close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Покомпонентный синтез чувствительностей в задачах оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий.

код для вставкиСкачать
Механика и машиностроение
УДК 519.6
ПОКОМПОНЕНТНЫЙ СИНТЕЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ
Т.Л. Дмитриева1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрен подход к решению задачи анализа чувствительности механических систем при динамических воздействиях, когда уравнение динамического состояния раскладывается по собственным формам колебаний, а
затем выполняется покомпонентный синтез чувствительностей по требуемому числу форм. Излагается методика
вычисления чувствительностей первого порядка собственных значений и форм колебаний.
Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: анализ чувствительности; задача на собственные значения; оптимальное проектирование;
нелинейное математическое программирование; метод конечных элементов.
COMPONENT-WISE SYNTHESIS OF SENSITIVITIES IN THE OPTIMIZATION PROBLEMS OF MECHANICAL SYSTEMS UNDER CONDITIONS OF UNSTEADY DYNAMIC EFFECTS
T.L. Dmitrieva
National Research Irkutsk State Technical University
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074
The article examines the approach for solving the problem of sensitivity analysis of mechanical systems under dynamic
influences, when the dynamic state equation is decomposed according to its own forms of vibrations, and then the co mponent-wise synthesis of sensitivities by the required number of forms is performed. The procedure to calculate the first
order sensitivities of eigenvalues and vibration forms is given.
9 sources.
Key words: sensitivity analysis; eigenvalue problem; optimal designing; non-linear mathematical programming; finite element method.
Поставим задачу оптимального проектирования
конструкций, подверженных нестационарным динамическим воздействиям, в форме задачи математического программирования:
n
найти min f(x, P(x,t)), xE
при ограничениях
(1)
g j x, Px,t   0 , j  1,2, ..., m;
мых параметров.
Для исключения времени из функций ограничений
используем следующий подход. Будем рассматривать
только те моменты времени Tj, при которых функции
ограничений g достигают своих экстремальных значений. Условия, определяющие Tj, зададим в виде
(3)
h j ( x , P( T j ))  0 .
xiL  xi  xiU ,
i  1,2,..., n.
В этой постановке параметры состояния P(x,t)
связаны с динамическими перемещениями, скоростями, ускорениями
Px,t     , ,   E l ,
которые определяются решением системы линейных
дифференциальных уравнений метода конечных элементов
(2)
M    C    K    Rx,t 
Для получения явной зависимости функций ограничений от x их обычно линеаризуют путем разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x:






с начальными условиями  ( 0 ), ( 0 ) , не зависящими от x. Таким образом, параметры состояния являются неявными функциями варьируемых параметров.
Для того чтобы задача (1) могла быть решена методами математического программирования, необходимо: во-первых, исключить зависимость целевой и
ограничительных функций от времени, во-вторых, получить явную зависимость этих функций от варьируе___________________________
T
 P 
~
Pk x ,T   Pk x  ,T    k   .x  x  .
 x  x x
Коэффициенты аппроксимации вычисляются на
основе методов анализа чувствительности.
Запишем выражение для полной производной k-го
параметра состояния по xi, учитывая при этом, что
время Т является неявной функцией от x . Для простоты записи индекс j у времени Т будем опускать:
dPk T  Pk T  Pk dT
.


dxi
xi
T dxi
Производную
(4)
dT
найдем дифференцированием
dxi
соотношения (3) по xi:
1
Дмитриева Татьяна Львовна, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной
механики, тел.: (3952) 405044, 89149373683, e-mail: dmital@istu.edu
Dmitrieva Tatyana, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural
Mechanics, tel.: (3952) 405044, 89149373683, e-mail: dmital@istu.edu
8
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (60) 2012
Механика и машиностроение
h
Pk
 Pk Pk dT  h

 

0.
 xi T dxi  xi
Выразим отсюда
dT
, считая, что h Pk  h ( T ) :
dxi
Pk T
 h h Pk
dT
 

dxi
 xi Pk dxi
 
 / h ( T ) .

(5)
Рассмотрим первый случай, когда k-й параметр
состояния зависит только от перемещений системы
T
(6)
P k T    k   T .
Pk T 
, входящую в
xi
выражения (4), (5), можно найти дифференцированием выражения (6) по xi, считая при этом, что время Т
остается постоянным:
Тогда частную производную
T
Pk ( T )   k 
T   ( T ) 
(7)

  ( T )   k  
.
xi
 xi 
 xi 
Основную сложность в этом выражении представ

ляет собой вычисление производных   ( T )  . Рас xi 
смотрим подход к решению задачи динамического
анализа и анализа чувствительности путем разложения динамической реакции по собственным формам
колебаний. Значительного сокращения объема вычислений при этом можно достичь за счет того, что
полная задача на собственные значения заменяется
* *
приближенной, где учитываются лишь первые l (l « l)
собственных форм колебаний, обеспечивающих необходимую точность вычислений.
Как уже указывалось, задача по определению
собственных частот и форм колебаний достаточно
исследована для систем, где демпфирование отсутствует либо является пропорциональным [13]. Рассмотрим некоторые особенности решения задачи на
собственные значения для систем с непропорциональным демпфированием.
Запишем дифференциальное уравнение (2) с нулевой правой частью:
(8)
M    C   K    0.
Решение этой системы может быть найдено в виде суммы l слагаемых:


      e
l
 
j 1
j
j t
   
где матрицы M * и K * имеют размерность 2l.
M *   M0 0K  , K *   CK K0 .




Решение задачи будем искать в виде
q      e
2l
j 1
 
j
j t
.
 t
Тогда q     j  j e .
2l
j 1
j
Подстановка  q  и q в уравнение (11) приведет
к обобщенной проблеме собственных значений
(12)
K *   j    j M *   j , j  1,2,...,2l.
Диагональная матрица собственных значений [λ]
может быть определена из уравнения
1
Det M *  K *      0.
В случае, если система (8) совершает колебательные движения, решением задачи (12) будет l комплексно-сопряженных собственных значений и соответствующих им комплексно-сопряженных собственных векторов  j . Мнимая часть собственных значе-


 
ний по абсолютной величине представляет собой частоту собственных колебаний.
Потребуем выполнения условия ортогональности
 T M *     I .
Тогда автоматически будет выполнено условие
 T K *      .
Здесь 
 
 – матрица, столбцы которой есть век-
тора  j . Особенность задачи (12) состоит в том, что
нижняя и верхняя часть векторов
 
j
отличаются
лишь множителем  j .
.
Здесь вектор  j определяет j-ю форму соб-
 
ственных колебаний. Один из путей нахождения  j
и λj состоит в непосредственной подстановке    в
уравнение (8). В результате чего приходим к следующей задаче на собственные значения:
(9)
M  j 2  C  j  K   j   0.

матизированные методы решения стандартной и
обобщенной задачи на собственные значения [1]. Поэтому второй подход по определению динамической
реакции системы предполагает разложение решения
по комплексным формам колебаний. Для этого вводится вектор новых переменных

(10)
q      ,
 
и система уравнений (9) преобразуется к системе
дифференциальных уравнений первого порядка
(11)
M * q  K * q  0,

Преимущество такого подхода состоит в том, что
размерность задачи при этом не увеличивается. Однако задача (9) имеет специфичную структуру, отличающуюся от задачи на собственные значения стандартного вида, и, следовательно, для ее решения
нужны специальные методы. Между тем, следует отметить, что существуют хорошо разработанные авто-
Рассмотрим теперь уравнение динамического
равновесия (2). Преобразуем его по аналогии с (10),
(11) к задаче размерностью 2l:
(13)
M * q  K *  q   R(0t ) ,


а затем сделаем переход к нормальным координатам
q     V .
T
(14)
В результате система уравнений (13) разделяется
на независимые уравнения
Vj   j V j Q j ( t ),
где вектор
j  1,2,...,2l ,
Q  определяется произведением
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (60) 2012
(15)
9
Механика и машиностроение
Q     R0 ,
T
 
а начальные условия имеют следующий вид:
(16)
V 0   T M * q0  .
Явные выражения для Vj могут быть получены с
помощью интеграла Дюамеля [2]. Однако учитывая,
что все величины в выражении (15) комплексные, приведем его к системе действительных уравнений. Для
этого введем обозначения для мнимых и действительных частей:
   R   i  I ,
  R   i I ,
(17)
 V  VR   i VI ,
 Q  QR   i QI .
Индекс j в дальнейших записях будем опускать.
Преобразуем выражение (15) к виду
  I 0  V I 

  
 R 1 V I 

 R
I
1 V R  QR 
    .
0  VR  QI 
Будем решать эту систему относительно VR и VI .
Из первого уравнения можно получить значение VI
через VR


(18)
VI  VR  R VR  Q R / I ,
продифференцировав которое по t, получим
(19)
VI  VR  R VR  Q R / I .
Далее выразим из второго уравнения системы (17)


VI :
  R QR   I QI   R VR  
 / I .
VI  
  2   2

R
I


Приравнивая правые части уравнений (18) и (19),
придём к дифференциальному уравнению второго
порядка относительно VR
2
2
VR  2  R VR   R  I VR 
(20)
  R QR   I QI  Q R .
Тогда окончательное значение для V можно выра-



зить через
VR



V  VR  i VR  R VR  Q R / I .
R
R
I
I
и запишем уравнение (15) в новых координатах
U   U  P( t ).
Правая часть этого уравнения содержит только
мнимую часть нагрузки. Перейдем от него к дифференциальному уравнению второго порядка (частный
случай уравнения (20)).
2
2
UR  2 R U R  R  I U R 
(22)
  I P( t ).
Мнимую часть U I определим по аналогии с (18)
U  U   U /  .


I
R


R
R
Рассмотрим частный случай, когда в правой части
уравнения (2) находится вектор   P( t ) , то есть
функция P, зависящая от времени, одинакова для
всех элементов вектора правых частей. Введём обозначения
  

V 
,
V 
где горизонтальный надчерк обозначает комплексную
сопряженность. Тогда зависимость (14) будет иметь
следующий вид:
V   
 ,
 q  2  V    V .
T
T
R
   
R
I
T
R

,
0 
10
Q  W  P( t ).
I
(24)
Здесь  R ,  I  прямоугольные матрицы размерностью 2l×l. То есть учитывается только l первых
векторов  j  . Вектора VR и VI имеют размер-
   
ность l (верхняя половина вектора V  ).
q 
Реакцию системы
можно выразить через
V . Для этого перепишем выражение (19) в матричном виде
   
    

T
 V   V R  
1

R
R


(25)
VI 

   T R
 I
R


и подставим его в (24). В результате придём к зависимости,
 S T V 

R
,
где q  2  1
T
T
  S  V  S  R
2
R
3



 
 
S        ,
S         
S        .
1
I
1
I
1
2
R
I
R
1
W    
I
Сравнивая уравнение (22) с уравнением (20), заметим, что правая часть в (22) уже не содержит производной нагрузки по времени и потому формируется
несколько проще. Переход к координатам V можно
сделать по выражению
V  WRU I  WIU R   i  WRU R  WIU I . (23)
Изложенное показывает, что для определения l
комплексно-сопряженных значений V необходимо решить l дифференциальных уравнений второго порядка, а затем воспользоваться формулами (21) либо
(23). Соответствие между матрицей   и вектором
 V  можно изобразить следующим образом:
R
(21)
Начальные условия для уравнения (20) можно
определить, используя выражения (15) и (16):
V 0 R   R T M *  q0  ,
T
V 0          M *  q 0   Q  .
R
Этот случай интересен тем, что здесь возможен переход от уравнения (20) к уравнению с более удобной
правой частью. Произведём для этого замену переменных
V  i W U ,
V  i W U
3
I
I
I
;
T
R
  
Здесь размерность матриц I , R  l×l.
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (60) 2012
Механика и машиностроение
В случае если требуется определить только вектор перемещений (нижняя половина вектора  q  ),
то в выражениях (24) вместо матриц
  и  
R
I
*
*
подставляются квадратные матрицы  R  и  I  ,
 
 
 
представляющие собой нижнюю часть матриц  R ,
  .
I
Вернемся к определению чувствительностей
  
  в выражении (7). Для этого продифференциру xi 
ем зависимость (14) по xi
 q    
 V 


V     .  .
 xi   xi 
 xi 
Остановимся подробнее на вычислении произ
  
водных    и  V  . При этом ограничимся анали xi 
 xi 
зом чувствительности первого порядка.
Определению производных собственных векторов
и собственных значений посвящено достаточно исследований [49]. Приведем здесь лишь окончательное выражение
  j  2 l

   aijk   k  ,
 xi  k 1

   K
T
k
где aijk 
*
 j
M * 
 j 
xi 
 xi
(  j  k )
aijj  
;
*


1
 k T  M  j  ;
2
 xi 
 j
*
M * 
T  K
  k  
 j
 j  .
xi
xi 
 xi
Запишем теперь выражение производной  q 
 xi 
через действительные величины, т.е. продифференцируем выражение (24) по xi:




   R .  V R  



 xi 


   Rj  j  
 q 



2
V R    .

 xi 
    .  VI   l   xi 



 
I

xi  j 1    Ij  j  



   x V I  

  i  

  VR 


1   x i 
 V I 


  I 
 V R 
 R 

 xi 
    R .  
  R . 
 xi 
 xi 

   Rj  j



 VR 

l   x i 

 .
j
j
j 1
  Rj   
   I  V I
   x   j   x  R j  
  i I  i  
 
 
 V 
  
Производные  R  и  VR  содержат зависи xi 
 xi 
мости от λR и λI, которые, в свою очередь являются
функциями x. В общем виде их можно представить
следующим образом:
 VR   VR    R   VR    I 


 



 xi    R   xi    I   xi 
 V   P 
  R  0  ;
 P0   xi 
 VR   VR    R   VR    I 


 



 xi    R   xi    I   xi 
 V   P 
  R  0  .
 P0   xi 
Так как выражение VR при динамических воздействиях произвольного вида может быть достаточно
 V   V 
сложно, то вычисление производных  R  ;  R  ;
 R   I 
 VR   VR   VR   VR 

; 
; 
; 
 удобнее выполнять,
 R   I   P0   P0 
используя методы численного дифференцирования.
Следует отметить, что в выражение (26) входят
производные собственных значений и форм колебаний отдельно для действительных и мнимых частей.
Для определения этих производных введем обозначения:
A    K

 M * 
*
  R 
;
 xi 
 xi 
ij
R
 M * 

;
 xi 
A   
ij
I
*
*
I
BRijk   Rk  ARij  Rj    Ik  ARij  Ij 
T
(26)
 V 
Здесь производная  I  может быть найдена
 xi 
дифференцированием зависимости (25) по xi:
T
 2 Rk  AIij  Ij  ;
T
BIijk  2 Rk  ARij  Ij    Ik  AIij  Ij 
T
T
  Rk  AIij  Rj  ;
T
Rjk  Rj  kR ; Ijk  Ij  kI .
Тогда производные собственных значений по xi
будут иметь вид
 Rj
 Ij
 BRijj ,
 BIijj ,
xi
xi
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (60) 2012
11
Механика и машиностроение
  j 
а производные собственных векторов  R 
 xi 
и
  Ij 

 можно вычислить, используя следующие вы xi 
ражения:
  Rj  l ijk k
ijk
k

  k1( aR  R aI  I  ,

x
 i 
  Ij  l ijk k
ijk
k

  k1( aI  R aR  I  ,

x
 i 
a Rijk 
где
a Iijk 
BRijk ikR  BIijk ikI
    
ik
R
2
ik
I
2
BIijk ikR  BRijk ikI
    
ik
R
2
ik
I
2
;
.
Рассмотрен подход к построению явной задачи
НМП при решении задач оптимизации механических
систем в условиях нестационарных динамических
воздействий. Для исключения фактора времени отслеживались те моменты времени, где функции огра-
ничений принимали экстремальные значения на заданном временном интервале. Для сокращения размерности задачи была установлена полоса отбора
ограничений.
Разработана методика построения аппроксимации
функций ограничений либо параметров состояния,
входящих в эти функции. В алгоритме использовались
аппроксимации первого порядка, выполненные путём
разложения функций в ряд Тейлора в окрестности
пробной точки. Рассмотрен случай, когда уравнение
движения сначала раскладывается по собственным
формам колебаний, а затем выполняется покомпонентный синтез чувствительностей по требуемому
числу форм. Так как матрица демпфирования не является пропорциональной матрице масс и жесткости,
такой переход приводит к разделённым уравнениям
удвоенного порядка. Сокращения объема вычислений
при этом можно достичь за счет того, что полная задача на собственные значения заменяется приближенной, где учитывается требуемое число собственных форм колебаний, обеспечивающих необходимую
точность вычислений.
Библиографический список
1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод
6. Роджерс Л.С. Вывод формул для собственных значений и
конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 448 с.
собственных векторов // Ракетная техника и космонавтика.
2. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиз1970. Т. 8. № 5. С. 136-137.
дат, 1979. 320 с.
7. Рудисилл С.С. Производные собственных значений и
3. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значесобственных векторов для матриц общего вида // Ракетная
ний. М.: Мир, 1983. 384 с.
техника и космонавтика. 1974. Т. 12. № 5. С. 180-182.
4. Ванхонакер П. Дифференциальные и разностные коэф8. Рудисилл С.С., Чу Е.Е. Численные методы расчёта произфициенты чувствительности собственных частот и форм
водных собственных значений и собственных векторов //
колебаний механических конструкций // Ракетная техника и
Ракетная техника и космонавтика. 1975. Т. 13. № 6.
космонавтика, 1980. Т.18. № 12. С. 128-132.
С. 154-156.
5. Гарг С. Производные решений задачи о собственных зна9. Фокс Р.Л., Капур М.П. Скорость изменения собственных
чениях для матриц общего вида // Ракетная техника и косзначений и собственных векторов // Ракетная техника и космонавтика. 1976. Т.14. № 9. С. 59-64.
монавтика. 1968. № 12. С. 227-230.
УДК 621.9.048.6:621.794
ВИБРАЦИОННОЕ МЕХАНОХИМИЧЕСКОЕ ПОКРЫТИЕ НА ДЕТАЛЯХ ИЗ АЛЮМИНИЯ,
ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДАМИ ГЛ И ЛПД
В.В. Иванов1
Донской государственный технический университет,
344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина 1.
Предложена технология вибрационной отделочной обработки алюминиевых сплавов с одновременным нанесением покрытия. Описывается теоретическая модель формирования оксидного покрытия в условиях виброобработки. На основе экспериментальных исследований подобраны литейные сплавы, рабочие среды, режимы работы оборудования, активирующие растворы. Показано практическое применение разработанной технологии на
реальных деталях.
Ил. 9. Табл. 2. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: вибрационная обработка; комбинированные покрытия; совмещенный процесс оксидирования
и вибрационной обработки; поверхностный слой металла; полимерные рабочие среды.
___________________________
1
Иванов Владимир Витальевич, кандидат технических наук, доцент кафедры сервиса и технической эксплуатации автотранспортных средств, докторант кафедры технологии машиностроения, тел.: (863) 2738360, е-mail: vivanov_dstu@mail.ru
Ivanov Vladimir, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Service and Maintenance of Vehi cles,
Competitor for a Doctor’s Degree of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: (863) 2738360, e -mail: vivanov_dstu@mail.ru
12
ВЕСТНИК ИрГТУ №1 (60) 2012
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа