close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости решений разрывных систем с квазинормальной определяющей матрицей.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.
5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
6. Hajek O. Discontinuous differential equations I, II // Journal of Differential Equations. 1979. V. 32. Iss. 2.
P. 149–170; P. 171–185.
7. Hermes H. The generalised differential equation x ∈ R(t, x) // Advances Math. 1970. V. 4. Iss. 2. P. 149–169.
8. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // Известия вузов. Математика.
2002. № 2. С. 41–45.
9. Безяев В.И., Коняев Ю.А. Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных
разрывных систем // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. Москва, 2010. № 4. С. 5–10.
10. Безяев В.И. Об устойчивости решений одного класса разрывных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 6. С. 1730–1735.
11.Карташев А.П., Рождествеский Б.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.
12. Kovacic I., Brennan M.J. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. John Wiley and
Sons, 2011.
Поступила в редакцию 5 октября 2016 г.
Безяев Владимир Иванович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail:
vbezyaev@mail.ru
UDC 517.925
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943
ON STABILITY OF SOLUTIONS OF DISCONTINUOUS SYSTEMS
WITH QUASI-NORMAL A DEFINING MATRIX
©
V. I. Bezyaev
Peoples Friendship University of Russia
6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198
E-mail: vbezyaev@mail.ru
We give effective conditions of stability and instability of solutions of quasi-linear
non-autonomous ODE systems with non-linear quasi-normal a defining matrix having
discontinuous elements. The results obtained do not use the Lyapunov functions. We consider
some examples.
Key words: systems with discontinuous right-hand side; the stability and instability of
solutions; normal and quasi-normal matrix
REFERENCES
1. Andronov A.A., Vitt A.A., Hajkin S.Eh. Teoriya kolebanij. M.: Nauka, 1981.
2. Gelig A.H., Leonov G.A., YAkubovich V.A. Ustojchivost’ nelinejnyh sistem s needinstvennym sostoyaniem
ravnovesiya. M.: Nauka, 1978.
3. Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti. SPb.: Lan’, 2008.
4. Rush N., Abets P., Lalua M. Pryamoj metod Lyapunova v teorii ustojchivosti. M.: Mir, 1980.
5. Filippov A.F. Differencial’nye uravneniya s razryvnoj pravoj chast’yu. M.: Nauka, 1985.
1942
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
6. Hajek O. Discontinuous differential equations I, II // Journal of Differential Equations. 1979. V. 32. Iss. 2.
P. 149–170; P. 171–185.
7. Hermes H. The generalised differential equation x ∈ R(t, x) // Advances Math. 1970. V. 4. Iss. 2. P. 149–169.
8. Konyaev YU.A. Metod unitarnyh preobrazovanij v teorii ustojchivosti // Izvestiya vuzov. Matematika. 2002.
№ 2. S. 41–45.
9. Bezyaev V.I., Konyaev YU.A. Analiz ustojchivosti reshenij odnogo klassa kvazilinejnyh neavtonomnyh
razryvnyh sistem // Vestnik RUDN. Seriya: Matematika. Informatika. Fizika. Moskva, 2010. № 4. S. 5–10.
10. Bezyaev V.I. Ob ustojchivosti reshenij odnogo klassa razryvnyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta.
Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki – Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2015.
T. 20. Vyp. 6. S. 1730–1735.
11.Kartashev A.P., Rozhdestveskij B.P. Obyknovennye differencial’nye uravneniya i osnovy variacionnogo
ischisleniya. M.: Nauka, 1986.
12. Kovacic I., Brennan M.J. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. John Wiley and
Sons, 2011.
Received 5 October 2016
Bezyaev Vladimir Ivanovich, Peoples Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation,
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department,
e-mail: vbezyaev@mail.ru
Информация для цитирования:
Безяев В.И. Об устойчивости решений разрывных систем с квазинормальной определяющей матрицей // Вестник
Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1938-1943.
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943
Bezyaev V.I. Ob ustojchivosti reshenij razryvnyh sistem s kvazinormal’noj opredelyayushchej matricej [On stability of
solutions of discontinuous systems with quasi-normal a defining matrix]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye
i tekhnicheskie nauki – Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1938-1943.
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943 (In Russian)
1943
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
УДК 517.925
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1944-1949
О МЕТОДЕ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
В ЛИНЕЙНОЙ ГЕМОДИНАМИКЕ
©
В. И. Безяев, Н. Х. Садеков
Российский университет дружбы народов
117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
E-mail: vbezyaev@mail.ru
В работе рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах, методом распространяющихся волн и методом продолжения получены точные решения рассматриваемых задач.
Ключевые слова: гемодинамика; гиперболическая система; граф; метод распространяющихся волн; метод продолжений
1.
Введение
Для математического описания течения крови в сосудах наиболее распространенными являются квазиодномерные модели (см., например, [1-3]). Применение квазиодномерного приближения позволяет исследовать широкий круг задач гемодинамики на геометрических графах
(основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в [4]). В данной работе
рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах, методом распространяющихся волн и методом продолжения (см. [5]) получены точные решения рассматриваемых задач. Представленные результаты дополняют исследования в [2].
Уравнения гемодинамики в квазиодномерном приближении представляют собой гиперболическую систему двух дифференциальных уравнений в частных производных и одного алгебраического соотношения. В качестве пространственной переменной x выбирается длина дуги,
проходящей через центры круговых поперечных сечений сосуда. Скорость движения крови
считается направленной вдоль оси сосуда и одинаковой во всем круговом сечении сосуда. Обозначим U (x, t) — скорость кровотока (cм/с), P (x, t) — давление (мм рт. ст.), S(P ) — площадь
поперечного сечения сосуда (cм 2 ), ρ — плотность крови (г/см 3 ).
Тогда уравнения гемодинамики в квазиодномерном приближении имеют вид (см. [2]):
∂U 1 ∂P
∂U
+U
+
= 0,
∂t
∂x ρ ∂x
∂S ∂U S
+
= 0,
∂t
∂x
S = S(P ),
(1)
где первое уравнение описывает закон сохранения импульса, второе — закон сохранения массы
крови, а третье — это уравнение состояния, которое отражает упруго-механические свойства
сосуда.
Из физиологических исследований известно, что пульсационное отклонение давления, вызванного сердечным выбросом в аорту, от среднего значения в норме составляет примерно
20%. Это позволяет использовать линейное приближение для исходной нелинейной системы
1944
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
уравнений (1) относительно фоновых (средних) значений всех величин, входящих в уравнения. В результате линеаризации исходная система сводится к линейной системе уравнений
гиперболического типа с постоянными коэффициентами (см. [1])
{
ut + ρ1 px + ūux = 0,
(2)
pt + ūpx + ρc2 ux = 0,
√
)
s̄
где c = ρθ
— скорость распространения пульсовой волны; θ = dS(P
dP > 0 — коэффициент эластичности сосуда, который характеризует изменение сечения сосуда при изменении давления
в нем согласно уравнению состояния; ū , p̄ , s̄ — некоторые фоновые значения, а функции
u(x, t) и p(x, t) — малые отклонения от фоновых значений.
2.
Задача Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики
Рассмотрим задачу Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики (2):


ut + ρ1 px + ūux = 0,
(−∞ < x < +∞, t > 0)



p + ūp + ρc2 u = 0,
t
x
x

u|t=0 = ϕ(x),



p| = ψ(x),
(3)
t=0
где ϕ(x) и ψ(x) — заданные функции.
Используя инварианты Римана (см., например, [6]), получим представление общего решения системы (2) в виде:
f (x − λ+ t) + g(x − λ− t)
,
u(x, t) =
2
(4)
f (x − λ+ t) − g(x − λ− t)
p(x, t) = ρc
,
2
где λ+ = ū + c , λ− = ū − c . Функции f и g представляют собой бегущие волны произвольной
формы.
Как видно из (4), общим решением уравнений (2) является суперпозиция двух бегущих
волн, одна из которых распространяется по направлению движения крови в сосуде, а вторая —
в противоположном направлении.
Т е о р е м а 1. Решение задачи Коши (3) имеет следующий вид:
ϕ(x − λ+ t) + ϕ(x − λ− t) ψ(x − λ+ t) − ψ(x − λ− t)
+
,
2
2ρc
ϕ(x − λ+ t) − ϕ(x − λ− t) ψ(x − λ+ t) + ψ(x − λ− t)
p(x, t) = ρc
+
.
2
2
u(x, t) =
(5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим общее решение (4) в начальные условия задачи (3):
f (x) + g(x)
= ϕ(x),
2
f (x) − g(x)
ρc
= ψ(x).
2
Определяя из них функции
f (x) = ϕ(x) +
ψ(x)
,
ρc
g(x) = ϕ(x) −
ψ(x)
ρc
и подставляя в общее решение (4), получим искомое решение задачи Коши (3) в виде (5). 1945
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
3.
Смешанная задача на графе одного сосуда
Рассмотрим один полуограниченный сосуд бесконечной длины. Представим такой сосуд
ориентированным графом Γ1 , состоящим из одной вершины и выходящего из нее ребра бесконечной длины, направленного вдоль оси сосуда. Введем на ребре систему координат с началом
в этой вершине, пространственную ось которой направим вдоль ребра.
Пусть на ребре графа заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (2) и начальные
данные, а в вершине определены краевые условия 1-го рода. Тогда имеем следующую смешанную задачу на графе Γ1 :

1

(0 < x < +∞, t > 0)

ut + ρ px + ūux = 0,



pt + ūpx + ρc2 ux = 0,



u| = ϕ(x),
t=0
(6)

p|
=
ψ(x),

t=0




u|x=0 = ν(t),



p|
x=0 = µ(t),
где ϕ(x) , ψ(x) и ν(t) , µ(t) — заданные функции.
Т е о р е м а 2. Решение смешанной задачи (6) имеет следующий вид

+
−
+
−
 ϕ(x−λ t)+ϕ(x−λ t) + ψ(x−λ t)−ψ(x−λ t) ,
x ≥ λ+ t
2
2ρc
u(x, t) =
λ−
λ−
−
−
−
−
ν(− x−λ+ t ) − ϕ( λ+ x−λ t)−ϕ(x−λ t) + ψ( λ+ x−λ t)−ψ(x−λ t) , x < λ+ t
2
2ρc
λ+

+
−
+
−
ρc ϕ(x−λ t)−ϕ(x−λ t) + ψ(x−λ t)+ψ(x−λ t) ,
x ≥ λ+ t
2
2
p(x, t) =
λ−
λ−
−
−
−
−
µ(− x−λ+ t ) − ρc ϕ( λ+ x−λ t)+ϕ(x−λ t) + ψ( λ+ x−λ t)+ψ(x−λ t) , x < λ+ t
+
2
2
λ
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В формулах (4) общего решения линеаризованных уравнений
гемодинамики определим функции f и g так, чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям системы (6). Областью определения функции f (x − λ+ t) в данном случае
является вся прямая (−∞, +∞) , а функции g(x − λ− t) — полуось [0, +∞) .
Подстановка общего решения в начальные условия позволяет определить f и g на полуоси
[0, +∞) следующим образом:
f (z) = ϕ(z) +
ψ(z)
,
ρc
g(z) = ϕ(z) −
ψ(z)
,
ρc
z ≥ 0.
(8)
Осталось определить функцию f на оставшейся части ее области определения, т. е. на интервале (−∞, 0) . Используя краевое условие u(0, t) = ν(t) и первую формулу в (4), получим
( − )
( − )
( z )
1
λ
λ
f (z) = 2ν − + − ϕ
z + ψ
z ,
z < 0.
(9)
+
λ
λ
ρc
λ+
Используя теперь условие p(0, t) = µ(t), получаем
( − )
( − )
2 ( z )
1
λ
λ
f (z) = µ − + + ϕ
z − ψ
z ,
+
ρc
λ
λ
ρc
λ+
z < 0.
(10)
Используя теперь формулы (8)–(10) и (4), получим решение смешанной задачи (6) на графе
Γ1 в виде (7).
1946
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
4.
Смешанная задача на графе двух сосудов
Рассмотрим теперь стык двух полуограниченных сосудов. Представим его ориентированным графом Γ2 , состоящим из одной вершины и двух ребер бесконечной длины, один из
которых направлен к вершине, а другой — из нее. Введем систему координат с началом в этой
вершине, а пространственную ось направим вдоль ребер так, что отрицательные координаты
будут соответствовать входящему в вершину ребру, а положительные — выходящему из нее.
Пусть на каждом ребре i (i = 1, 2) графа Γ2 заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (2) и начальные данные, а в вершине выполняются линеаризованные условия сопряжения, первое из которых выражает закон сохранения массы крови (т. е. поток крови в
первом сосуде равен потоку крови во втором), а второе — равенство давлений на стыке сосудов
(см. [2]).
Таким образом получаем смешанную задачу для линейных уравнений с кусочнопостоянными на графе Γ2 коэффициентами вида

∂ui 1 ∂pi
∂ui


+
+ ū
= 0, (−∞ < x < 0, 0 < x < +∞, t > 0)


∂t
ρ ∂x
∂x



∂pi
∂ui
 ∂pi

+ ū
+ ρc2
= 0,


 ∂t
∂x
∂x
ui (x, 0) = ϕi (x),
(11)



pi (x, 0) = ψi (x),





s̄1 u1 (0, t) + θ1 ū1 p1 (0, t) = s̄2 u2 (0, t) + θ2 ū2 p2 (0, t),



p (0, t) = p (0, t),
1
2
где i = 1 , если x < 0 , и i = 2 , если x > 0 .
Общие решения линеаризованных уравнений гемодинамики на каждом ребре определяются по формулам (4). Области определения функций fi и gi находятся из того, что эти
функции удовлетворяют начальным условиям и условиям сопряжения. Таким образом получаем, что областью определения функции f1 является полуось (−∞, 0] , функций g1 и f2 —
вся прямая (−∞, +∞) , а функции g2 — полуось [0, +∞) .
Подстановка общих решений в начальные условия позволяет определить f1 и g1 на полуоси (−∞, 0] , а f2 и g2 на полуоси [0, +∞) :
fi (z) = ϕi (z) +
ψi (z)
,
ρci
gi (z) = ϕi (z) −
ψi (z)
,
ρci
(12)
где z ≤ 0 , если i = 1 , и z ≥ 0 , если i = 2 .
Функции g1 и f2 на оставшихся частях их областей определения найдем, подставляя общие решения (4) в условия сопряжения. Переобозначая их соответственно G1 и F2 , получим:
( − )
( + )
λ2
λ1
z
+
k
g
z , z>0
G1 (z) = k1→1 f1
2→1 2
λ−
λ−
1
1
(13)
( + )
( − )
λ1
λ2
F2 (z) = k1→2 f1
z + k2→2 g2
z , z < 0,
λ+
λ+
2
2
где k1→1 , k2→1 , k1→2 , k2→2 — коэффициенты, вычисляемые по формулам
ki→i = 1 −
(
ρci
2s̄i
s̄1 (c1 −ū1 )
ρc21
+
s̄2 (c2 +ū2 )
ρc22
),
ki→j = −
(
ρcj
2s̄i
s̄1 (c1 −ū1 )
ρc21
2 +ū2 )
+ s̄2 (cρc
2
),
i ̸= j.
2
Из формул (13) видно, что волны G1 и F2 , распространяющиеся по ребрам графа Γ2 по
направлению от его вершины, представляют собой суперпозиции волн f1 и g2 , распространяющихся по ребрам графа по направлению к вершине. При этом коэффициент ki→j показывает,
1947
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
2 684 Кб
Теги
решение, квазинормальных, система, определяющие, устойчивость, матрицей, разрывных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа