close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка диапазона возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии марковской модели производственно-экономической системы.

код для вставкиСкачать
Программные продукты и системы
минимизация отклонений от оптимального
уровня незавершенного производства;
максимальная загрузка основного технологического оборудования;
максимальное использование имеющегося
фонда рабочей силы.
Распределение заданий на рабочие места и автоматизированный контроль за выполнением технологических операций осуществляются в системе на основании оформления традиционных рабочих нарядов.
Рабочие наряды формируются в соответствии
с текущим производственным расписанием.
Расчетные данные показывают, что АС ОКП
снижает время выполнения производственной
программы на 10 %.
Комплексная АС конструкторско-технологического анализа, в состав которой входит система
ОКП, позволяет значительно повысить эффективность опытного производства. Возможность моделирования по разным критериям с учетом сущест-
№ 4, 2009 г.
вующих ограничений дает возможность выбрать
несколько реализаций данного проекта и использовать наиболее оптимальный из них.
Литература
1. Попов П.М. Оптимизация технических решений проектирования и управления на основе экономико-математических
методов анализа: монография. Ульяновск: УлГТУ, 2000. 154 с.
2. Основы автоматизации машиностроительного производства: учеб. для машиностроит. спец. вузов / Е.Р. Ковальчук,
М.Г. Косов, В.Г. Митрофанов [и др.]; под ред. Ю.М. Соломенцева. М.: Высш. шк., 1999. 312 с.
3. Ларин С.Н. Основные задачи обеспечения технологичности конструкции изделия в автоматизированных системах //
Автоматизация управления. 2004. № 4. С. 62–67.
4. Информационная поддержка жизненного цикла изделий машиностроения: принципы, системы и технологии
CALS/ИПИ / А.Н. Ковшов, Ю.Ф. Назаров, И.М. Ибрагимов,
А.Д. Никифоров. М.: Издат. центр «Академия», 2007. 304 с.
5. СALS (Continuous Acquisition and Life Cycle Support –
непрерывная информационная поддержка жизненного цикла
продукции) в авиастроении / Б.М. Абрамов, В.Н. Агарков,
М.М. Артемьев, А.С. Башилов; науч. ред. А.Г. Братухин. М.:
Изд-во МАИ, 2002. 260 с.
ОЦЕНКА ДИАПАЗОНА ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ВЕРОЯТНОСТИ ПРЕБЫВАНИЯ В ЗАДАННОМ СОСТОЯНИИ
МАРКОВСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Ю.Г. Бояринов, к.т.н.; М.И. Дли, д.т.н.; В.В. Круглов, д.т.н.
(Филиал Московского энергетического института (технического университета) в г. Смоленске,
byg@yandex.ru)
Рассмотрена задача нахождения оценки диапазона возможных значений вероятности пребывания в заданном состоянии в марковской модели производственно-экономической системы при интервальной неопределенности об интенсивностях потоков событий. Решение получено с использованием уравнений Колмогорова и аппарата матричной
алгебры. Приведен иллюстрирующий пример.
Ключевые слова: производственно-экономическая система, марковская модель, интервальная неопределенность параметров модели, предельные вероятности переходов из состояния в состояние, диапазон возможных
значений вероятности пребывания в заданном состоянии.
Известно, что марковские (полумарковские)
модели [1] являются удобным инструментальным
средством для исследования сложных, в том числе
производственно-экономических, систем [2, 3].
Указанные модели подобных систем обычно
представляются в виде ориентированного графа,
вершины которого соответствуют возможным состояниям системы, а веса соединяющих их дуг –
таким числовым параметрам, как интенсивности
переходов из одного состояния в другое (интенсивностям потоков событий). При моделировании
в качестве показателя эффективности обычно
применяется значение вероятности нахождения
системы в некотором состоянии, при этом основным затруднением в использовании данных моделей является неполнота статистической информации о значениях интенсивностей [3]. В статье рассмотрена задача нахождения оценки диапазона
88
возможных значений вероятности пребывания
системы в заданном состоянии при интервальной
неопределенности об интенсивностях потоков событий.
Постановка задачи. Предполагается, что в
рамках марковской модели задан граф состояний
системы со стационарными пуассоновскими потоками событий, переводящими систему из состояния si в состояние sj. Число вершин графа ограничено, n 10. Точные значения интенсивностей переходов wij неизвестны (очевидно, все wij 0), для
ненулевых wij заданы лишь интервалы их возможных значений wij min wij wij max, при этом предполагается, что длина каждого интервала намного
меньше, чем положение его центра, то есть
wij max–wij min<<(wij max+wij min)/2,
wij max>0; i=1,2,…, n; j=1,2,…, n.
(1)
Программные продукты и системы
№ 4, 2009 г.
Заметим, что общее количество N ненулевых
параметров wij в случае, если каждая из n вершин
графа соединена дугами с остальными (n-1) вершинами, равно N=n (n-1); на практике обычно
имеют место 1–3 связи каждой вершины с другими, так что можно полагать N 2 n.
В условиях такой неполноты информации о
модели требуется найти оценку интервала возможных значений вероятности пребывания системы в заданном состоянии, соответствующем,
например, нормальному функционированию системы в предположении стационарного режима
работы.
Метод решения задачи. При известных значениях интенсивностей wij, то есть в условиях
полной информации о параметрах модели, вероятности переходов из одного состояния системы
в другое в установившемся режиме (предельные
вероятности) находятся из уравнений Колмогорова [4]:
n
n
p j w ji p i
j 1
w ij 0 (i = 1,2,…, n).
(2)
j 1
Первая сумма в левой части формулы (2) распространяется на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из состояния sj
в состояние si (то есть для которых wji 0), а вторая
– на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из si в sj (то есть wij 0).
Приведенные уравнения дополняются нормировочным условием
n
pi 1 .
(3)
i 1
Совокупность уравнений (2) и (3) позволяет
определить значения вероятностей p1, p2, …, pn,
при этом для получения однозначного решения
нормировочное условие (3) можно использовать
вместо любого из уравнений (2), например, вместо
последнего n-го уравнения. Совокупность используемых уравнений можно при этом записать в векторно-матричной форме:
A p b,
(4)
где p [p1 , p2 , ..., pn ] – вектор-столбец, элементами которого являются искомые вероятности
(здесь T – символ транспонирования); Аn n – матрица, элементы первых (n-1) строк которой определяются в соответствии с выражениями (2) и зависят, следовательно, от значений интенсивностей
wij, а элементы n-й строки – единицы;
b [0, 0, ..., 0, 1]T – вектор-столбец, все элементы которого, кроме последнего, нулевые, а последний, n-й – единица.
Отсюда получаем:
T
p A-1 b .
(5)
Если нас интересует вероятность pi только какого-то одного i-го состояния, то на основании (5)
можно записать:
pi c A 1 b ,
(6)
где c [0,0,...,1,0,..., 0] – вектор-строка, у которого
все элементы, кроме i-го, нулевые, а ci=1.
На практике решение указанной задачи затруднено вследствие недостатка статистических
данных, на основе которых можно было бы определить вероятностные характеристики марковской
модели. В условиях рассматриваемой задачи
имеющаяся неопределенность о параметрах модели отражена совокупностью неравенств (1), задающих интервалы возможных значений этих параметров.
Точное решение поставленной задачи достигается решением двух оптимизационных задач
(нелинейного программирования):
(7)
pimin min c [A({wij })] 1 b ,
{wij }
w
pimin max c [A({wij })] 1 b ,
{wij }
(8)
w
где {wij} – совокупность параметров модели (интенсивностей); w – область допустимых значений этих параметров (гиперпараллелепипед, заданный совокупностью неравенств wij min wij
wij max), а обозначение A({wij}) указывает на зависимость матрицы A от искомых параметров.
Нетрудно показать, что аналитическое решение (7), (8) удается получить лишь в простейших
случаях для небольших размерностей модели,
n 3. Однако и численное решение, например, с
помощью современных систем компьютерной математики типа Mathcad, MATLAB, возможно лишь
при числе аргументов (ненулевых параметров wij)
не более 12–15.
При большей размерности задачи, повидимому, единственное, что можно сделать, – это
получить лишь некоторую оценку интервала возможных значений pi.
Для получения такой оценки введем обозначения:
– для средней точки i,j-го ненулевого параметра модели
w ij max w ij min
;
(9)
w ij
2
– для максимального отклонения значения
указанного параметра от средней точки интервала
его возможных значений
wij wij max wij wij wij min .
(10)
Отметим, что, исходя из соотношений (2) и (3)
для элементов матрицы A, имеем:
A({ wij wij })=A({ w ij })+A({ w ij })= A + A, (11)
где
A =A({ w ij }), A=A({
w ij }).
Обозначим через x решение системы
A({ w ij }) x = A x = b ,
(12)
а через x+ x – решение системы
A({ wij w ij }) ( x + x)=
89
Программные продукты и системы
№ 4, 2009 г.
=( A + A) ( x + x)= b .
(13)
Из последнего равенства будем иметь
(14)
A x + A x + A x+ A x= b .
Вычитая из этого соотношения (12), получим
(15)
A x = – A x – A x,
отсюда
x= A 1 ( A x + A x).
(16)
Теперь, используя норму 1 матриц и векторов
и на основании свойств нормы [5], запишем:
x
A
x ).
A1 ( A x
Тогда в соответствии с изложенным имеем:
(w12 w14 )
0
w 31 w 41
w
w
0
0 ,
12
24
A
(20)
0
0
w 31 w 43
1
1
1
1
b =[0 0 0 1]T, c =[0 1 0 0], w12 =2, w14 =1,
w24 =1, w31 =3, w41 =2, w43 =2;
3
2
A=
0
1
Норма 1 вектора x есть сумма абсолютных
величин его элементов. Поскольку эти элементы –
неотрицательные величины, являющиеся вероятностями полной группы событий, то x 1 (см.
соотношение (3)). Ввиду этого далее следует
x (1 – A 1
A
A)
A1
и, если дополнительно предположить, что A
A < 1,
x
A
1
1 A
A
1
A
1
.
Умножим обе части полученного неравенства
на норму вектора-строки c (см. выше):
с
x
с
A
1
A
1 A
1
x
pi
A
.
Поскольку
с
x
с
и на основании определения вектора c , с
окончательно имеем
A1 A
pi
pi
1 A1 A
1,
(17)
(знак модуля в правой части неравенства опущен,
поскольку левая часть всегда неотрицательная).
Использование (17) позволяет записать границы интервала возможных значений для интересующей нас вероятности:
pi min=pi– pi,
(18)
pi max=pi+ pi,
(19)
где pi c x , а x находится в результате решения
уравнения (12).
Иллюстрирующий пример. Пусть задана
структура вида, представленного на рисунке, необходимо найти предельную вероятность p2 пребывания системы в состоянии s2.
Пусть заданы следующие интервалы для параметров системы:
1.975 w12 2.025,
0.975 w14 1.025,
0.975 w24 1.025,
2.950 w31 3.050,
1.975 w41 2.025,
1.975 w43 2.025.
90
0
1
0
1
3
0
3
1
0.050
A= 0.025
0
0
2
0 ,
2
1
0
0.025
0
0
0.050 0.025
0
0 .
0.050 0.025
0
0
Использование уравнения (12) и соотношения
p2 =c x дает p2=0.471, а из неравенства (17) следует p2 0.118 (расчеты проводились в среде
MATLAB версии R2008a) и далее – по (18), (19) –
получаем окончательно p2 min 0.353, p2 max 0.589.
Проверка полученных результатов проводилась путем нахождения решений оптимизационных задач (7), (8) с помощью функции MATLAB
fmincon (функции минимизации скалярной функции многих аргументов [6]). В этом случае интервал возможных значений вероятности p2 таков:
0.459 p2 0.482.
Как видно, результаты вычислений не противоречат друг другу, более того, понятно, что приближенное решение на основе предложенного метода дает более широкий интервал. По-видимому,
совпадение будет тем лучше, чем меньше интервалы неопределенности для параметров марковской модели.
В заключение отметим, что рассмотрена марковская модель производственно-экономической
системы, отличающаяся интервальной неопределенностью об интенсивностях потоков событий.
Целью исследования являлось нахождение диапазона возможных значений вероятности пребыва-
s1
w12
w31
w41
w14
s2
w24
s3
w43
s4
Рисунок 1
Программные продукты и системы
ния системы в заданном состоянии. Показано, что
такая задача сводится к задаче нелинейной оптимизации скалярной функции многих переменных.
Указано на трудность получения как аналитического решения данной задачи, так и прямого использования численных методов ввиду возможной
большой размерности задачи. Предложен метод
приближенного нахождения границ интервала неопределенности для требуемой вероятности, использующий аппарат матричной алгебры, который
с вычислительной точки зрения представляется
более простым, чем прямое решение оптимизационной задачи. Действительно, операции даже с
матрицами размера 10 10 проще, чем поиск экстремума функции 20 и более переменных при наличии ограничений типа неравенств.
№ 4, 2009 г.
Литература
1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
2. Куликов Г.Г., Флеминг П.Дж., Брейкин Т.В., Арьков
В.Ю. Марковские модели сложных динамических систем:
идентификация, моделирование и контроль состояния (на примере цифровой САУ ГТД). Уфа: УГАТУ, 1998.
3. Бояринов Ю.Г., Мищенко В.И. Основные направления
повышения эффективности полумарковских моделей производственно-экономических систем // Программные продукты и
системы. 2009. № 2. С. 144–148.
4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.
6. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB 6.5 SP1/7/7
SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006.
АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУР ВКЛЮЧЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ЛЕКСЕМ
В СТРУКТУРУ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКОГО БАЗИСА
И.В. Ковалев, д.т.н.; М.В. Карасева, к.т.н.; В.О. Лесков
(Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М.Ф. Решетнева,
г. Красноярск, kovalev.fsu@mail.ru)
В статье рассмотрены вопросы модификации адаптивного алгоритма структурирования базисного информационного компонента мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии для применения методики обучения
иностранной лексике посредством построения внутриязыковых ассоциативных полей.
Ключевые слова: мультилингвистическая адаптивно-обучающая технология, информационно-терминологический базис, частотность, лексически связанные компоненты.
Методика обучения иностранной лексике на
основе лексически связанных (ЛС) компонентов
(ЛСК-методика) [1] строится на специально подготовленной информационно-терминологической
базе. Особенность данной методики состоит в том,
что она позволяет искусственно формировать
строго организованные системы внутриязыковых
ассоциативных связей непосредственно в процессе обучения иностранной лексике. Являясь при
этом частью мультилингвистической адаптивнообучающей технологии [2], ЛСК-методика также
учитывает языковые аналоги изучаемых лексем на
всем множестве языков, с которыми работает [3].
Построение информационно-терминологического базиса (ИТБ) [4] как совокупности лексически связанных компонентов (ЛС-компонентов) –
задача сама по себе неоднозначная. Многое зависит от требований, которые предъявляются к базису лингвистами и специалистами предметных
областей, привлеченными к разработке. Такими
требованиями могут быть фиксированное количество основных лексем или связанных лексем в
компоненте, время разработки базиса, его качество, оцениваемое по некоторым критериям, и т.д.
Перед тем как перейти непосредственно к алгоритмам формирования ИТБ ЛСК-методики,
следует кратко описать структуру ЛС-компонентов.
ЛС-компонент
Структура ЛС-компонента схематично представлена на рисунке.
Лексему, связанную со всеми без исключения
лексемами ЛС-компонента ИТБ, принято называть
3:
2:
2
3
12
1:
13
1
15
5:
5
14
4:
4
ЛС-компонент ИТБ
Лексемы: 1 – основная лексема; 2, 3, 4, 5 – связанные лексемы; лексические связи: 1–2, 1–3, 1–4, 1–5; количественные
характеристики: i – абсолютная частота i-й лексемы, ik –
абсолютная частота сочетания i–й и k-й лексем.
91
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа