close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Применение метода римановых инвариантов к решению задачи о восстановлении поверхности по заданной отрицательной гауссовой кривизне.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
т. е. вторая из двух характеристик системы (16), проходящих через точку (x, y) ∈ R2 .
Решение задачи (16), (15) будем строить методом последовательных приближений, приняв
за начальное приближение
r0 (y) ,
s0 (y) ,
p0 (y) ,
n
q 0 (y) = zy0 (y) ,
n
n
n
z 0 (y) .
n
Пусть построено приближение r(x, y), s(x, y), p(x, y), q (x, y), z(x, y). Определим функn+1
ции r (x, y),
ной системы
n+1
s (x, y),
n+1
n+1
n+1
p (x, y), q (x, y), z (x, y) как решение задачи Коши для линей n+1 n n+1
nn n n
r

s
s, p, q )
r
+
r
=
F
(x,
y,
r,

y
x






n n+1
n+1
nn n n


sx + r sy = F s (x, y, r, s, p, q )






n n+1
n n n
n+1
,
(19)
px + s py = F p (x, y, s, p, q )






n n
n n+1
n+1


qx + r qy = F q (x, y, p, q )







 n+1 n n+1
n n n
zx + r zy = F z (x, y, r, p, q )
с начальными условиями
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
r (0, y) = r0 (y), s (0, y) = s0 (y), p (0, y) = p0 (y), q (0, y) = q 0 (y), z (0, y) = z 0 (y).
Интегрируя систему (19) вдоль соответствующих характеристик получим:

∫x


n+1
n n n n
n
n


r (x, y) = F r (x, y, r, s, p, q )(τ, gs (τ ; x, y))dτ + r0 (gs (0; x, y))





0







∫x


n+1
n n n n
n

s
0 n

 s (x, y) = F (x, y, r, s, p, q )(τ, gr (τ ; x, y))dτ + s (gr (0; x, y))




0







∫x
 n+1
n n n
n
n
p (x, y) = F p (x, y, s,
p, q )(τ, gs (τ ; x, y))dτ + p0 (gs (0; x, y))



0







∫x


n+1
n n


q (x, y) = F q (x, y, p,
q )(τ, gnr (τ ; x, y))dτ + q 0 (gnr (0; x, y))





0







∫x
 n+1

n n n
n
n


z (x, y) = F z (x, y, r, p, q )(τ, gr (τ ; x, y))dτ + z 0 (gr (0; x, y))



(20)
0
С1 – решение задачи (11), (15) существует, если существуют непрерывные функции r, s, p,
q, z, ry , sy , py , qy , zy , т. к. согласно (11) rx , sx , px , qx , zx выражаются через r, s, p, q,
z, ry , sy , py , qy , zy . Доказательство существования непрерывных функций r, s, p, q, z,
r{y ,} sy ,{ p}y , {
qy ,} zy {сводится
к доказательству равномерной сходимости последовательностей
n
n} { n} { n } { n } { n } { n } { n }
n
n
r , s , p , q , z , ry , sy , py , qy , zy . При этом решающую роль
играет равномерная ограниченность этих последовательностей.
2072
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
Пусть функции ∆,
1
∆,
r0 , s0 , p0 , q 0 С1 – ограничены. Введем обозначения:
}
{
0
0
α0 = max sup r (y) , sup s (y) ;
ω=r,s
yϵR
yϵR
{
}
fx fy α1 (x) = max sup , sup ;
yϵR 4f
yϵR 4f
(21)
√ α2 (x) = sup −f ;
yϵR
∆
α3 (x) = sup .
yϵR 2
Л е м м а 1. Пусть
0
p ≤ 1, q 0 ≤ 1, z 0 ≤ 1, α0 + 4
+∞
+∞
∫
∫
α1 (x) dx + 4
(1 + |x| )α2 (x) dx ≤ 1,
2α3 ≤ 1.
(22)
Тогда для ∀ (x, y) ∈ [0, +∞) × R, n = 0, 1, 2, . . . справедливы неравенства:
n
n
n
n
n
p
q
r
s
z
(x,
y)
≤
1,
(x,
y)
≤
1,
(x,
y)
≤
1
+
x,
(x,
y)
≤
1
+
x,
(x,
y)
≤ 1 + 2x + x2
(23)
−∞
−∞
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем лемму 1 методом индукции по n. Из соотношений (22)
n+1
и начальных значений r (0, y) = r0 (y),
n+1
s (0, y) = s0 (y),
n+1
p (0, y) = p0 (y),
n+1
q (0, y) = q 0 (y),
n+1
z (0, y) = z 0 (y) следует, что для n = 0 неравенства (23) верны. Предположим, что неравенства
(23) выполнены для некоторого номера n, и докажем их для номера n + 1.
Из (20) имеем
n+1
∫x n n n n n
n
r (x, y) ≤ F r (x, y, r, s, p, q ) (τ, gs (τ ; x, y))dτ + r0 (gs (0; x, y)) ≤
0
+∞
+∞
∫
∫
≤ α0 + 4
α1 (τ )dτ + 4
(1 + τ )α2 (τ )dτ ≤ 1;
0
0
n+1
∫x n n n n n
n
s (x, y) ≤ F s (x, y, r, s, p, q ) (τ, gr (τ ; x, y))dτ + s0 (gr (0; x, y)) ≤
0
+∞
+∞
∫
∫
≤ α0 + 4
α1 (τ )dτ + 4
(1 + τ )α2 (τ )dτ ≤ 1;
0
0
∫x ∫x
n+1
n n n n
n
0
p (x, y) ≤ F p (x, y, s,
p, q ) ((τ, gs (τ ; x, y))dτ + p (gs (0; x, y)) ≤ 1 + 2α3 dτ ≤ 1 + x;
0
0
2073
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
∫x ∫x
n+1
n n n
n
0
q (x, y) ≤ F q (x, y, p,
q ) (τ, gr (τ ; x, y))dτ + q (gr (0; x, y)) ≤ 1 + 2α3 dτ ≤ 1 + x;
0
0
n+1
∫x n n n n
n
z (x, y) ≤ F z (x, y, r, p, q ) ((τ, gr (τ ; x, y))dτ + r0 (gr (0; x, y)) ≤
0
∫x
≤1+
2(1 + τ )dτ = 1 + 2x + x2 .
0
{n} {n} {n} {n} { n}
p ,
q ,
s ,
z
Л е м м а 2. При выполнении условий (22) семейства r ,
равномерно ограничены на компакте
G (x, y) = {(x, y)|x ∈ [0, x] , y ∈ [y − x + x, y + x − x]}
для ∀ (x, y) ∈ [0, +∞) × R.
n
n
n
n
(24)
n
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции r(x, y), s(x, y), p(x, y), q (x, y), z(x, y) определены
выходящие
из любой точки (x, y) ∈ G (x, y) ,
на компакте G (x, y) , поскольку характеристики,
n
n
лежат в компакте G (x, y) в силу того, что r ≤ 1, s ≤ 1.
Равномерная ограниченность следует из неравенств (23).
0
0
Потребуем, чтобы начальные данные r , s были разделены постоянной, т. е. пусть существует δ = const > 0 такое, что
inf r0 (y) − sup s0 (y) ≥ δ > 0.
y∈R
(25)
y∈R
Л е м м а 3. Пусть существует ε ∈ (0, δ], такое, что
+∞
+∞
∫
∫
δ−ε
.
α1 (x)dx +
(1 + |x|)α2 (x)dx ≤
8
−∞
−∞
Тогда для n = 0, 1, 2, . . .
inf
(x,y)∈R2
n
r(x, y) −
n
sup s(x, y) ≥ ε > 0.
(x,y)∈R2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (18) с учетом (21) и оценок (23), (26), имеем
+∞
+∞
∫
∫
δ−ε
r (x, y) ≥ inf r (y) − (4
α1 (x)dx + 4
(1 + |x|)α2 (x)dx) ≥ inf r0 (y) −
,
y∈R
y∈R
2
n+1
0
−∞
−∞
+∞
+∞
∫
∫
δ−ε
s (x, y) ≤ sup s (y) − (4
α1 (x)dx + 4
(1 + |x|)α2 (x)dx) ≤ sup s0 (y) +
.
2
y∈R
y∈R
n+1
0
−∞
−∞
Тогда, учитывая условие (25), получим
inf
(x,y)∈R2
n+1
r (x, y) − sup
(x,y)∈R2
n+1
s (x, y) ≥ inf r0 (y) −
y∈R
= inf r0 (y) − sup s0 (y) − (δ − ε) ≥ δ − δ + ε = ε.
y∈R
2074
y∈R
(26)
δ−ε
δ−ε
− sup s0 (y) −
=
2
2
y∈R
(27)
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
В [4, с. 88], доказано, что производные точного решения слабо-нелинейной системы квазилинейных уравнений гиперболического типа остаются ограниченными при любом значении y,
если ограниченным остается само решение. В работе [2] это утверждение распространено на
метод последовательных приближений для системы пяти уравнений с двумя различными
ха{n
}
рактеристиками. Аналогичное утверждение имеет место для последовательностей ry (x, y) ,
{n
} {n
} {n
} {n
}
sy (x, y) , py (x, y) , qy (x, y) , zy (x, y) .
{n
} {n
} {n
}
Л е м м а 4. Последовательности производных ry (x, y) , sy (x, y) , py (x, y) ,
}
{n
}
{n
zy (x, y) равномерно ограничены на компакте G(x, y), определённом услоqy (x, y) ,
вием
(24),
∀(x, y) ∈ [0, +∞)
× R,
n
n
ry (x, y) ≤ F (x), sy (x, y) ≤ F (x),
∀(x, y) ∈ G(x, y), n = 0, 1, 2, . . .
т.
F (x) ∈ C0 (R), такая что
е. существует
функция
n
n
n
py (x, y) ≤ F (x), qy (x, y) ≤ F (x), zy (x, y) ≤ F (x) для
n
n
n
n
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим gr (x, y0 ) = gr (x, 0, y); gs (x, y0 ) = gs (x, 0, y). Функция
n
y = gr (x, y0 ) есть решение задачи Коши

n
 ∂ gr (x, y0 ) n
n
= r(x, gr ) ,
(28)
∂x
 n
gr (0, y0 ) = y0
n
т. е. кривая, заданная уравнением y = gr (x, y0 ), есть одна из характеристик, проходящих через
точку (0; y0 ).
n
Функция y = gs (x, y0 ) есть решение задачи Коши

n
 ∂ gs (x, y0 ) n
n
= s(x, gr ) ,
 n ∂x
gs (0, y0 ) = y0
(29)
n
т. е. кривая, заданная уравнением y = gs (x, y0 ), есть вторая характеристика, проходящая через
точку (0; y0 ).
Пусть
n+1
n+1
n+1
n+1
n
n+1
n+1
n
r (x, y0 ) = r (x, gs (x, y0 )); s (x, y0 ) = s (x, gr (x, y0 ));
(30)
p (x, y0 ) = p
n+1
n+1
n+1
n+1
n
n
n
(x, gs (x, y0 )); q (x, y0 ) = q (x, gr (x, y0 )); z (x, y0 ) = z (x, gr (x, y0 )).
2075
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
Формулы (18) принимают вид:

∫x

n+1

n n n n
n
n


r (x, y0 ) = F r (τ, gs (τ ; y0 ), r, s, p, q )(τ, gs (τ ; y0 ))dτ + r0 (y0 )





0







∫x

n+1

n n n n
n
n


s (x, y0 ) = F s (τ, gr (τ ; y0 ), r, s, p, q )(τ, gr (τ ; y0 ))dτ + s0 (y0 )





0







∫x
 n+1
n
n n n
n
p (x, y0 ) = F p (τ, gs (τ ; y0 ), s, p, q )(τ, gs (τ ; y0 ))dτ + p0 (y0 )



0







∫x

n+1

n
n n

q

q )(τ, gnr (τ, y0 ))dτ + q 0 (y0 )
q
(x,
y
)
=
F
(τ,
g
(τ
;
y
),
p,

0
r
0




0







∫x

n+1

n
n n n
n


z (x, y0 ) = F z (τ, gr (τ ; y0 ), r, p, q )(τ, gr (τ, y0 ))dτ + z 0 (y0 )



0
n+1
n+1
Отсюда следует, что r (x, y0 ); s (x, y0 );
дачи Коши для системы уравнений





















n+1
p (x, y0 );
n+1
q (x, y0 );
n+1
z (x, y0 ) есть решение за-
∂ n+1
n n n n
n
n
r = F r (x, gs (x; y0 ), r, s, p, q )(x, gs (x; y0 ))
∂x
∂ n+1
n n n n
n
n
s = F s (x, gr (x; y0 ), r, s, p, q )(x, gr (x; y0 ))
∂x
∂ n+1
n
n n n
n
p = F p (x, gs (x; y0 ), s, p, q )(x, gs (x; y0 ))

∂x





 ∂ n+1

n n n n
n
n


q = F q (x, gr (x; y0 ), r, s, p, q )(x, gr (x; y0 ))

 ∂x







n n n
n
n
 ∂ n+1
z = F z (x, gr (x; y0 ), r, p, q )(x, gr (x; y0 ))
∂x
(31)
с начальными данными
n+1
r (0, y0 ) = r0 (y0 );
n+1
s (0, y0 ) = s0 (y0 );
n+1
p (0, y0 ) = p0 (y0 );
(32)
n+1
q (0, y0 ) = q 0 (y0 );
2076
n+1
z (0, y0 ) = z 0 (y0 ).
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
Дифференцируя по y0


























равенства (30) получим
∂ n+1
∂ n
∂ n+1
g s (x, y0 ),
r (x, y) n
r (x, y0 ) =
∂y0
∂y
y=g s (x,y0 ) ∂y0
∂ n+1
∂ n+1
∂ n
g r (x, y0 ),
s (x, y) n
s (x, y0 ) =
∂y0
∂y
y=g r (x,y0 ) ∂y0
∂ n+1
p (x, y0 ) =
∂y0









 ∂ n+1

q (x, y0 ) =


∂y0








∂ n+1



 ∂y z (x, y0 ) =
0
∂ n+1
∂ n
p (x, y)
g s (x, y0 ),
n
∂y
y=g s (x,y0 ) ∂y0
∂ n+1
∂ n
q (x, y)
g r (x, y0 ),
n
∂y
y=g r (x,y0 ) ∂y0
∂ n
∂ n+1
g r (x, y0 ),
z (x, y) n
∂y
y=g r (x,y0 ) ∂y0
откуда
∂ n+1
∂ n+1
∂ n+1
r (x, y0 )
s (x, y0 )
p (x, y0 )
∂ n+1
∂ n+1
∂ n+1
∂y0
∂y0
∂y0
p
r (x, y) =
s (x, y) =
,
,
(x, y) =
,
∂ n
∂ n
∂ n
∂y
g s (x, y0 ) ∂y
g r (x, y0 ) ∂y
g s (x, y0 )
∂y
∂y
∂y
∂ n+1
∂ n+1
q (x, y0 )
z (x, y0 )
∂ n+1
∂
n+1
∂y
q (x, y) = ∂y0
z (x, y) = 0
,
.
∂ n
∂ n
∂y
g r (x, y0 ) ∂y
g r (x, y0 )
∂y
∂y
(33)
Дифференцируя по
y0
формулы (28), (29), получим уравнения
(
)
∂
∂ n
∂ n
∂ n
g r (x, y0 ) =
g r (x, y0 ),
r(x, y) n
∂x ∂y0
∂y
y=g r (x,y0 ) ∂y0
∂
∂x
(
)
∂ n
∂ n
∂ n
g s (x, y0 ) =
g s (x, y0 ),
r(x, y) n
∂y0
∂y
y=g s (x,y0 ) ∂y0
или
∂
ln
∂x
∂
ln
∂x
и начальные условия
(
(
)
∂ n
∂ n
g r (x, y0 ) =
r(x, y) n
,
∂y0
∂y
y=g r (x,y0 )
(
)
∂ n
∂ n
g (x, y0 ) =
s(x, y) n
,
∂y0 s
∂y
y=g s (x,y0 )
)
(
)
∂ n
∂ n
g r (0, y0 ) = 1,
g s (0, y0 ) = 1.
∂y0
∂y0
(34)
(35)
Пусть υ(x, y) ∈ C1 – произвольная функция. Введем обозначение
)
(
)
(
∂υ n ∂υ
d
∂υ n ∂υ
d
r
υ =
+
,
υ =
+s
.
dx s ∂x
∂y
dx r
∂x
∂y
2077
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
n+1
n n+1
n n n n
n+1
n n+1
n+1
n+1
Вычитая из равенства sx + r sy = F s (x, y, r, s, p, q ) равенство sx + s sy =
( n+1)
nn n n
d s
s
p
q
s,
F (x, y, r,
, ) − dx
n+1
r
.
чим sy =
n
n
r−s
Преобразуем это равенство:
( n+1)
n n n n
d s
s (x, y, r,
q ) − dx
F
s,
p,,
n+1
r
sy =
=
n
n
r−s
( n+1)
n n n n
d s
r (x, y, r,
n n n n
n n n n
q
F
s,
p,
)
−
s
r
dx
F (x, y, r, s, p, q ) − F (x, y, r, s, p, q )
r
=
+
=
n
n
n
n
r−s
r−s
(n+1 n n+1) ( n+1)
d s
n n n n
n n n n
rx + s ry − dx
s
r
F (x, y, r, s, p, q ) − F (x, y, r, s, p, q )
r
=
+
=
n
n
n
n
r−s
r−s
( n+1)
( n+1)
d r
d s
n
n
n
n
n
n
n
n
−
dx
dx
F s (x, y, r, s, p, q ) − F r (x, y, r, s, p, q )
r
r
+
=
=
n
n
n
n
r−s
r−s
( n+1 n+1 )
d
n+1
nn n n
nn n n
r − s ) n+1
s
r
dx (
F (x, y, r, s, p, q ) − F (x, y, r, s, p, q )
r r − s
=
+
=
n
n
n
n
n+1
n+1
r−s
r−s
r − s
nn n n
=
nn n n
F s (x, y, r, s, p, q ) − F r (x, y, r, s, p, q )
(
d
n+1
n+1
ln( r − s )
dx
)
(
)
d n+1
s
dx
r
, полу-
r − s
+
.
n
n
n
n
r−s
r−s
r
Так как функции F r (x, y, r, s, p, q) , F s (x, y, r, s, p, q) , F p (x, y, s, p, q) , F q (x, y, p, q) ,
z
F
r, p, {
q) }непрерывно
{n} { n} дифференцируемы по r, s, p, q, z, x, y, а семейство
{n}(x,{y,n}
n
r , s , p , q , z равномерно ограничено, то существует константа C, такая что
|F | ≤ C,
ω
ω
∂F ∂µ ≤ C,
ω = r, s, p, q, z,
µ = r, s, p, q, z, x, y.
Используя оценки (23), (27), (36), получим
n+1 n+1 nn n n
nn n n
F s (x, y, r,
s, p, q ) − F r (x, y, r, s, p, q ) 2C r − s 2
,
≤
≤ ,
n
n
ε rn − ns ε
r−s
откуда
(
(
) ) ∂ n+1 2C 2 d
2C 2 d
n+1
n+1
n+1
n+1
s ≤
−
− ln( r − s ) ≤
+ ln( r − s ) .
ε
ε dx
∂y
ε
ε dx
r
r
Пусть X + , X − – такие множества, что
(
)
(
)
d
d
n+1
n+1
n+1
n+1
+
ln( r − s ) ≥ 0 для x ∈ X ,
ln( r − s ) < 0 для x ∈ X − .
dx
dx
r
r
Тогда при x ∈ X + имеем
(
)
(
)
2C 2 d
∂ n+1 2C 2 d
n+1
n+1
n+1
n+1
r
s
s
r
s
−
−
ln(
−
) ≤
≤
+
ln(
−
) .
ε
ε dx
∂y
ε
ε dx
r
r
2078
(36)
(37)
(38)
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
Отсюда
2C
−
−
ε
(
(
[ n+1 n+1 2 ])
[ n+1 n+1 2 ])
d
∂ n+1 2C
d
ε
s ≤
ln ( r − s )
≤
+
ln ( r − s ) ε
.
dx
∂y
ε
dx
r
r
(39)
С учетом (39) из (34), получим неравенства
)
(
(
[ n+1 n+1 2 ]) 2C
∂
∂ n+1
d
g r (x, y0 ) ≥ −
ln
−
ln ( r − s ) ε
,
n+1
∂x
∂y0
ε
dx
r y= g r (x,y0 )
∂
ln
∂x
(
)
(
[ n+1 n+1 2 ]) ∂ n+1
2C
d
g r (x, y0 ) ≤
.
+
ln ( r − s ) ε
n+1
∂y0
ε
dx
r y= g r (x,y0 )
Преобразовав эти неравенства, получим
(
{
}) d
2C
n+1
n+1 2 ∂ n+1
g
ε
ln ( r − s )
≥− ,
r (x, y0 )
n+1
dx
∂yo
ε
r y= g r (x,y0 )
(
{
}) 2C
d
n+1
n+1 − 2 ∂ n+1
g r (x, y0 )
≤
ln ( r − s ) ε
.
n+1
dx
∂yo
ε
r y= g r (x,y0 )
Проинтегрировав полученные неравенства, имеем
 x
 x


( n+1 n+1 )− 2ε
( n+1 n+1 ) 2ε
∫
∫



n+1
r − s
r − s
2C
2C 
∂
g r (x, y0 ) ≤
exp
−
exp
dτ
≤
dτ .


 ∂y0

r0 − s0
ε
r0 − s0
ε
0
0
x ∈ X −,
Повторив предыдущие рассуждения для
получим неравенства


 x

(
(
)− 2
)2
∫x
∫
ε
ε



0
0
0
0
n+1
2C
r −s
2C 
r −s
∂
g (x, y0 ) ≤
exp
−
dτ
≤
exp
dτ .
n+1
n+1
n+1
n+1

 ∂y0 r


ε
ε
r − s
r
s
−
0
0
n+1
g s (x, y0 ) получаются аналогично.
n
n
g r (x, y0 ) и g s (x, y0 ), (n = 1, 2, 3, . . .) :
Оценки производных
имеем оценки для
∂
∂yo
1
∂ n
g r (x, y0 ) ≤ ψ(x),
≤
ψ(x)
∂y0
Поэтому, учитывая (23) и (27),
1
∂ n
g s (x, y0 ) ≤ ψ(x),
≤
ψ(x)
∂y0
(40)
( )2
2 ε 2C x
e ε , ψ(x) ≥ 1.
где ψ(x) =
ε
Дифференцируя формулы (31) по параметру y0 , получим

n n
n n
n
(
)
n n
n n

∂
∂ n+1
∂F r ∂ r ∂ g s ∂F r ∂ s ∂ g s ∂F r ∂ p ∂ g s ∂F r ∂ q ∂ g s ∂F r ∂ g s



 ∂x ∂y r = n n ∂y + n n ∂y + n n ∂y + n n ∂y + n ∂y

0
∂ r ∂ gs 0
∂ s ∂ gs 0
∂ p ∂ gs 0
∂ q ∂ gs 0
∂ gs 0



n+1

 ∂ r (0, y0 ) = r0 (y0 ).

y
∂y0

n n
n n
n
(
)
n n
n n

∂ n+1
∂F s ∂ r ∂ g r ∂F s ∂ s ∂ g r ∂F s ∂ p ∂ g r ∂F s ∂ q ∂ g r ∂F s ∂ g r
 ∂


+ n n
+ n n
+ n n
+ n
s = n n

 ∂x ∂y0
∂ r ∂ g r ∂y0
∂ s ∂ g r ∂y0
∂ p ∂ g r ∂y0
∂ q ∂ g r ∂y0
∂ g r ∂y0



∂ n+1



s (0, y0 ) = s0y (y0 ).
∂y0
2079
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016

n n
n n
n
)
(
n n

∂
∂F p ∂ s ∂ g s ∂F p ∂ p ∂ g s ∂F p ∂ q ∂ g s ∂F p ∂ g s
∂ n+1



p = n n
+ n n
+ n n
+ n

 ∂x ∂y0
∂ s ∂ g s ∂y0
∂ p ∂ g s ∂y0
∂ q ∂ g s ∂y0
∂ g s ∂y0



∂ n+1



p (0, y0 ) = p0y (y0 ).
∂y0

n n
n n
n
(
)

∂ n+1
∂F q ∂ p ∂ g r ∂F q ∂ q ∂ g r ∂F q ∂ g r
∂



+ n n
+ n
q = n n

 ∂x ∂y0
∂ p ∂ g r ∂y0
∂ q ∂ g r ∂y0
∂ g r ∂y0
(41)



n+1
∂

0


q (0, y0 ) = qy (y0 ).
∂y0

n

n n
n n
(
)
n n

z ∂r

n+1
g r ∂F z ∂ p ∂ g r ∂F z ∂ q ∂ g r ∂F z ∂ gr
∂
∂
∂F
∂



 ∂x ∂y z = n n ∂y + n n ∂y + n n ∂y + n ∂y
0
0
∂ r ∂ gr 0
∂ p ∂ gr 0
∂ q ∂ gr 0
∂ gr




∂ n+1


z (0, y0 ) = zy0 (y0 ).

∂y0
{
}
0 0 0 0 0 Обозначим V0 = max sup ry (y) , sup sy (y) , sup py (y) , sup qy (y) , sup zy (y) , и рассмотy∈R
y∈R
y∈R
y∈R
y∈R
рим ассоциированную с задачей (41) мажорантную задачу
{ d
2
dx V = 4!ψ (x)V +!ψ(x),
V (0) = V0 .
(42)
Задача Коши (42) рассматривается для линейного уравнения относительно функции V (x) и
поэтому имеет решение на всей прямой.
0 0
0 0 0
Так как ψ ≥ 1, то начальное приближение r, s, p, q , z удовлетворяет неравенствам
∂ 0
∂ 0
∂ 0
∂ 0
∂ 0
r ≤ ψ(x)V (x), s ≤ ψ(x)V (x), p ≤ ψ(x)V (x), q ≤ ψ(x)V (x), z ≤ ψ(x)V (x).
∂y ∂y ∂y ∂y ∂y Предположим, что
n
n
∂ ∂
∂ s ≤ ψ(x)V (x), ∂y
∂y r ≤ ψ(x)V (x), ∂y
n
n
∂ q
∂ z ≤ ψ(x)V (x),
∂y ≤ ψ(x)V (x), ∂y
n
p ≤ ψ(x)V (x),
(43)
Учитывая оценки (36), (40), (43), по формулам (18), (41) получим оценки:
n n
n n
n )
∫x ( r n n
n n
∂ n+1 0 g s ∂F r ∂ s ∂ g s ∂F r ∂ p ∂ g s ∂F r ∂ q ∂ g s ∂F r ∂ g s
r
∂F
∂
∂
+ n n
+ n n
+ n n
+ n
×
n
n
∂y0 r ≤ ry +
p ∂ g s ∂y0
q ∂ g s ∂y0
g s ∂y0
∂ r ∂ g s ∂y0
∂ s ∂ g s ∂y0
∂
∂
∂
0
∫x
n
×(τ, gs (τ ; y0 ))dτ ≤ V0 + (4Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ = V (x) ,
0
n n
n n
n )
∫x ( s n n
n n
∂ n+1 0 g r ∂F s ∂ s ∂ g r ∂F s ∂ p ∂ g r ∂F s ∂ q ∂ g r ∂F s ∂ g r
r
∂F
∂
∂
+ n n
+ n n
+ n n
+ n
×
n
n
∂y0 s ≤ sy +
p ∂ g r ∂y0
q ∂ g r ∂y0
g r ∂y0
∂ r ∂ g r ∂y0
∂ s ∂ g r ∂y0
∂
∂
∂
0
∫x
n
×(τ, gr (τ ; y0 ))dτ ≤ V0 + (4Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ = V (x) ,
0
2080
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
n n
n n
n )
∫x ( p n n
∂ n+1 0 g s ∂F p ∂ p ∂ g s ∂F p ∂ q ∂ g s ∂F p ∂ g s
s
∂F
∂
∂
+ n n
+ n n
+ n
×
n
n
∂y0 p ≤ py +
p ∂ g s ∂y0
q ∂ g s ∂y0
g s ∂y0
∂ s ∂ g s ∂y0
∂
∂
∂
0
∫x
n
×(τ, gs (τ ; y0 ))dτ ≤ V0 + (3Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ ≤
∫x
≤ V0 +
0
(4Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ = V (x) ,
0
n n
n )
∫x ( q n n
∂ n+1 0 p ∂ g r ∂F q ∂ q ∂ g r ∂F q ∂ g r
∂F
∂
+ n n
+ n
×
n
n
∂y0 q ≤ qy +
p ∂ g r ∂y0
q ∂ g r ∂y0
g r ∂y0
∂
∂
∂
0
∫x
n
×(τ, gr (τ ; y0 ))dτ ≤ V0 + (2Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ ≤
∫x
≤ V0 +
(44)
0
(4Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ = V (x) ,
0
n )
n n
n n
∫x ( z n n
∂ n+1 0 g r ∂F z ∂ p ∂ g r ∂F z ∂ q ∂ g r ∂F z ∂ g r
r
∂
∂F
∂
+ n n
+ n n
+ n
×
n
n
∂y0 z ≤ zy +
p ∂ g r ∂y0
q ∂ g r ∂y0
g r ∂y0
∂ r ∂ g r ∂y0
∂
∂
∂
0
∫x
n
×(τ, gr (τ ; y0 ))dτ ≤ V0 + (3Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ ≤
∫x
≤ V0 +
0
(4Cψ 2 (τ )V (τ ) + Cψ (τ ))dτ = V (x) .
0
Из формул (33), пользуясь оценками (40), (44), получаем
∂ n+1
∂ n+1
≤ ψ(x)V (x),
r
s
(x,
y)
≤
ψ(x)V
(x),
(x,
y)
∂y
∂y
∂ n+1
p
(x, y) ≤ ψ(x)V (x),
∂y
(45)
∂ n+1
∂ n+1
∂y q (x, y) ≤ ψ(x)V (x), ∂y z (x, y) ≤ ψ(x)V (x).
Обозначим F (x) = ψ(x)V (x). Тогда из (45) следует утверждение леммы 4.
Таким образом, доказана равномерная ограниченность приближенных решений и их производных, т. е. равномерная ограниченность итерационной последовательности. Дальнейшее
доказательство теоремы существования и единственности для задачи Коши (11), (15) проводится по стандартной схеме, использующей теорему Арцела [4].
Сформулируем достаточные условия, обеспечивающие существование С3 -гладкого решения задачи Коши (1) на всей плоскости R2 .
Пусть С1 , С2 – произвольные положительные постоянные, ε, δ – постоянные, связанные
0
0
условиями 0 < ε < δ, δ−ε
2 < 1. Функции r (y), s (y) заданы формулами (15).
Т е о р е м а 2. При выполнении условий:
1) функция ∆ ∈ С2 (R4 ), начальные условия z 0 ∈ С3 (R) , p0 ∈ С2 (R) ;
2081
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
2) функция z 0 (y) С3 – ограничена, функция p0 (y) С2 – ограничена;
1
1
3) |∆| ≤ 2С1 , ∆
≤ С2, ∂∆
∂ω ≤ С1 η (x) , где ω = x, y; 0 < С1 ≤ 2 ; С2 > 0;
4) N1
+∞
∫
−∞
{
η (x) dx ≤ δ−ε
2 ; N1 = max С1 ,
1
2 С1 С2
}
, 0 < ε < δ,
δ−ε
2
< 1, η (x) – произвольная
положительная функция;
0 0 0
z , zy , p ≤ 1;
5) r0 , s0 ≤ 1 − δ−ε
,
2
6) inf yϵR r0 (y) − supyϵR s0 (y) ≥ δ > 0.
на плоскости R2 существует единственное C3 – гладкое решение задачи Коши (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняются условия 1)-6). Докажем, что эти условия
обеспечивают выполнение условий (30), (33), (34).
Используя условие 3), получаем оценки коэффициентов системы (23):
∆x 1
≤ С1 С2 η (x) , ∆y ≤ 1 С1 С2 η (x) , ∆ ≤ С1 .
2∆ 2
2
2∆ 2
}
{
Обозначим N1 = max С1 , 12 С1 С2 . Отсюда, согласно формулам (29), имеем оценки
{
}
1
α1 (x) ≤ max С1 , С1 С2 η (x) = N1 η (x) , α2 ≤ С1 .
2
(46)
Тогда неравенства (46) и условия 5) обеспечивают выполнение второго неравенства (30):
+∞
+∞
∫
∫
δ−ε δ−ε
α1 (x) dx ≤ α0 + N1
η (x) dx ≤1 −
+
= 1.
α0 + 4
2
2
−∞
−∞
Условие 4) обеспечивает выполнение третьего неравенства (30). Условие 6) обеспечивает выполнимость неравенства (35) . Неравенство (34) с учетом сделанных обозначений и оценок (46)
есть условие 5).
Таким образом, условия 1)–6) обеспечивают выполнение неравенств (30), (33), (34), которые
в свою очередь обеспечивают существование единственного С1 -решение задачи (11), (15) в
полуплоскости x ≥ 0.
Решение в полуплоскости x ≤ 0 строится аналогично. С1 -гладкость решения обеспечивается одинаковыми начальными данными.
В работе [3] доказано, что С1 -решение задачи (24), (25) соответствует С3 -решение задачи (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Из теоремы 2 следует существование функции z = z (x, y) , являющейся С3 − гладким решением уравнения (1) на плоскости R2 . Эта
функция задает в трехмерном евклидовом пространстве С3 − регулярную поверхность. Выzxx zyy − zxy 2
числим гауссову кривизну этой поверхности K (x, y) = (
)2 . Легко получим, что
1 + zx2 + zy2
K (x, y) = f (x, y) , т. к. функция z = z (x, y) есть решение уравнения (1) при всех (x, y) ∈ R2 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бакельман И.Я., Вернер Л.А., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.:
Наука, 1973.
2082
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
2. Братков Ю.Н. О существовании классического решения гиперболического уравнения Монжа-Ампера в
целом // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 2.
3. Туницкий Д.В. Системы в римановых инвариантах и уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа
// Деп.ВИНИТИ 16.07.87, № 5122-В87.
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложений к газовой
динамике. М.: Наука, 1978.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877).
Поступила в редакцию 3 октября 2016 г.
Фомичева Юлия Геннадьевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина,
г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: fomichevajulia@mail.ru
Рудиченко Анастасия Андреевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистр, кафедра функционального анализа, e-mail:
nastya2801@mail.ru
UDC 514.7
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084
APPLICATION METHOD OF RIEMANN INVARIANTS TO SOLVE THE
PROBLEM OF SURFACE RECONSTRUCTION ON THE SET OF NEGATIVE
GAUSSIAN CURVATURE
©
Yu. G. Fomicheva, A. A. Rudichenko
Tambov State University named after G.R. Derzhavin
33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000
E-mail: fomichevajulia@mail.ru
This paper addresses the question of recoverability in the three-dimensional Euclidean space
with С3 –regular surface explicitly specified by the equation z = z(x, y) on the entire plane
of R2 on its specified negative Gaussian curvature. The solution to this problem is reduced to
the proof of existence and uniqueness of the R2 of the classical solving differential equations
of Monge-Ampere equations of hyperbolic type. Formulated the conditions for the existence
of such a decision as a whole.
Key words: restoration of surfaces; Gaussian curvature; a hyperbolic Monge-Ampere
equation; the Cauchy problem; Riman invariants
REFERENCES
1. Bakel’man I.YA., Verner L.A., Kantor B.E. Vvedenie v differencial’nuyu geometriyu «v celom». M.: Nauka,
1973.
2. Bratkov YU.N. O sushchestvovanii klassicheskogo resheniya giperbolicheskogo uravneniya Monzha-Ampera v
celom // Fundamental’naya i prikladnaya matematika. 2000. T. 6. № 2.
2083
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
3. Tunickij D.V. Sistemy v rimanovyh invariantah i uravneniya Monzha-Ampera giperbolicheskogo tipa //
Dep.VINITI 16.07.87, № 5122-V87.
4. Rozhdestvenskij B.L., YAnenko N.N. Sistemy kvazilinejnyh uravnenij i ih prilozhenij k gazovoj dinamike. M.:
Nauka, 1978.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic
Research (project № 14-01-00877).
Received 3 October 2016
Fomicheva Yuliya Gennadievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the
Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis
Department, e-mail: fomichevajulia@mail.ru
Rudichenko Anastasiya Andreevna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov,
the Russian Federation, Master program student of the Functional Analysis Department, e-mail:
nastya2801@mail.ru
Информация для цитирования:
Фомичева Ю.Г., Рудиченко А.А. Применение метода римановых инвариантов к решению задачи о восстановлении
поверхности по заданной отрицательной гауссовой кривизне // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные
и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2068-2084. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084
Fomicheva Yu.G., Rudichenko A.A. Primenenie metoda rimanovyh invariantov k resheniyu zadachi o vosstanovlenii
poverhnosti po zadannoj otritsatel’noj gaussovoj krivizne [Application method of Riemann invariants to solve the problem
of surface reconstruction on the set of negative gaussian curvature]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i
tekhnicheskie nauki – Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2068-2084.
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084 (In Russian)
2084
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
УДК 004.9
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2085-2092
ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ
ДИСТАНЦИОННОЙ ТЕРАПИИ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТОНИИ
©
Р. А. Хохлов 1) , О. Ю. Лавлинская 2) , Т. В. Курченкова 2) , А. В. Губкин 2)
1)
Воронежская областная клиническая больница
394082, Российская Федерация, г. Воронеж, Московский проспект, 151
E-mail: khokhlovroman@gmail.com
2)
Воронежский институт высоких технологий
394043, Российская Федерация, г. Воронеж, ул. Ленина, 73А
E-mail: lavlin2010@yandex.ru
В статье рассматривается способ организации удаленной терапии на основе телекоммуникационных сетевых технологий. Авторами представлен вариант решения задач
диагностики и лечения больных с артериальной гипертонией на основе телекоммуникационных информационных технологий, реализованных в виде медицинской информационной системы терапии хронических заболеваний (МИС СТЕРХ).
Ключевые слова: организация удаленной терапии; телемедицина; телекоммуникационные технологии
1.
Введение
Одной из самых перспективных сфер применения телекоммуникаций является медицина.
Согласно определению Американской Телемедицинской Ассоциации (American Telemedicine
Association), "телемедицина подразумевает использование телекоммуникаций для связи медицинских специалистов с клиниками, больницами, врачами, оказывающими первичную помощь, пациентами, находящимися на расстоянии, с целью диагностики, лечения, консультации
и непрерывного обучения"[1].
Решения в области телемедицины открывают колоссальные возможности в диагностике
и лечении пациентов. Большое количество западных и отечественных компании осуществляют разработку информационных систем и приложений в области телемедицины [2]. Так,
использование системы дистанционного мониторинга Philips eICU [3] на 26% снижает уровень смертности в условиях реанимации и на 20% сокращает период пребывания в отделении
интенсивной терапии.
Для Российской Федерации применение телемедицинских технологий очень актуально.
Россия обладает огромной территорией, при этом население рассредоточено крайне неравномерно, крупные мегаполисы и малонаселенная сельская местность, в которой проживает
60 процентов всего населения страны. Сельских жителей от крупных клиник с современным
оборудованием и квалифицированным медицинским персоналом отделяют сотни километров.
Поэтому телемедицина выступает важнейшим условием оказания качественной врачебной помощи в удаленных регионах, а в ряде случаев становится единственным шансом людей на
получение консультаций опытных специалистов. В то же время использование телемедицины в мегаполисах востребовано, особенно в плане организации терапии, контроле состояния
пациентов.
Дополнительным аргументом для активного внедрения методов дистанционного контроля
за терапией различных хронических заболеваний, что особенно хорошо продемонстрировано
2085
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
на примере лечения артериальной гипертонии (АГ), является снижения количества посещений
в медицинские организации, а также улучшение контроля заболевания и его исходов [11].
Несмотря на широкий арсенал современных методов терапии, лечение АГ по сей день
остается нелегкой задачей. По данным Российского регистра 2014 г., только у 44% больных
лечение было эффективным, т. е. они достигали целевых значений артериального давления
(АД). Причина неадекватного контроля АД не столько в недостаточной эффективности препаратов, сколько в низкой приверженности больных лечению. По оценкам экспертов ВОЗ, при
лечении АГ терапевтическая комплаентность составляет 40% [12–13].
В данной статье представлен вариант решения задач диагностики и лечения больных с
артериальной гипертонией на основе телекоммуникационных информационных технологий,
реализованных в виде медицинской информационной системы терапии хронических заболеваний (МИС СТЕРХ) [4].
2.
Описание медицинской информационной системы МИС
СТЕРХ
Медицинская информационная система [6; 14–15] предназначена для мониторинга состояния пациента, нуждающегося в постоянном контроле артериального давления и частоты
сердечных сокращений. Контроль осуществляется с помощью отправки смс-напоминаний о
необходимости измерения давления и приеме препаратов. МИС обеспечивает возможность
регистрации врача и пациента. Главная роль в системе отводится врачу, который лично регистрирует пациента в системе и вводит данные, необходимые для организации мониторинга
гипертонической картины здоровья пациента. Врач выбирает режим контроля состояния пациента в соответствии с данными анамнеза и осмотра, жалобами пациента. МИС обеспечивает
возможность выбора трех режимов контроля состояния и терапии пациента.
1. Режим контроля только АД. Режим включает график отправки смс–напоминаний, прием сообщений от пациента о параметрах АД. Значения сохраняются в базе данных МИС и
доступны для просмотра врачу в виде графика и данных в формате .xml за определенный
период времени. На рис. 1 представлен соответствующий график АД при наблюдении за пациентом в течение нескольких недель на этапе первичной диагностики АГ.
Рис. 1. График параметров АД, полученный в течение месяца наблюдения
2. Режим контроля АД и напоминания о приеме препаратов. Режим включает все возможности первого варианта и обеспечивает отправку смснапоминаний о приеме препаратов в
соответствии с лекарственной терапией, назначенной врачом во время осмотра. Данные обо
2086
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
всех препаратах хранятся в базе данных. Ввод данных осуществляется врачом во время осмотра пациента.
3. Режим дистанционного управления терапией АГ. Режим включает все возможности
второго режима и, кроме этого, обеспечивает изменение терапии, в случае, если, в течение
определенного периода (28, 52, 56) дней не происходит достижение целевых параметров АД.
Порог достижения целевых параметров АД устанавливается врачом на этапе выбора параметров терапии. Смена терапии предусматривает изменение списка препаратов, назначенных
врачом, режима приема препаратов, дозировки назначенных препаратов. Предусматривается
оповещение пациента о смене режима терапии, причине смены режима терапии и дальнейшие
инструкции для пациента (титрация терапии или визит к врачу). В основе режима терапии АГ
лежит модель мониторинга данных об АД и частоте сердечных сокращений, которые пациент
отправляет каждый раз в ответ на смс-напоминание от МИС СТЕРХ.
Модель контроля АГ базируется на получении данных за определенный период наблюдения, на котором врачом выбирается контрольный период расчета средних значений АД. На
рис. 2 представлен подход к определению контрольных отметок, где определены следующие
параметры:
Рис. 2. Модель расчета контрольных значений параметров АД
• V очный (первый, контрольный и т. д.) визит пациента к врачу и внесение о нем данных
в МИС.
• V+1 следующий, после визита к врачу, день, когда пациент начинает принимать назначенные препарат(ы) и получать напоминания об измерении АД и приеме препаратов.
• К контрольная отметка, которая определяет окончание контроля АД в режиме терапии.
При наступлении контрольной отметки МИС производит все, запланированные врачом
в режиме терапии АД, действия.
• [КN;К] контрольный период для расчета установленных значений. В этот период существует возможность организации более интенсивного мониторинга состояния пациента.
По окончании контрольного периода все данные за период обрабатываются по методу
расчета средних арифметических значений и сравниваются с заданными врачом целевыми параметрами АД.
• N количество дней, выбранных для анализа значений АД.
• ABPc = {ABPsad , ABPdad , CR} ,
где ABPc — множество целевых значений, которое состоит из:
ABPsad — систолическое давление,
ABPdad — диастолическое давление, CR — частота сердечных сокращений.
• ABPrK−N = T1
∑T
i=1 ABPi
, где T — количество измерений за период анализа.
2087
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 21, вып. 6, 2016
Далее, расчетное значение сравнивается с целевым показателем. Результат сравнение является принятием решения для продолжения терапии, в случае, если целевые значения не
достигнуты. Если ABPrK−N > ABPc , то продолжение терапии (титрация).
На рис. 3 представлен алгоритм смены режима терапии, как результат анализа контрольных значений АД.
Рис. 3. Алгоритм использования режима терапии АД в МИС СТЕРХ
В случае, если показатели АД пациента превышают допустимые значения (САД>200,
ДАД>120, ЧСС>100), врач получает сообщение о превышении порога безопасного давления для конкретного пациента. Также предусмотрена возможность отправить уведомление
доверенному лицу, если данные доверенного лица зарегистрированы в системе. Сообщения
о превышении допустимых порогов безопасного давления позволяют врачу контролировать
состояние пациента и принимать решение об изменении терапии или госпитализации мгновенно, в сообщении врачу указывается номер телефона и имя, отчество пациента, что дает
возможность лечащему врачу или любому доверенному лицу позвонить пациенту и оказать
поддержку.
2088
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа