close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости решений одного класса разрывных систем.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
УДК 517.925
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА
РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
c
В. И. Безяев
Ключевые слова: системы с разрывной правой частью; устойчивость решений; нормальная матрица.
В работе приводятся спектральные условия устойчивости и неустойчивости решений
для одного класса нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений с
кусочно непрерывными правыми частями.
1.
Введение
Для неавтономных нелинейных систем ОДУ с нормальной ( A∗ A = AA∗ ) определяющей матрицей, имеющей кусочно непрерывные элементы, cформулированы простые спектральные условия устойчивости и неустойчивости решений. Предложенный подход применим
для анализа устойчивости решений и более широкого класса систем.
Представленные результаты обобщают или дополняют известные ранее результаты
(см., например, [1-7]), в том числе и классические теоремы об устойчивости линейных и нелинейных систем ОДУ с постоянной или почти постоянной матрицей. Для систем с непрерывной
нормальной матрицей условия устойчивости частного вида были получены ранее (см., например, [7]).Кроме того, в данной работе, в отличие от [7], исследованы существенно более
широкие классы нелинейных систем ОДУ, в том числе и с разрывными правыми частями.
Ниже под кусочно непрерывной (скалярной или матричной) функцией f (x, t) в ограниченной области G пространства Rn+1
x,t будем понимать функцию f (x, t) , непрерывную вплоть
до границы каждой из подобластей Gi (i = 1, k) , где
G=
k
Gi
M,
Gi
Gj = ∅
при i = j,
i=1
M⊂
k
∂Gi ,
mesM = 0
i=1
( mes - мера Лебега). Если область G неограничена, то в определении кусочно непрерывной
функции каждая ограниченная часть области G может иметь общие точки лишь с конечным
семейством областей Gi .
Кроме того будем предполагать, что для каждой области Gi при почти всех t сечение
границы области плоскостью t = const совпадает с границей сечения области той же плоскостью.
Система дифференциальных уравнений
ẋ = f (x, t)
(1)
с кусочно непрерывной вектор-функцией f (x, t) в области G доопределяется по А.Ф. Филиппову [5, § 4, п. 2а] до дифференциального включения
ẋ ∈ F (x, t),
1730
(2)
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
где многозначная функция F (x, t) определена при почти всех t (t ∈
/ T0 , mesT0 = 0) и всех x ,
для которых (x, t) ∈ G. При этом F (x, t) – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f (x̃, t), когда (x̃, t) ∈
/ M, x̃ → x, t = const, а
многозначная функция F (x, t) – β -непрерывна (полунепрерывна сверху относительно включения) по x, t в области G . Указанные свойства функции F (x, t) обеспечивают существование
решения включения (2) в некоторой окрестности любой точки (x0 , t0 ) ∈ G и возможность его
продолжения до выхода на границу замкнутой ограниченной области D ⊂ G .
При этом решением системы (1) называется решение дифференциального включения (2).
Заметим еще, что при указанном выше условии на подобласти Gi , доопределение по
А.Ф.Филлипову равносильно доопределению по Н.Н.Красовскому и А.И.Субботину [4].
2.
Дифференциальные неравенства
Т е о р е м а 1. Пусть в системе
ẋ = A(x, t)∇v
(3)
A(x, t) является кусочно непрерывной матричной функцией в области Ω и нормальной матрицей при всех (x, t) ∈ Ω\M ( M — множество точек разрыва матричной функции A(x, t)) ,
ее спектр {λj (x, t)}n1 удовлетворяет в Ω\M одному из неравенств
μ(x, t) ≤ Reλj (x, t)
или
Reλj (x, t) ≤ ν(x, t)
( j = 1, n ),
(4)
где μ и ν — непрерывные функции в Ω , v(x) — дифференцируемая, а ∇v(x) = grad v(x) —
кусочно непрерывная функции при |x| < δ . Тогда для любого решения x(t) системы (3) при
почти всех t ∈ I , где I —промежуток существования решения x(t) , выполняется, соответственно, одно из неравенств
μ(x, t)|∇v(x)|2 ≤
d
v(x)
dt
или
d
v(x) ≤ ν(x, t)|∇v(x)|2 .
dt
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого решения x(t) включения (2), соответствующего
системе (3), имеем
dv(x)
= ∇v T ẋ ∈ ∇v T F (x, t)
dt
при почти всех t ∈ I.
В силу определения F (x, t) ([5, § 4]) в любой точке (x, t) непрерывности всех элементов
матрицы A(x, t) имеется равенство F (x, t) = A(x, t)∇v , а в любой в точке разрыва (x, t) ∈ M
множество F (x, t) определяется по формуле
F (x, t) =
l
i=1
αi Ai (x, t)∇vi (x) :
l
αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, l
,
i=1
где Ai (x, t)∇vi (x) —пределы функции A(x̃, t)∇vi (x̃) при x̃ → x, (x̃, t) ∈ Ωi , t = const ≥ 0, i = 1, l.
В любой точке непрерывности (x, t) ∈ Ω\M матрицы A(x, t) с помощью унитарной подстановки ∇v = U (x, t)y при почти всех t ∈ I получаем, что
dv(x)
= ∇v T A(x, t)∇v = y ∗ U ∗ (x, t)A(x, t)U (x, t)y = y ∗ ΛA (x, t)y =
dt
1731
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
∗
∗
= y ΛA (x, t)y = Re(y ΛA (x, t)y) =
n
Reλj (x, t)|yj |2 ,
(6)
j=1
где
U (x, t)U ∗ (x, t) = E,
|∇v| = |y|,
y ∗ = ȳ T ,
U ∗ (x, t)A(x, t)U (x, t) = ΛA (x, t) = diag{λ1 (x, t), . . . , λn (x, t)}.
Следовательно в любой точке непрерывности (x, t) ∈ Ω\M матрицы A(x, t) выполняется соответствующее неравенство
d
d
v(x) ≤ ν(x, t)|∇v(x)|2 .
(7)
μ(x, t)|∇v(x)|2 ≤ v(x) или
dt
dt
Аналогично в точках разрыва (x, t) ∈ M при почти всех t ∈ I имеем :
l
l
dv(x)
∈ ∇v T F (x, t) =
αi ∇v T Ai (x, t)∇v :
αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, l =
dt
i=1
i=1
l
l
αi y i∗ Ui∗ (x, t)Ai (x, t)Ui (x, t)y i =
αi y i∗ ΛAi (x, t)y i =
=
i=1
= Re
l
αi y i∗ ΛAi (x, t)y i
i=1
где
=
⎧
l
⎨
⎩
i=1
i=1
⎫
n
⎬
αi (
Reλij (x, t)|yji |2 ) ,
⎭
j=1
Ui∗ (x, t)Ui (x, t) = E, ∇v = Ui (x, t)y i , |∇v| = |y i |,
Ui∗ (x, t)Ai (x, t)Ui (x, t) = ΛAi (x, t) = diag{λi1 (x, t), . . . , λin (x, t)},
λij — пределы функций λj (x̃, t) при x̃ → x, (x̃, t) ∈ Ωi , t = const, (x, t) ∈ M, i = 1, l, j = 1, n.
Отсюда следует, что при почти всех t ∈ I в точках разрыва (x, t) ∈ M также выполняется соответствующее неравенство (7), так как в этом случае
n
l
l
i |2 ) :
α
(
Reλ
(x,
t)|y
α
=
1,
α
≥
0,
i
=
1,
l
⊆ (−∞, μ(x, t)∇v(x)|2 )
ij
i
j
i=1 i
j=1
i=1 i
или
n
l
i 2
i=1 αi ( j=1 Reλij (x, t)|yj | ) :
α
=
1,
α
≥
0,
i
=
1,
l
⊆ (ν(x, t)∇v(x)|2 , +∞). 2
i
i
i=1
l
Теорему 1 можно обобщить на случай нелинейных систем вида (3), матрица A(x, t) которых может быть представлена в виде конечной суммы нормальных матриц (сумма нормальных
матриц в общем случае не является нормальной).
N
Ak (x, t) , где Ak (x, t) (k = 1, N ) квадратные кусочно
Т е о р е м а 2. Пусть A(x, t) =
k=1
непрерывные в области Ω и нормальные в точках непрерывности матрицы, для которых
при j = 1, n, k = 1, N , (x, t) ∈ Ω\M выполняется одно из неравенств
μk (x, t)Re ≤ λjAk (x, t)
или
ReλjAk (x, t) ≤ νk (x, t),
где μk (x, t) и νk (x, t) (k = 1, N ) непрерывные в Ω функции, а v(x) такая же функция,
как и в теореме 1. Тогда для любого решения x(t) системы (3) при почти всех t ∈ I
(I —промежуток существования решения x(t)) выполняется соответствующее неравенN
N
μk (x, t), ν(x, t) =
νk (x, t) .
ство (5), где μ(x, t) =
k=1
k=1
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 является непосредственным обобщением доказательства
теоремы 1.
1732
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
3.
Утверждения об устойчивости
Т е о р е м а 3. Пусть A(x, t) является кусочно непрерывной матричной функцией в
области Ω и нормальной матрицей при всех (x, t) ∈ Ω\M ( M — множество точек разрыва
функции A(x, t)) , {λj (x, t)}n1 — ее спектр и:
а) v(x) — дифференцируемая положительно определенная (v(x) > 0 при |x| > 0, v(0) = 0)
функция при |x| < δ ;
б) |∇v(x)|2 ≥ w(x) при 0 < |x| < δ , где ∇v(x) и w(x) — непрерывные положительно определенные функции при |x| < δ . Тогда решение x(t) ≡ 0 системы (3) является:
1) устойчивым при Reλj (x, t) ≤ 0 для j = 1, n, (x, t) ∈ Ω\M ;
2) асимптотически устойчивым при Reλj (x, t) ≤ −β(x) для j = 1, n, (x, t) ∈ Ω\M ;
3) неустойчивым при Reλj (x, t) ≥ β(x) для j = 1, n, (x, t) ∈ Ω\M ,
если β(x) — непрерывная при |x| < δ и положительная при 0 < |x| < δ функция.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 во всех случаях 1) - 3) является непосредственным
следствием теоремы 1, условий на функцию v(x) и следующей леммы.
Л е м м а 1. Пусть v(x) — непрерывно дифференцируемая и положительно определенная
функция при |x| < δ1 . Пусть, далее, абсолютно непрерывная функция x̃(t) = x̃(t; x0 ) (x0 =
= x̃(0) и |x0 | < δ1 ) , график которой содержится в цилиндре Z = {(x, t) ∈ Rn+1
x,t : |x| ≤ δ1 , t ≥ 0} ,
может быть продолжена абсолютно непрерывной функцией до выхода на границу любой
замкнутой ограниченной области D ⊂ Z , а функция x(t) = x(t; x0 ), t ∈ [0, T ) , где T ≤ +∞ ,
является ее максимальным продолжением в Z . Тогда если при почти всех t ∈ [0, T ) функция
x(t) удовлетворяет одному из дифференциальных неравенств:
1)
d
v(x) ≤ 0;
dt
2)
d
v(x) ≤ −W (x)
dt
или
3)
d
v(x) ≥ W (x),
dt
где W (x) непрерывная при |x| < δ и положительная при 0 < |x| < δ функция, то соответственно:
1) T = +∞ и lim x(t; x0 ) = 0 равномерно по t ∈ [0, ∞);
x0 →0
2) дополнительно к утверждению 1) еще
lim x(t; x0 ) = 0 при достаточно малых |x0 |;
t→+∞
3) T < +∞ и |x(t; x0 )| → δ1 при t → T − 0 , если x0 = 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы повторяет, по существу, доказательства теорем Ляпунова
об устойчивости и неустойчивости (см., например, [6, п. 7.2]).
Для «неоднородных» систем вида
ẋ = A(x, t)∇v(x) + f (x, t)
( f (0, t) ≡ 0 )
(8)
c кусочно непрерывными в области Ω матрицей A(x, t) и вектор-функцией f (x, t) и нормальной в Ω\M матрицей A(x, t) , имеет место следующий аналог теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости по первому приближению.
Т е о р е м а 4. Пусть для системы (8) спектр {λj (x, t)}n1 кусочно непрерывной в области
Ω и нормальной в Ω\M матрицы A(x, t) удовлетворяет неравенствам
Reλj (x, t) ≤ −β(x)
при
j = 1, n,
(x, t) ∈ Ω\M,
где β(x) — непрерывная при |x| < δ и положительная при 0 < |x| < δ функция, f (x, t) —
кусочно непрерывная в Ω функция и
|f (x, t)| ≤ γ(x)β(x)|∇v(x)|
для (x, t) ∈ Ω\M,
γ(x) → 0 при x → 0,
а v(x) — удовлетворяет условиям а) и б) теоремы 3. Тогда решение x(t) ≡ 0 системы (8)
асимптотически устойчиво.
1733
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
Д о к а з а т е л ь с т в о. Правая часть F (x, t) включения (2), соответствующего системе
(8), определяется по формулам:
F (x, t) = A(x, t)∇v(x) + f (x, t) при
F (x, t) =
l
αi [Ai (x, t)∇vi (x) + f i (x, t)] :
i=1
l
(x, t) ∈ Ω\M,
αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, l
при (x, t) ∈ M,
i=1
f i (x, t)
— пределы функций A(x̃, t)∇vi (x̃) и f (x̃, t) при x̃ → x, t = const ≥
где Ai (x, t)∇vi (x) и
≥ 0, (x̃, t) ∈ Ωi , i = 1, l .
Отсюда, как и при доказательстве теоремы 1, для любого решения x(t) данного включения
получаем дифференциальное неравенство
dv(x)
≤ −β(x)|∇v(x)|2 (1 + γ(x))
dt
при почти всех
t ∈ I.
Так как γ(x) → 0 при x → 0 , то рассматривая решения x(t) данного включения (2) в области
Ω1 = {(x, t) : |x| < δ1 , t ≥ 0} ⊂ Ω для достаточно малого δ1 > 0 , с помощью леммы 1 (случая 2))
сразу получаем асимптотическую устойчивость тривиального решения этого включения. 2
З а м е ч а н и е. Результаты теорем 3 и 4 могут быть обобщены ( аналогично теореме 2)
на нелинейные системы вида (3), матрица A(x, t) которых может быть представлена в виде
конечной суммы нормальных матриц.
4.
Примеры
П р и м е р 1. Нелинейная система
−x(x2 + y 2 ) y 5 sgn(x + y)
ż =
−x sgn(x + y) −y 5 (x2 + y 2 )
(z = (x, y) )
представима в виде
ż =
2
−|z|2
− sgn(x + y)
sgn(x + y)
x
≡ A(z, t)∇v(z),
−|z|2
y5
6
где v(z) = x2 + y6 > 0 при |z| > 0 , матрица A(z, t) является кусочно непрерывной при z ∈ R2 ,
t ∈ R и нормальной во всех точках непрерывности, а ее спектр удовлетворяет соотношениям
Reλj (z, t) ≡ −|z|2
(j = 1, 2).
Отсюда по теореме 3 тривиальное решение данной системы асимптотически устойчиво.
П р и м е р 2. Решение x(t) ≡ 0 нелинейной системы
2 t2 sgn(x1 x2 )
x1
1 + cos t
−|x|2
+
|x|6 sgn(x1 + x2 ) ≡ A(x, t)∇v(x) + f (x, t),
ẋ =
−|x|2
x32
−t2 sgn(x1 x2 )
1 + sin t
x3
x4
где v(x) = 31 + 42 > 0 при |x| > 0 , асимптотически устойчиво в силу теоремы 4, так как
для спектра (кусочно непрерывной и нормальной) матрицы A(x,
тождества
√ t)6 выполняются
√
2
3
Reλj (x, t) ≡ −|x| (j = 1, 2) и имеет место оценка |f (x, t)| ≤ 2 2|x| ≤ 4 2|x| x41 + x62 (при
x1 x2 = 0, x1 + x2 = 0, |x| < 1, t ≥ 0 ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.
1734
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием
равновесия. М.: Наука, 1978.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
6. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
7. Безяев В.И., Коняев Ю.А. Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных
разрывных систем // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. Москва, 2010. № 4. С. 5-10.
Поступила в редакцию 16 сентября 2015 г.
Bezyaev V.I. STABILITY OF SOLUTIONS TO ONE CLASS DISCONTINUOUS SYSTEMS
We give spectral conditions for stability and instability of solutions to one class of quasilinear nonautonomous systems of differential equations with discontinuous right-hand sides. The results obtained do not
use the Lyapunov functions.
Key words: stability; spectral method; normal matrix.
Безяев Владимир Иванович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail:
vbezyaev@mail.ru
Bezyaev Vladimir Ivanovich, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation,
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail:
vbezyaev@mail.ru
1735
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 613 Кб
Теги
решение, система, одного, класс, устойчивость, разрывных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа