close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Один класс систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
УДК 517.968
Каденова Зууракан Ажимаматовна/ Kadenova Zuurakan Ajimamatovna
кандидат физико-математических наук, доцент,
Заместитель министра труда и социального развития
Кыргызской Республики, г. Бишкек
ОДИН КЛАСС СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С
ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Аннотация
В статье на основе методы функционального анализа и метода неотрицательных квадратичных форм
для систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными доказаны
теорема единственности решений для одного класса.
Ключевые слова
Систем линейных интегральных уравнений, первого рода, с двумя независимыми
переменными, единственность.
Рассмотрим систему уравнений
b
t
T b
a
t0
t0 a
Ku   K t , x, y u t , y dy   H t , x, s u s, x ds    C t , x, s, y u s, y dyds 


 f t , x , t , x   G, G  t , x   R 2 : t 0  t  T , a  x  b ,
(1)
где
 At , x, y , t 0  t  T , a  y  x  b;
K t , x, y   
(2)
 Bt , x, y , t 0  t  T , a  x  y  b,
At , x, y , Bt , x, y , H t , x, s , C t , x, s, y  - известные n  n -мерные матричные функции,
определенные соответственно в области
G1  t , x, y  : t 0  t  T , a  y  x  b,
G2  t , x, y  : t 0  t  T , a  x  y  b,
G3  t , x, s  : t 0  s  t  T , a  x  b, G 2  G  G ,
f t , x  -известная, u t , x  -неизвестная n -мерные вектор-функции.
Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в
[1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены
регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. Единственность и устойчивость решения для одного
класса интегральных уравнений первого рода рассмотрены в [3, 4]. В данной работе исследуется
единственность решения системы уравнений (1) в классе
L2,n (G ) .
Введем следующие обозначения:
1. Совокупность всех матриц, действующих в
Rn
обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в
R n , А , и - нормы соответственно n  n - мерной матрицы А  (aij )  М и n - мерного вектора
для любых
u  u1 , u 2 , ..., u n ,   1 ,2 , ...,n   R n
u,  u11  u 22  ...  u nn ,
21
u , т.е.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
1/ 2
u  u , u  ,
 n n
2
A    aij   ;
 i 1 j 1

2. L2,n (G ) - пространство n – мерных вектор функций с элементами из L2 (G ) ,

- т.е. для любого u t , x   L2,n (G )
L2 -норма в
L2,n (G )
1
u t , x  L
2


2
T b
2

   u t , x  dxdt  ;
t a

0


3. L2 G 2 ; M - пространство

L2
nn
  
- мерных матриц функций с элементами из L2 (G 2 ) ,

-норма в L2 G 2 ; M - т.е. для любого At , x, s, y   L2 G
2
 ;M
1
At , x, s, y  L
2
T T b b
2
2
      At , x, s, y  dydxdsdt  .
t t a a

0 0

4. Ct 0 , T , CG , CG1 
и

CG3  -пространство всех непрерывных и ограниченных функций
соответственно в области t 0 , T , G , G1
и
G3 .
  и Ct, x, s, y   C  s, y, t, x, t, x, s, y  G 2 ,
Предполагается, что ядро C t , x, s, y   L2 G
где
С  - сопряженная матрица к матрице С
2
. Тогда матричное ядро
 
C t , x, s, y 
разлагается в ряд в
2
смысле сходимости в норме пространстве L2,n G :
 1i  t , x 


.

m

 i 
i 
C t , x, s, y    i  .
 1 s, y ,..., n s, y  , l  m  ,
i 1
.

 i 

  n t , x 

где
   t, x     t, x
i

функций из L2,n G  ,
i
i  -
(3)

- ортонормированная последовательность собственных вектор -
последовательность соответствующих ненулевых собственных значений
интегрального оператора С, порожденного матричным ядром C t , x, s , y  , причем элементы
i 
расположены в порядке убывания их модулей т.е.
1  2  ... .
Обозначим
Ps, y, z   As, y, z   B s, z, y ,
где B s, z, y   сопряженная матрица к матрице

s, y, z   G1.
B s, z , y .
Потребуем выполнения следующих условий:
1) P s, y, z   Ps, y, z  s, y, z   G1.
2) Матрицы Ps, b, a , H T , y, t0 , Pzs, b, z , H T , y,  - неотрицательны соответственно при
всех значениях
s  t 0 , T , y  a, b, s, z ,  , y   G,
Ps, b, a   C t 0 , T , H T , y, t 0   C a, b, Pzs, b, z   C G , H  T , y,   C G ;
22
(4)
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
3) Матрицы Py s, y, a , H s s, y, t0 , Pzy s, y, z , Hs s, y,  - неположительны соответственно
при всех значениях s, y   G, s, y, z   G1 , s, y,   G3 ,
Py s, y, a   C G , H s s, y, t 0   C G , Pzy s, y, z   C G1 , Hs s, y,   C G3 ; 4)
Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:
а) при почти всех
б) при почти всех
в) при почти всех
г) при почти всех
s, y   G матрица Py s, y, a  - отрицательны;
s, z   G матрица Pzs, b, z  - положительны;
s, y   G матрица H s s, y, t0  - отрицательны;
 , y   G матрица H T , y,  - положительны;
и для любого v(t , x)  L2 G ,
5)
Матричное
последовательности
ядро
x
 A(t , x, y)v(t , y)dy,
b
 B(t , x, y)v(t , y)dy,  H (t , x, s)v(s, x)ds  L2 (G);
t
a
x
t0
C t , x, s, y  - представимо в виде разложении (3), все элементы
i  неотрицательны.
Теоремы. Пусть выполняются условия 1), 2), 3), 4) и 5). Тогда решение системы (1) единственно в
пространстве L2,n (G )
.
Доказательство. В силу (2) систему уравнений (1) запишем в виде
x
b
t
a
x
t0
 At , x, y u t , y dy   Bt , x, y u t , y dy   H t , x, s u s, x ds 
T b
   C t , x, s, y u s, y dyds  f t , x , t , x   G.
t0 a
Обе части системы (5), скалярно умножая на
(5)
u t , x  , интегрируем по области G и применяя формулу
Дирихле, имеем
  As, y, z   B s, z, y us, z dz, us, y  dyds 
T b
y
t0 a
a

bT
 H s, y, u , y d , us, y 
a t0
t0
 
s
dsdy 
bT
T b
bT
a t0
t0 a
a t0
 
  C s, y, , z u  , z dzd , u s, y  dsdy    f s, y , u s, y  dsdy.
(6)
Отсюда, учитывая обозначения (4), получим
T b
y
bT
s

 Ps, y, z u s, z dz, us, y  dyds   
 H s, y, u  , y d , us, y 
t0 a
a
t0
a t0
bT
T b
a t0
t0 a
 
  C s, y, , z u  , z dzd , u s, y 
dsdy 
bT
dsdy    f s, y , u s, y  dsdy.
(7)
a t0
Преобразуем первый два интеграла левой части уравнения (7). Известно что, если К- самосопряженная
23
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X
матричная функция размеров
n  n , то
K , s 
1
 K,  s  1 K s,  ; (8)
2
2
где  - некоторый n мерный вектор - функция. Далее, имея ввиду, что

u  , y d  u  , y ,
 
s
с помощью интегрирования по частям и с учетом (8) левой части (7) преобразуем к виду
T
b
b
1
Ps, b, a  u s, d ,  u s, d ds 
2 t0
a
a
y
T b
y

1
Py s, y, a  u s, d ,  u s, d dyds 
2 t
a
a
0 a

1
Pzs, b, z  u s, d ,  u s, d dzds 
2 t0 a
z
z
T b
b
b
T b y
y
y
1
    Pzy s, y, z  u s, d ,  u s, d dzdyds 
2 t0 a a
z
z
b
T
T
1
  H T , y, t 0  u  , y d ,  u  , y d dy 
2a
t0
t0
b T

s
s
1
H s s, y, t0  u  , y d ,  u  , y d dsdy 
2 a t0
t0
t0
b T
T
b T s
s
T
1
   H T , y,  u  , y d ,  u  , y d ddy 
2 a t0


s
1
    Hs s, y,  u  , y d ,  u  , y d ddsdy 
2 a t0 t0


m
b T
b T
  i    i  s, y , u s, y  dsdy    f s, y , u s, y  dsdy.
i 1
Пусть
f t , x   0,
2
a t0
(9)
a t0
t , x   G.
Тогда, учитывая условия 1), 2), 3), 4) и 5), из (9) имеем
u t , x   0
при всех
t , x   G. Теорема
доказана.
Список использованной литературы:
1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.
2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и
анализа. М.: Наука, 1980.
3. Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral
Equations of the First Kind with Two Variables.// International journal of contemporary mathematical sciences
Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.
4. Imanaliev M.I., AsanovA., Kadenova Z.A. A Class of Linier Intergral Eguations of the First Kind with Two
Independent Variables. ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2014, Vol.89, № 1, pp.98-102.
© Каденова З.А., 2016
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 723 Кб
Теги
первого, рода, двумя, один, независимых, уравнения, интегральная, система, линейный, класс, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа