close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Приближенные формулы для эллиптических интегралов 3-го рода.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ЗАПИСКИ
т о ом Х
удк
ЦАГИ
М3
1979
517.392
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 3-го РОДА
Я. М. Пархомовскuй
даны приближенные формулы для вычисления эллиптических
интегралов третьего рода. Формулы эти, обладая приемлемой в инже­
нерных расчетах точностью, позволяют в ряде случаев получить окон­
чательный результат в аналитической форме.
Через эллиптические интегралы третьего рода
П (n,
k 2,
ер)
~
f
=
•
da
(1+nsiп 2
(1)
а)Уl-k 2 siп 2 а
о
выражается
решение большого числа
в
технических.
том
числе
До
последнего
времени
самых разнообразных з адач,
серьезным
затруднением
при их вы­
числении было отсутствие таблиц этих интегралов . Двухтомные
семизначные таблицы этих интегралов (1) были выпущены вычис­
лительным центром АН СССР сравнительно недавно. Они охваты­
вают достаточно широкий интервал значений n (- 1 -< n -< 100), а
параметры ер и k изменяются в пределах 0 -< rp -< 900, 0 -< k 2 -< 1.
По необходимости в таблицах принят достаточно крупный шаг
по fl и недостаточно подробно DЫЧИСЛI:НЫ значения (1) в областях
k
и ер, где интеграл весьма быстро возрастает.
поляции, при которой,
конечно,
снижается
Это требует интер­
точность
полученных
данных. В таблицах, кроме того, не приведены значения интеграла
(неполного) при n
1.
<-
Поэтому нам представляется не бесполезным предложить приб­
лиженные формулы, пригодные для технических расчетов и пред­
ставляющие
решении
n (n,
k 2,
конкретных
<р) в аналитической форме, позволяющей при
задач
устанавливать
вид
искомых
зависимос­
тей. Приводимые ниже формулы обладают достаточной для инже­
нерных
ров
78
расчетов
точностью
эллиптического
во
интеграла.
всем
диапазоне изменения парамет­
Для построения их используется прием, указанный в
Именно, рассматривается эллиптический интеграл
[2].
в
П* (6, а, h)
=
S
(1
О
Здесь
а
0 -< 6,
эллиптическим
Интеграл
-
-<
6
'i't,
+ h cos ~) d~
у cos 3 -
-< а. При
а мы
6=
cos а
имеем
(2)
,
дело
с
полным
интегралом.
(2) конечен, если
1
cos е
и
< h < - 1 и - 1 < h < при 6-< 'i't/2
- 1 < h < - co~Т при 6> 'i't/2.
00
При nкритических" значениях параметров
(а);
h =-1
6='i't
(6);
I
(В)
h=-cos е
1
(3)
J
интеграл (2) принимает бесконечное значение.
Линии, описываемые уравнениями (3), в полосе шириной 6
'i't
плоскости h, 6 параметров эллиптического интеграла отделяют
области, в которых интеграл (2) конечен, от областей, в которых
=
интеграл
существует
Интегралы
и
(l)
в
(2)
П (n,
смысле
главного
значения.
связаны соотношениями
k 2 , IP)
=
1;:
П* (9, а,
h),
(4)
где
.
.
slП
а
k =sшт,
<р
е
т
= arcsin - - -
2k 2 h
n=-l+h'
а
(5 )
siпт
Представляем, далее,
(2) в виде конечной суммы
n=1
П* (6, а, h)
=
l: \lJ' (6
k=O
(60 =
О,
k,
6 н 1, а, h)
(6)
61 <62 < ... < 6 = 6),
n
где
61l + 1
\lJ' (6 k , 6k + 1,
а,
h)
=
S (1 + h cos 3) d3Уcos 3 -
cos а
(7)
&k
Подынтегральное выражение в (7) аппроксимируем таким об­
разом, чтобы интеграл выражался через элементарные функции.
При A6 k = 6k + 1 - 6k малом этого можно достигнуть, принимая, что
cos {}:::::::; ( 1 -
~2) cos 6Нl + <р siп 6 ч1 ,
(8)
где
79
Тогда для
(7)
получаем
При этом
а1 =
+)
приближенное выражение
(J
+ /l cos бk+l),
2Ь = sin ek +
J,
)
(10)
с
=-
2
COS
а
6k +\.
=
cos 6k + J - cos сх .
в зависимости от знака и величины h интервала, в котором
расположены f:l k и 6k +\, интеграл (9) выражается либо через обрат­
ные тригонометрические функции, либо через логарифмы [3].
Вычисления, которые мы опускаем, показывают, что во всем
диапазоне параметров h, 6k+J, а функция W(6 k , 6k +1 , се, h) выража­
ется одной из следующих двух формул:
w(6 k ,
6k+J , а, h)
1 +~B
=
{arcsin(csin6 k +J) -
cos а
- arcsin [D (sin 6k+J- ~ cos 6k + J)]},
(11)
если
-2соs6 k + J
1
и
.
)
+ cos26k+J -<, h < -
+
Iесли а <т;
при
1
- co <h-<' ---cosa •
qr (6 k • 6k+J,
при а>
COSCl
28
1+ h cos
а. h) =
cl
Х
если
1
-- -<. h<COS
а
при
cos (Jk+l
I
--<. h< co,
cosCl
-oo<h<-
при
I
cos 6k +1
и независимо от величины
6k + 1
< ; .
а
6н!
<;.
сх >
J
и а при
2 COS 6k+1
-l<h-<'-I+ cos26k + l
80
<;;
6 Ч1
;.
в формулах
(11)
и
~=ek+J -
{j k,
(12):
.------
г
'+hcos6Iг+l
А=
С _ ,.
В= -./
12 cos2 6k+t1 ++ hh(c,osa
У
+ cos26 k+l) I,
D=AC,
[(
~~ )
1 +h ' - 2 cos6k+ 1 +
(
f
- V
~ (13)
.] ,
~sш6k+l
, + h cos а
(I+hсоs6k+I)(' + соs~6k+I-2соs6k+tсоsа)
На "стыках" формул
(11)
и
(12)
имеем:
~ (14)
I
,
h = -cos
- -а .
при
Наглядное представление об интервалах применения формул
и
дают рис.
(12)
На
полосе
помимо кривых
П
* (v,
fj
и
1
шириной
(3),
(11)
2.
1t
плоскости
h,6
параметров интеграла
(2)
ограничивающих область конечности интеграла
.
а, h), нанесена пунктиром кривая /1 =
cos 6
'+2 С052
6
-
Пусть требуется вычислить П* (о, сх, h), причем 6> ~ , сх >6.
Область конечности интеграла (см. рис. 1) это прямоугольник
А BCD, в котором O,~ в
в, - 1 < h
--~ Этот прямоугольник
<-
раз
б ивается
U
кривои
h
= -
<-
1
2 cos 6
+
cos~(j
,
cos 6
U
И прямои
.
h
=
- )
С05а
на три час-
ти. Если точка (h, (j k + 1) лежит в АЕРО (наклонная штриховка), то
для вычисления W (e k , (j k +I , сх, h) применяют формулы (11); если же
точки (h, 6 чl ) лежат в CDGF и АВЕ, заштрихованных вертикально,­
формулы (12).
Иными словами, вычисляя интеграл П'~ (6, сх, h 1 ) при значении
h h 1 (см. рис. 1) при разбивке интеграла на участки, следует всю-
=
ду, где (j k + 1 <в~ и 6;=2arctg
а при 6k +1
> 6; -
i!
1+h
1-h~' пользоватьснформулами(11),
формулами (12). Если h = h2 , то П* (6, сх, h2 )
ма слагаемых, каждое из которых вычисляется по формуле
б-Ученые записки N, 3
сум­
(11).
-
81
h
D
__1_f=i-гn,.,гт-r-rтттi
СОо8
Рис.
1
Рис.
2
С
На рис. 2, а и б,~ в которых
6'< Т, >;
и
6'<
соответственно
, <;
~
(1
КОСОЙ штриховкой отмечены области примени­
(1
д10СТИ формул (11), вертикальной штриховкой - формул (12).
Отметим одно обстоятельство. При переходе от (7) к (9) и
при аппроксимации по (8) подынтегрального выражения сохраня­
ются [см. (3)] ~критические" значения параметров (6) и (в) и сдви­
гается вправо - в сторону больших значений h-критическая точ­
ка (а).
Поэтому, если необходимо вычислить интеграл (2) при значе­
ниях h:::::: - 1, надо применить другую аппроксимацию подынтег­
рального
выражения.
Выделяем интеграл
=s
о
w(О,
О,
h)
(1,
(1
О
полагаем
(1
> О,
d&
+ h cos &) Уcos & -
(15)
cos а
а 0« 1 (обычно можно брать 0=2- ~ 2-). При15
ближенное значение
(15)
10
получим, ап~роксимируя
cos{};::;:::; 1- ~.
2
Это дает для
w (О,
О, а,
Х
При 8 н!
>О
W(О,
О,
h);::::::
arcsln
(1,
h)
выражение:
у2"
У(! + h) [(1 + h) -
__ {l
__0
2 sJn 2""
а
2hsin 2
+]
Х
+ h-2hsin2т
(16)
1 + h - ho 2
уже применяются формулы
(11)
или
(12).
Сравнение приближенных формул для эллиптического интег­
рала с их табличными или точными значениями показывает, что
ошибку, не превышающую 1-1,5%, можно получить, перекрывая
весь интервал 8 (О
О
'It) всего
четырьмя-пятью участками . Для
значений I h
участками.
1
""2
и
1
-< -<
I < -1- можно ограничиться уже тремя-четырьмя
2
В табл.
при
(1
= 'It
100
1
1
1
1 для значений h = - 102' - 2 ' - 3 ' 3
приведены
П * (О,
(1,
h), определенных
цифры каждой строки) и их
значения
неполных
'
интегралов
по формулам (11), (12) (верхние
табличных значений по (1] (нижние
100
цифры строки). Интервал разбивался на четыре части. Для
h = - 102
выделялась дополнительно область малых О (е = l~). При
h
= 1,
=
а
'It интеграл П* (8,
'It,
1) псевдоэллиптический и сравнивал ось
его точное значение с приближенным. Для удобства в табл.
1
и 3 приведены пересчитанные по формулам (5) значения
(n, k 2 , '11).
В скобках первой строки и столбца табл. 1 даны значения пара-
n
83
Таблица]
~
100
- 102; (100) - 0,5; (2)
300
1
- 3; (1)
+: (-0'5)1+; (- ~)
1; (-1)
0,12353
0,12164
0,25372
0.25369
0,25901
0,25905
0,26095
0,26791
0,26879
0.26897
0,27064
0,26955
(30")
0,13925
0,14142
0,47456
0,47324
0,50687
0,50648
0,57430
0,57606
0.58464
0,58605
0,60438
0,60798
90"
(45°)
0,14924
0,15034
0,66580
0,66403
0,74910
0,74843
0,97906
0,98591
1,0228
1,031
1,1339
1,1478
120·
(60°)
0,15609
0,15718
0,85837
0,85669
1,0157
1,0153
1,6184
1,626
1,783
1,7926
2,3684
2.3905
]500
0,16429
0,16539
1, IlЗ6
1,1184
1,3969
1,3978
2,8609
2,8747
3,4521
3,4717
8,1581
0,17551
0,17662
1,4924
1,4933
1,9531
1,9574
4,9958
5,0237
6,5721
6,6279
66 , 800
67,138
0,19144
0,19260
2,0282
2,0308
2,7564
2,7633
8,1974
8,2365
Н,36338
11,4614
1642,6
1643,7
(15°)
600
(750)
1700
(850)
1780
(890)
метров
I
I
n
rp (k 2 = 1).
и
Значения
II
(табличные)
при
8,223б
I
2
n= 3
были
получены линейной интерполяцией.
Из табл. 1 легко усмотреть вполне достаточную точность при­
ближенных формул. Важно отметить, что эта точность сохраняет­
ся и вблизи критических значений параметра. В табл. 2 (с шес­
тью знаками) дано сравнение точных значений псевдоэллиптичес­
кого
интеграла
6
")!'2П(6,
1t,
1)=")1'2
S
d3
(1
+ С05&) УI +
cos&
u
Таблица
Точное значение
Приближенное
84
2065 , 09
2064, 22
4644, 48
4643, 40
8255 , 46
8254 . 33
18572,4
18572,0
Z
116065,0
116055,0
с приближенными при 6, близких к 180°. (При вычислении при­
ближенных значений весь интервал разбивался только на четыре
участка).
Наконец, в
табл.
дано сравнение табличных значений инте­
3
грала
900
r (1 + n sin 'f') d~Jll -
П (n, 0,5, 900) =
.J
(17)
0,5 sinZ'f'
2
о
с приближенными (здесь
щих
во
всем
6
= о: =
диапазоне таблиц
;) для ряда значений n, лежа­
[1]. Значения h, соответствующие
заданным n и вычисленные по формулам (5), даны во второй стро­
ке таблицы. При использовании приближенных формул весь интер­
вал разбивался на два равных участка. Таким образом, прибли­
женная формула для интеграла (17) выглядела для h
О следую­
щим образом:
>
П (n,
\;-: П* (
0,5, 900) =
;,
h),
;,
г де
2
- arcsin
j~
h)= 2
П* (....:... , ~,
2
sln ___
ОС
arcsin
1
(1 - : )sin ~
11 + (
1
h
",2
1 - ---
+ -_Vh
1
32
-('"
2
-
+ ---4
7t
4
r
/
3 (
"2
cos -7t
4 _
аrсsш
.
v
4
7t )
+ hcos 4
{3h
]
)
1
4
+ 7th
))
2
+ 4 cos
~
4
+
.
Таблица
n
1-0,9951-0,91-0,71-0.51-0,11
]
h
Табличные
10
50
80
3
100
1
---0,90909 -0 .98039 -0,98765 -0,9901 О
1.0
9
3
30,641 6,4255 3,5621 2,7013 1,9633 0,51060 0,22886 0,18025 0,16093
199
7
---
9
значения
Приближенные
значения
30,546 6,3529 3,51282,6656 1,9438
0,51324
0,23049
0,18036
0,1614 о
I
85
При
h
<О
интервал
разбивался
на
три участка
-.
выделялась
дополнительно окрестность ну л я (6 -< 1~) И там вычисления про­
водились по формуле (16).
Таким образом, погрешность всюду лежит в пределах 1 %.
Если же при h
О перекрывать весь интервал одним участком, то
наибольшая погрешность не превысит 5 %.
>
ЛИТЕРАТУРА
1. Б е л я к о в В. М.,
• Таблицы еллиптических
2. Пар х о м о в с к и
тических
интегралов
линейной статики
М 4, 1978.
3.
ГТТИ,
и
К Р а в Ц о в а Р. И., Р а 11 поп о р т
М. Г .
интегралов·, т. 1, 2, М., АН СССР, 1962, 1963.
й я. М.
Приближенные формулы для еллип­
примеры приложения
упругих
Т и м о Ф е е в А. Ф.
балок . • Ученые
их
к
двум
записки
задачам
ЦАГИ·,
Интегрирование функций. М.
-
т.
не­
9,
л., ОГИЗ
1948.
Рукопись поступила
30/111 1978
г_
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
37
Размер файла
2 478 Кб
Теги
интеграл, рода, формула, эллиптическая, приближенные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа