close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обобщенные решения начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа на геометрическом графе.

код для вставкиСкачать
Вестник Воронежского института ГПС МЧС России
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.954
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ
А. С. Волкова
Рассматриваются обобщенные решения начально-краевой задачи для гиперболического
уравнения 2-го порядка на произвольном геометрическом графе. Такие решения
определяются с помощью интегральных тождеств, заменяющих собой уравнения,
начальные и граничные условия. При этом указываются пространства, в которых
предполагается отыскание обобщенных решений, и приводятся условия однозначной
разрешимости таких задач. Полученные результаты являются основополагающими при
исследовании задач граничного управления колебаниями сетеподобных конструкций,
состоящих из систем струн или стержней, а также при изучении метаболизма клеток.
Ключевые слова: обобщенные решения, начально-краевая задача, теорема единственности
и существования.
При получении условий существования
обобщенных решений начально-краевой задачи
предпочтение отдается спектральному методу не
только
потому,
что
сравнительно
легко
преодолеваются
сложности,
порожденные
геометрией графа. Во многом этому послужили
результаты, приведенные в монографии [3],
связанные прежде всего с возможностью разложения
по обобщенным собственным функциям краевых
задач, что предопределило применимость метода
Галеркина в его классической форме при
доказательстве теоремы существования обобщенных
решений начально-краевой задачи — решение
получается как предел галеркинских приближений.
Доказательство теоремы единственности для
уравнения гиперболического типа основано на
априорной
оценке
обобщенных
решений.
Полученные результаты исследования являются
основополагающими при анализе задач граничного
управления
колебаниями
сетеподобных
конструкций, состоящих из систем струн или
стержней, а также при изучении метаболизма клеток
биологических структур.
1. Основные понятия и обозначения. Здесь
и ниже используются понятия и обозначения,
Введение.
В
представленной
работе
изучается начально-краевая задача для уравнения
2-го
порядка
гиперболического
типа
с
распределенными параметрами на геометрическом
графе. Центральная идея, определившая все
содержание настоящей статьи, состоит в
применении используемых в [1] подходов к
анализу таких задач и обобщении известных
классических утверждений об однозначной
разрешимости начально-краевых задач. Основная
особенность
исследования,
привнесенная
геометрической структурой графа, состоит в
преодолении сложностей, естественным образом
возникающих во внутренних узлах графа, где
дифференциальное уравнение заменяется иными
соотношениями,
называемыми
условиями
согласования или трансмиссии [2], [3] (в [4] —
условия сопряжения), а также [5, 6].
Волкова Анна Сергеевна, аспирант кафедры уравнений
в частных производных и теории вероятностей,
Воронежский государственный университет;
Россия, г. Воронеж,
тел.: 8-919-231-97-89, e-mail: volan100@mail.ru
© Волкова А. С., 2013
30
Выпуск 3 (8), 2013
ISSN 2226-700Х
принятые в [2], [5] и [6]. Все рассмотрения
используют произвольный связный ограниченный
ориентированный граф  , допускающий наличие
циклов.
Обозначим через V множество узлов 
графа  :  — множество граничных, J () —
Введем
необходимые
пространства.
Обозначим через L2 () пространство функций,
суммируемых с квадратом на  , через W 21 () —
пространство функций из L2 () , имеющих
обобщенную производную 1 — го порядка также из
L2 () . Аналогично вводятся пространства L2 (T )
множество внутренних узлов ( V =   J () );
 0 — объединение всех ребер (длина каждого
ребра равна 1), не содержащих концевых точек
(  0 =  \ V );
T =  0  (0, T )
( t =  0  (0, t ) ),
T =   (0, T ) .
Ориентацию и параметризацию ребер 
графа  введем следующим образом [2].
Предположим вначале, что  является деревом с
корнем  0 . Для любого узла   V длина пути,
соединяющего корень  0 с  , является целым
неотрицательным числом, обозначим его через |  |
и
назовем
порядком
узла
;
пусть
и W 21 (T ) . Норма в пространстве
определяется скалярным произведением
(u , v )
W 12
u 
W 12
Далее,
W 1,0
2

  (0,T )

  u( x, t )v( x, t ) 
T
обозначим
(T )

u ( x, t ) v( x, t ) 
 dxdt.
x
x 
Рассмотрим билинейную форму
du ( x) d ( x)


L(u, ) =   a( x)
 b( x )u( x )( x )  dx
dx
dx


при x , изменяющихся внутри каждого ребра 
графа  ( x   0 ); коэффициенты a( x ) , b( x ) —
фиксированные измеримые ограниченные на 
функции, суммируемые с квадратом. Форме L(u, )
соответствует дифференциальное выражение
( Lu )( x )  
d 
du( x ) 
 a( x)
  b( x)u( x ),
dx 
dx 
если a( x ) имеет ограниченную обобщенную
производную первого порядка, а u ( x ) —
обобщенные производные на  0 до второго
порядка включительно. Представление L(u, )
формально
получено
однократным
интегрированием
по
частям
слагаемого
d
du ( x)
 ( a ( x)
) в интеграле
dx
dx
dx
 
 f ( x, t )dxdt =  
T
W 21,0 (T )
через
(u , v )
Интеграл от функции f ( x ) ( f ( x, t ) ) по области 
(или T ) понимается как сумма интегралов по всем
ребрам:
или

пространство функций u ( x, t ) из L2 (T ) , имеющих
обобщенную производную первого порядка по x ,
принадлежащую L2 (T ) ; норма в W 21,0 (T )
определяется скалярным произведением
узла  »). Сужение функции f ( x ) ( f ( x, t ) ) на
ребро  будем обозначать через f ( x)  ( f ( x, t )  ).

(T )
скалярным
1/ 2
2
2
(1)
 

 u ( x, t )   u ( x, t )  
2


dxdt
.
   u ( x, t )  




 

 t   x  
 T 

(ориентированных «к узлу  »), r () — множество
ребер, входящих в узел  (ориентированных «от

du ( x, t ) dv ( x, t ) 

   u( x, t )v ( x, t ) 
 dx,
dx
dx 


в
W 21 (T )
—
аналогичным
произведением и имеет вид
V (  ) = {  V :|  |= } — множество узлов порядка
 . Если ребро соединяет два узла  и 
( |  |<|  | ), то  — начало,  — конец этого
ребра: ребро выходит из узла  и входит в узел  .
Каждое ребро  рассматривается как отрезок [0,1]
и параметризуется параметром x  [0,1] , при этом
x = 0 соответствует концу, а x = 1 — началу
ребра, чем и определяется ориентация на  . Пусть
теперь  - произвольный граф, содержащий циклы.
В каждом цикле фиксируется ребро и ему
принадлежащий узел. Формальное разъединение
ребер графа по таким узлам, оставляющее граф
связным, превращает его в «дерево», корень  0
которого фиксируется из числа граничных узлов.
Ориентация и параметризация, а также нумерация
узлов и ребер полученного графа приведены выше.
Для каждого узла   J () через R ()
обозначим множество ребер, выходящих из 
 f ( x)dx =  f ( x)
( )
W 21 ()
f ( x, t )  dxdt ;
k
на протяжении всей работы рассматриваются
измеримые функции и используется интеграл
Лебега.

0
 ( Lu)( x)( x)dx , ( x)  C

31
( 0 ) ,
Вестник Воронежского института ГПС МЧС России
  
и удовлетворяют
соотношениям
C0 ( 0 ) — пространство финитных бесконечно

0
дифференцируемых на  0 функций, C ( 0 )
плотно в L2 () .
Сформулируем необходимые в дальнейшем
утверждения, доказанные в работе [3].
Теорема 1. Если функция u ( x )  W 21 ()
такова, что для фиксированной функции
f ( x)  L2 ( ) имеет место L(u, )   f dx = 0 при

a(1) 
j
 j R( )
любой
( x )  C ( 0 ) ,
тогда
для
dx
непрерывно в концевых точках этого ребра.
Из теоремы следует, что в пространстве
1
W 2 () есть множество  функции u ( x )  C ()

a(1) 
j
 j R( )
du (1) 
j
=
dx

a(0) 
j
 j r ()
du (0)
j
dx

(2)
во всех узлах   J () ; замыкание в норме W 21 ()
множества функций из  , равных нулю во всех
узлах
   , обозначим через W 2,1 0 (a, ) .
как ненулевые элементы пространства
1
2, 0
W ( a,  ) ,
удовлетворяющие
L(u, ) =  (u, )
при
любой
тождеству
1
2,0
  W ( a,  )
и
некотором значении  =  n (  n — собственное
значение).
Теорема 2. 1. Собственные значения { n } и
собственные функции {n ( x)} , определяемые
через
0 (a, T )
u (0, t ) 
x
j
(3)
  J () и равна нулю во всех узлах    . Тогда
справедливо равенство
билинейной формой L(u, ) , вещественны. 2. Если
коэффициент a( x ) в форме L(u, ) существенно
положителен на  , то собственные значения
{ n } за исключением конечного числа первых
положительные и имеют конечную кратность.
3. Система собственных функций {n ( x)} образует ортонормированный базис в пространствах
L2 () и W 2,1 0 (a, ) ( в нормах L2 () и W 21 () ) .
Введем необходимое для анализа начальнокраевой задачи подпространство пространства
W 21 (T ) .
Обозначим
a(0) 
j
 jr ()
(замыкание в норме W 21,0 (T ) множества гладких
функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для
всех узлов   J () и для любого t  [0, T ] , а также
равных нулю вблизи   [0, T ] ) и выполнены
следующие предположения: 1) существуют
da( x )
ограниченная обобщенная производная
,
dx
 2 u ( x, t )
 2 v( x, t )
и
из
обобщенные производные
x 2
t x
v( x, t )
L2 (T ) ; 2) производная
для любого
t
фиксированного t  [0, T ] непрерывна во всех узлах
Билинейной
формой
L(u, )
определяются
обобщенные собственные функции n ( x ) класса
W 21 ()

1
1
(1), обозначим W 2,0
(a, T ) : W 2,0
(a, T )  W 21 (T ) .
По мере необходимости будут введены другие
пространства
и
их
подпространства
с
интересующими нас свойствами.
Специфика
обобщенных
решений,
определяемых с помощью интегральных тождеств,
заключается в изменении пространственной
переменной x на графе  , что требует особого
внимания в использовании соотношений (3) при
интегрировании функций по частям на графе.
Приведем учитывающее указанную особенность
утверждение, которое будет использовано в
получении априорных оценок различного типа
начально-краевых задач.
1,0
Лемма 1. Пусть u ( x, t ), v ( x, t )  W 2,0
( a,  T )
du( x )
( C () — пространство непрерывных на
функций), удовлетворяющие соотношениям
x
=
ˆ (a,  ) по норме
Замыкание множества 
T
0
каждого
фиксированного ребра    сужение a( x) 
j
(2)
для всех узлов   J () .


0
u (1, t )
аналогичным
 x  a ( x)
u ( x, t )  v( x, t )
dxdt =

x  t
   a ( x)
u ( x, t )  2 v ( x, t )
dxdt.
x
t x
 
T
T
Доказательство.
В
соответствии
с
выбранной на графе  ориентацией занумеруем
узлы следующим образом:  = { 0 , 1 ,...,  p } ,
 p 1  V (1) , а  j , j > p  1 , занумерованы в порядке
множество
возрастания
1
2
функций u ( x, t )  W (T ) , чьи следы определены на
| j |;
J () = { p 1 ,  p  2 ,...,  m } .
Аналогично занумеруем ребра:  k , k = 1, p  1 —
граничные ребра (  p 1 = [0 ,  p 1 ] ),  k = [ k ,  k ] ,
каждом сечении T плоскостью t = t0 ( t0  [0, T ] )
как элементы L2 () и непрерывны по t в норме
L2 () ), при этом u ( x, t ) равны нулю во всех узлах
j
k = p  2, m , k j < k — внутренние ребра.
32
Выпуск 3 (8), 2013
ISSN 2226-700Х
Интегрирование по частям интеграла
 
 x  a ( x)
T
k
k
dt |10 , что и


x
t
0 k =1
завершает доказательство.
2. Однозначная разрешимость начальнокраевой задачи для уравнения гиперболического типа. Для уравнения
u ( x, t )  v( x, t )
dxdt

x  t
по переменной x приводит к соотношениям вида
 
 x  a ( x)
T
0 k =1
u ( x, t )  v ( x, t )
dxdt =

x  t
u ( x, t )  v ( x, t ) 
T m
  a( x) 
k
x
k
t
k
u ( x, t ) v ( x, t ) 
T m
a( x)
интеграла
k
 2 u ( x, t )  
u ( x, t ) 
  a( x)
  b( x)u ( x, t ) = f ( x, t ) (4)
2
t
x 
x 
рассмотрим задачу нахождения решения u ( x, t ) в
dt |10 
области T , удовлетворяющего соотношениям (3)
во всех внутренних узлах графа  , начальным
u ( x, t )  2 v ( x, t )
  a ( x)
dxdt.
x
t x

T
u |t =0 = ( x ),
v( x, t )
равны
Так как сужения функции
t
нулю во всех граничных узлах, то имеет место
равенство:
u ( x, t )  v ( x, t ) 
 a( x)
0 k =1
k
k
x
k
t
(5)
и краевому
u | = 0, 0  t  T
(6)
1
( x)  W2,0
( a , ) ,
условиям; здесь
T m
u
|t =0 =  ( x), x  
t
( x)  L2 ( ) ,
f ( x, t )  L2,1 (T ) (пространство L2,1 (T ) состоит из
dt |10 =
всех элементов L1 (T ) с конечной нормой
u(1, t ) v (1, t ) 
 p
k
k
   a(1) 

k
 k =1
x
t


0
u (0, t ) v (0, t ) 
p 1
k
 dt 
a(0)
p 1

x
t

T m
u ( x, t ) v ( x, t ) 
k
k
dt |10 .
   a( x) 
k
x
t
0 k = p 2
T
T
f
L2,1
(T )
= (  f 2 ( x, t )dx )dt ),
коэффициенты
a( x), b( x)
—
измеримые
ограниченные функции на  , а именно:
0 < a  a( x )  a ,
( x) при t = 0 и удовлетворяющая интегральному
тождеству
v( x, t )
во всех
t
v(1, t )1 v (0, t )0
внутренних узлах
=
= A (t ) для
t
t
любого узла   J () и для любого t  [0, T ] ),
получить
 u ( x, t ) ( x, t )

t
t
  
T
 a ( x)
u ( x, t ) ( x, t )

 b( x)u ( x, t ) ( x, t )  dxdt = (8)
x
x

=  ( x )( x, 0) dx 

u( x, t )  v ( x, t ) 
0 k =1
k
k
x
t
k
dt |10 =
1
из элементов W 2,0
(a, T ) , равных нулю при t = T .

u (1, t )
j
     a (1) 

j

x

 J (  ) 0  R ()
 j
 a(0) j
 j r ( )
 f ( x, t )( x, t )dxdt
T
1
1
для любых ( x, t )  Wˆ 2,0
(a, T ) ( Wˆ 2,0
(a, T ) , состоит
T

(7)
1
называется функция u ( x, t )  W 2,0
(a, T ) , равная
непрерывность сужений функции
a( x)
b( x )  b, x  .
Определение. 1 Обобщенным решением
класса W 21 (T ) начально-краевой задачи (4)—(6)
Сумма интегралов в правой части равенства
суть сумма интегралов от значений сужений
слагаемых во всех внутренних узлах графа  ,
поэтому это выражение можно представить в виде
  J ()
и,
учитывая
суммы
по
всем
T m
0 
Лемма
2.
Для
решений
(пространство функций u ( x, t )
u(0, t ) 
j 
A (t )dt = 0;
 
x

имеющих
обобщенные
2
u  W2,0
(a, T )
1
из W 2,0
( a,  T ) ,
производные
 2 u ( x, t )
,
x 2
 2 u ( x, t )
из L2 (T ) ) задачи (4)—(6) при выполнении
t 2
предположений (7) имеет место оценка
равенство нулю достигается в силу выполнения
условий (4). Отсюда вытекает равенство нулю
33
Вестник Воронежского института ГПС МЧС России
  2 u N ( x, t ) u N ( x, t )
u N ( x , t )  2 u N ( x , t )


a
x
(
)

  t 2
t
x
t x
u N ( x, t ) 
b ( x )u N ( x , t )
 dx =
t

2
 
 u ( x,  ) 
2

max   u ( x,  )  
 
[0, t ]  
  

 u ( x,  ) 
 a( x) 

 x 
2
1/2
 
 dx 

 
 C1 (t ) z (0)  C2 (t ) f
L2,1

(9)
  f ( x, t )
(t ).

u N ( x, t )
dx,
t
из которого получено неравенство (9). Левая часть
(10), учитывая первое предположение (7),
оценивается снизу, правая часть — мажорируется
постоянной, не зависящей от N :
Замечание. Для доказательства леммы 2
u ( x, t )
и
необходимо умножить равенство (4) на
t
результат проинтегровать по x   .
1
Теорема 3. Для любых ( x)  W2,0
( a , ) ,
2
2

2
 u N ( x, t )   u N ( x, t )  
N
   u ( x, t )    x    t   dx 


( x)  L2 ( ) и f ( x, t )  L2,1 (T ) при выполнении
предположений (7) начально-краевая задача (4)—
1
(6) имеет обобщенное решение из W2,0
( a,  T , ) .
Доказательство. Возьмем систему обобщен1
ных собственных функций k ( x) в W 2,0
( a,  ) ,

 C (t )     1

 f
W 2,0 (  )
L2 ( )

t  [0, T ]
ортонормированную в L2 () (утверждение 3
теоремы 2).
Приближенное решение u N ( x, t ) будем искать
L2,1

(t )  ,

и при t = T
uN
W 12
(T )
 C.
(12)
N
в виде u N ( x, t ) = ckN (t )k ( x ) из соотношений
В силу (12) из последовательности
k =1
можно
  2 u N ( x, t )
  t 2 l ( x) 
i = 1, 2,... ,
N
 ( a ( x)

u ( x, t ) l ( x )
 b( x)u N ( x, t )l ( x )  dx = (10)
x
x

где
kN
суть
коэффициенты
аппроксимирующих
сходящуюся
W 21 (T )
в
Ni
и
u ( x, t ) есть обобщенное решение задачи (4)-(6).
Начальное условие u |t =0 = ( x ) будет выполнено в
N
силу сходимости u i ( x, t ) к u ( x, t ) в L2 () и того,
(11)
N
что u i ( x, 0)  ( x ) в L2 () . Для доказательства
справедливости тождества (8) для u ( x, t ) , умножим
каждое из соотношений (10) на свою функцию
gl (t )  W 21 (0, T ) , gl (T ) = 0 , полученные равенства
сумм
N
 N ( x ) = kN k ( x ) ,
слабо
u  ,
1
элементу u  W 2,0
(a, T ) . Покажем, что функция

dckN (t )
|t = 0 =  ( x )k ( x) dx,
dt

подпоследовательность
N
равномерно по t в норме L2 () к некоторому
=  f ( x, t )l ( x )dx (l = 1, N ),
ckN (0) = kN ,
выбрать
u 
при
k =1
N   функцию ( x) в норме W 21 () . Равенства
(10) являются системой линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка для
неизвестных
ckN (t )
( k = 1, N ),
разрешенной
просуммируем по всем l от 1 до N и
проинтегрируем по t от 0 до T . После этого в
первом члене левой части (10) проведем
интегрирование по частям и приходим к тождеству
d 2 ckN
. Коэффициенты ее суть
dt 2
ограниченные функции, а правые части принадлежат
L1 (0, T ) . Система (10) однозначно разрешима при
относительно
 u N ( x, t ) N ( x, t )

t
t
  
T
u N ( x, t ) N ( x, t )

x
x

 b( x )u N ( x, t )N ( x, t )  dxdt 

a( x )
d 2 ckN
 L1 (0, T ) . Для
dt 2
u N справедлива оценка (9). Действительно, умножая
d N
cl (t ) и суммируя
каждое из равенств (10) на свое
dt
по l от 0 до N , придем к равенству
начальных данных (11), причем
utN ( x, 0)N ( x, 0)dx =

 f ( x, t ) 
T
справедливому для любой функции
34
N
( x, t )dxdt ,
(13)
Выпуск 3 (8), 2013
ISSN 2226-700Х
N
Подставляя ( x, t ) в (8) ( f =  = 0 ), получим
N ( x, t ) = gl (t )l ( x ) .
l =1
  2 ( x, t ) ( x, t )
 2 ( x, t ) ( x, t )


(
)
a
x
  t 2
t
t x
x
 
Совокупность таких N обозначим через
M N . Перейдем в (13) к пределу по выбранной
выше
подпоследовательности


N
u i ( x, t )
b ( x )
при
N
фиксированной   M N . Это приведет к
тождеству
(8)
для
предельной
функции
1
u ( x, t )  W 2,0
(a, T ) при любой N  M N .

Так как
M
и после интегрирования первых двух слагаемых,
учитывая t ( x, 0) = x ( x, ) = u ( x, 0) = 0 , а также в
силу (7), получаем
2
  ( x, )  2
 ( x, 0)  

a
x
(
)


  dx 
   t 
 x  

1
Wˆ 2,0
( a,  T ) ,
плотно в
N
N =1
следовательно, (8) будет выполняться для при
1
( x, t )  Wˆ 2,0
( a,  T ) ,
т. е. u ( x, t )
есть
любой
обобщенное решение начально-краевой задачи (4)(6). Для полученного решения u ( x, t ) справедливо
неравенство
u 
W 12
(T )
  ( x, t )  2

 b   
 2 ( x, t )  dxdt .
  t 

 

2
 t


2
0 ( x, t )dt = 0  u ( x, )d   dt 

L2,1

(T )  .



t
0
1
2,0
их
W ( a,  T )
u = u1  u2
разность
( x, )
= u ( x, ) , неравенство (14)
x
преобразуется к виду
u

( x, )dx  b (1  2 )  u 2 ( x, t )dxdt 

2
принадлежит
 

которое при умножении на exp  b (1  t 2 )dt  и
 0

последующего интегрирования от 0 до 
принимает вид
 

exp  b  (1  t 2 )dt   u 2 ( x, t )dxdt 
 0
 
0,   t  T ,

( x, t )   t
 u ( x,  )d  ,0  t  

2

 

 ( x, 0) 
  exp  b (1  t 2 )dt  d  a( x ) 
dx  0.



 x 
0
 0
 
с произвольной фиксированной    0,T  . Ясно, что
имеет
2
 ( x, 0) 
 a ( x ) 
 dx  0,
 x 

и удовлетворяет тождеству (8) с
и
0
и, учитывая
f =  = 0 и при t = 0 обращается в нуль. Возьмем
в этом тождестве
1
( x, t )  Wˆ 2,0
( a,  T )

  (  t ) u 2 ( x,  )d dt  2 u 2 ( x,  )d 
Покажем, что начально-краевая задача (4)—
(6) не может иметь двух различных решений класса
1
W 2,0
( a,  T ) .
Теорема 4. В предположениях теоремы 3
начально-краевая задача (4)—(6) имеет не более
одного обобщенного решения из пространства
1
W2,0
( a,  T ) .
Доказательство. Пусть задача (4)—(6)
1
имеет два обобщенных решения u1 , u2  W 2,0
( a,  T ) ,
тогда
(14)
Для почти всех x   справедливо
 C (T ) 

    1

 f
W 2,0 ( )
L2 ( )

( x, t )

( x, t )  dxdt = 0
t

обобщенные
Отсюда следует равенство нулю на   обоих
производные tx = u x  L2 (  ) и x  L2 (  ) , кроме
того, , x и u являются элементами L2 () ,
непрерывно зависящими от t  [0, T ] .
слагаемых, т. е. u 2 ( x, t ) = 0 и
произвольность
выбора
( x, 0)
= 0 . Учитывая
x
   0,T  ,
получаем
u ( x, t ) = 0 почти всюду на T .
Библиографический список
References
1. Ладыженская, О. А. Краевые задачи
математической физики / О. А. Ладыженская. — М.:
Наука, 1973. — 408 с.
1. Ladyzhenskaya, O. A. Kraevye zadachi
matematicheskoj fiziki / O. A. Ladyzhenskaya. — M.:
Nauka, 1973. — 408 s.
35
Вестник Воронежского института ГПС МЧС России
2. Yurko, V. A. Vvedenie v teoriyu obratnyx
spektral'nyx zadach / V. A. Yurko. — M.: Fizmatlit,
2007. — 384 s.
3. Provotorov, V. V. Kraevye zadachi dlya uravnenij
s raspredelennymi parametrami na grafax / V. V. Provotorov,
O. A. Maxinova. — Voronezh : Nauchnaya kniga, 2013. —
133 s.
4. Lions, Zh.-L. Optimal'noe upravlenie sistemami,
opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi /
Zh.-L. Lions. — M.: Mir, 1972 . — 412 s.
5. Volkova, A. S. Fredgol'mova razreshimost' v
klasse zadachi Dirixle dlya uravneniya e'llipticheskogo tipa
na grafe-zvezd / A. S. Volkova // Matematika i ee
prilozheniya. — 2011. — 1 (8). — S. 15—28.
6. Volkova, A. S. Zadacha granichnogo upravleniya
slozhnosochlenennoj uprugoj sistemoj strun / A. S. Volkova //
Sistemy upravleniya i informacionnye texnologii. — 2012. —
№ 4 (50). — S. 79—83.
2. Юрко, В. А. Введение в теорию обратных
спектральных задач / В. А. Юрко. — М.: Физматлит,
2007. — 384 с.
3. Провоторов, В. В. Краевые задачи для
уравнений с распределенными параметрами на графах /
В. В. Провоторов, О. А. Махинова. — Воронеж : Научная
книга, 2013. — 133 с.
4. Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление
системами, описываемыми уравнениями с частными
производными / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972 . — 412 с.
5. Волкова, А. С. Фредгольмова разрешимость в
классе W22 задачи Дирихле для уравнения эллиптического
типа на графе-звезд / А. С. Волкова // Математика и ее
приложения. — 2011. — 1 (8). — С. 15—28.
6. Волкова, А. С. Задача граничного управления
сложносочлененной упругой системой струн / А. С.
Волкова // Системы управления и информационные
технологии. — 2012. — № 4 (50). — С. 79—83.
GENERALIZED SOLUTIONS OF THE INITIAL-BOUNDARY PROBLEM
FOR THE EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE ON A GRAPH
Volkova A. S.,
PhD student,
Voronezh State University;
Russia, Voronezh, tel.: 8-919-231-97-89, e-mail: volan100@mail.ru
In this paper we consider the generalized solutions of initial-boundary value problem for
hyperbolic problem second order on an arbitrary geometric graph. These solutions are defined by
the integral identities, substituting the equations, initial and boundary conditions. In this case,
specify the space in which it is supposed finding generalized solutions and provides conditions for
the unique solvability of such problems. The obtained results are fundamental in the study of
problems of boundary control of oscillations set of similar structures, consisting of systems of
strings or rods, as well as in the study of the metabolism of the cells of biological structures.
Keywords. Generalized solutions, initial-boundary value problem,, existence and uniqueness
theorems.
36
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
1 687 Кб
Теги
начальной, типа, решение, уравнения, обобщенные, граф, краевой, задачи, геометрические, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа