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Применение метода многочленных преобразований при исследовании виброзащитных систем.

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?????????? ?????? ???????????? ??????????????
??? ???????????? ????????????? ??????
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??????????????? ?????????? ????????????? ??????? ? ????? ????????? ???????, ? ???????????
??????? ??????? ? ???? ??????????? ?? ????????? ??????? ?? ??????? ?????????? ? ??????????? ?
?????????????? ???????????. ??????? ???????????? ?????????????? [1, 2] ????????? ????????
??????? ?????????? ? ??????????? ???? ? ?????? ???????? ????????. ?????????? ????????????
?????????, ??????????????? ?????????? ???????? ? ?????????????? ?????? ?????????. ????????????
???????? ?????? ???????????? ?????????????? ??? ?????????? ?????? ? ????? ????????? ???????,
????????? ??????????????? ???????, ??????? ??? ????????????????. ?????????? ???????? ????????
?????? ?????????, ????????????? ? ??????? Mathematica 4.1, ??????????? ????? ????????????
??????????????.
????????
??? ???????????? ???????? ????????????? ?????? ?????????? ????????????
?????????? ?????????????? ??????. ?????????? ?????????? ?????????? ?????? ?
????? ???????????? ????????????? ??????. ???????? ????? ????????????
?????????????? ???????? ??????? ??? ???????????? ?????????? ?????????????
??????? ? ????? ????????? ??????? ? ???????? ?????????????? ???????????????
???????????. ?????????? ?????? ????? ??????? ???????????? ? ???? ??????????? ??
????????? ??????? ?? ??????? ?????????? ? ??????????? ? ??????????????
???????????. ???????????????? ????????? ???????? ????????????? ??????? ?
????? ???? ???????????? ???
Aq&& + Bq& + Cq =
4
?g
? =1
?
cos(?t ) ?1 sin( ?t ) ?2 +
(1)
4
? h? cos(?t ) ?1 sin(?t ) ?2 q1?3 q2 ?4 q3?5 q&1?6 q& 2 ?7 q&3 ?8 ,
? =2
? > ?1 + ? 2
????? q = [q1 , q2 , q3 ] ? ?????? ?????????? ????????? ???????, A, B, C ?
?????????? ??????? ???????? ???????, ? = ( ?1? 2 ),? = (? 1? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8 ) ? ?????????
T
???????,
? = ?1 + ? 2 , ? = ? 1 + ? 2 + ... + ? 8 , g ? = [g 1? , g 2 ? , g 3? ] h? = [h1? , h 2? , h 3? ]
T
T
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???????-???????.
??????????????, ??? ?????????????????? ????????? Det A?2 + B? + C = 0 ?????
??????????? ????? ?S , ?S ? ?????? ?????????????? ????????????? ???????.
[
]
??????? ?????, ??? ?????????? ??????? ?????????? ?????? g S ? < 1, h S ? < 1 ????.
1. ???????????? ?????????????? ???????
???????? ???????? ?????? ???????????? ??????????????, ????????????? ??
????? ???????????????? ? ????? Mathematica 4.1. ?????? ??????????-???????????
?????????? q0 = exp(i?t ) ? q0 = exp( ?i?t ) , ?1 = i? , ????? ????? ????????
1
1
(2)
cos(?t ) = ( q0 + q0 ) ? sin(?t ) = ( q0 ? q0 ) .
2
2i
??????? ??????? (1), ???????? ????????? ??????????-??????????? ??????????
(2), ? ???? ??????? ?????? ???????????????? ????????? ??????? ???????:
X& = PX + R
(3)
T
??????-??????? ????? ?????????? X = [q0 q0 q1q2 q3q&1q& 2 q&3 ] , ? ?????????? ???????
??????? 8�????? ???
9
0
0 ?
? W
? 0 ?
?i? 0 ?
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0
0
P?
I
, R = ? 0 ?, W = ?
?.
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?
?
0
?
i
?
?
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?? A?1 H ? A?1C ? A?1 B ??
?? A?1G ??
????? I ? ????????? ???????????? ??????? 3� 0 ? ??????? ???????,
H = [0.5( g10 ? ig 01 ) 0.5( g10 + ig 01 )] ,
G=
4
? ( ?i )
?2
? =2
4
? ( ?i )
? =2
? > ?1 + ? 2
?2
0.5?1 +? 2 g ? ( q0 + q0 ) ?1 ( q0 ? q0 ) ?2 +
?
?
?
?
?
?
0.5?1 + ?2 h? ( q0 + q0 ) ?1 ( q0 ? q0 ) ?2 q1 3 q2 4 q3 5 q&1 6 q& 2 7 q& 3 8 .
??????????? ???????? ?????????????? ????
Y = DX .
???????? ????? ??????? (3) ?????????? ? ????????????? ????:
Y& = ?Y + R X ? D ?1Y , ??? ? = diag[?1 , ?1 ,..., ?4 , ?4 ] .
(4)
(5)
??????????? ???????????? ?????????????? ? ????????? ?? ?????? ??????????
??????? ????????????:
4
y S = z S + ? a?S ?? , ( s = 3,...,8) , Z ? ? z1? 1 z?2 2 ... z?8 8 ,
(6)
? =2
??? a?S
? ??????????? ???????????? ??????????????. ????????? ??????????-
??????????? ?????????? ?? ?????????????????: y S = z S ( s = 1,2) . ???????????
????????????? ?????????????? ???????? ?????????? ???????
4
z&S = ?S z S + ? q?S ?? , ( s = 3,...,8) ,
(7)
? =2
??? q?S ? ??????? ???????????? ??????????????? ???????.
?????? ???????? ??????? ??? ????????????? s ????????? ??? ?????????????
??????????????? ??????? ???? ????????? [3]:
8
?? ?
k =1
k
k
? ?S ? 0,
8
??
k =1
k
= 2,3,4 .
(8)
?????????? q?s ???????????? ???? ??? ???????? ????????? ????????; ??? ?????
????????? ????????? ?????????? a?s . ????????, ??? ?????? ????????? ????????
???????? ???????????? a?s ??????? ???? ? ????????? q?s .
? ????????????? ??????, ????? ??????????? ??????? ????????? ??????? ?
??????? ???????? ?? ????????? ? ?? ??????, ??????? ????????? ?????? ???????:
??? q?3 : ? = (00100011),? = (00101100 ),? = (00210000 ),? = (11100000 ),
??? q?5 :? = (00001011),? = (00002100 ),? = (00111000 ),? = (11001000 ),
??? q?7 :? = (00000021),? = (00001110 ),? = (00110010 ),? = (11000010 ).
? ??????????????? ??????? (7) ??????? ?????? ??????????:
z S ,S +1 ? ? S exp(i (t Im ? S � ? S ) ), z S = z S +1 , s = 3,5,7;
z1, 2 ? exp( 眎t?)
? ?????????? ??????? (7) ????? ??????????? ? ????
10
(9)
?& S = Re(? S )? S + Re(? ), ?& S = ? ?S1 Im(? ), s = 3,5,7,
?=
4
?q ?
? =2
S
?
?3 + ?4
3
? 5?5 + ?6 ? 7?7 + ?8 exp(i ( ?3 ( ? 3 ? ? 4 ) + ?5 ( ? 5 ? ? 6 ) + ?7 ( ? 7 ? ? 8 ) ? ? S )).
(10)
? ????????????? ?????? ?????????? ?? ?????? ? ??????? (10), ??? ??? ?? ???????
????? ????. ???????????? ??????? ????? ?????, ????????? ?????? ????? ???????
(10) ? ????. ??????? ??????? ??????????????? ??????? (10) ? ????????? ??? ?
??????? ?????? ?????????? (9), ?????? ?????? Z . ?????? Y ?????????? ????? ??????
Z ?? ???????? ???????????? ?????? (6). ??? ??????? ??????? (1) ?????? X
?????????? ????? ?????? Y ?? ???????? ??????, ???????? ????????: X = D ?1Y .
??????? ??????????????? ??????? ??? ??????? ????????????? ??????????????
? ??????????????? ???????.
??????? ??????? (5) ? ?????????? ? ????????????? ?????????????? (6)
4
y& S = ?S z S + ?S ? a?S ?? + RS ( Z ) .
(11)
? =2
?????????????????? ??????? ???????????? ?????????????? (6) ? ????????
????????? (7), ???????:
y& S = ?S z S +
4
? q? ?
?
S
?
+
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4
8
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S
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k
=2
k
)+
k =1
4
8
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?
S
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=2
z
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k k
k =3
4
q? ? ? ).
?
?
k
(12)
) = RS ( Z ),
(13)
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?? ?????? (11) ? (12) ??????? ?????????:
4
4
8
4
8
? q?S ? ? + ? (a?S ? ? (? ? k ?k ? ? S )) + ? (a?S ? ? ? ?k zk
? =2
? =2
k =1
? =2
k =3
?1
4
?q ?
k
?
?
? =2
( s = 3,...,8) .
??????????? ? (13) ???????????? ??? ?????????? ???????? ? , ????????
??????? ?????????????? ????????? ??? ??????????? ??????????? ?????????????
?????????????? ? ??????????????? ???????.
??? ?????? ????? ?? ?????????? ??????? ? ????????? ????????????
????????????? ?????????? ????:
4
4
i8
i7
i6
i5
i4
i3
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? p?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,? 5 ,? 6 ,? 7 ,? 8 = ? ??? ?? ?? pi1 ,i2 ?i1 ,i3 ?i2 ,i4 ?i3 ,i5 ?i4 ,i6 ?i5 ,i7 ?i6 ,i8 ?i7 .
? =2
(14)
i8 = 2 i7 = 0 i6 = 0 i5 = 0 i4 = 0 i3 = 0 i2 = 0 i1 = 0
2. ??????????? ?????????? ??????
? ??????? Mathematica 4.1 ?? ???? ?????????? ?????????????? ??????????? ????
??????????? ????????? ??? ???????????? ??????? ???????????? ??????????????
?????????? ????????????? ?????? ? ????? ????????? ??????? ???? (1). ??? ????????
???????????? ?????????? ??????????? ???????? ??????? ??? ???????? ??????????
???????? ????????? ???????.
?????????? ???????? ????? ????????????? ?????????.
???? ??????? ???????? ?????????? ???????. ?? ?????? ????? ????????
??????? A, B, C , ??????? ??????????? ????????? ? ? ??????? g ? , h? ??????? (1).
??????? ???????????? ? ???? (3). ???????????? ??????? P, R .
???? ????????? ?????????????? ???????. ???????????? ???????????? ???????
? , ???????????? ?? ??????????? ????? P . ????????? ??????? D ?????????
?????????????? (4), ???????? DP = ?D , ? ??????? ??????????????, ?????????
?????????, D ?1 . ??????????????? ?????????? ?????? ????? ? (5) ??????? R
????????????? ? ????? ?????????? Y .
???? ????????????? ????? ?? ?????????? ???????. ??????????? (14).
???? ???????????? ???????????, ? ????? ?????????? ? ???????.
11
???? ??????????? ?????? ???????? ?????????????? ?? ???????? (8).
???? ?????????????? ????????? (13) ? ????? ?????????? Z .
???? ??????????? ??????? ?????????????? ????????? ??? ??????????
??????????? ????????????? ?????????????? ? ??????????????? ???????. ????????
??????? ?????????????? ????????? ????? ????????????? ? (13) ????????????? ???
?????????? ???????? ? .
???? ??????? ??????? ?????????????? ?????????. ????????????
??????????? ????????????? ?????????????? ? ??????????????? ???????.
??????????
??????????? ?????? ???????????? ?????????? ????????????? ??????. ?????????
????? ?????? ???????????? ?????????????? ??? ???????????? ??????????
????????????? ?????? ? ????? ????????? ???????. ??????????? ????????
??????????? ?????????? ??????. ??????? ???????????? ?????????????? ??????????
????????????? ??????? ? ???????? ????????? ?????????? ? ??????????? ????.
??????? ???????????? ?????????, ???????????? ???????? ????????. ?????
????????? ???????? ?????????? ????????? ???????????? ? ??????????????
?????????????? ????????? ????????, ??????????? ?????????????? ?????? ?????????
??? ??????, ??????????? ? ???????? ?????????????? ???????? ???????????, ? ?????
??????? ?????????? ????????.
??????????
1. ????????? ?.?. ???????? ?????????? ???????????? ? ???????????????????
??????. ?: ??????????????, 1975. 198 ?.
2. ????????? ?.?. ? ?????? ?????????? ????????? // ??????? ???. 1964. ? 1. ???.1.
?. 88?98.
3. ?????? ?.?. ?????????? ?????? ???????? ?????. ?: ??????????????, 1992.
376 ?.
4. ???????? ?.?., ???? ?.?., ?????? ?.?. ?????? ?????????. ?: ?????, 1981. 568 ?.
5. ???????? ? ???????. ?????????? ? 6-?? ??. ?. 6. / ??? ???. ?.?. ???????. ?.:
??????????????, 1995. 456 ?.
6. ?????? ?.?., ?????? ?.?. ?????????? ?????? ????????????? ??????. ?:
??????????????, 1980. 317 ?.
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