close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение стоимости застроенных участков на основе построения линейного тренда.

код для вставкиСкачать
Экономика региона
2 (29) – 2006
Определение стоимости застроенных
участков на основе построения
линейного тренда
А.Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ,
доктор физикоматематических наук, профессор,
академик РАЕН, начальник Управления оценки
ЗАО «Профессиональный центр оценки и экспертиз» (г. Москва)
В настоящей статье рассматривается задача
определения стоимости застроенных земельных
участков в рамках сравнительного подхода, когда
аналогами также служат застроенные участки [1].
Проблема состоит в том, что в отличие от зданий
у застроенных участков нет единой единицы сравнения. Если за единицу взять стоимость одного
квадратного метра общей площади зданий, то не
учитывается земельный участок. Если же за единицу взять стоимость одного квадратного метра
участка, то не учитываются здания. В то же время
и стоимость участка, и стоимость зданий являются основными ценообразующими факторами для
застроенных участков.
Для определения стоимости застроенных земельных участков в рамках сравнительного подхода
в настоящей работе предлагается использовать
линейный тренд z = ax+ by для зависимости стоимости z от размера x участка и y здания (зданий).
Если такой тренд построен методом наименьших
квадратов, то a можно интерпретировать как
стоимость условной единицы участка, а b – как
стоимость условной единицы здания. Аналогичный
подход для разделения постоянных и переменных
расходов был предложен автором в предыдущей
работе [2].
Метод наименьших квадратов для построения
линейного тренда состоит в минимизации невязки
n
2
F(a,b) = ∑ (zt -axt -byt ) (1)
t=1
по a, b без ограничений. Здесь n – количество
аналогов, xt - наблюдаемые значения площадей
участков, а yt - площади зданий, t = 1,2,...,n .
Полученные при этом a, b имеют экономический смысл только при выполнении условий:
a ≥ 0,b ≥ 0. (2)
Региональная экономика:
Практика использования описанной модели
свидетельствует, что построенное таким образом
решение не всегда удовлетворяет ограничениям
(2). Поэтому имеет смысл минимизировать невязку
(1) при ограничениях (2), т.е. сразу решать задачу
с ограничениями. В настоящей работе приводится
два алгоритма решения задачи (1),(2) и приводится
численный пример ее решения.
1. Задача минимизации невязки без ограничений.
Вначале рассмотрим задачу минимизации (1)
без ограничений. Ее решение определяется однозначно из условия равенства нулю производных от невязки:
Fa = 2∑ (zt -axt -byt ) ⋅ (-xt ) = 0;
Fb = 2∑ (zt -axt -byt ) ⋅ (-yt ) = 0. (3)

Эти уравнения можно привести к виду:
a∑ xt + b∑ xt yt = ∑ zt xt ;

2
(4)
a∑ xt yt + b ⋅ ∑ yt = ∑ zt yt .
2
Решения системы (4) имеют вид:
∑ y ∑z x -∑x y ∑z y ;
∑ y ∑ x - (∑ x y )
-∑ x y ∑ z x + ∑ x ∑ z y
b=
.
(5)
y
x
x
y
(
)
∑ ∑ ∑
a=
2
t
t
t
2
t
t
t
t
2
t
t
t
t
t
2
2
t
t
t
2
t
t
2
t
t
t
2
t
t
Это известные из статистики формулы решения задачи линейной регрессии.
2. Задача минимизации невязки с ограничениями.
Задача минимизации (1) с ограничениями (2)
имеет в силу вогнутости критерия единственное
29
Экономика региона
2 (29) – 2006
решение. Если решение достигается внутри области (далее – нулевой вариант), то оно находится
по формулам (5). Если решение достигается на
границе области (2), то возможно несколько вариантов.
Первый вариант:
b = 0,a ≥ 0. (6)
Содержательно это означает, что ценообразующим фактором является только величина земельного участка.
Второй вариант:
a = 0,b ≥ 0. (7)
Содержательно это означает, что ценообразующим фактором является только величина общей
площади здания.
Рассмотрим эти случаи последовательно.
2.1. Случай b = 0 . Тогда задача сводится к
минимизации квадратической функции (1) по
одной переменной a при ограничении a ≥ 0 (далее
– вспомогательная задача). Рассмотрим сначала
задачу минимизации (1) по a без ограничений. Ее
решение находится из равенства нулю производной по a, т.е. из первого уравнения (4), в котором
следует положить b = 0 . Отсюда получается формула для решения вспомогательной задачи без
ограничений:
∑ zt xt . (8)
a =
∑ xt2
Поскольку полученное a ≥ 0 , то полученное
решение будет одновременно решением вспомогательной задачи с ограничениями.
2.2. Случай a = 0 . В этом случае аналогично
предыдущему из второго уравнения (4) при a = 0
получим решение вспомогательной задачи минимизации (1) по b без ограничений:
b =
∑ z y . (9)
∑y
t
t
2
t
Поскольку полученное b ≥ 0 , то полученное
решение будет одновременно решением вспомогательной задачи с ограничениями.
3. Конечный алгоритм решения задачи с ограничениями.
Из предыдущего пункта вытекает следующий
алгоритм определения решения задачи минимизации (1) с ограничениями (2):
3.1. Определить решение задачи оптимизации
(1) без ограничений по формулам (5). Если оно
удовлетворяет ограничениям (2), то это и есть решение задачи с ограничениями.
30
3.2. В противном случае следует рассмотреть
случаи (6),(7) и решить задачу для каждого из этих
случаев по формулам (8),(9).
3.3. Решением задачи с ограничениями будет то
из трех решений, найденных в п. 3.2, которое имеет
наименьшее значение критерия (1) и находится
простым перебором.
В силу последнего обстоятельства алгоритм
является конечным, т.е. сводится к перебору двух
точек.
4. Итерационный алгоритм решения задачи с
ограничениями.
Для решения задачи (1),(2) можно использовать также традиционный алгоритм метода
проекции градиента, который в принятых нами
обозначениях имеет следующий вид: a0 ,b 0 – произвольное начальное приближение;
as +1 = P[0,∞ ) (as − λs Fa (as , bS ));
s = 1,2,3,... .
 s +1
s
s
s
(10)
b = P[0,∞ ) (b − λs Fb (a , b ));
Здесь s – текущий номер итерации, P[0,∞ ) – оператор проектирования на луч [0, ∞) , действующий
по формуле:
c,c ≥ 0;
P[0,∞ )c = 
(11)
0,c < 0;
λs  шаг метода, который выбирается из условий:
λs → 0, ∑ λs = ∞, ∑ λs2 < ∞. (12)
Условиям (15) удовлетворяет, например,
1
λs = s −2 /3 =
, s = 1,2,3,...
. (13)
3 2
s
Из теории градиентных методов в задачах с
ограничениями известно, что из вогнутости критерия (1) на выпуклом множестве (2) следует, что
алгоритм (10-13) сходится к решению задачи с ограничениями. Это означает, что as → a*,b s → b * при
s → ∞ , где a*,b * − единственное решение задачи с
ограничениями.
5. Числовой пример
В табл. 1 приведены данные задачи для модельного примера оценки рыночной стоимости
застроенных участков.
Применим алгоритм п. 3 к задаче, исходные
данные которой представлены в табл. 2. Полученные
точки в зависимости от номера варианта и соответствующие значения критерия представлены в табл. 3.
Региональная экономика:
Экономика региона
2 (29) – 2006
Таблица 1
Подыгрыш исходных данных задачи
Номер аналога
1
2
Площадь участка, соток, xt
100
150
Единичная стоимость участка at, тыс. дол./сотка
0,6
0,4
Стоимость участка, тыс. дол.
60
60
Площадь здания, м2, yt
2 300
3 100
Единичная стоимость здания bt, дол./м2
0,12
0,1
Стоимость здания, тыс. дол.
276
310
Стоимость недвижимости, тыс. дол., zt
336
370
3
50
1,2
60
800
0,15
120
180
4
75
0,8
60
1 200
0,08
96
156
Среднее
0,75
0,11
Таблица 2
Итоговая таблица конечного алгоритма
Номер варианта
a
b
Значение критерия
0
0,80
0,09
7 778
Решение задачи минимизации (1) без ограничений удовлетворяет условию (2). Поэтому решение задачи (1), (2) с ограничениями совпадает
с решением задачи без ограничений (выделена
жирным шрифтом):
a = 0,80;b = 0,09. (14)
Итерационный алгоритм п.4 решения этой
задачи показал крайне медленную сходимость.
Заметим, что полученное (14) задачи с ограничениями оказалось близким к средним значениям
исходных единичных цен, хотя в общем случае это
необязательно в силу неустойчивости обратной
задачи по решению. Гарантируется только близость
цены, полученной в результате к неизвестной цене
оцениваемого участка с улучшениями (устойчивость решения обратной задачи по значению), что
собственно и является целью оценки.
Региональная экономика:
1
0,00
0,13
8 122
2
2,70
0,00
9 768
В заключение отметим, что предложенная
методика решения задачи определения стоимости
застроенных земельных участков в рамках сравнительного подхода дает определенный выход даже в
том случае, когда традиционное решение не имеет
экономического смысла. В этом состоит практическое значение полученного результата.
литература
1. Оценка недвижимости: Учебник/ Под ред.
А.Г. Грязновой, М.А. Федотовой. – М.: Финансы и статистика. 2003.
2. Перевозчиков А.Г. Разделение постоянных
и переменных расходов компании на основе
построения линейного тренда. – Финансы и
кредит. № 16. 2005.
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
2 526 Кб
Теги
построение, участков, основы, стоимость, определение, линейного, тренды, застроенных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа