [t*, t }n)] справедливо неравенство
(9)
где x(n) (-) Е A(t*, х*) - траех:тория, порождае.мая постоянным управлением u~n) и
набором программных управлений и 1 \;(·), т.е. x(n)(t) = x(t,t*,x*,u}n),u1 \i(·)), t Е
[t*·, Т] .
·д о к аз а т е ль с т в о. Для произвольных i Е
I и (t*, х*) Е D , t* <Т, докажем
сначал.а, что утверждение леммы справедливо в случае, когда п
112
= О.
Выберем любую
точ~у и~~ Е Pi , на которой достигается максимум в правой части равенства ' (б), т.е.
выберем ее так, что
(10)
Кроме того, положим t~o) = Т. Выберем теперь произвольный набор управлений
и~~)J) Е PI\i[t*, Т] и покажем, что траектория х( 0 )(·): x( 0 )(t) = x(t, t* , х*, и~~' и~~)J)),
0
t Е [t*, Т] , удовлетворяет неравенству (9) при n =О и любом t Е (t* , t~ )) = [t*, Т].
Предположим протиnное. Тогда найдется такое t' Е (t*, Т], что
(О) ( 1 ')
wit ,х
(О) (
< wit*,x*,)
· где х' = x( 0 )(t') = x(t',t*,x*,и~ 0 ),и~~)J)). Поэтому с учетом определения функции
w f~ (-)
и равенства (1О) имеем
= u;EP;
max
inf
Hi(x(T , t', х', щ, иi\i( · ))) >
Uf\i(·)EPI\i[t ,T)
1
~
inf
и 1\ ;( · )ЕР т \ ;[t ,Т)
1
Hi(x(T, t' ,x',иf~,иi\i(·)))
=
0
UJ\i(·)EPт\i[t 1 ,T)
Hi(x(T, t', x(t', t*, х*, и~~~ и~ \>.(·)
), и~~~ и 1 \i(-))) ~
1
inf
Hi(x(T,t',x(t' ,t*,x*, и~~ ~u~\J)),и}~,и 1 \i(·))) =
inf
>
1
1
UI\i(·)EPI\i[t. ,t)
UJ\i( · )ЕРт\;[t , Т)
1
inf
UJ \i( · )ЕР!\ ;[t. , Т)
Hi(x(T,t* ,x*,и}~,иi\i (·)))
= w~~(t*,x*).
Таким образом, имеем wf~ (t*, х*) > wf~ (t*, х*). Полученное противоречие показывает,
что при n =О и любом t Е [t*,t}n)] указанная выше траектория х( 0 )(·) Е A(t*,x*)
удовлетворяет неравенству
(9).
Выберем произвольные i Е J,
n
Е N и
(t*,
х*) Е D,
t*
< Т.
Покажем , что для них
утверждение леммы также справедливо.
Как следует из
(3) и (4),
w;~)(t*, х*) =
= tE[t.
max
max
inf
,Т) и;ЕР; UJ\ ;( · )E PI \i [t,
Пусть
t* -
,t)
ш~:_-l)(t,x(t,t*,x*,щ,и 1 \i(·))) .
та точка , на которой здесь достигается максимум по
следующие случаи:
=
1) t* Е (t*, Т] ; 2) t* t*.
случай 1). Прежде всего отметим,
t
Е
[t*, Т].
(11)
Возможны
t* = Т , то из (6), (8) и
.(11) получаем wf~(t*, х*) = w~~(t*, х*). А тогда с учетом неравенств (7) имеем также,
что w(n)(t*, х*) = w(n-l)(t*, х*). Сравнивая последнее равенство с (11), заключаем, что
еслИ точка t = Т - точка , на которой достигается максимум по t Е [t* , Т] в правой
Рассмотрим
что если
113
=
части раDенства ( 11), то точка t
t* - также та точка, на которой достигается тот же
максимум. Поэтому в случае 1) можно считать , что t* Е (t*, Т) .
. Положим tin)
= t*.
Тогда
. f
1n
max
и;ЕР; Uf\i(-)EPI\ i [t. ,t \ n)]
(n-1)( (n)
wit; , х ( ti(n) , t*, х., и;, и 1 \i ( ·))) .
(12)
Пусть иin) - та точка, на которой в правой части этого равенства достигается максимум
по и; Е Р; . Следава тельно,
w~~)(t*, х.) =
inf
и I\ ;( ·) ЕР1 \ ;[t. ,t \n)]
W~~-l)(t ;n), x(tin), t*, х., иin), и 1 \;(·))).
(13)
Выберем Произвольное и~\~(-) Е P1 \;[t., Т] и положим
(n)(·)) ,
х (n)(·) .· х (n)(t)- х (t ,t*,х*,и,(n) ,ui\i
t
Е
[t "''. Т] .
(14)
Покажем, что для этой траектории при всех t Е [t . , t~n)] имеет место неравенство (9) .
Допустим противное. Тогда найдется такое t 1 Е (t., t~n)), что
(n)(
W ;_
= x(n)(t = x(t
где х 1
1
)
1
,
(n)( 1 1)
t., Х* ) > W;_
t ,Х ,
(15)
t., х. , и~п) , и 1 \;( · )) . Учитывая неравенство (15), равенства (3) и
(4), определение точки х 1 , а также равенство ( 13), получим
1
w(n)(t
х • ) > w(n)(t
х1)
t.,
t'
=
·ш f
(n-1)( t,x ( t,t , х ,щ,и \i
= tE[t',T]
max max
w;_
1
и;ЕР; Uf \ i( ·)EPI\i[t' ,t]
1
>
_
· f
1n
(n-l)(t(n)
tl
,
,
w,_
, , х (t(n)
1
Uf\i(·)EPI\i[t' ,t \ n)]
--
1
1
~n) , и
х , и,
·
( )))
>
-
>
· (·))) _
.
1 \,
(н)( t*,x*.
)
W; _
Однако отсюда вытекает невозможное неравенство wl~) (t., х.) > w1~) (t., х*), и, сле­
довательно , неравенство
t
Е [t*,
(9)
для траектории
(14)
действительно имеет место при всех
t;(n)] .
[t., Т] в правой
части равенства (11) является точка t = t*. Тогда, как следует из (11), w~~)(t*,x*) =
(n-1)( t*, х* ) . Пусть l - минимальное из тех k = О, 1, ... , n- 1, для которых DЫW;_
полняется равенство w~~)(t. , x.) = w}~)(t . ,x.). Есть две альтернативы: а) z·= О;
Рассмотрим, наконец, случай
fЗ) .·z Е
114
2),
когда точкой максимума по
t
Е
[1: n-1). При этом е сли р еализуется вторая из них, то в правой части равенства
= tE(t.,T]
max max
inf
w~~-l)(t,x(t,t*,x*,щ,u 1 \i(-)))
Uf\ i( ·)EPI\i[t. ,t]
и ;Е Р;
максимум по
t Е [t*, Т] достигается разве лишь в точке t Е (t* , Т). Действительно , в
противном случае было бы справедливо равенство w~~ (t .. , х .. ) = w;~-l) (t .. , х*), а следовательно, и равенство w;~)(t*, х .. ) = w;~-l)(t*, х .. ), которое противоречит выбору l.
Поэтому при реализации любой из альтернатив а:) и
{3),
как доказано выше , сущест-
1
вуют такие t~ ) Е (t., Т] и u~l) Е Pi, что независимо от выбора ui\i(·) Е PI\i[t* , Т] для
1
любого t Е [t*, t~ )] имеет место неравенство ·
в котором x(l)(t) = x(t,t* , x*,u~ ),u 1 \i(·)). Поэтому в силу равенства w;~)(t*,x*)
1
w;~ (t* , х*) инеравенств (7) для любого t Е [t*, t~ )] выполняется неравенство
1
Для завершения доказ.ательства остается положить t~n ) = t ~l), u~n) = u~ 1 ) и x(n) (t) =
x(l) (t), т.е. x(n) (t) = x(t, t*, х*, u~n), ui\i( ·)) при указанном здесь управлении u~n). Лемма
доказана.
Следствие. Для любых
n Е NU{O} и (t,., х,.) Е D, t* <Т, существуют
x(n)(·) Е A(t*, х,.) и .момент времени il~n) Е (t*, Т] тапие, что
Д о к аз а т е ль с т в о.
t*
< Т. Положим il~n) =
Выберем произвольные
min t~n) , где t~n)
iE(l:n]
=
траептория
N U {О} и (t*,x*) Е D ,
t~n)(t* , х*) Е (t* , Т], i Е J, -те числа,
n
Е
о существовании которых, вместе с управлениями u~n) = u~n)(t*, х*) Е Pi, i Е J , идет
речь в лемме 1. Пусть x(n) (t) = x(t, t*, х*, иiп), u~n), ... , и~)), t Е [t*, Т]. По лемме 1
для этой траектории уже при любых i Е I и t Е [t*, il~n)] справедливо неравенство (9) ,
что и доказывает справедливость данного следствия.
Лемма
Для любых
2.
n Е N U {О} и (t*, х*) Е D , t*
<
Т , существует тах:ая
траех:тория x(n)(-) Е A (t,., х*) , что
(16)
1 в случае, когда n = О, следует,
= Т, i Е I , независимо от выбора позиции
Д о к аз а т е ль с т в о. Из доказательства леммы
что при ~том n имеют место равенства t~ n)
(t*, х*) Е D , t,. < Т. Тогда, в свою очередь , из доказательства приведеиного выше
следствия вытекает, что при n = О указанное в нем число il~n) также равно Т. Таким
образом, при
n
=О
утверждение леммы фактически было доказано выше.
Выберем теперь произвольные
Gn
·( n)
~v
множество вс ех
(
iJ
Е
(t,., Т],
n Е N и (t*, х*) Е D , t*
<
Т.
Обозначим через
для каждого из которых существует такая траектория
)
(-)ЕАJ. , х .. ,, что
(n)(
wit , xfl(n)( t ))
~
(n)(
wit .. , х* ) ,
Vi
Е
J,
115
В силу следствия из леммы
1 множество Gn
непусто , а из его определения также следует ,
что оно ограничено. Поэтому оно имеет конечную точную верхнюю грань. Пусть
Тп
П окажем, что
Е
Tn
8 n.
= sup Gn.
Д ействительно , по определению точной верхней грани су­
ществуе т последовательно сть {тk} ,
Tk Е
Gn , Vk
Е
N,
тk
-----+ Tn , при этом по oпpe­
k -too
делению множества Gn для к аждого тk имееТся такая траектория
xin) (·)
Е A(t*, х*),
что
(17)
При сделанных выше предположениях относительно правой части системы
(1)
множес­
тво трае кторий
A(t*, х*) компактно в топологии равномерной сходимости. Поэтому,
не уменьшая общности, можно считать, что последовательность траекторий {xkn )(·)}
сходится равномерно на отрезке [t*, Т] к некоторой траектории x( n)( ·) Е A(t* , х*) (в .
противном случае можно было бы рассмотреть некоторую равномерно сходящуюся на
отрезке [t* , Т] подпоследовательность последовательности { xin) ( ·)}).
Выберем Произвольное t' Е [t* , Tn)· Поскольку Tk -----+ Tn и для
·
место нер ав енства
( 17) ,
любого
k
имеют
k-too
то для всех достаточно больших k будут справедливы неравен-
ства
k -+ оо,
D каждой из функций w~~) , i Е J , будем иметь
П ереход я в каждом из них к пределу при
в силу непрерывности на множестве
Vi
А так как точка t Е
1
[t*, Tn)
Е
J.
выбр ана произвольно , то
В силу непрерывности каждой из функций w~~\·), i Е I , на множестве D и непрерыв­
ности функции x(n)(-) Е A(t*, х*) на отрезке [t*, Т] отсюда следует, что
(18)
Покажем , что
Tn
::::::Т , и тогда лемма будет доказана. Предположим противное. Так
=
как Tn <Т, то по следствию из леммы 1 для позиции (Tn ·, Xn) , Xn
x(n) (Tn), найдутся
траектория x(n)(·) Е A (Tn , xn) и момент времени Tn Е (Tn, Т] такие , что
(19)
Определим на отрезке
[t *, Т] вектор-функцию :r;(n)(·)
- (n)(t)
Х
116
= { X(n)(t),
i;(n)(t) ,
t Е
t
Е
[t*, Тп] ,
[Tn , Т].
=
Поскольку x(n)(·) Е A(t*, х*), Xn
x(n)(Tn) и
А (t* , х *), при этом из определения функции х
x(n)(·) Е A(Tn, Xn), то ясно, что x(n)(·) Е
(n) (-) и неравенств
= sup 0n,
Значит , Tn Е 0n и, следовательно, Tn ~ Tn
Tn > Tn. Лемма доказана.
4.
Основная лемма.
Пусть , как и ранее,
семействе игр Г(t* , х*), (t* , х*) Е
Лемма 3. Для любой пози:цuи
х+(-) Е A(t* , х*), что
Щ- (t , x+(t))
(18) и ( 19) следует, что
а это противоречит тому, что
Wi-(·) -
потенциал игрока i Е
1
на
D.
(t*,
х*) Е D,
t*
2: Wi-(t,., х*),
<Т, существует та~ая трае~тория
Vi Е J , Vt Е [t*, Т].
(20)
(t*, х*) Е D, t* < Т , и
{x(n)(-)} , x(n)(,) Е A (t*, х *), n Е N U {0},
Д о к аз а т е л ь с т в о. Выберем произвольную позицию
рассмотрим последовательность траекторий
к аждая из которых удовлетворяет соответствующемунеравенству
(16) в лемме 2. При
2 предположениях множество A(t*, х*) компактно в топологии равно­
мерной сходимости. Поэтому последовательность { х (n) ( ·)} содержит равномерно схо­
сделанных в ' п.
дящуюся подnоследовательность.
Для упрощения обозначений предположим , что она
сама сходится равномерно (на отрезке
[t*, Т])
к пекоторой траектории х+(-) Е
A(t .. , х *) .
Как отмечалось ранее , последовательные приближения
(4) сходятся равномерно на
множестве D к потенциалу Wj- ( о ) игрока i. Поэтому из неравенств (7) следует, что
Wi-(t, х) 2: wj~)(t, х), Vi Е J, Vn Е N U {0}, V(t, х) Е D.
В свою очередь , отсюда и из неравенств
Переходя здесь к пределу При
Лемма
4
n -t
(16) вытекает , что
оо, получим
(20). Лемма доказана.
(основная лемма). Существует та~ая трае~тория х*(-) Е
х;аждая из фу'Н.~ций
t t---t Wi-(t , x(t)) , i
Е J , 'Н.е убывает 'Н.а отрез~е
Д о к аз а т е ль с т в о. Для каждого
(J"k оо t о -- tkо
k
Е
N
(to,
ха), что
[t 0 , Т].
выберем равномерное разбиение
< tk1 < о о о < tkk --
т
отрезка [t 0 , Т] , полагая, что t~- t~_ 1 =(Т- to)/k, а= 1, 2, ... , k. Из леммы 3 следует,
что для любого разбиения (J"k существует траектория x(k)(·) Е A(t 0 , х 0 ) такая , что
(21)
для любого i Е J. Поскольку функции
Wi-(·), i Е J, равномерно непрерывны на компак­
D С RH 1 (D- компакт в силу предположений п. 2) , а множество A(t 0 , х 0 ) компактно
в топологии равномерной сходимости и (T~to) -----+О, то из (21) вытекает , что всякая
те
•
k~oo
предельная функциях*(·) Е A(t 0 , хо) любой равномерно сходящейся подпоследователь-
ности · последовательности траекторий { x(k) ( ·)} является искомой. Лемма доказана.
117
Следствие. Существу ет трае~торшr х'(·) Е
щ_(t,
A(to, ха)
та~ал, -что
x' (t)) ~ Hi(x'(T)) , Vi Е J, Vt Е [to , Т].
Б з аключе ни е отметим , что заменив всюду выш е каждое из множеств
(t *, х*)
Е
D , на
A(t*,
х*),
его замыкание в топологии равномерной сходимости, можно отказаться
от пр едположе ния о выпуклости вектограмм.
Summary
Chistyakov S. V. One lemma of the theory of coalition-free clifferential games.
The proof of existence of such а trajectory in coalition-free clifferential games with terminal
payoffs, along which maximin payoffs of all players are а non-decreasing function of time is presented.
This fact forms the basic for evidence of existing the solution of clifferential game under consideration
in N ash sense.
Литература
1. Кон.он. ен.'l'i.о А. Ф. О равновесных nозиционных стратегияхвнеантагонистических диф­
1/ Докл. АН СССР. 1976. Т. 231, Ne 2. С. 285-288.
2. Красовс 'l'i.ий Н. Н. , Субботин. А. И. Позиционные д;Ифференциальные игры. М. , 1974.
456 с.
3. Субботин. А. И., Чен.цов А. Г. Оnтимизация гарантии в задачах уnравления. М. ,
1987. 287 с.
4. Чи стл'l'i.Об С. В. О существовании решения бескоаmщионных дифференциальных игр
11 Уnравление в динамических системах. - Л. , 1979. С. 71-99. - Деn. ВИНИТИ , N9 2794-79
от 24 июля 1979 г.
5. ЧистЛ'I'i.Об С. В. О бескоалиционных дифференциальных играх 11 Докл. АН СССР.
1981. т. 259 , Ne 5. с. 1052- 1055.
6. Чен.цов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени 11 Мат. сб.
1976. Т. 99 , выn. 3. С . 394- 420.
7. Чи стл'l'i.Об С. В . Программные итерации и универсальные
Е-оптимальные стратегии
в nозиционной дифференциальной игре 11 Докл. АН СССР. 1991. Т. 3HI, N9 6. С. 1333- 1335 .
8. Чис тл'l'i.ов С. В. Оnераторы значения · антагонистических дифференциальных игр. ·
СПб. , 1999. 60 с.
ференциальных играх
Статья nостуnила в редакцию
10
мая
2004
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 434 Кб
Теги
игр, дифференциальной, лемме, одной, бескоалиционные, теория
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа