close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной постановке задачи о крыле минимального сопротивления.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
М2
1976
Тоя УП
удк
ЦАГИ
536.6.011 .3/55.629.7.024.36
' ОБ ОДНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ О КРЫЛЕ
МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
. ;И. Н. Ноган.,
В. д. Пермuн.ов
Излагаются постановка и результаты решения вариационных
задач о
профиле
минимального сопротивления в сверхзвуковом
и гиперзвуковом потоке при условии распределения
заданной подъ­
емной силы вдоль профиля таким образом, что для каждого элемента
профиля она равна его весу.
При создании летательного аппарата приходится решать задачу
оптимизации пО большому числу параметров. В частности, необ­
ходимо удовлетворить противоречивым требованиям аэродинамики
и прочности минимума сопротивления и веса. С этой целью реша­
лись, например, задачи о профиле минимального сопротивления
при заданных подъемной силе, площади, моменте инерции, о крыле
с заданным изгибающим моментом и т. д. [1]. По-видимому, можно
надеяться
на
уменьшение
веса
конструкции,
если
подъемная
сила
каждого элемента крыла будет равна весу грузов и конструкции
этого элемента (каждый элемент крыла "несет сам себя", не пере­
давая нагрузки на другие части крыла).
Чтобы ответить на вопрос о целесообразности аппарата, по­
строенного на этом принципе, необходимо
решить множество
прочностных, конструктивных и других проблем, связанных с мно­
горежимностью аппарата,
с размещением
грузов,
с устойчивостью
конструкции и т. д. В настоящей работе рассматриваются лишь
чйсто аэродинамические задачи. Ясно, что крыло (профиль), по­
строенное на указанном принципе, будет обладать большим сопро­
тивлением,
чем
крыло
минимального
сопротивления
с
тем
же
объемом (площадью). Ниже на примере ПР9фИЛЯ в сверх- и гипер­
звуковом
потоке
показано,
что
это
столь велико, чтобы рассмотрение
ния
потеряло
смысл,
а
с
учетом
увеличение
сопротивления
не
проблемы с других точек зре­
уменьшения
сопротивление может быть даже уменьшено.
веса
конструкции
1. Задача о тонком несущем профиле в свеРХЗ8УКОВОМ потоке.
Сопротивление и подъемная сила, создаваемая средней линией
тонкого профиля, даются функционалами
1
S О'2d
х,.
(1)
СУ=-Т 5y~dx;
(2)
4
СХО-Т
У
1 0_
1
u
здесь ~
1/ M~- 1, УО = уо (х) - форма
=
средней
линии
профиля
в безразмерных переменных (х и У отнесены к заданной хорде Ь).
Пусть теперь форма верхней (и нижней) поверхности профиля
относительно средней линии д ается
функцией У =у(х). Тогда
условие равенства подъемной силы элемента профиля весу этого ·
элемента
можно
записать
у (х)
г де
а
-
величина,
в
=-
виде
ay~ (х),
определяемая
(3)
а=
удельным весом
она предполагается постоянной, хотя в общем
руктивных, прочностных или иных соображений
нагрузки
т;
ниже
случае из конст ­
она может быть
задана переменной по хорде.
Полное сопротивление равно
1
+а
4s( УО'2
Сх -_ т
2
уо"2)d х.
(4)
о
Вариационная задача формулируется следующим образом: найт и
такую функцию Уо =уо (х),
налу
(4)
при
граничных
заданном
функционала
минимум функцио­
(2)
и
следующих
условиях :
Уо (О)
Эта
которая доставляет
значении
задача
=
y~ (О) =y~(l)
эквивалентна
задаче
=
на
О.
безусловный
экстремум
для следующего функционала
1=
1
5(y~ + а у;
2
2
+ '-y~) dx,
2
о
r де
л
-
постоянный
множитель
Лагранжа. !Заменив y~ и и,
полу­
чаем уравнение Эйлера
2(l2
u" - 2U-I.=0,
общее решение которого имеет вид
U
Используя
(2),
граничные
1, -j- С
'"2
1
/
еХ а
+
.
С 2 е- х / а .
условия и изопериметрическое
условие
получаем
U (х)
<р (а)
2
=-
=
1
т ~Cy ff/ (а) [-
1 + Ае х / а
= [1 + 2а th (1 /2а)Г
1
,
А=
+ Ве-Х/а];
[1 + e 1/a ]-1.
I
(5)
Воспользовавшись
И площади
S
этим
решением,
с х 1 = ~c; 'Р/4,
S
=
Чтобы оценить влияние условия
задачу
о
для
сопротивления
сх
1
будем иметь
тонком
профиле
ными :хордой ь,
(3),
и
S
(6)
рассмотрим для сравнения
минимального
площадью
к
a~cy/2.
сопротивления
подъемной
силой Су '
-,
..-.. l=O
j .,.'(
-
~
~
/"
1/
-
12"5
/' ~
--
./
/
I
с задан­
Решением
10$ /
J
I
V
/
~S
I
I
о
0,5
а.
Фи.г.
этой
под
задачи,
vглом
как
известно
[1],
iявляется
симметричный профиль
атаки
у(х) = -
3Sx (х -
y~ = -
1),
~Cy/4,
(7)
сопротивление которого дается формулой
cx2=~c;/ 4+ 12S2/ ~_
Зависимость
от
а отношения
коэффициентов
в этих двух задачах при заданных значениях ~ и
K(a)=q;(a)/(l
изображена
на
фиг.
1 (l =
О).
сопротивления
S
+ 12а )
2
Видно, что увеличение сопротивле­
ния за счет введения в за д ачу дополнительного условия (3) не
превышает "'"-' 12%.
.
Однако если учесть, что, как указывал ось выше, за счет опти­
мального
профилирования
уменьшен
вес
конструкции,
по
то
указанному
сравнение
принципу
получается
может быть
уже в пользу
построенного оптимального
профиля. Примем для
проведения
такого сравнения, что вес конструкции РК составляет 0,3 полного
веса профиля Р вместе с весом груза Рг(Р=Рк+Р г ). Тогда, если
1 - процент уменьшения веса конструкции Р к В результате исполь­
зования оптимального профилирования, общий вес облегченного
профиля вместе с грузом
РОбll
= аР,
IX
= 1-
0,003/.
Это означает, что для заданного режима полета новое потреб­
ное значение
подъемной
силы связано со старым
ношением. Отношение сопротивления
профиля к с х 2 дается формулой
K(a)=a2'P(a)/(1
+
таким же соот­
облегченного
оптимального
12а 3 а 2 ).
3
Зависимость этого отношения от а при различных l приведена
на фиг. 1. Из приведенных результатов видно, что, начиная
с 1 = 30%, предлагаемый оптимальный профиль обладает меньшим
сопротивлением.
=
На фиг. 2 приведены для а
0,5 формы оптимальных профи­
лей, полученные при учете условия (3) (сплошная кривая) и без
него, но при той же площади (пунктир). Видно, что учет условия
,
/
":\10
\
9,01
О
-0,01
-0,02
-0.0!
~
11
у-р
--
..... ~
-.....
.,-
/
~ "г·...-
r::::: F:; 1-
V
f.::::::
0,5
'\.
~~
.....
."
ох
-...::::
""'" ;>
Фиг.
2
(~ приводит К заметном у п е рестро е нию формы оптимального про­
филя. На этой же фигуре в некоторых у словных единицах приве­
дено распределение разности межд у местной подъемной силой У
и весом Р вдоль профиля при отс у тствии ограничения (3). При
выполнении условия (3) эта разность по опр е делению равна нулю.
2. Тонкий несущий профиль минимального сопротивления
в гиперзвуковом потоке. Если принять,
что распределение давле­
ния на тонком профиле
коэффициент давления
по
опреде ляется
форм у ле Ньютона, то
(8)
а условие равенства подъемной силы, создаваемой элементарным
участком профиля, вес У' этого участка приним а ет вид
(9)
здесь У1 = У! (х) И
Yz =
У2 (х)
-
уравнения верхней и нижней поверх­
ностей профиля соответственно в безразмерной форме (х и у отне­
сены к заданной хорде Ь).
При написании функционалов для сопротив л ения и подъемной
силы на основе соотношения
y~ >- o,
y~ -< o
(8)
и
обычно предполага е тся, что
у;2 « 1
и=1, 2) .
При некоторых значениях параметра а мо ж ет
оптимальным является профиль, у которого у; (х )
Будем
в
дальнейшем
участков в С х и Су
равен
считать,
нулю
филя конечной толщины у;
< о).
что
оказаться, что
-< О при х >- х о .
при у; (х) -< О вклад таких
(заметим,
что
при
этом для про­
Тогда для коэффициентов сопро,.
тивления и подъемной силы получим следующи е выражения:
(10)
(11 )
4
Вместо
(9)
получим
_
{2а(у;2 =у; 2)
=
Уl
У2
2ау;2
=
при
О-<'Х-<'Хо ,
при
хо-<'х
(12)
-<.1.
Заметим, что поскольку y~ (х) при х>- х о не входит в функцио­
налы
(10)
и
то последнее
(11),
условие в
(12)
служит для опреде­
ления формы верхней поверхности профиля на этом участке.
Теперь вариационную задачу можно сформулировать следую­
щим образом: найти ФУНКЦИИУI (х) и У2(Х)' удовлетворяющие гра­
ничным условиям у\ (О)
У2 (О)
О и дифференциальной связи (12)
и доставляющие минимальное значение функционалу (10) при задан­
ном значении функционала (11).
Будем
решать поставленную
задачу следующим образом.
=
=
Зафиксируем сначала х о и су 1 И решим отдельно две вспомогатель­
ные задачи о профиле с минимальным
И связи
Су
2
=
и
(12)
Су -
о
профиле
Су 1 И хо·
После
с
СХ
\
min при заданных Су 1, Х О
минимальным
С х 2 min
при
этого решение исходной
заданных
задачи можно
получить, отыскав профиль с
minc x
т.е. решив задачу
о
=
min
{х•• Су
{С х1
i}
ми~имуме
(13)
+Cx2m in},
min
функции
двух
переменных. Ука­
занные две вспомогатеЛЬНi?Iе задачи решаются сравнительно
Легко про верить, что решением второй из
просто.
них является прямая С
(14)
При этом
( 15)
Из
условия
(12)
следует,
что верхняя
поверхность
оптималь­
ного профиля - также прямая с тем же наклОном. Решение пер­
вой вспомогательной задачи несколько сложнее. Эта задача на
условный
экстремум
задаче
безусловный
(О
на
-<. х -<. хо),
эквивалентна,
экстремум:
как
найти
известно,
следующей
функции
у\ (х) И У2 (х)
доставляющие минимум функционалу
х.
1=
5{2 (Y~ 3-
о
при ' тех
же
у; 3) + 2Л(у; 2 - у; 2)+ !1 (Х)[У1 -У2 + 2а (у? - у; 2)]}
.
граничных
условиях
= const
(А
Латранжа).
Уравнения Эйлера имеют вид
и ' !-L (х)
=
(16)
множители
х
бу;2+4(аf-L-J..)у;= 5f-L(x)dx+c i и= 1,2).
о
Из условий трансверсальности при х =
у; (х о ) = О; у; (Ха) = - -} (af1 -
),)
< О;
х о имеем
Сi
Х.
=
-
5
f-L
и) dt.
u
Теперь уравнения Эйлера можно записать в виде
х.
6у;2+4(аf-L-ЧУ; + 5f-L(t)dt=О,
х
5
откуда
у; = [ - 2 (af1- -- л)
+ V B] /6;
у; =
[-
2 (a f1 - л) - VB] j6;
)
х.
n=
4 (a!-L _).)2 -- 6
Jf1(t) dt.
(17)
х
Интегрируя
еще раз и используя
(17)
граничные
условия, по­
л учим
YJ = + S[-2(аf1- /,)+VВ]dх; 1
у, ~ +f1-2(а"- А)
-
I
VBldx .
(18)
}
для определения множителей Лагранжа /, и f1 (х) из (11) и (12)
о
и меем
соотношения
.~
SуВ dx = 4а (a}-L - л) V B j3;
()
(19)
+S(af1- ),) VВdх=суJ .
х.
(20)
u
Оказывается, однако,
у д обны м рассматривать вместо системы
нелинейных интегральных уравнений (19) и (20) эквивалентную ей
краевую задачу для д ифференциа л ьных у равнений. Введем новые
переменные
хо
'I(x)= -6
Sf1(t)dt; р(х) =
af1-
л.
(21)
х
Тогда вместо системы
р'
с
граничными
= 3 (v -
и
(19)
(20)
4лр)j4а (8р2
по л у чаем систему уравнений:
+ Ч jа
(22)
j' p V4p'+vdx=c
-
(23)
+ '1);
'1 ' = 6 (р
условиями
х.
р(О)=О;
4
"""9
v(x o) =0;
yt •
о
Таким
образом,
задача
определения
множителей Лагранжа л.
и р. свелась к краевой задаче для системы дв у х обыкновенных
дифференциальных уравнений с параметром, который находится
из
интегрального
кривых в фазовой
ные кривые (р
условия
(23) .
плоскости
>- О, '1 >- О)
Анализ
характера
интегральных
показывает, что нужные
существуют при л
< О.
интеграль­
Задача решалась численно на ЭЦВМ 6эеМ-6 с помощью моди­
фицированного метода Ньютона [2/, т . е. реша л ась следующая
алгебраическая система:
+s
Х.
v[x=x o, л, '1 (О)] =0;
О
з ависящая от дв у х переменных
нахождения
р (х) и
системы уравнений
'1
(х)
(22)
),
кажды й
pV4p 2 + 'ldx-с у 1 = 0,
и '1 (О) . При з аданных л и
раз
решалась
за д ача
(24)
v (О)
дЛЯ
Коши для
с начальными условиями р (О) = О и
'1
(О).
Решение исходной вариационной задачи, т. е . поиск минимума
(15)
находилось также численно методом, близким к ПО координат­
н ому
б
сп у ску.
Полученные
решения дл я формы такого оптималь-
ного профиля сравнивались с профилями крыла минимального
сопротивления при заданной подъемной силе и площади профиля
[3, 4] (только для случая, когда Х О = 1).
Примеры расчетов при
ствует а
=2
и
Су-
\..
r::.... -- - --
=0,05 и 0,07 (что
фиг. 3 и 4. Там же
на
0,07
r- t-......
'"
t-. t--..
"'-
:х:
r--.
1.......
I"'---f..",
:- 1"- i"'-- .......
....
......
(сх = о,ООВl/г>
- - Су (Х)=ргх) (с х = 0,010107)
-
.J LL СJ
-JODOHIJI
указаны
-
-1- ,..-
""::::
-
соответ-
=/J./J5; ';=0.1; 0.=2
,t--
и Су
0,1
=
приведены
1,428)
у
о
S
.......
!'-...
:::.... t-.....
-0,2
Фиг.
у
сх = О, 01507,'
i--+-t Т
..... r-
r--J
I
,.........
1
с у=о, 177,'
3
.;= О, 1; 0.= ~ '128
r-....
0,07
1"'-- t--..
.......
х
.......
f........
г-.....
1"----
. . . . r-....
I
-0.,1
r-.... !'-...
t--....
r-....
г-....... .......
I
I
Фиг.
соответствующие
профиля
в
этим
дополнительного
4
профилям
сверхзвуковом
условия
'" .......
потоке,
значения
видно,
приводит
к
с х'
что
Как
и
в
введение
не которому
случае
нового
увеличению
сопротивления и перестроению формы оптимального профиля.
Авторы выражают благодарность В. М. Фролову за обсужде­
ние работы и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
J. Теория оптимальных
А. Миеле. М., .Мир·, 1969.
аародинамических
форм.
Под
ред.
2. И с а е в В. К., С о н и н В. В. Об одной модификации мето­
да Ньютона численного решения краевых задач. Ж. вычисл. матем.
и матем. физ., т. 3, N~ 6, 1963.
3. М а й ~ а пар Г. И. Крыло с максимальным аародинамическим
качеством при гиперзвуковых скоростях. ПММ., т.
4.
М а й к а пар
Г.
И. Выбор формы крыла
скоростей. ,Изв. АН СССР, МЖГ", .м
30, вып. J, 1966.
для гиперзвуковых
4, 1967.
Рукопись поступила
10jlV 1975
2.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 655 Кб
Теги
крыла, сопротивления, одной, задачи, минимальное, постановка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа