close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Параллельная версия аналитико-численного метода блоков для связных задач волновой виброакустики.

код для вставкиСкачать
Информационные технологии
Вестник
Нижегородского
университета
им.блоков
Н.И. Лобачевского,
2009, №
5, с. 211–218
Параллельная
версия
аналитико-численного
метода
для связных задач
волновой
виброакустики
211
УДК 517.93
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА БЛОКОВ
ДЛЯ СВЯЗНЫХ ЗАДАЧ ВОЛНОВОЙ ВИБРОАКУСТИКИ*
Д.Б. Волков-Богородский 1, С.А. Харченко 2
 2009 г.
1
2
Институт прикладной механики РАН, Москва
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва
v-b1957@yandex.ru
Поступила в редакцию 28.02.2009
Разрабатываются параллельные алгоритмы, реализующие аналитический метод решения краевых
задач механики сплошных сред применительно к связным задачам волновой виброакустики. Основой
развиваемого аналитического метода являются решения, точно удовлетворяющие исходной системе
дифференциальных уравнений в подобластях-блоках. Аналитическая структура этих решений, которые строятся на основе фундаментальных решений уравнения Гельмгольца, позволяет разрешить
сложную структуру общего решения с высокой степенью точности. Параллельные вычисления эффективно используются при формировании и решении возникающей блочной системы уравнений.
Ключевые слова: аналитические методы, параллельные вычисления, аппроксимация, фундаментальные системы уравнения Гельмгольца.
Введение
∗
В настоящей работе развиваются высокоточные аналитические методы решения краевых
задач механики сплошных сред, основанные на
специальных разложениях по фундаментальным системам функций, удовлетворяющим
уравнению Гельмгольца. Эти методы обобщают
на многоблочные структуры хорошо известный
метод наименьших квадратов [1], который, к
сожалению, является эффективным только для
областей простой геометрии, и тем самым существенно расширяют область применимости
этого метода.
Для задач теории упругости и акустики многоблочный вариант метода наименьших квадратов был предложен в работе [2] и получил дальнейшее развитие в [3, 4]. Он основан на представлении решения в каждом блоке в виде
обобщенных рядов Тейлора по специальной
системе функций, точно удовлетворяющей пространственному уравнению Лапласа или Гельмгольца и обладающей хорошими аппроксимативными свойствами. Построение таких систем
функций является центральным моментом в
методе и осуществляется при помощи процедуры квазиразделения переменных [4]. Метод позволяет получать решение с высокой степенью
∗
Статья рекомендована к печати программным комитетом Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии 2009» (http://
agora.guru.ru/pavt).
точности и в аналитическом виде, однако требует больших вычислительных затрат. Поэтому
актуальной задачей является разработка и дальнейшее развитие параллельной версии блочного
метода [5]. Внешне метод напоминает метод
конечных элементов, но имеет принципиальные
отличия; например, он вычисляет поле напряжений и поле скоростей не в отдельных точках
интегрирования, а во всей подобласти, являющейся элементом блочной структуры, и позволяет контролировать точность получаемого решения.
В работе развиваются параллельные алгоритмы блочного метода для решения связных
задач виброакустики [3, 4], рассматриваемых не
во временном, а в частотном диапазоне изменения переменной. В этих задачах расчетная область состоит из акустической и механической
фаз, взаимодействующих друг с другом, и они
находят практическое применение для оценки
уровня шума в помещении.
1. Аналитическая основа метода
Для описания поля перемещений, поля скоростей и поля давлений в каждой из фаз расчетной области используются комплексные потенциалы Φ = Φ (w, w, z ) , удовлетворяющие осцилляционному уравнению Гельмгольца с вещественным коэффициентом κ :
∆2 Φ + κ 2 Φ = 4
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
+ κ 2 Φ = 0 ; (1)
∂w∂w ∂z 2
212
Д.Б. Волков-Богородский, С.А. Харченко
комплексные переменные w = x + i y , w = x − i y ,
точка P в пространстве имеет декартовы координаты (x, y, z).
В акустической фазе функция Φ ( P) описывает комплексный потенциал давления, через
который давление звуковой волны и скорость
колебаний при заданной круговой частоте
ω = 2π f определяются по формулам
p ( P, t ) = Re Φ ( P ) ei ω t  ,


r
 i

∇ Φ ( P) ei ω t  , (2)
V ( P, t ) = Re 
ω ρ

r*
r
r
f ( P ) ∇ div  f ( P ) − f ( P )  ,
r
−
u ( P) =
2
где
ρb
k
k
k
kl
l
k
l
k = 1, 2, K N ;
(5)
здесь Т k – комплексная матрица Грама аппрок-
где ρ представляет собой плотность акустической среды; коэффициент κ = ω / C в уравнении
(1) – волновое число, С – скорость звука.
В механической фазе точное описание перемещений осуществляется через два векторных
потенциала,
удовлетворяющих
уравнению
Гельмгольца (обобщенное представление Папковича–Нейбера [3]):
µ
ρb ω
2 r
r
r
ρ ω 2 r*
ρ ω
f =0,
∇2 f + b
f = 0 , ∇2 f * + b
k
µ
ний уравнения Гельмгольца и позволяет определить все локальные потенциалы решения Φ k ,
r r
f k , f k* . Система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов в разложениях потенциалов имеет естественную блочную
структуру:
r
r
r
(T + ε B ) X + ∑ T X = H ,
(3)
– плотность механической среды,
k = 2 µ + λ , µ , λ – коэффициенты Ламе. Напря-
жения в осциллирующем теле находятся по
обычным формулам через тензор деформаций, а
r
скорость колебаний v по формуле
r
r
(4)
v ( P, t ) = Re i ω u ( P ) ei ω t  .
На границе между упругой и акустической
областями ставится условие непрерывности
нормальной составляющей скорости и давления; если упругая область отсутствует, то на
границе области задается условие поглощения с
импедансом Z n (см. [2–5]).
Сшивка локальных решений в блоках осуществляется при помощи функционала блочного варианта метода наименьших квадратов (см.
[2–4]) или при помощи модифицированного
функционала метода наименьших квадратов,
содержащего энергетические слагаемые, выполняющие роль регуляризатора Тихонова для
вырожденного функционала наименьших квадратов [4–6].
Одновременная минимизация всей системы
функционалов реализуется в виде несимметричной (или симметричной для модифицированного функционала) блочной системы уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов в разложениях вспомогательных потенциалов по фундаментальной системе реше-
симирующей системы функций, Вk – матрица
жесткости для функционала энергии, ε – параr
метр регуляризатора Тихонова, X k – неизвестные коэффициенты в разложении потенциалов в
блоке Вk , Т kl – матрицы, обеспечивающие
сшивку локальных решений между блоками Вk ,
Вl и состоящие из скалярных произведений
r
аппроксимирующих функций этих блоков, H k
– вектор граничных условий в блоке, N – общее
число блоков. Размер каждого блока Mk совпадает с числом неизвестных коэффициентов в
локальном представлении решения.
Разбиение расчетной области на более простые односвязные подобласти-блоки, G = U Βk ,
Βk I Βl = ∅ , k ≠ l , т.е. введение блочной струк-
туры, осуществляется при помощи конечноэлементной сетки, которая может быть грубой.
Разбиение на тетраэдры или гексаэдры легко
может быть получено при помощи известных
конечно-элементных препроцессоров.
2. Особенности параллельной реализации
Основной операцией при формировании
блочной системы (5) является вычисление скалярных произведений моментных характеристик аппроксимирующей системы функций
(скорость, тензор напряжений), они вычисляются через производные до второго порядка. Здесь
содержится значительный ресурс параллелизма,
поскольку формирование блочной системы
производится при помощи коллокационного
вектора, составленного из значений аппроксимирующей системы функций в одной точке.
Операции формирования полностью независимы на уровне разных блоков и даже на уровне
разных узлов в квадратуре Гаусса. Вычисление
моментных характеристик для коллокационного
вектора осуществляется через трехчленные рекуррентные преобразования, благодаря особым
дифференциальным свойствам используемой
системы функций (см. [2, 4]).
Параллельная версия аналитико-численного метода блоков для связных задач волновой виброакустики
213
а)
б)
Рис. 1. Структура разреженности матрицы: а) при блочном биении, б) при крупноблочном биении
Основная специфика системы линейных
уравнений (5) состоит в следующем:
1) аппроксимация строится на относительно небольшом числе элементов;
2) качество аппроксимации достигается
прежде всего за счет увеличения числа базисных функций в блоке.
С точки зрения линейной алгебры матрица
системы уравнений является комплексной
плотноблочно-разреженной матрицей, с относительно небольшим числом блоков и относительно большим размером каждого блока. Кроме того, в силу специфики построения системы
среди диагональных блоков матрицы встречаются плохо обусловленные.
Распределение вычислительной работы по
процессорам осуществляется и на этапе генерации, и на этапе решения систем линейных
уравнений на основе анализа графа блочной
разреженности матрицы по блочным строкам/столбцам матрицы исходной системы уравнений. Граф блочной разреженности матрицы
содержит информацию о геометрических связях между блоками расчетной сетки. Области,
в которых решается задача, как правило, существенно трехмерные, а значит, декомпозиция задачи должна существенным образом
учитывать эту трехмерность. В данной работе
мы следуем технике декомпозиции решения
системы уравнений на основе упорядочивания
типа вложенных сечений ND (Nested Dissection) [7] с учетом декомпозиции поверхностных межпроцессорных границ. Эта техника
подробно описана в работе [8]. Упорядоченная блочная структура матрицы для некоторой тестовой задачи имеет вид в построенном
крупноблочном биении, показанный на рис.
1а, а результирующая крупноблочная структура матрицы в терминах крупноблочного
биения для параллельных вычислений представлена на рис. 1б.
Блочная система уравнений решается масштабированным
блочно-предобусловленным
алгоритмом GMRES, в котором в качестве переобусловливания использовалось блочное неполное LU-разложение второго порядка точности. Предварительно, перед вычислением неполного разложения, проводится блочнодиагональное масштабирование системы уравнений, в результате которого диагональные
блоки коэффициентов становятся единичными
матрицами.
Неполное блочное разложение для системы
уравнений строится на основе соотношения
A + E = L ⋅U + L ⋅ R + W ⋅U ,
(6)
где блочно-треугольные матрицы L и U содержат блочные элементы разложения «первого
порядка» точности, а блочно-треугольные матрицы W и R содержат блочные элементы «второго порядка» точности; E – некоторая матрица
ошибки. Это разложение строится как несимметричное блочное обобщение алгоритма из
работы [9].
Итерации по решению системы уравнений
проводятся с использованием переобусловленного варианта алгоритма GMRES [10]. Алгоритм GMRES, как известно, основан на следующих матричных соотношениях:
(7)
b = P1 g1 ,
A ⋅ (LU ) ⋅ Pk = Pk +1 ⋅ H k ,
−1
(8)
где H k – верхняя хессенбергова форма с разме-
ром (k + 1) × k , b – вектор правой части, g1 –
блочный нормирующий коэффициент, Pk – матрица с ортонормированными столбцами размера N × k. Для построения матричных соотношений (7) и (8) требуется на каждой итерации алгоритма: умножение на матрицу A, решение
систем уравнений с треугольными матрицами
L и U, а также ортогонализация. Для обеспечения численной устойчивости вычислений
ортогонализации осуществляются неявным
214
Д.Б. Волков-Богородский, С.А. Харченко
Рис. 2. Модель прямоугольного канала с закругленным излучателем
Рис. 3. Сравнение с аналитическим решением
Рис. 4. Модель салона автомобиля
образом на основе преобразований Хаусхолдера. Новое приближение к решению системы
линейных уравнений строится по формуле
−1
x k = (LU ) ⋅ Pk ⋅ y k , где yk есть решение задачи
минимизации H k yk − e1 g1 = min .
Следует отметить, что крупноблочная структура разреженности матрицы, показанная для
тестовой задачи на рис. 1б, демонстрирует также и все основные зависимости между крупноблочными вычислениями в описанном выше
алгоритме решения системы уравнений. Это
утверждение имеет место при условии, что неполное разложение строится «по позициям» в
крупноблочном смысле. Т.е. все данные каждой
крупноблочной строки или столбца матрицы,
215
Параллельная версия аналитико-численного метода блоков для связных задач волновой виброакустики
Па
дБ
Рис. 5. Давление в шкале паскалей и децибел в среднем сечении
Рис. 6. Распределение блоков по процессорам (p = 2, 4, 8, 16, 32)
N = 331390, гексаэдры
Число процессоров
N = 43339, тетраэдры
Ускорение
Ускорение
Ускорение
N = 3053, тетраэдры
Число процессоров
Число процессоров
Рис. 7. Ускорение параллельного алгоритма
блочной строки U или блочного столбца L и
соответствующей части векторных данных правой части и приближения к решению, а также
данные ортогонализации отдаются одному и
тому же процессору.
3. Теоретическое обоснование метода
С каждым блоком B k в блочной структуре
разбиения расчетной области связывается норма
наименьших квадратов, соответствующая скалярному произведению в интегральной норме по гра-
нице области в классе функций, аналитически
точно удовлетворяющих оператору задачи:
Fk (Ф k , Ф l ) = α kФk + β k
+
∑
l
∂Фk
∂n
2
+
Sk
∂ (Ф k − Ф l )
α kl (Ф k − Ф l ) + β kl
∂n
2
(9)
S kl
где S kl = ∂ Β k ∩ ∂ Βl – общая часть границы для
соседних блоков, S k = ∂ Β k ∩ ∂ G – общая часть
границы блока и границы области G (кривизна
границы исходной области учитывается точно).
216
Д.Б. Волков-Богородский, С.А. Харченко
Для рассматриваемых задач расчетная область разбивается на блоки двух типов, соответствующие акустической и механической фазам
области; в механической фазе соответствующая
норма имеет следующий вид:
r r
r
r 2
Fk (u k , ul ) = α k uk + β k pk S +
k
r r 2 , (10)
r r
∂ (uk − uk )
+
α kl (uk − uk ) + β kl
∂n
l
S kl
r
где p k обозначает вектор поверхностных сил
∑
для подобласти B k . Норма (9), (10) соответствует скалярному произведению в пространстве
комплексных функций. На границе S kl между
блоками, относящимися к разным фазам расчетной области, соответствующее слагаемое в
(9) или (10) обеспечивает сшивку скоростей,
давлений и перемещений при условии равенства нулю касательных сил в механической фазе:
2
го типа [2, 4]. Эти системы обладают свойством
полноты и хорошими аппроксимативными
свойствами; в частности, они образуют базис
обобщенного ряда Тейлора для уравнения
Гельмгольца.
Достижение необходимой точности аппроксимации обеспечивается с помощью минимизации нормы F (Φ − Φ 0 , ur − ur 0 ) на заданном наборе
функций в разложении вспомогательных потенциалов. Одновременная минимизация функционалов Fk (составляющих общую норму) на
своем наборе функций дает алгоритм для оценки сверху абсолютного минимума нормы
r r
F (Φ − Φ 0 , u − u 0 ) и сводится к решению блочной системы уравнений (5) при ε = 0 .
Значение функционала в экстремальной точке равняется сумме следующих скалярных произведений (приведено для акустической фазы,
аналогично в механической фазе):
r
rr
1 ∂Ф k

∂(Ф0 − Фk ) 
∂Ф0
 +
Fk (Ф k , Ф l , ul ) = Fk (Ф k , Ф l ) +
− ωul n ,
minFk =  αk Ф0 + βk
, αk (Ф0 − Фk ) + βk
Фk
∂n
∂n
ωρ ∂n

 Sk (13)
Skl
r r
r r
r v
r
r r2
2
Fk (uk , ul , Ф l ) = Fk (uk , ul ,) + pk n − Ф l S + pk − pk n S . + ∑ αkl Фl + βkl ∂Фl , αkl (Фl − Фk ) + βkl ∂(Фl − Фk )  ,
kl
kl
l
Коэффициенты α kl , β kl , α k , β k должны обеспечить, с одной стороны, невырожденность
нормы в блоке при условии равенства нулю
функций из соседних блоков, Φ l = 0 , url = 0 , а с
другой стороны, сшивку функций и нормальных производных на границах между блоками;
это, в частности, требует, чтобы матрица сшивочных коэффициентов была невырожденной:
r
r
Fk (Φ k , 0) = 0 ⇔ Φ k ≡ 0 , Fk (uk , 0) = 0 ⇔ uk ≡ 0 ,
P ∈ Βk ,
α kl
α lk
det
β kl
≠ 0,
βlk
(11)
P ∈ S kl .
(12)
Для области в целом водится норма наименьших квадратов на многоблочной структуре
по следующей формуле:
r r
r
F (Φ , u ) = max Fk , Φ = Φ k , u = uk , P ∈ Β k ;
k
это действительно норма, т.к. из сформулированных условий (11), (12) следует, что для
r
F (Φ, u ) = 0 необходимо и достаточно Φ = 0 ,
r
u = 0 . Аппроксимация решения в целом обеспечивается сходимостью к точному решению по
норме
на
многоблочной
структуре:
r r
r
F (Φ − Φ 0 , u − u 0 ) → 0 , где Φ 0 , u0 – точное решение задачи. Аппроксимация обеспечивается
r
разложением комплексных потенциалов Φ k , f k ,
r
f k* по фундаментальной системе уравнения
Гельмгольца степенного или экспоненциально-
∂n
∂n

 Skl
где черта над функцией означает ее комплексное сопряжение. Из формулы (13) следует сходимость к решению по норме при условии аппроксимации в блоке, а это является следствием
полноты фундаментальной системы функций.
Второй развиваемый подход к аппроксимации решения связан с введением полунормы
r
F (Φ, u ) (нормы, в которой условие (12) не выполняется, т.е. слагаемые, обеспечивающие
сшивку производных, отсутствуют). Полунорма
корректируется с помощью регуляризатора Тихонова E (Φ, ur ) , представляющего собой функционал энергии, вычисляемый по границе блока
(см. [4, 6]):
r
F (Φ , u ) = max Fk ,
k
r
r
E (Φ, u ) = {Ek (Φ k ), Ek (uk )} , P ∈ Βk ;
Fk (Φ k , Φ l ) = Φ k
r r
r
Fk (uk , ul ) = uk
+ ∑ Φk − Φl
2
Sk
2
Sk
l
r r
+ ∑ u k − ul
l
2
2
,
Skl
,
Skl
 ∂ Φk

Φk 
+ α Φ k − h1  d P′ ,
 ∂n

∂ Βk
r
r r r
Ek (uk ) = ∫ uk pk − h2 d P′ ;
Ek (Φ k ) =
∫
(
∂ Βk
)
r
здесь h1 , h2 означают заданную скорость звуковой волны или заданные силы на границе области
(примыкающей к границе блока), α = iωρ / Z n –
Параллельная версия аналитико-численного метода блоков для связных задач волновой виброакустики
нормированный адмитанс звуковой волны на
границе, Sk – та часть границы блока и границы
области G, на которой задано краевое условие
первого рода. При таком подходе минимизируется
функционал
с
регуляризатором,
r r
r
F (Φ − Φ 0 , u − u 0 ) + ε E (Φ, u ) = min , обеспечивающий при достаточно малом ε одновременную
сшивку функций и минимизацию энергии, что
приводит к блочной системе уравнений (5).
4. Численные свойства метода
на модельных задачах
Рассматривается несколько модельных задач, демонстрирующих работу блочного метода; дается сравнение с аналитическим решением, и демонстрируются вычислительные
свойства параллельного алгоритма на примере расчета акустического поля в салоне автомобиля; в частности строятся диаграммы
масштабируемости для разных блочных
структур.
На рис. 2 приведена модель прямоугольного акустического канала с закругленным излучателем (рассматривается ¼ часть области);
геометрические размеры А = 0.6 м, B = 0.5 м,
L = 2.5 м; размеры излучателя, вибрирующего
с
заданной
скоростью
V = 1 м/сек,
a = b = 0.25 м, r = 0.08 м; противоположный
конец канала полностью поглощает звук, остальные стенки целиком отражают. Аналитическое решение этой задачи было получено
при r = 0 в виде ряда Фурье, с ним и сравнивалось численное решение (см. рис. 3).
Разбиение осуществлялось на криволинейные блоки-гексаэдры с характерным размером
h = C (2 f ) (два элемента на длину волны),
сравнивалось давление Р в шкале децибел в
точке (0.5, 0.4, 1.7) . В диапазоне частот
f ∈ (1000, 1500 ) число блоков N = 460 , при
f ∈ (1500, 2000 ) число блоков N = 1218 . Расчеты
проводились на аппроксимирующей системе
функций степенного типа [2] с максимальной
степенью M = 6 методом наименьших квадратов (первый подход к сшивке функций).
Наблюдается практически полное совпадение аналитического и численного решений
(на рис. 3 сплошная тонкая и толстая линии,
отвечающие аналитическому и численному
решениям, практически неразличимы); незначительное расхождение наблюдается в
конце расчетных диапазонов, где относительная погрешность соответственно равна
0.7% и 1.5%. Пример демонстрирует воз-
217
можность качественной аппроксимации на
относительно небольшом числе блоков.
Другой пример связан с расчетом акустического поля в салоне автомобиля, модель которого (½ симметричная часть) показана на рис. 4;
характерный размер салона: А = 1 м, В = 1.83 м,
L = 3 м. Передняя панель излучает звук со скоростью Vn = 0.001 м/сек, остальные элементы
интерьера поглощают звук с разным коэффициентом поглощения q = 0.1 ÷ 1.0 (для кресел поглощение полное, q = 1 ). На рис. 5 представлено
давление в среднем сечении (в шкале паскалей
и децибел), посчитанное при f = 1500 Гц модифицированным функционалом с регуляризатором (второй подход к аппроксимации решения).
Расчеты проводились на блоках-тераэдрах;
здесь, наоборот, точность достигалась на относительно большом числе блоков при небольшой
степени аппроксимации M = 2 ; эта ситуация
является более выгодной для текущего состояния параллельного решателя блочной системы
уравнений. При блочной биении на тетраэдры
процессоры загружаются более равномерно. На
рис. 6 даны диаграммы распределения блоков
по процессорам при увеличении их количества,
общее число блоков равно N = 43339 .
На рис. 6 видно, что ресурс параллелизма при
существующем алгоритме распределения блоков
не исчерпывается на 32 процессорах; этот же результат подтверждают и кривые ускорения (масштабируемости). На рис. 7 представлены кривые
ускорения при разных подходах к аппроксимации: небольшое число блоков и большая степень
аппроксимации, большое число блоков и небольшая степень аппроксимации, разбиение области
на гексаэдры (модель рис. 2), разбиение области
на тетраэдры (модель рис. 4).
Из анализа кривых на рис. 7 можно сделать
вывод, что наилучшее ускорение достигается на
большом числе блоков и при разбиении на тетраэдры. Аналогичные вычислительные свойства
алгоритма наблюдаются и в смешанных моделях,
в которых расчетная область состоит из акустической и механической фаз, взаимодействующих
друг с другом.
Заключение
В работе продемонстрирована возможность
эффективного применения высокоточного аналитического метода (основанного на специальных
разложениях по фундаментальным системам
функций) для решения сложных задач волновой
виброакустики. Метод включает в себя методику
построения и вычисления аппроксимирующей
системы функций с заданными аналитическими
218
Д.Б. Волков-Богородский, С.А. Харченко
свойствами, а также может работать на крупных
криволинейных блоках и контролировать точность решения. Эффективность метода в немалой
степени предопределяется его реализацией на
параллельных вычислительных системах. Основной ресурс параллелизма, используемый в настоящее время, – это ресурс, связанный с независимыми вычислениями в различных блоках, осуществляемыми на основе графа разреженности
матрицы. Это означает, что в параллельном режиме предпочтительнее использовать аналитический метод блоков при небольшой степени аппроксимации на большой блочной структуре. Однако численные эксперименты показывают, что
метод также работает весьма эффективно при
большой степени аппроксимирующих функций, и
тогда можно использовать относительно небольшое число блоков. Поэтому естественным направлением дальнейшего развития параллельного
метода блоков является использование возможностей многоядерных архитектур на параллельных
системах с общей памятью.
Работа поддержана грантом РФФИ № 09-01-00060.
Список литературы
1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
2. Волков-Богородский Д.Б. Разработка блочного
аналитико-численного метода решения задач механики и акустики // Сборник трудов школы-семинара
«Композиционные материалы». М.: ИПРИМ РАН,
2000. С. 44–56.
3. Волков-Богородский Д.Б. Подход к задачам о
взаимодействии акустической и упругой среды с помощью блочного метода мультиполей // Динамические
и технологические проблемы механики конструкций и
сплошных сред. Материалы XI Международного симпозиума. М.: МАИ, 2005. Т. 2. С. 17–22.
4. Волков-Богородский Д.Б. Применение аналитических расчетов на основе метода блоков в связных задачах механики сплошных сред // Труды Всероссийской
научно-практической
конференции
«Инженерные системы-2008», Москва, 7–11 апреля
2008. М.: РУДН, 2008. С. 123–138.
5. Волков-Богородский Д.Б., Харченко С.А. Параллельные вычисления в методе блоков для связных
задач волновой виброакустики // Труды Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии», Санкт-Петербург, 28
января – 1 февраля 2008 г. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 347–352.
6. Тихонов А.Н, Арсенин А.А. Методы решения
некорректных задач. М.: Наука, 1987. 340 с.
7. George A., Liu J.W. Computer Solution of Large
Sparse Positive Definite Systems // Series in Computational Mathematics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1981.
8. Харченко С.А. Влияние распараллеливания
вычислений с поверхностными межпроцессорными
границами на масштабируемость параллельного итерационного алгоритма решения систем линейных
уравнений на примере уравнений вычислительной
гидродинамики // Труды Международной научной
конференции «Параллельные вычислительные технологии», Санкт-Петербург, 28 января – 1 февраля
2008 г. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 494–499.
9. Kaporin I.E. High quality preconditioning of a
general symmetric positive definite matrix based on its
U T U + U T R + RT U decomposition // Numer. Linear
Algebra Appl. 1998. V. 5. P. 483–509.
10. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: A generalized
minimum residual algorithm for solving non-symmetric
PARALLEL VERSION OF THE BLOCK ANALYTICAL-NUMERICAL METHOD FOR COUPLED
WAVE VIBROACOUSTIC PROBLEMS
D.B. Volkov-Bogorodsky, S.A. Kharchenko
Parallel algorithms are developed which realize the analytical method for solving boundary problems of continuum mechanics, as applied to coupled wave vibroacoustic problems. The basis of the developing analytical method
are the solutions which exactly satisfy the initial differential equation system in subdomains (blocks). The analytical
structure of the solutions in blocks, which are formed on the basis of Helmholtz equation fundamental solutions,
allows one to resolve the complex structure of the general solution with account of its analytical peculiarities and
with high accuracy. In this way, the problem arises to form and solve a block system of linear equations which requires large computing resources. Parallel computing is effectively used in formation and solving the arising block
system of equations.
Keywords: analytical methods, parallel computing, approximation, fundamental systems of Helmholtz equation.
Параллельная версия аналитико-численного метода блоков для связных задач волновой виброакустики
linear systems // SIAM J. Sci. Comput. 1986. V. 7.
P. 856–869.
219
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
1 940 Кб
Теги
связных, версия, метод, волновой, виброакустики, блоко, параллельное, задачи, аналитика, численного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа