close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка скорости убывания решения анизотропного параболического уравнения высокого порядка в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
321
УДК 517.946
ОЦЕНКА СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
© Л. М. Кожевникова*, А. А. Леонтьев
Башкирского государственного университета, Стерлитамакский филиал
Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 47.
Тел./факс: +7 (3437) 43 73 29.
E-mail: kosul@mail.ru
Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида
∂ | u | k − 2 u  = n (−1)mα −1 D m

 ∑
x
 α =1
∂t 
α
α
m1 , m2 ,..., mn ∈ N,
Для
решений
первой
 mα
 Dxα u

pα − 2

Dxmαα u ,

p n ≥ K ≥ p1 > k , k > 1.
смешанной
задачи
в
цилиндрической
области
D = (0, ∞) × Ω, Ω ⊂ R n , n ≥ 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлена оценка скорости убывания при t → ∞ . Ранее оценки сверху были
получены авторами для анизотропных уравнений второго порядка и доказана их точность.
Ключевые слова: анизотропное уравнение высокого порядка, параболическое уравнение с
двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
Введение
– неограниченная
Пусть
область
Ω
пространства R n = {x = ( x1 , x 2 ,..., x n )}, n ≥ 2 . В
цилиндрической области D = {t > 0} × Ω для
анизотропного квазилинейного параболического
уравнения второго порядка рассматривается первая
смешанная задача
(| u |k − 2 u )t =
n
=
∑
α
(−1)
mα −1
=1
2


Dxmα  aα  Dxmα u  Dxmα u  ,
α
 α 
  α
(
)
(1)
k > 1, mα ∈ N, α = 1, n, (t , x) ∈ D;
D xj u (t , x) | S = 0,
α
j = 1, mα − 1,
(2)
α = 1, n, S = {t > 0} × ∂Ω;
u (0, x) = ϕ (x), ϕ (x) ∈ Lk (Ω),
(3)
ϕ x (x) ∈ L p (Ω), α = 1, n.
α
α
Предполагается,
что
неотрицательные
функции
подчиняются
aα ( s), s ≥ 0, α = 1, n,
условиям: aα (0) = 0, aα ( s) ∈ C 1 (0, ∞),
( pα − 2 ) / 2
( p − 2) / 2
≤ aα ( s ) ≤ aˆs α
p1aα ( s) / 2 ≤ aα ( s) + aα′ ( s )s ≤ bˆaα (s ),
as
(4)
,
с положительными константами aˆ ≥ a,
( p1 ≤ p 2 ≤ K ≤ p n ). Например,
bˆ = p n /2.
aα ( s ) = s
( pα − 2 ) / 2
,
2bˆ ≥ p1 > k
α = 1, n,
В работе оценивается скорость стабилизации
при t → ∞ решения задачи (1)–(3) с финитной
начальной функцией ϕ (x) .
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных
параболических уравнений второго и высокого
порядков при больших значениях времени
* автор, ответственный за переписку
посвящены работы А. К. Гущина, В. И. Ушакова,
Ф. Х. Мукминова, А. Ф. Тедеева, Л. М.
Кожевниковой, Р. X. Каримова, В. Ф. Гилимшиной
и др. Обзоры соответствующих результатов можно
найти в [1, 2].
Будем рассматривать области, расположенные
вдоль выделенной оси Oxs , s ∈ 2, n (область Ω
лежит в полупространстве R +n [ s] = {x ∈ R n |x s > 0} ,
сечение γ r [ s ] = {x ∈ Ω | x s = r} не пусто и ограничено
при любом r > 0 ). Ниже будут использованы
обозначения: Ω ba [ s] = {x ∈ Ω | a < x s < b} , при этом
значения a = 0, b = ∞ опускаются; ⋅
– норма в
p,Q
L p (Q), p ≥ 1 , значение Q = Ω опускается.
Для получения оценок сверху используется
понятие λ-последовательности, которое является
обобщением ранее использованного понятия для
линейных уравнений высокого порядка [1] и
изотропных квазилинейных уравнений второго
порядка [2].
Определение
1.
Неограниченную
возрастающую
последовательность
положительных чисел {z J }∞J = 0 будем называть
λ[s ] -последовательностью области Ω , если
существует число θ > 0 такое, что выполняются
неравенства
1 ≤ θλ1 ( z J , z J +1 )∆pJs ms ,
(5)
∆ J = z J +1 − z J , J = 0, ∞.
λ1 (r1 , r2 ) =
Здесь

= inf  Dxm1 g
1

r
p1 , Ω 2
r1
g (x ) ∈ C0∞ (Ω), g
p1 , Ω
r2
r1

= 1.

(6)
МАТЕМАТИКА
322
Предполагается, что начальная функция имеет
ограниченный носитель так, что
(7)
supp ϕ ⊂ Ω z0 .
Теорема
1.
Пусть
существует
λпоследовательность {z N }∞N =0 и выполнено условие
соответственно,
(7) . Тогда найдутся положительные числа
κ , M ( ps , ms , k , a, aˆ ) такие, что ограниченное
решение u (t , x) задачи (1)–(3) с ограниченной
Определение 2. Обобщенным решением
задачи (1)–(3) назовем функцию u(t , x) такую, что
начальной
функцией
при
ϕ (x)
всех
u
( )= u
W 0,m D T
k,p
zN
( )= u
W 1,m D T
k, p


g (x) ∈ C0∞ (Ω), g k , Ω z N = 1,
p1 , Ω z N

N = 0, ∞.
Если это условие
справедлива оценка
u (t )
Lk (Ω )
≤ Mt
не
1,m
k, p
Существование такой функции следует из
(10). Кроме того, из (10) и (11) следует, что
lim N (t ) = ∞.
((
o
u ∈ L∞ ((0,T ), W
Через
, t > 0. (12)
Вспомогательные сведения
Dab = ( a, b) × Ω обозначим цилиндр,
значения a = 0 и b = ∞ могут отсутствовать.
Положим m = (m1 , m 2 ,..., mn ).
o
Банахово пространство W
m
k, p
(D )
T
определим
u
k −2
Dxmαα u
(Ω) = α∑
=1
k ≥ 2.
k
n t
α =1 0
( k − 1)
pα
pα
k
dτ ≤ (k − 1) ϕ k , (14)
d
k
u (t ) k +
dt
n
+ k a ∑ D u (t , x)
mα
xα
(15)
pα
pα
≤ 0, t > 0.
Решение задачи (1)–(3) строится методом
галеркинских приближений, который ранее был
предложен Ф. Х. Мукминовым, Э. Р. Андрияновой
[3] для модельного изотропного параболического
уравнения с двойной нелинейностью и обобщен
авторами статьи на некоторый класс анизотропных
уравнений [4, 5].
Утверждение 1. Обобщенное решение u (t , x )
(1)–(3)
m
k , p (Ω)
с
начальной
функцией
является ограниченным, т.е.
vrai sup | u (t , x) |≤ B < ∞.
(16)
D
o
Банаховы пространства W
(Ω );
(k − 1) u (t ) k +
ϕ ( x ) ∈ L∞ ( Ω ) ∩ W
+ u k.
pα
m
k, p
ut ∈ Lk ' ( D T ), k ' = k /(k − 1),
o
n
m
k,p
p1 ≥ k ,
При этом справедливы неравенства
задачи
как пополнение пространства C 0∞ (Ω) по норме
uW
(Ω ) ,
u t ∈ Lk ( D T ), k ∈ (1,2) ;
α =1
−1/( p1 − k )
m
k,p
тогда существует обобщенное решение u (t , x)
задачи (1)–(3), для любого T > 0 удовлетворяющее
условиям
ограниченного решения u (t ,x) задачи (1)–(3) с
ограниченной
начальной
функцией
ϕ (x)
)
(13)
Ω
t ≥ 0;
p
v (T , x) = 0 ,
T
= ∫ | ϕ ( x) |k − 2 ϕ (x)v (0, x)dx.
(7), (10). Тогда найдется положительное число
такое,
что
для
M 1 ( p s , p1 , ms , k , a, aˆ , ϕ k )
(
(D ),
))
+ k a ∑ ∫ D xmαα u (τ , x)
≤ M 1 µ1 1 ( N (t ))t
( D T ) и для любой
 − | u |k − 2 uvt +



∫T  + ∑n aα Dxmα u 2 Dxmα uDxmα v dxdt =
α
α
α
D
 α =1

Теорема
2.
Пусть
существует
λпоследовательность {z N }∞N = 0 и выполнены условия
Lk ( Ω )
.
удовлетворяет интегральному тождеству
t →∞
u (t )
pα , D T
| u |( k − 2)/2 u t ∈ L2 ( D T ), u ∈ C ([0, T ], Lk (Ω));
, t > 0.
)
справедлива оценка
0,m
k, p
o
то
Пусть N (t ) – произвольная положительная
функция, удовлетворяющая неравенству
−1/( p1 − k )
p
µ1 1 ( N (t ))t
exp(κN (t ) ) ≥ 1, t > 0. (11)
(
o
u (t , x) ∈ W
o
выполнено,
−1/( p1 − k )
α =1
Теорема 3. Пусть ϕ (x ) ∈ W
1
,
+ ∑ D xmαα u
k , DT
v (t , x) ∈ W
(9)
Будем исследовать убывание в областях, для
которых выполнено условие
(10)
lim µ ( N ) = 0.
N →∞
+ ut
k , DT
при всех T > 0
На основе неравенства (8) устанавливается
оценка скорости стабилизации решения при t → ∞ .
Определим последовательность

pα , D T
α =1
n
u
функции
(8)
нормам
+ ∑ D xmαα u
k , DT
N ≥0
удовлетворяет оценке
u (t ) k ,Ω ≤ M exp(− κN ) ϕ k , t ≥ 0.
µ1 ( N ) = inf  Dxm11 g
по
n
0,m
k, p
(D ),
T
o
W
(D )
(D ),
1,m
k, p
определим как пополненияпространства C 0∞
T
T +1
−1
Положим
ϖ a ,b ( x) = ϖ (( x − a ) (b − a )), a < b ,
где ϖ ( x) ∈ C ∞ (R ) – неубывающая функция, равная 0
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
и 1 при x ≤ 0 и x ≥ 1, соответственно, постоянная в
окрестности
0
и
1.
Пусть
теоремы
ˆa = max | D jϖ ( x) |, j = 0, ∞. Из
j
Pj (α ) = ( D + α ) j −1α =
j
= ∑Aljj1 j2 ... jl
−j
(
j = 0, ∞.
∑B
( )
η j0 (Dη ) j1 L D lη
∏
j0 j1 ... jl
lj
jl
(18)
,
j1 +...+ ljl = j ,
j0 + j1 +K+ jl = p
j j1 ... jl
j = 1, p ,
Blj 0
∆ = b − a,
b
тогда
Π a [ s] = {x′ ∈ R n −1 , a < xs < b}, m ∈ N, p ≥ 1,
~
существует положительная постоянная C ( p,m, j )
такая, что для любой функции g (x) ∈ C0∞ (R n )
справедливо неравенство:
p
+ C~ g
Пусть
2.
− p (m − j )
p ,Π ba
p
p ,Π ba
∆
∆− pm ,
D xm
s
≤
p
g
p ,Π ba
(19)
)
−1 jl
)
(
)
−1
≤ A j e* ∆ jJ
δ J−1 = e* ∆ J ,
причем
отрезках
[ z J , z J + ∆ J /3] ,
[ z J + 2∆ J /3, z J +1 ] и полагая α ( x) = β ( x) на отрезке
[ z J + ∆ J /3, z J + 2∆ J /3], J = 0, N − 1. При этом
для J = 0, N − 1 справедливы оценки (см. [1]):
zJ +2∆ / 3
(3e* )−1 =
∫
δ J dt ≤
zJ +∆ / 3
z J +1
≤
∫
zJ
i
α (t )dt ≤
,
(20)
z J +1
x ∈ [ z J , z J +1 ],
(22)
j ∈ N.
Определим
неубывающую
гладкую
срезающую функцию ξ ( x s ) на R условиями:
∫
δ J dt =
zJ
−i
J
для
z 0 ≤ x s < z1 , ξ ( xs ) = exp(− ∫ z α (t )dt )
x
i +1 −1
J
ai = 3i aˆ i , x ∈ [ z J , z J +1 ].
Определим дифференциальные
Pj (α ) от гладкой функции α (x)
для
N
s
для
xs ≥ z N . На
z1 ≤ x s < z N , ξ ( x s ) = 1
промежутке [ z1 , z N ] , очевидно, ξ ' = αξ , и ввиду
(20), справедливы неравенства
−1
exp (3e* ) ≤ ξ ( z J +1 ) ξ ( z J ) ≤
(
)
(23)
≤ exp e , J = 1, N − 1.
Перемножая эти неравенства находим, что
(24)
ξ ( z1 ) ≤ exp − ( N − 1)(3e* )−1 .
Воспользовавшись (18), нетрудно доказать,
что на промежутке [ z1 , z N ] для j = 1, p s ms ,
справедливы соотношения
(21)
полиномы
условиями
P0 (α ) = 1, Pj (α ) = ( D + α ) Pj −1 . Тогда для j = 1, ∞ ,
)
D j ξ = ξPj (α ),
D jξ
=ξ
p s ms
ps ms
=
j
∑B
(P0 (α )) j (P1 (α )) j L (Pl (α )) j .
∏
j1 j2 ... jl
lj
0
1
l
j1 +K+ ljl = j ,
l =1
j0 + j1 +K+ jl = p s m s
Далее,
пользуясь
для
(22),
J = 1, N − 1, j = 1, p s ms , выводим
(
| D j ξ ( x s ) |≤ ξ ( x s ) A j e* ∆ jJ
j
|D ξ
p s ms
( x s ) |≤ ξ
p s ms
)
−1
,
(
( x s )C j , ps ,ms A j e* ∆ jJ
)
−1
,
(25)
x s ∈ [ z J , z J +1 ].
Ввиду (17), (18), для j = 1, p s ms , имеем
| D j ξ ( x s ) |≤ ξ ( z1 ) aˆ j ∆−0 j ,
| D jξ
e*−1
| D α ( x ) |≤ ai δ J ∆ = ai (e* ∆ ) ,
ввиду (21), имеем
L
,
(
e* > 1, J = 0, N − 1 , и β (x) = 0 при x ∈
/ [ z0 , z N ) .
Построим функцию α ( x) ≤ β ( x) , сглаживая
на
J
( )
+
j = 0, m − 1, s = 1, n.
β ( x) = δ J , x ∈ [ z J , z J +1 ),
β (x)
*
−1
*
Доказательство утвержения 2 основывается на
одномерном неравенстве Ниренберга-Гальярдо.
Доказательство теорем
Доказательство теоремы 1. Зафиксируем
натуральное число N ≥ 2 . Рассмотрим кусочнопостоянную функцию β ( x ), x ∈ R такую, что
функцию
−1 j1
0
ξ ( x s ) = 0 для x s < z 0 , ξ ( x s ) = ξ ( z1 )ϖ z0 , z1 ( x s )
≥ 0.
Утверждение
g
∏ (a (e ∆ ) )
J = 0, N − 1,
l =1
D xj
s
(
L al −1 e* ∆lJ
=
j
=
l
j1 + 2 j2 +...+ ljl = j
l =1
(17)
Для произвольной функции η ( x ) ∈ С ∞ ( R )
нетрудно установить равенства
D η
2
Aljj1 j2 ... jl ≥ 0,
| Pj (α ) |≤ ∑Aljj1 j2 ... jl
D ϖ a,b (x ) ≤ aˆ j (b − a) ,
p
1
j
j
j
α j ( Dα ) j L( D l −1α ) j ,
j1 + 2 j2 +...+ ljl = j
aˆ j +1 ≥ aˆ j и при этом
справедливы неравенства
x ∈ (a, b),
∏
l =1
x∈[0,1]
Лагранжа следует, что
323
p s ms
( x s ) |≤ ξ
p s ms
( z1 ) D j , p s ,ms ∆−0 j ,
(26)
x s ∈ [ z 0 , z1 ].
Из определения (6) функции λ1 (r1 , r2 ) для
g (x ) ∈ C 0∞ (Ω ) следуют неравенства
g
ps
p s ,Ω rr2
≤ max | g |
1
≤ max | g |
Ω
Ω
p s − p1
ps − p1
g
p1
p1 ,Ω rr2
≤
(27)
1
−1
1
m1
x1
λ (r1 , r2 ) D g
p1
p1 , Ω rr2
1
.
МАТЕМАТИКА
324
Положим в (13)
v = uξ psms ,
соотношение
(k − 1) k ∫ | u | k ξ ps ms |ττ ==t0 dx +
получим
z J +1
((
+ ∑ ∫ aα D u
mα
xα
α =1 t
D
) )D
2
mα
xα
uD
mα
xα
(uξ
p s ms
)dxdτ = 0.
mα
xα
(xs ) D u
α =1 t
D
ms
≤ aˆ ∫ ∑C mjs D xms s u
Dt
p s −1
p s ms
z J +1
∫ ∫
pα
It ≤
×D
C1
∑
e∗ J =1 ∫0
ms − j
xs
t
z1
+ C2 ∫ ∫
z J +1
dxdτ ≤
∫ ∫ ∑ξ
p s ms
∫
p s −1
p s −1
dx s .
Применив (31), (32) к оценке I t , выбирая
µ = e , получим
zN
t
(
−1
*
−1
*
)∫ ∫ ξ
pα
pα ,R n −1
ps
+ C7ξ
)
∆−J jps dx ≤ Dxms s u
R n −1 z J
ps
z
ps ,Π J +1
zJ
ps ms
z1
(33)
n
( z1 )∫ ∫ ∑ Dxmαα u
pα
pα ,R n −1
dτdxs .
p s ,Π
z J +1
zJ
+
(29)
Применяя
определение
λпоследовательности (5) и оценки (27), (16), имеем
p
p
u s z J +1 ∆−J ps ms ≤ θλ1 ( z J , z J +1 ) u s z J +1 ≤
ps ,Π
ps ,Π
zJ
zJ
(30)
p1
p1 ,Π
z J +1
zJ
, J = 0, ∞.
Соединив (30) с (29), выводим
( k − 1) k ∫ | u (t , x) | k ξ ps ms ( x s ) dx +
Ω
n
+ a ∑ ∫ ξ ps ms D xmαα u
pα
dxdτ ≤
α =1 t
D
t
(
≤ C 6 e*−1 exp e*−1 p s ms
n
)∫ ∫ ξ ∑ D
p s ms
α =1
0 Ω zN
z1
t
+ C7ξ ps ms ( z1 ) ∫
n
D
∫∑
α
mα
xα
u
pα
mα
xα
u
pα
dτdx +
dτdx.
=1
0 Ω z1
z0
Выбирая
ps
∆−Jps ms , J = 0, N − 1.
D xm11 u
×
Соединяя (33) с (28), имеем:
(
Dxms s − j u
ps ms
dτdxs +
0 z0 α =1
z J +1
(32)
( xs ) ×
−1
*
t
×
 µ D ms u ps +

xs


z
ms 
N −1 t J +1

−
1
≤ C3 ∑ ∫ ∫ ∫ ξ ps ms ( x s )∑ e∗ps µ ps −1 × dx' s dτdx s +
J =1 0 z J R n −1
j =1 
p s − jp 
m −j
 × Dxs s u ∆ J s 


ps
m

t z1
ms  D s u
+
 xs

+ C 4ξ ps ms ( z1 ) ∫ ∫ ∫ ∑
dx' s dτdx s .
p
s − jps
m −j

0 z0 R n −1 j =1  + D s u
∆
0
xs


Далее, применяя неравенство (19), получим
оценки
ps − p1
p s ms
0 z1
× D xms s − j u dx' s dτdx s ≤
≤ θB
pα , R n −1
I ≤ e C6 exp e ps ms
×
0 z0 R n −1 j =1
~
+C u
pα
α =1
α =1
s
∫ ∫
× ∑ D xmαα u
t
u dx' s dτdx s +
∑ξ p m ( z1 )∆−0 j Dxm u
)∫ξ
zJ
n
s
−1
s *
n
× ∑ Dxmαα u
s
z J +1
(
D xms s − j u ×
( x s )∆−J j Dxms s u
ms
− jp
≤ C 5 exp p s m e
z J R n −1 j =1
s
ps
D xms s − j u ξ ps ms ∆ J s dx ≤
(28)
t
ms
(31)
,
z J +1
zJ
R n −1 z J
×| D ξ
| dxdτ ≡ I .
Используя оценки (25), (26) и неравенство
Юнга, оценим интеграл
N −1 t
pα , Π
Из (31), ввиду (23), для J = 1, N − 1 следует:
j =1
j
xs
− jp
∆ J s dx ≤
J = 0, N − 1.
Ω
+ a∑ ∫ ξ
pα
α =1
( k − 1) k ∫ | u (t , x) | k ξ p s ms ( x s )dx +
ps ms
≤ C 5 ∑ D xmαα u
n
Далее, применяя (4), выводим (с учетом того,
что ξ ps ms ϕ = 0 )
n
ps
R n −1 z J
Ω
n
D xms s − j u
∫ ∫
e∗
так,
(
чтобы
выполнялось
)
−1
*
неравенство C 6 exp e p s m s < ae∗ , выводим
(k − 1) k
∫
Ωz
| u (t , x) | k dx ≤
N
t
≤ C 7ξ ps ms ( z1 ) ∫
n
D
∫∑
α
0 Ω z1
z0
mα
xα
u
pα
dτdx.
=1
Применяя к последнему неравенству (24) и
(14), полагая
κ = p s ms (3e∗ k )−1 , выводим
Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2
ISSN 1998-4812
k
u (t ) k ,Ω
Решая
получаем
≤ C8 exp(− Nkκ ) ϕ k .
k
zN
Отметим, что при N = 0,1 оценка (8) также
имеет место. Она следует из неравенства (14) и
получается подбором постоянной M .
Доказательство
теоремы 2. Выберем
произвольное целое неотрицательное число N .
Согласно
теореме
1,
вводя
обозначение
k
k
ε ( N ) = M exp(− kκN ) ϕ , имеем соотношение
(
(9)
последовательности
µ1 ( N ) следует, что
k/p1
p


k
u (t ) k ≤  µ1− p1 ( N ) D xm1 1 u 1 z N  +
(34)
p1 , Ω


+ ε ( N ), t ≥ 0.
Обозначим через t N точку интервала [0, ∞ )
такую, что
(
n
Отметим, что для
(
α =1
pα
, Ω zN
,
1.
2.
(35)
t ∈ [0, t N ).
Соединяя (15) с (35), выводим соотношение
d
k a p1
E(t ) ≤ −
µ1 ( N )(E (t ) − ε ( N ) ) p1/k ,
dt
k −1
t ∈ (0, t N ).
−k )
+
t ∈ [t N ; ∞) последняя
)
ЛИТЕРАТУРА
4.
pα
− k/( p1
оценка также справедлива. Далее воспользуемся
определением (11) функции N (t ) , в итоге
получаем
− k/( p1 −k )
p
E (t ) ≤ C 2 tµ1 1 ( N (t )
, t > 0.
≤
≤ µ1− p1 ( N )∑ D xmαα u
)
+ M k exp(− kκN ) ϕ k , t ∈ (0, t N ).
3.
1
p
k
Очевидно, для t ∈ [0, t N ) справедливо неравенство
E(t ) > ε ( N ), тогда соотношение (34) можно
(E(t ) − ε ( N ) ) p /k
)
E(t ) ≤ C1 tµ1 1 ( N )
E(t ) = u (t ) k = ε ( N ) . В случае, если
переписать в виде
≤
−1
Подставив в последнее неравенство значение
k
E(t ) > ε ( N ) при любом t ≥ 0 , то считаем t N = ∞ .
−k )/k
ε (N ) , выводим
k
определения
( p1
неравенство,
≤ C tµ1p1 ( N ) , t ∈ (0, t N ).
u (t ) k ≤ u (t ) k ,Ω z N + ε ( N ), t ≥ 0.
Из
дифференциальное
(E (t ) − ε ( N ))
k
k
325
5.
Кожевникова Л. М. Стабилизация решения первой
смешанной
задачи
для
эволюционного
квазиэллиптического уравнения // Математический
сборник. 2005. Т. 196. №7. C. 67–100.
Каримов Р. Х., Кожевникова Л. М. Стабилизация решений
квазилинейных параболических уравнений второго
порядка в областях с некомпактными границами //
Математический сборник. 2010. Т. 201. №9. C. 3–26.
Андриянова Э. Р., Мукминов Ф. Х. Оценка снизу скорости
убывания решения параболического уравнения с двойной
нелинейностью // Уфимский математический журнал.
2011. Т. 3. №3. С. 3–14.
Кожевникова Л. М., Леонтьев А. А. Оценки решения
анизотропного параболического уравнения с двойной
нелинейностью // Уфимский математический журнал.
2011. Т. 3. №4. C. 64–85.
Кожевникова Л. М., Леонтьев А. А. Убывание решения
анизотропного параболического уравнения с двойной
нелинейностью в неограниченных областях // Уфимский
математический журнал. 2012. Т. 4. №4. C. 64–85.
Поступила в редакцию 31.12.2012 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа