close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Принципы максимума и методика постановки краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов в конечных одно- и многосвязных областях произвольной формы.

код для вставкиСкачать
ВЕСТН. САМАР. ГЕХ1{. УН-ТА. СЕР. ФИЗ.-МАТ. НАУ1\И. 1996. ;N'O 4.
Дифференциальные уравнения
УДК
517.956
М. Е. Л Е Р Н Е Р
ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА И МЕТОДИКА ПОСТАНОВКИ К Р А Е В Ы Х ЗАДАЧ
Д Л Я УРАВНЕНИЙ Г И П Е Р Б О Л И Ч Е С К О Г О И СМЕШАННОГО ТИПОВ
В КОНЕЧНЫХ ОДНО- И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Для гиперболических
уравнений приводится новое доказательство с помощью «базис­
ных» областей
сформулированных
ранее автором принципов
максимума
в болев
широком классе решений. На их основе ставятся новые краевые задачи А-\ Л---, Ф* >
и доказывается еашгствепность их реилений, а также разрешимость поставленной ранее
автором задачи «А» в классе ограниченных и кусочно-регулярных
решений.
Оконча­
тельно и положительно решен вопрос
о возможности постановки
краевой
задачи,
разрешимой в классе функций, непрерывных в замыканиях
вышеназванных
областей
(задача
А").
Предлагается м.етодика постановки краевых задач
на основе принципов
максимума
для уравнений смешанного типа, гиперболических
в одно- и многосвязных
подоблас­
тях произвольной формы с одной или несколькими, в том числе замкнутыми,
линиями
иъмененая типа уравнения.
Указываются работы автора, в которых удалось
реализо­
вать эту методику: доказать разрешимость поставленных на ее основе краевых задач.
Суилественное место в теории д и ф ф е р с [ щ и а л ь н ы х у р а в н е н и й з а н и ­
мают принципы максимума.
Они
дают
оценки
и
единственность
к р а е в ы х з а д а ч , и о т с ю д а подчас с л е д у е т их р а з р е ш и м о с т ь :
А. Х а а р ,
Е. Хопф,
А. Н. Тихонов,
С. З а р е м б о ,
Г. Ж и р о ,
А. В. Б и ц а д з е ,
П. Ж е р м е н [i Р. Б а д е р ,
К. И. Бабе[[ко, О. к. ОлеГигик, С. Агмон,
Л. Ниренберг
и М. X. П р о т т е р ,
X. В а й н б е р г е р ,
С. П . П у л ь к и н
и другие.
Принципы максимума
стали
самостоятельным объектом
монографий и исследований [ 1 - - 3 ] .
К а к п о к а з а н о в [2, 4 — 1 1 ] и в д а н н о й с т а т ь е , п р и н ц и п ы м а к с и м у м а
м о г у т б ы т ь п о л о ж е н ы в основу м е т о д и к и п о с т а н о в к и новых к р а е в ы х
задач,
в частности, з а д а ч с нелокальньимп краевыгми у с л о в и я м и с их
н о с и т е л я м и на г р а н и ц е о б л а с т и . Эти з а д а ч и м о л а ю и н т е р п р е т и р о в а т ь
к а к о б р а т н ы е к р а е в ы е з а д а ч и или к а к з а д а ч и у п р а в л е н и я , т е о р и я и
приложение! которых
в настоящее время
продолжают
иитенсивно
развиваться.
Прпнц[1пы м а к с и м у м а могут т а к ж е иметь с а м о с т о я т е л ь н о е з н а ч е ­
ние вне с в я з и с к р а е в ы м и задачаими:
применяться для исследования
к а ч е с т в е н н ы к свойств ф и з и ч е с к и х процессов [12, 13]
и специальных
функций [11.
Д а н н а я с т а т ь я и посвяидена в а ж н о й п р о б л е м е к а ч е с т в е н н о й т е о р и и
дифференциальных уравнений — принципам максимума
и их п р и л о ­
ж е н и я м к п о с т а н о в к е новых к р а е в ы х з а д а ч .
1. У р а в н е н и я г и п е р б о л и ч е с к о г о
типа
Д л я у р а в н е н и й э л л и п т и ч е с к о г о и п а р а б о л и ч е с к о г о типов ф о р м у л и ­
рованию принципов максимума
предшествовали постановки краевых
задач в классах непрерывных функций в областях нефиксированной,
5
п р о и з в о л ь н е й ф о р м ы , и они р а с с м а т р и в а л и с ь к а к п р и н ц и п ы м а к с и м у ­
ма этих з а д а ч [ 1 , 1 4 ] . Д л я г и п е р б о л и ч е с к и х
уравнений
принципы
м а к с и м у м а д о н а ш е й р а б о т ы [6]
формулировались лишь в характе­
ристических
треугольниках и четырехугольниках — «классических»
областях. Что ж е касается принципов максимума
в неклассических
о д н о с в я з н ы х и, тем более, в м н о г о с в я з и ы х о б л а с т я х , то они не б ы л и
о б н а р у ж е н ы и не б ы л о ясно, имеют ли вообнхе они место.
Следует
отметить,
что в н е к л а с с и ч е с к и х о д н о с в я з н ы х о б л а с т я х о п р е д е л е н н о й
формы
гиперболические
уравнения
и системы
рассматриваются,
н а п р и м е р , в м е х а н и к е [ 1 6 ] , т е п л о ф и з и к е [ 1 7 — 1 9 ] , теории о п т и м а л ь ­
ного у п р а в л е н и я в з а д а ч а х м а т е м а т и ч е с к о й ф и з и к и [20, 2 1 ] . О д н а к о
к рассмотрению гиперболических уравнений в многосвязных областях
произвольной
ф о р м ы м о ж н о прийти из с л е д у ю щ и х
соображений
Пусть струна,
с о в е р ш а ю щ а я плоскп.е « в ы н у ж д е н н ы е » к о л е б а н и я ,
в
м о м е н т в р е м е н и ti на одном из ее у ч а с т к о в п р и с т а н е т , п р и л и п н е т по
ее п р о ф и л ю к н е к о т о р о м у пpeд?vIeтy и в р е з у л ь т а т е этого р а с п а д е т с я
на д в е колеблюндиеся струны.
Допустим,
что з а т е м
к о н ц ы струн,
н а х о д я щ и е с я на этом п р е д м е т е , с т а н у т о т х о д и т ь от него и в 1М0мент
времени, to с о л ь ю т с я ,
т. е.
образуется одна колеблющаяся струна.
С л е д о в а т е л ь н о , в течение в р е м е н и / 2 — 1 \ с у щ е с т в о в а л а « м е р т в а я » з о е а ,
зона
«молчания»
струны. Таким образом, возникнет
двусвязная
о б л а с т ь , в которой с л е д у е т р а с с м а т р и в а т ь г и п е р б о л и ч е с к о е у р а в н е н и е ,
о п и с ы в а ю щ е е к о л е б а н и е с т р у н ы . О т с ю д а ясно, к а к м о ж н о п р и д т и
к
р а с с м о т р е н и ю г и п е р б о л и ч е с к и х у р а в н е н и й в более, чем в д в у с в я з н ы х
областях. Т а к а я интерпретация рассмотрения гиперболических урав­
нений в многюсвязных о б л а с т я х в о з н и к л а
на Сама^рском
городском
с е м и н а р е « А к т у а л ь н ы е п р о б л е м ы M e x a i n n a i и м а т е м а т и к и » под руко­
водством п р о ф е с с о р а Ю . П. С а м а р и н а ( с о а в т о р а р а б о т ы [ 1 6 ] ) .
С л е д у е т т а к ж е отметить, что (решения г и п е р б о л и ч е с к и х у р а в н е н и й
и их п р о и з в о д н ы е могут т е р п е т ь р а з р ы в ы при п е р е х о д е через х а р а к ­
т е р и с т и к и [22, с. 1 2 3 ] . Это я в л я е т с я
серьезным препятствием
при
п о с т а н о в к е д л я них к р а е в ы х з а д а ч в н е к л а с с и ч е с к и х о б л а с т я х в к л а с ­
се н е п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й .
Д л я в о л н о в о г о и более о б щ и х г и п е р б о л и ч е с к и х уравитений к р а е в ы е
задачи с данньши
на всей г р а н и ц е о д н о с в я з н ы х о б л а с т е й
опреде­
ленной формы исследовались
и м е т о д а м и (Ьункционального а н а л и з а
[23—32];
В п р и н я т о й в [6, 8, 9, 13, 14] т е р м и н о л о г и и и о б о з н а ч е н и я х р а с ­
смотрим в области Н уравнение
Lu = Uxy-\-a{x,
ij)ux
+ b{x,
y)Ujj-i-c{x,
у)и-=0,
(1)
где а, их, Ь, Ьу, С^С^{Н).
Ось Ох
направлена слева направо,
ось
Оу — снизу в в е р х . Г р а н и ц а у о б л а с т и Н м о ж е т с о с т о я т ь из одного
или н е с к о л ь к и х п о п а р н о непересекаюпиьхся простых з а м к н у т ы х кон­
т у р о в , к а ж д ы й из к о т о р ы х м о ж е т состоять из конечного числа п р я м о ­
л и н е й н ы х о т р е з к о в и г л а д к и х дуг (сторон обла^сти Я , их к о н ц ы — ее
в е р ш и н ы , о б р а з о в а н н ы е ими у г л ы — ее у г л ы ) . К а ж д а я о т к р ы т а я д у г а
R0 в н у т р е н н и х т о ч к а х не к а с а е т с я х а р а к т е р и с т и к
и с л ю б о й из них
может пересекаться
только
в одной точке, она м о ж е т быть
либо
«строго» в о с х о д я щ е й {у = у{х),
у'(х)^О),
л и б о «строго» н и с х о д я щ е й
{у = у{х),
у'{х)<0)
л и н и е й . Т а к и е о б л а с т и , к о н т у р ы , дуги с ч и т а ю т с я
п р а в и л ь н ы м и [ 1 4 ] . Д л я у д о б с т в а к е х а р а к т е р и с т и ч е с к и е пряруюлиненные с т о р о н ы с ч и т а ю т с я т а к ж е п р а в и л ь н ы м и д у г а м и [ 1 4 ] .
6
Т о ч к а Q ^ Y с ч и т а е т с я л е в о й (верхней) г р а н и ч н о й точкой о б л а с т и
Я,
если она м о ж е т быть л е в ы м ( в е р х н и м ) концом г о р и з о н т а л ь н о г о
(вертикального) открытого отрезка,
содержащегося в Я,
7^(VB) —
м н о ж е с т в о т а к и х точек. Ясно, что с л е д у е т п о н и м а т ь под 7 1 ! р ( 7 я ) . Н а у
MorvT быть точки, не п р и н а д л е ж а щ и е
ни уд и ни 7 п р , ни у» и ни y^^
[14]
Д о п у с т и м , что при н е к о т о р ы х у с л о в и я х д л я п р о и з в о л ь н о г о р е ш е н и я
и{х,у)
у р а в н е н и я (1) из н е к о т о р о г о к л а с с а
справедливо утвержде­
ние: m a x U / | при lu = Uy-{-a{x,
у) и = 0 на у^ д о с т и г а е т с я (только) на у^
(строгий принцип м а к с и м у м а м о д у л я в к л а с с е
с д а н н ы м и на
н
д о с т и ж е н и е м его на у^). О т с ю д а с л е д у е т п о с т а н о в к а
и еди!1ственность
р е ш е н и я , по к р а й н е й (мере в к л а с с е
следующих краевых задач с
локальными и нелокальными краевыми условиями.
Задача
А.
Н а й т и репление ii{x, у) у р а в н е н и я (1) по его с л е д у Т ( А ' )
на
7в
н
сле;.1у v{y)
о п е р а т о р а la
на
7 л \ 6 л
( а ( х , у)
—
коэффициент
у р а в н е н и я ( 1 ) , б л — м н о ж е с т в о в е р ш и н о б л а с т и Я из 7 л ) .
Задача Фа . Н а й т и ренление и[х.у)
у р а в н е н и я ( I ) : 1) по с л е д у v(^/)
о п е р а т о р а //./ на 7 л ' \ 5 л ;
2) но ех-о следу т(л') на 7 в \ 7 * в ;
3 ) по р а з ­
ности
u{Q\)—a{Q2)u{Q2)=g{Qi).
З д е с ь Qj — п р о и з в о л ь н а я точка из 7 " в , Qo^a,
Q2 = cp{Qi), ц{С1\) —
б н е к ц н я 7'^д на а, 7"и и а — совокупности п о п а р н о н е п е р е с е к а ю щ и х с я
замкггутых с в я з н ы х частей соответственно из 7 в и 7 \ 7 в , a ( Q 2 ) —
известная функция, | a ( Q 2 ) | < l
(|a(Q2)|<i).
К а к отмечено в [13, 14] ч а с т н ы м и с л у ч а я м и
задачи А являются
классические задачи Гурса, Коши и Д а р б у .
П о и м е р 1. П у с т ь Яо — с т у п е н ч а т а я о б л а с т ь с в е р ш и н а м и 0 ( 0 ; 0 ) ,
Л ( 0 ; 2 ) , 5 ( 1 ; 2 ) , С ( 1 ; 1), Z)(2; 1), £ ( 2 ; 0 ) . З д е с ь 7 Л - О Л , у^ =
АВ\]С.\СО,
7 Н - 0 Я , y^^^BC[]C[]DE.
П р о в е д е м о т р е з к и CF и C L ; F{% 1), L ( 1 ; 0 ) .
3 з а д а ч е А с л е д х{х)
х(л')
(А^)) и на CD
искомой ф у н к ц и и и{х,
(т{х) = Т 2 ( х ) ) ; след \{у)
у)
на
о п е р а т о р а in — на
Е г о з а д а н и е р а в н о с и л ь н о з а д а н и ю на OA с л е д а ^{у)
ф у н к ц и и , 'ф2(2) = t ! ( 0 ) , i|)(z/)
дачи Коши для уравнения
задается
самой
АВ
OA,
искомой
( О Д ) . i|i(i/) д о л ж н а быть решениСхМ з а ­
Uy (О, г/) + а (О, у) и (О, у)
V {у),
и ( 0 ; 2) =^TI{0) .
(2)
С л е х ю в а т е л ь н о , р е ш е н и е з а д а ч и Л с в о д и т с я к п о с л е д о в а т е л ь н о м у ре­
шению классической задачи Гурса, например, в прямоугольных облас­
т я х Hi^ABCF,
W2 = FCL0,
Hh=:CDEL.
О т с ю д а я с н о / что з а д а ч а Л ,
вообще говоря,
не р а з р е ш и м а
в классе непрерывных
в Я функций
из-за «снл1гулярности», « з а н я т о с т и » в е р ш и н ы С в том с м ы с л е , что в ней
п р е д о п р е д е л е н о з н а ч е н и е искомой ф у н к ц и и ее с л е д а м и
на части гра­
ницы п р и м ы к а ю щ е й к ней в точке С о б л а с т и Ни С л е д о в а т е л ь н о , в точ­
ке С ф у н к ц и я Х2(х) не м о ж е т быть задатка п р о и з в о л ь н о .
О д н а к о , к а к будет видно из д а л ь н е й ш е г о , з а д а ч а Л р а з р е ш и м а з
к л а с с е ограниченнькх ф у н к ц и й .
Ч т о б ы получить н е п р е р ы в н о е в Яо и к у с о ч н о - р е г у л я р н о е в
Ho\CL
р е ш е н и е у р а в н е н и я (1) д о с т а т о ч н о з а д а т ь //(.v, у) в точке D, а
roix)
к а к р е ш е н и е на A ' C < X < X D двухточечной к р а е в о й з а д а ч и д л я о б ы к н о ­
венного д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я
второго порядка,
например,
7
г''(х) =f{x),
/ ( х ) е С о [ л ' с , XD] ( з а д а ч а А'),
или ж е з а д а т ь и{х, у) в
т о ч к а х Л, В и D, а Т | (л') и Т2(х) в виде р е ш е н и й д в у х т о ч е ч н ы х к р а е в ы х
з а д а ч на ХА<Х^ХВ
и Хг<х<Хо
соответственно д л я уоавнений
x''i(x)=
= fi{x) и V'ix)=f,ix)
(задача Л - - ) .
Рис.
1.
Иллюстрация
к определению
правильной области
сингулярных вершин
Л ю б у ю п р а в и л ь н у ю о б л а с т ь ^можно р а з б и т ь
на б а з и с н ы е о б л а с т и ,
к которым относятся:
1) п р а в и л ь н а я д в у у г о л ь н а я о б л а с т ь . С л е д о в а т е л ь н о ,
ее
граница
состоит из д в у х сторон: л и б о н и с х о д я щ и х ( о б л а с т ь Й ) , л и б о в о с х о д я ­
щих (область
на р и с . 1 с о о т в е т с т в е н н о
о б л а с т и B'lE'A'sB'i
и
BiEAsBr,
2) п р а в и л ь н а я
треугольная
область
ABC,
сторона
которой
АВ{ХА<ХВ)
есть о т р е з о к г о р и з о н т а л ь н о й х а р а к т е р и с т и к и .
З д е с ь воз­
м о ж н ы о б л а с т и : а ) при УС>УА\
W{XC<XA),
А{ХС = ХА),
V{XA<XC<XB),
а т а к ж е области
и W\ с и м м е т р и ч н ы е с Д и W о т н о с и т е л ь н о о с и
ординат
(на рис. 1 они отсечены от о б л а с т и Н о т р е з к о м
С^Со)',
б) при УС<У.А:
Wi, Д|, V'l, Д ^ н W'l,
симметричные
соответственно
о б л а с т я м \F, Д, У, iV и W
о т н о с и т е л ь н о оси а б с ц и с с (на рис. 1 они
отсечены от о б л а с т и Н о т р е з к о м В?,В^^)\
3) т р е у г о л ь н ы е о б л а с т и W2 = CAE и W'2 = BFC, о т с е к а е м ы е верти­
к а л ь н ы м и о т р е з к а м и АЕ и BF с о о т в е т с т в е н н о от
и W\\
4) п р а в и л ь н ы е ч е т ы р е х у г о л ь н ы е о б л а с т и А BCD, у к о т о р ы х с т о р о н ы
АВ{ХА<ХВ)
Н CD{XC>XD)
— горизонтальные отрезки,
УА>УП.
Л ю б а я базисная область вертикальными характеристушами
может
быть р а з б и т а на п р о с т ы е о б л а с т и [ 1 4 ] . Т а к о й с ч и т а е т с я
односвязиая
о б л а с т ь , у к о т о р о й ул и
— с в я з н ы е м н о ж е с т в а и могут быть з а д а н ы
в виде:
а) ул:х = г{у)^ г(у)^С^[уп,
^г/в], уи = ш1пу, у^ =
II
б) у,:у = т{х1
т{х)^С'[х,,
Хл = m i n x ,
Я
х^рЩСЧ^л, Х П Р ) ;
Х п р = гпахх.
я
таху:
И
Е с л и , к р о м е этого, г{у)^С^{уп,
у^) и т ( х ) е С 2 ( х л , Х п р ) ,
то о б л а с т ь
считается простейшей.
П у с т ь о б л а с т ь Н не я в л я е т с я простой и о т л и ч н а от б а з и с н о й о б л а ­
сти. П р о в е д е м
через ее в е р ш и н ы
горизонтальные
характеристики:
У=Уп
i = 07^,
уо = таху,
уп^шту;
yi>yi+u
Я
я
^' = 0, ^—к
Gi=^{{x,y):
_
Y = Hi{]{{x,
yi>y>yi+i},
1 = 0'Гп—\;
Я . = /7ПСь
у): у=У(},
1-0,л.
Т о г д а к а ж д о е м н о ж е с т в о Я / м о ж е т с о с т о я т ь из конечного числа т р е ­
угольных
и четырехугольных базисных областей Я// [14], где / —
н о м е р т а к о й о б л а с т и из 1МН0жества Я / , п р и п и с ы в а е м ы й этим о б л а с т я м
в п о р я д к е их р а с п о л о ж е н и я в полосе Gi с л е в а н а п р а в о .
П у с т ь К = Н[]Ко; Ко — м н о ж е с т в о
проведенных выше характери­
стик у^уг,
Л4 = ЯПМо; Мо
множество вертикальных характеристик,
п р о в е д е н н ы х через в е р ш и н ы о б л а с т и Я из 7в и к а ж д о й точки из ^ П ^ о ,
Ясно, что х а р а к т е р и с т и к и из Мо могут р а з б и в а т ь к а ж д у ю б а з и с н у ю о б ­
ласть Я// лишь
на конечное число п р о с т ы х о б л а с т е й Я ^ / / , к о т о р ы м
п р и п и с ы в а е т с я номер k в п о р я д к е пх р а с п о л о ж е н и я в Я / / с л е в а н а п р а ­
во (см. п р и м е р 1).
Принципы
максимума
Определение
ф у н к ц и ю и{х^у)
Пх^СЦНхМ),
к р о м е этого,
1. Р е ш е н и е м у р а в н е н и я (1) к л а с с а ^ / ? будем
со с в о й с т в а м и :
1) Lu=-Q в Н\К[\М):
2)
иу^С^[{Н\К)'[](у'^\8л)],
Uy^C^
\\уХ,{.ун\ул)
]'
считать
и^С^{Н),
Uxy^C'[H\{K[jM)].
и
{ув\ул])
{Uy^C^y\
Если,
Uij,{x,
у)
одно-
н е п р е р ы в н а снизу (сверху) на 1/ = ^/, t = 0, п—1 ( / = 1 , п), то
будем с ч и т а т ь р е ш е н и е м у р а в н е н и я (1) к л а с с а 7?i ( к л а с с а R2).
CTOiponne
и{х,
у)
П у с т ь здесь и всюду н и ж е Q — п р о и з в о л ь н а я точка
из Н\{ул
и ув),
PQ — о т р е з о к г о р и з о н т а л ь н о й х а р а к т е р и с т и к и , п р о в е д е н н о й из точки
Q до нересечения с 7п в т о ч к е Р ; h = ar-}-ab—г,
1] = ехр1\ b {х,
y)dx}.
' PQ
Теорема
нения
1 (Принципы
(1) к л а с с а R
максимума).
( к л а с с а R2),
П у с т ь и{х, у)
1и=--0 на 7л, и{х^у)
— решение урав­
щО
в Я,
Тогда
( т о л ь к о ) на 7в д о с т и г а е т с я :
1) т а х | г / | , если он н о л о ж и т е л е н
и к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я (1)
удовлетворяют условиям
[8] и л и А :
1) а ( Р ) < 0 ;
2) / г < 0 в
Я\(7в\7л)5
3) с < 0 в Я \ ( 7 в \ 7 л ) (принцип м а к с и м у м а ( р е ш е н и я ) ) ;
2) m a x | i / ] , если к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я (1) у д о в л е т в о р я ю т усло-
н
в и я м С [ 8 ] ; 1 ) а ( Р ) < 0 ; 2) а ( Р ) + f Р [2!/z-f г] d x < 0 в Я \ ( 7 " в \ 7 л ) — I P Q
'
ро
или
условиям
-fjP|/z|dx<0
D
[8]:
в Я\(7в\7л)
1) а < 0
в
'
Я\(7в\7л);
(принцип м а к с и м у м а
2) P ( Q ) a ( Q )
+
модуля);
РО
3) т а х | а | е х р ( т л ' + яг/}, где т и п —
некоторые числа
[9]
(МУЛЬТН-
н
п л и к а т и в н ы й принцип
Доказательство,
1.
тях.
1.1. П у с т ь u^Ro
в
с п р а в а от о т р е з к а из
максимума модуля).
П о к а ж е м , что т е о р е м а верна в б а з и с н ы х
облас­
базисной области Я и точка Q
расположена
м н о ж е с т в а М, п е р е с е к а ю щ е г о
эту о б л а с т ь , и9
л е в е е нее нет иных т а к и х о т р е з к о в , Qo — т о ч к а п е р е с е ч е н и я PQ
с
этим ж е о т р е з к о м . В о з ь м е м на о т р е з к е PQ т о ч к и Q'o и Q'^Q соответст­
венно с л е в а и с п р а в а от т о ч к и Qo и на о т р е з к а х PQ^o и Q^^oQ проин­
тегрируем тождество
{^и)х
+ (|3aw)x —p/iw = О,
а з а т е м п е р е й д е м к п р е д е л у при Q'o
Qo и Q''o
Q o . Т о г д а с учетом
н е п р е р ы в н о с т и и{х,у)
и иу{х,у)
в Я , к а к и в с л у ч а е u^R2
[ 9 ] , полу­
чим с о о т н о ш е н и е
\ ргийх,
^{Q)Uy(Q)=[tiy{P)+a{P)ii{P)]--^(Q)a{Q)u{Q)+
(3)
PQ
г д е под Uy[Q)
и м е е т с я в виду UU{XQ, yq-rl).
леммы
2
[9], можно убедиться,
что
К а к и при д о к а з а т е л ь с т в е
(3)
справедливо
при
Q^-y\
(ул[]ув).
Ясно, что (3) в е р н о , к о г д а о б л а с т ь Я п е р е с е к а е т с я не­
с к о л ь к и м и о т р е з к а м и из М и, тем б о л е е , к о г д а т о ч к а Q л е ж и т с л е в а от
этих о т р е з к о в . И з (3) с л е д у е т
P ( Q ) Uy{Q)=
[Uy ( Р ) + а{Р)и(Р)
]
-а(Р)u{Q)~~
?^h[u{Q)—u]dx—n{Q)\l^cdx,
PQ
(4)
PQ
О т с ю д а в в и д у 1и==0 на у^ при m2ix\u\=u(Q)>0
и при этом ж е из
{3\
PQ
^{Q)Uy{Q)>~-u{Q)
[ а ( Р ) + ( ^[2\h\+c]dx,
(5)
PQ
P(QK(Q)>-^(Q)
[p(Q)a(Q)
+ [ pj/i|dx].
(6)
PQ
а. П У С Т Ь m a x / ^ > 0
и в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я Ai или A
и
максимум
Я
д о с т и г а е т с я в т о ч к е Q\ О н а не м о ж е т п р и н а д л е ж а т ь П\ {ул[]ув), т а к
к а к в сркту у с л о в и й А^ или Л, /^/ = 0 на у л и ( 4 ) б ы л о бы
Uy{xQ.,
yQ'-l'O) >0, что н е в о з м о ж н о . Е с л и у,, в е р т и к а л ь н а я
ртли
нисходящая
сторона области Я ,
1и = О на
ул'
то т о ч к а Q^ не м о ж е т п р и н а д л е ж а т ь у л Х у в в в и д у
(ведь тогда б ы л о бы
м о ж н о ) . С л е д о в а т е л ь н о , тахи
Uy{xQ.^
^ Q ' + 0)>0,
что
невоз­
д о с т и г а е т с я т о л ь к о на у^ (в с м ы с л е до-
Я
с т и г а е т с я на у^ и не м о ж е т д о с т и г а т ь с я в Я Х у в ) .
б. П у с т ь m a x U z | > 0 и в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я С или D. Б е з о г р а н и ч е Я
ния о б щ н о с т и
можно считать
maxjw| = m a x r / > 0 .
Я
д о с т и г а е т с я в точке Q ' ^ [ Я Х ( ^ л У Т в ] .
1и = 0 на 7 л из (5) и (6)
Т о г д а в силу у с л о в и й С или . D ,
, yQ'-r
0)>0,
Он т а к ж е не м о ж е т
в а т е л ь н о , m a x l a j д о с т и г а е т с я т о л ь к о на 7 в .
1 0
(7)
д о с т и г а т ь с я в т о ч к е из 7 л Х 7 т з ,
т а к к а к в ней в силу 1и = 0 на 7 л и а ( Р ) < 0 б ы л о бы Uy{P)>0.
Я '
1.2. П у с т ь u^R
что он
следует
^yixQ
что невозхможно.
Допустим,
Я
в базисной области Я .
Следо­
а. П у с т ь т а х г / > 0 и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я
или А. П у с т ь , н а -
/7
п р и м е р , H = W\
х = ц){у)
— у р а в н е н и е уир = ВС.
Допустим,
что maxfi
Я
не д о с т и г а е т с я на ув. Т о г д а
в силу Uy^C^{^[)ул),
у с л о в и й Ai и А
1и = 0 и о т с ю д а ввиду (7) он не м о ж е т д о с т и г а т ь с я в W и, с л е д о в а ­
т е л ь н о , д о л ж е н д о с т и г а т ь с я в некоторой точке
{AB[jB[jBC).
Значит,
в н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и точки Q д о л ж н а сугцествовать т а к а я т о ч к а
Q O G E W ^ ЧТО U{QO)>0,
u{Qo)>rnaxiL
П р о в е д е м через точку Qo линии
АС
y = yQ^^ и х = ц){у)—г{г>0)
я о б о з н а ч и м через W'o = A'QoC'
открытую
т р е у г о л ь н у ю о б л а с т ь , о т с е к а е м у ю ими от о б л а с т и
(она
также
я в л я е т с я б а з и с н о й ) . В W\ ф у н к ц и я и{х, y)^R2С л е д о в а т е л ь н о , в силу
п. 1.1, а тахи
д о с т и г а е т с я т о л ь к о на А^С^
и, с т а л о быть, б о л ь ш е , чем
^ ( Q o ) . Это п р о т и в о р е ч и т ^ ( Q o ) > m a x ^ > m a x i /
и доказывает
требуемое
з д е с ь . Ясно, что з д е с ь и з л и ш н е т р е б о в а н и е : н е п р е р ы в н о с т ь а, Ь, с в
в п л о т ь до АВ[]В[]ВС =
у\ул.
С помош,ью а н а л о г и ч н ы х построений
и
а р г у м е н т а ц и и м о ж н о убе­
д и т ь с я , что и в о с т а л ь н ы х б а з и с н ы х о б л а с т я х тзхи д о с т и г а е т с я на 7в
Я
без у к а з а н н о г о о г р а н и ч е н и я на к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я ( 1 ) .
б. r n a x j / i | > 0 и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я С или D. Т о г д а , п о в т о р я я
Я
п р е д ы д у щ и е построения
и п о л ь з у я с ь р е з у л ь т а т а м и п. 1.1,6
относи­
т е л ь н о m a x | w | , л е г к о у б е д и м с я в том, что гпах|^^| = т а х [ ^ | .
Я
я
-7
2. П у с т ь т е п е р ь Н — п р а в и л ь н а я н е б а з и с н а я о б л а с т ь . К а к и в ы ш е ,
р а з о б ь е м ее на б а з и с н ы е о б л а с т и Нц,
2.1.
u^R.
а. rnaxu>Q
и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я А^ или А.
П у с т ь io — наиЯ
м е н ь ш и й номер из полос
содержащих базисные области, в замыка­
ниях к о т о р ы х д о с т и г а е т с я тзхи.
Пусть
о д н а из т а к и х о б л а с т е й .
Я
^
С л е д о в а т е л ь н о , не с у щ е с т в у е т о б л а с т и Я / , , - ] / , в
д о с т и г а е т с я тахи. Е с л и io=\, то в силу п. 1.2, а
_^
Я
замыкании
которой
тахи д о с т и г а е т с я на
Я
г р а н и ц е ув''^" о б л а с т и Я/^/,^
и, с л е д о в а т е л ь н о , на ув. Е с л и ж е го¥^1 и
m a x u не д о с т и г а е т с я на ув, то он д о л ж е н д о с т и г а т ь с я в силу п р е д ы д у Я
щ е г о на y = yi,-i
, а о т с ю д а в н е к о т о р о й о б л а с т и Hi^-.^j.
Н о это н е в о з ­
м о ж н о в силу с д е л а н н о г о п р е д п о л о ж е н и я .
б. т а х | / / | > 0
и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я С или D. Т о г д а , польЯ
'
"
з у я с ь !результатом
п. 1.2,6
и
повторяя предыдущую
у б е д и м с я в т о м , что тах\и\
достигается на
аргументацию,
Я
2.2.
u^R2.
а. г п а х п > 0 и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я А^ или А. Д о п у с т и м ,
Я
maxu = u(Q/),
но т о ч к а Q ^ e y ^ . О н а не м о ж е т п р и н а д л е ж а т ь Я]
что
так
Я
к а к в с и л у п. 1.1, а она п р и н а д л е ж а л а бы у..
Она не м о ж е т
принадП
л е ж а т ь Я 2 , т а к к а к по тем ж е п р и ч и н а м она д о л ж н а б ы л а бы при­
н а д л е ж а т ь Я}, а о т с ю д а и у^. П р о д о л ж а я этот_процесс, п р и д е м к вы­
воду, что т о ч к а
не м о ж е т п р и н а д л е ж а т ь и Я « . С л е д о в а т е л ь н о , точ­
к а Q' д о л ж н а п р и н а д л е ж а т ь т о л ь к о ув.
б. тах\и\>0
и у д о в л е т в о р я ю т с я у с л о в и я С или D. Т о г д а , польн
з у я с ь р е з у л ь т а т о м п. 1.1,6
и п о в т о р я я п р е д ы д у щ у ю аргухментацию,
у б е д и м с я , что тах\и\
д о с т и г а е т с я т о л ь к о па уви
С п р а в е д л и в о с т ь п о с л е д н е г о у т в е р ж д е н и я т е о р е м ы в ы т е к а е т из ее
п р е д ы д у щ и х у т в е р ж д е н и й и того, что з а м е н а ti = vexp{mx-\~ny}
при
у к а з а н н ы х з н а ч е н и я х т и п в [9] п р е о б р а з у е т у р а в н е н и е (1) в у р а в ­
нение, к о э ф ф и ц и е н т ы которого у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и я м С [ 9 ] , причем
о п е р а т о р Iv о б л а д а е т с в о й с т в а м и о п е р а т о р а la [ 9 ] .
За/лечание
L
И з д о к а з а т е л ь с т в а т е о р е м ы 1 видно, что в ней изл и ш н е т р е б о в а н и е н е п р е р ы в н о с т и а, Ux, b, by и с в Н в п л о т ь д о
у\уц.
К р о м е того, в о т л и ч и е от [ 8 ] , [9]
принципы максимума распростра­
нены на к л а с с R решений у р а в н е н и я (1).
Замечание
2. М о ж н о п о к а з а т ь , что в к л а с с е R2 с п р а в е д л и в принцип
м а к с и м у м а т и п а К. И. Б а б е н к о [ 9 ] .
Д л я уточнения строгого п р и н ц и п а м а к с и м у м а и в ы я с н е н и я условий
р а з р е ш и м о с т и з а д а ч и А в к л а с с е н е п р е р ы в н ы х ф у н к ц и й п р и в е д е м сле­
дующее.
Определение
2. В е р ш и н а Qo о б л а с т и Я с ч и т а е т с я с и н г у л я р н о й л и ш ь
в следующих случаях.
1. Qo — н и ж н и й конец в о с х о д я щ е й стороны из у^ и в е р т и к а л ь н о й
или р а с н о л о ж е н н о й с л е в а от нее в о с х о д я щ е й стороны из у^ ( н а п р и м е р ,
на рис. 1 точки Ai и Л з ) .
2. Qo — верхний к о н е ц в о с х о д я щ е й с т о р о н ы из у^ и; а) л и б о вос­
ходящей
и р а с п о л о ж е н н о й с л е в а от нее с т о р о н ы из у^
(точка J3i);
б) л и б о п р а в ы й конец г о р и з о н т а л ь н о й с т о р о н ы из ун (точки В2 и Вз);
в) л и б о н и ж н и й конец в е р т и к а л ь н о й стороны (точка В А) или н и ж н и й
конец н и с х о д я щ е й с т о р о н ы из ун (точка В 5 ) .
3. Qo — н и ж н и й конец н и с х о д я щ е й с т о р о н ы из ув и н и ж н и й конец
в е р т и к а л ь н о й с т о р о н ы (точки А\ и Л%) или н и с х о д я щ е й и р а с п о л о ­
ж е н н о й с п р а в а от нее н и с х о д я щ е й стороны из ун (точка Л^з).
4. Qo — верхний конец н и с х о д я щ е й с т о р о н ы из ув и: а) л и б о нисходяптей и р а с п о л о ж е н н о й с п р а в а от нее с т о р о н ы из 7 н (точ-ка
В\)\
в) л и б о л е в ы й конец г о р и з о н т а л ь н о й стороны из у„ (точки В'2 и Б ' з ) ;
с) л и б о н и ж н и й конец в е р т и к а л ь н о й с т о р о н ы (точка В\) или в о с х о д я ­
щ е й с т о р о н ы из 7н (точка
В\),
5. Qo — л е в ы й конец г о р и з о н т а л ь н о й стороны из 7^ и н и ж н и й ко­
нец в е р т и к а л ь н о й с т о р о н ы (точка Ci) !или в о с х о д я щ е й с т о р о н ы из уп
(точка, С г ) .
6. Qo — п р а в ы й конец г о р и з о н т а л ь н о й с т о р о н ы из 7^ и н и ж н и й
конец в е р т и к а л ь н о й с т о р о н ы (точка ( C ' l ) или н и с х о д я щ е й с т о р о н ы из
ун (точка С2). П р и этом будем говорить, что в е р ш и н а Qo с и н г у л я р н а
или я в л я е т с я с и н г у л я р н ы м концом стороны пз 7 s , что конец этой
с т о р о н ы с и н г у л я р е н , а icaiMa с т а р о н а — с и н г у л я р н а .
З а м е т и м , что с и н г у л я р н ы е в е р ш и н ы о т с у т с т в у ю т у простых и ба­
зисных областей.
Лемма L П у с т ь и(х^у)
— р е ш е н и е у р а в н е н и я (1) к л а с с а R2. 1и = 0
на 7л, т а х / / > 0 ( m a x i ^ ) > 0 и к о э ф ф и ц и е н т ы у р а в н е н и я (1) у д о в л е т в о 11
Я
1 2
р я ю т у с л о в и я м Ai или А
( у с л о в и я м с или D).
Т о г д а тахи
(тах|^|)
я
я
не м о ж е т д о с т и г а т ь с я в с и н г у л я р н о й в е р ш и н е о б л а с т и Н и д о с т и г а е т ­
ся т о л ь к о на ув\6''в
сти Я ) .
Доказательство.
(Ь'в
— множество
П у с т ь тахи>0
и
сингулярных вершин
Qo — с и н г у л я р н а я
обла­
вершина
я
область^ Я . И з о п р е д е л е н и я т а к о й в е р ш и н ы следует, что из точки Qo
м о ж н о провести в в е р х в е р т и к а л ь н ы й отрезок, с о д е р ж а щ и й с я в з а м ы ­
кании
области
Я.
Следовательно,
так
как
u^Ro,
сунхествует
%(''^^Q„,
1 / Q O + O ) ' причем
UIJ{XQ,
//Q,+0)<0.
Н О тогда, повторяя
аргу­
м е н т а ц и ю п. 1 . 1 , а ( 1 . 1 , 6 ) д о к а з а т е л ь с т в а т е о р е м ы 1, п р и д е м в протиь о р е ч и е с последним н е р а в е н с т в о м (получим н е р а в е н с т в о Uy[xQ^, yq, -f
fO)>0).
Лемма 2. Н а к а ж д о м в н у т р е н н е м к о н т у р е L п р а в и л ь н о й о б л а с т и Я
с у щ е с т в у ю т не менее д в у х с и н г у л я р н ы х ее в е р ш и н .
Доказательство,
В в и д у з а м к н у т о с т и м н о ж е с т в а точек в н у т р е н н е г о
к о н т у р а L о б л а с т и Я с у щ е с т в у е т miniv—л'о. Он д о с т и г а е т с я в в е р ш и н е
/7
из к о н т у р а L, к о т о р а я я в л я е т с я концом д в у х н е в е р т и к а л ь н ы х сторон
из к о н т у р а L, или на его в е р т и к а л ь н о й стороне, в частности, в ее
н и ж н е м конце (л'о, уо).
К а ж д а я из этих точек я в л я е т с я с и н г у л я р н о й
в е р ш и н о й о б л а с т и Я . Д е й с т в и т е л ь н о , в первом с л у ч а е одна из у п о м я ­
нутых в ы ш е сторон р а с п о л о ж е н а н и ж е д р у г о й
и справа
от пря!МОЙ
х=Хо
и, с л е д о в а т е л ь н о , с о д е р ж и т с я в у з . Во втором с л у ч а е в е р ш и н а
(хо, Уо) я в л я е т с я т а к ж е концом стороны из к о н т у р а L, р а с п о л о ж е н н о й
с п р а в а от п р я м о й х = Хо и, с л е д о в а т е л ь н о , с о д е р ж а г ц е й с я в у^.
О б о з н а ч и в через х'о==тахх,
путем а н а л о г и ч н ы х р а с с у ж д е н и й при/7
дем к заключению о существовании
е щ е одной с и н г у л я р н о й в е р ш и н ы
области Я .
Замечание
3, С п р а в е д л и в а т е о р е м а Г , д в о й с т в е н н а я т е о р е м е 1. О н а
п о л у ч а е т с я з а м е н о й п е р е м е н н о й у= —t. П р и этом к л а с с R2 п е р е х о д и т
в к л а с с Ru у с л о в и я Л1, Л, С, D — в у с л о в и я В ь В, L, М [ 8 ] соответ­
ственно, а м а к с и м у м д о с т и г а е т с я на у» [ 8 ] . С п р а в е д л и в а
т а к ж е лем­
ма Г , д в о й с т в е н н а я л е м м е 1.
Замечание
4. Д л я у р а в н е н и я Uxy = 0 в б а з и с н о й о б л а с т и Я р е ш е н и е
з а д а ч и Л в к л а с с е R при 1и=0
о п р е д е л я е т с я ф о р м у л о й и{х^ 1 / ) = т ( х )
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
тахи д о с т и г а е т с я на у^ и на у^. О т с ю д а и из д о к а /7
зательства теоремы 1 следует
справедливость
т е о р е м 1 и Г д л я этого у р а в н е н и я .
первых
утверждений
Замечание
5, И з л о ж е н н ы е п р и н ц и п ы м а к с и м у м а имеют место д л я
г и п е р б о л и ч е с к и х л и н е а р н ы х [9] и в е к т о р н ы х у р а в н е н и й [ 9 ] , а т а к ж е
д л я с х о д н ы х по ф о р м е з а п и с и с (1) одного к л а с с а н е л и н е й н ы х у р а в ­
нений с п р о и з в о д н ы м и в ы с о к и х п о р я д к о в [ 3 3 ] . П р е д л о ж е н н а я н а м и
терминология и некоторые наши результаты существенно использова­
ны в [ 3 4 ] , [ 3 5 ] .
Эти ж е п р и н ц и п ы м а к с и м у м а
позволили обнаружить экстремаль­
ные с в о й с т в а ф у н к ц и и Р и м а н а и получить оценки и у с л о в и я з н а к о о п ­
р е д е л е н н о с т и р е ш е н и й з а д а ч Гурса и Д а р б у
без ф а к т и ч е с к о г о ее по­
с т р о е н и я [ 3 6 ] , [ 3 7 ] , а т а к ж е и с с л е д о в а т ь т е м п е р а т у р н ы й р е ж и м при
13
в о з в р а т н о - п р о т и в о т о ч н о м течении т е п л о н о с и т е л я в с в е р х г л у б о к и х
жинах [14].
Краевые
сква­
задачи
Определение
3. Р е ш е н и е м у р а в н е н и я (1) к л а с с а
ф у н к ц и ю и{х, у) со с в о й с т в а м и : 1) Lu = Q в Я ; 2)
г/^еС0[Яи(у"лХ7бл)],
будем с ч и т а т ь
и^С^{Н)[\С^{Н),
Е с л и , к р о м е этого,
Нху^СЦН).
а^еС^(Я\(у„Ч
Ч ^ л ) ] {uy^C^[H\{уъ\ул)'\),
то ф у н к ц и ю и{х, у)
будем
считать
п р и н а д л е ж а ш . е й к л а с с у R^\ ( к л а с с у R^2)Через
будем о б о з н а ч а т ь з а д а ч у А
в следуюпцей
постановке:
в простой о б л а с т и Я н а й т и р е ш е н и е и{х,у)
у р а в н е н и я (1) к л а с с а R^
со с в о й с т в а м и :
1) lu=v{y)
и н т е г р и р у е м а на
Лемма
ственно
на у л Х б л , v(y)^C^
2) u—i:{x)
ул\
3 (теорема
на ув,
{ул\Ьл)
и абсолютно
%{х)^С^{ув){\0{уъ).
1 [ 1 4 ] ) . Р е ш е н и е з а д а ч и А^^ сунхествует и един­
Ux^C^[[H\{x,
у) : х = Х л } ) и ( Я \ ( л ' ,
Uy^C^{{HX{{x,
у)\х^ХпМ.
у) :у = у.т{Н\{{х,
У)'У =
УШ
причем Uy а б с о л ю т н о и н т е г р и р у е м а в з а м ы к а н и и п е р е с е ч е н и я о б л а с т и
Я с любой вертикальной характеристикой
(см. (2) и (3) [ 1 4 ] ) : п р и
т(х),
%{х)^0
[Хл,
Хпр)\
их^СЦН\{{х,
у):
х = Хир})\
при
т{х),
%{х)^С'{_Хл,
хпр]:
и,^СЦН\{{х,у):
х = Хл});
при
v(у)еС^[г/„,
уз):
Ы у ^ С ' {НХ{{х,у):у^у,})\;,
при
v(f/)
(у„, г / в ] :
Ну^СЦН\{{х,у):
У = Уя}). Е с л и ж е Я — п р о с т е й ш а я о б л а с т ь , а^С^{Н),
Ь,
СЕЕСЦН).
т ( х ) е С ^ ( Х л , л'пр) uv'{y)
н е п р е р ы в н а на (Ун.Ув),
то Uxx,
Uyy^C^(Н).
Лемма
4
определяется
(следствие 1 [ 1 4 ] ) .
формулой
и{х^ у) =N{x,y)[T{x)
Если
/?^=0, т о р е ш е н и е
+jV^(x,
s)P{x,
задачи
s)v(s)rf5],
А^
(8)
m(x)
a д л я у р а в н е н и я Uxy = 0
и{х,у)^%{х)
Причем, если Я — к р у г х^-\-у'^<р~,
и{х,у)=--х(х)
+ f v(.s)aX
m(x)
(9)
то
+ \_ф)с15,
(10)
у
N{x,
у)=ехр{—\
а{х,у)с1у}.
т(х)
Р{х,у)
= ехр {—\Ь(х,
т(у)
y)dx},
Теорема
2. Р е ш е н и е и{х,у)
з а д а ч и А сунхествует и
единственно
в к л а с с е о г р а н и ч е н н ы х ф у н к ц и й со с в о й с т в а м и :
1) Lu^Q
в Я \
{К\]М)\
2) / ^ г ^ С о [ Я \ ( 7 ( и Л 4 ) ] , если х{х)^СЦЕ~Р){\С'{EF)
на к а ж д о й о т к р ы ­
той с т о р о н е EF из ^ в , \{y)^C^(ST)
на к а ж д о й о т к р ы т о й стороне 5 7 из
7л и а б с о л ю т н о и н т е г р и р у е м а в ее з а м ы к а н и и .
Доказательство,
Е с л и Я — п р о с т а я о б л а с т ь , то по л е м м е 3 т е о р е ­
ма д о к а з а н а .
14
1. П у с т ь Н — б а з и с н а я
о б л а с т ь ЛВСВ, XA<XC<XD<XB.
ее на т р и о б л а с т и : Hi=ACE,
область,
например,
четырехугольная
С п о м о щ ь ю высот СЕ и DF
разобьем
H2^ECDF
и Нз = РОВ,
Обозначим
ti{x)=r(x)
на Л С , T 2 ( ^ ) = = t ( j ^ ) на CD и тз(л:) ==т(д:) на DB. П о л е м м е
3 в Hi с у щ е с т в у е т и е д и н с т в е н н о р е ш е н и е Ui[x,y)
задачи Л°, опреде­
л я е м о е по Ti{x) на Л С и v{y)
на Л С \ 6 л ,
причем u\{x,y)^C^
{Н\),
uix{x, у)^С^{АЕ),
.uiy{x,y)^C^{CE)
и абсолютно интегрируема
на
СЕ. П у с т ь l-Ui-=Uu/-\-a{x,
y)u = vi{y)
на
СЕ.
Т о г д а по л е м м е 3 в Н2
с у щ е с т в у е т и е д и н с т в е н н о решение
ii2{x,
у)
з а д а ч и Л° по д а н н ы м
U2 = X2{x)
на CD
и lu2 = vi{y)
на С £ ,
причем
W2 (х, у) е С ° ( Я з ) ,
U2x{x,y)^C^{EF),
U 2 u ( x , у)^С^(DF)
и а б с о л ю т н о и н т е г р и р у е м а на
DF. П у с т ь lu2 = V2{y) на DF. П о лем^ме 3 в о б л а с т и Я з с у щ е с т в у е т и
е д и н с т в е н н о р е ш е н и е Uo,{x,y)
з а д а ч и А^ с _ д а н н ы м и из==гг{х)
на DB
и /аз==\'2(у) на DF, причем и,{х, у) ЕЕС^ (Fh). и,х{х, у) ^C'iFB).
Та­
ким о б р а з о м , в о б л а с т и Я с у щ е с т в у е т
ограниченное решение задачи
Л с требуемыми свойствами.
К такому же результату
и таким же
путем пришли^ бы, если бы п р я м о у г о л ь н и к ECDF б ы л р а з б и т верти­
к а л ь н ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и на н е с к о л ь к о прямоуго/льнико'В,
Анало­
гично д о к а з ы в а е т с я т е о р е м а в о с т а л ь н ы х б а з и с н ы х о б л а с т я х .
2. П у с т ь Я н е п р о с т а я н н е б а з н с и а я о б л а с т ь .
Р а з о б ь е м ее, к а к и
в ы ш е , на б а з и с н ы е о б л а с т и Я / / , i=\,
п. Е с л и о т р е з к и из м н о ж е с т в а
р а з б и в а ю т о б л а с т ь М на н е с к о л ь к о б а з и с н ы х
или простых о б л а с т е й ,
то б у д е м их н у м е р о в а т ь в п о р я д к е
их р а с п о л о ж е н и я с л е в а
направо
Я^/,
H^ij и т а к д а л е е , а части ее г р а н и ц и Я ' ^ / с о г л а с н о п р и н я т о й
к л а с с и ф и к а ц р м г р а н и ч н ы х точек о б о з н а ч а т ь через у^^\п, у'^'в, Т ' ^ Ф »
y^jiii-,
y^uih
а з н а ч е н и я на Я / / и Я^/,- искомой ф у н к ц и и
ы{х,у)
—со­
о т в е т с т в е н н о через Uij{x,y)
и
u^ij{x,y).
2.1. М н о ж е с т в о Н^ м о ж е т состоять т о л ь к о из б а з и с н ы х четырех­
у г о л ь н ы х и т р е х у г о л ь н ы х о б л а с т е й W, Д, У, Д ^ l F ^ в к а ж д о й из кото­
р ы х с о г л а с н о п. 1 с у щ е с т в у е т и е д и н с т в е н н о р е ш е н и е
и(х^у)
задачи
Л. П р и этом r / ^ / e C O ( Я ^ / ) , ^ Л : 1 / е С ° ( у ^ н 1 / ) .
2.2. i~2.
Тогда мнол<ество Но м о ж е т с о с т о я т ь л и ш ь из б а з и с н ы х
четырехугольных и трехугольных областей
Wu Д ь Vu A ^ , ^^^'2. к а ж ­
д у ю из к о т о р ы х о т р е з к и из М могут р а з б и в а т ь на б а з и с н ы е и п р о с т ы е
о б л а с т и . В к а ж д о й из них, к а к и в ы ш е ,
существует
и
единственно
р е ш е н и е з а д а ч и Л. Т а к и м о б р а з о м , при i=2
в Я
с у щ е с т в у е т и един­
ственно р е ш е н и е з а д а ч и Л .
2.3. / > 3 . Т о г д а в Но в о з н и к а е т та ж е с и т у а ц и я , что и в пп. 2.1 и
2.2.
С л е д о в а т е л ь н о , в Я2 с у щ е с т в у е т , к а к и в ы ш е , е д и н с т в е н н о реше­
ние U2{x,y)
з а д а ч и Л, П р о д о л ж а я этот процесс, н а й д е м Un{x,y)
в Ял
и тем с а м ы м з а в е р ш и м д о к а з а т е л ь с т в о с у щ е с т в о в а н и я
и единственно­
сти р е ш е н и я з а д а ч и Л. П р и этом и{х,у)
является кусочно-непрерыв­
ным
и кусочно-регулярным решением уравнения (1):
в Я^,/,
u^ij{x,y)^C^{H^'ij).
О т с ю д а ясно, что и{х,у)
ограничено в Я и может
со своими ч а с т н ы м и п р о и з в о д и в ш и первого п о р я д к а
терпеть разрывы
на о т р е з к а х х а р а к т е р и с т и к из м н о ж е с т в К и Л1, то есть я в л я е т с я р е ш е ­
нием у р а в н е н и я (1) с г и н е р с и л ь н ы м и р а з р ы в а м и [22,-с. 123].
Замечание
6. П р и о т к а з е от т р е б о в а н и я 2 р е ш е н и е а а д а ч и Л м о ж е т
о к а з а т ь с я не е д и н с т в е н н ы м .
С ц е л ь ю п о с т а н о в к и д л я уравггения (1) в конечной одно- или много-связной области произвольной формы краевой задачи, разрешимой в
15
к л а с с е ф у н к ц и й , н е п р е р ы в н ы х в з а м ы к а н и и о б л а с т и ( т а к а я необходи­
мость с л е д у е т из п р и м е р а 1 и л е м м ы 1 ) , п р и в е д е м с л е д у ю щ е е .
Определение
3. К м н о ж е с т в у
будем относить:
1) о т к р ы т у ю ч а с т ь
каждой сингулярной
горизонтальной стороны
( н а п р и м е р , на рис. 1 с т о р о н ы КС\,
C2^(^
CiC\)\
2) о т к р ы т у ю ч а с т ь к а ж д о й с и н г у л я р н о й с т о р о н ы , если она (часть)
с о д е р ж и т х о т я бы одну с и н г у л я р н у ю в е р ш и н у о б л а с т и Я и с о д е р ж и т с я
в о д н о й из полос Gi(BiE,
ЕАп^, B ^ ^ ^ B^F,
В2А2 и д р . ) ;
3) к а ж д у ю с и н г у л я р н у ю в е р ш и н у о б л а с т и Я .
Л1ожет о к а з а т ь с я , что оба конца с т о р о н ы из
сингулярны
и она
во в н у т р е н н е й т о ч к е п е р е с е к а е т с я
л и ш ь с одной
характеристикой
1/=У1
(точки Е и Е ' ) , Т о г д а эта т о ч к а относится к у в Х у в , а о с т а л ь н ы е
ее в н у т р е н н и е точки о т н о с я т с я
к у^ {В\Е и В\Е^).
Может оказаться,
что о д и н или о б а к о н ц а с т о р о н ы с и н г у л я р н ы и она с о д е р ж и т с я в одной
из полос Gi. Т о г д а все ее в н у т р е н н и е точки о т н о с я т с я к ув {B4F,
В2А2.
В'2А'2
И
B\F\
др.).
Пусть т(х) — функция, заданная
на ув\ув
(и, с л е д о в а т е л ь н о ,
в
и з о л и р о в а н н ы х т о ч к а х этого м н о ж е с т в а ) ,
непрерывная
в замыкании
в с я к о й с в я з н о й части из увХув и н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а я
в н у т р е н н и х ее т о ч к а х ; v{y) и 6л И1меют п р е ж н и й с м ы с л .
Задача
А""
(модифицированная
уравнения
(1)
2)
на 7 л \ б л ;
lu = v(y)
класса
R
со
з а д а ч а А).
свойствами:
3) х''{х)=г{х)
во
Найти решение
и{х,у)
1) и = х{х)
уъ\ув\
на у^, где Т ( А ' ) —
на
неизвестный
с л е д искомой ф у н к ц и и и{х,у)
на у^, х{х) — з а д а н н а я
и
абсолютно
ннтегрнхруемая на 73 ф у н к ц и я .
Теорема 3, Р е ш е н и е и{х^у)
з а д а ч и Л* с у щ е с т в у е т
и
единственно.
Доказательство,
В базисных
и простых областях теорема верна,
т а к к а к в них з а д а ч а Л* я в л я е т с я ч а с т н ы м с л у ч а е м з а д а ч и Л .
П у с т ь о б л а с т ь Я не я в л я е т с я б а з и с н о й и простой.
Как
и выше,
р а з о б ь е м ее на о б л а с т и Я / , и Я ^ / / .
1. Р а с с м о т р и м м н о ж е с т в о Ни
О н о м о ж е т с о с т о я т ь из б а з и с н ы х
о б л а с т е й W, А, V, А' и
и базисных четырехугольников. Их вершины,
р а с п о л о ж е н н ы е на п р я м о й y = yoj не я в л я ю т с я с и н г у л я р н ы м и , т а к к а к
не я в л я ю т с я н и ж н и м и к о н ц а м и в е р т и к а л ь н ы х , в о с х о д я щ и х или нисхо­
д я щ и х сторон области Я
и не я в л я ю т с я о б щ и м и
ни д л я к а к и х д в у х
т а к и х б а з и с н ы х о б л а с т е й . С л е д о в а т е л ь н о , к а ж д а я с т о р о н а из 7в этих
ж е о б л а с т е й м о ж е т иметь не б о л е е одного с и н г у л я р н о г о к о н ц а ,
кото­
рый м о ж е т н а х о д и т ь с я т о л ь к о на п р я м о й у = у]* П р и э т о м
функция
т{х) з а д а н а в р а с п о л о ж е н н ы х на п р я м о й у==уо в е р ш и н а х сторон из 7в.
1 . 1 . Hi = Hu (рис. 2; 1 . 1 ) . Т о г д а у Я ц нет с и н г у л я р н ы х в е р ш и н на
п р я м о й y = yi. С л е д о в а т е л ь н о , ф у н к ц и я и{х,у)
з а д а н а на 7^^в- П о э т о м у
по л е м м е 3 в Я ] о п р е д е л е н а о д н о з н а ч н о ф у н к ц и я Ui{x^y),
в частности,
на о т р е з к е А.В^. П у с т ь т о ч к а Л] я в л я е т с я п р а в ы м концом г о р и з о н т а л ь ­
ной стороны MAi, л е ж а щ е й на п р я м о й у=у\.
Тогда точка
М^у^\у.^.
Е с л и т о ч к а А \ не я в л я е т с я с и н г у л я р н ы м концом с т о р о н ы М Л ] , то на
MAi з а д а н а ф у н к ц и я х{х). Е с л и ж е А] — с и н г у л я р н ы й конец с т о р о н ы
МЛ],
16
то на МА^ з а д а н а ф у н к ц и я х'{х)=х{х).
Р е ш а я на МА,
дв^^хто-
чечную
задачу т^^='т(х).,
^(хм)
=и{М),
Т:{ХА) =Ui{Ai),
найдем
одно­
з н а ч н о х{х) на о т р е з к е МА]. П у с т ь точка Bi я в л я е т с я л е в ы м концом
с т о р о н ы B^N, л е ж а щ е й на п р я м о й у = у]. Т о г д а , п о в т о р я я п р е д ы д у щ и е
р а с с у ж д е н и я , н а й д е м о д н о з н а ч н о х{х) на B\N.
Ст.-
А
7
/
А
A.±:Liy_A
Рис
1
;^
-'1-1
2,
Иллюстрация к доказательству теоремы 3. Порядок построения
решения задачи А в области Н:
+
«занятая
левая»
точка
<^
; -h, — « з а н я т а я
правая»
точка
1.2. Я, = ЯииЯ,2.
1 . 2 . 1 . В^ь^А^
2-85
(см. рис. 2;
1.2.1).
17
а. О т р е з о к BiAo не с о д е р ж и т с я в Я (рис. 2; 1.2.1, а ) . Т о г д а с каж-,
дой из о б л а с т е й Я ц и Я12 п о с т у п а е м п о - п р е ж н е м у .
б. BiAo с о д е р ж и т с я в Я (рис. 2;
1.2.1,6). Т о г д а
найдем
функ­
ции tiii{x,y)
и U\2{x,y),
в частности /^ii(Bi) и ^ 1 2 ( ^ 2 ) . Е с л и точки
^1 и Л2 н е с и н г у л я р н ы , то на В1А2 з а д а н а ф у н к ц и я х{х). Е с л и ж е это
не т а к ,
то на В\А2 р е ш и м д в у х т о ч е ч н у ю к р а е в у ю з а д а ч у :
x{Bi) =^Un{Bi),
т ( Л 2 ) = ^ 1 2 ( Л 2 ) . Тем с а м ы м
окончательно
з н а ч е н и е искомой ф у н к ц и и в Я-,.
1.2.2. Bi^A2
а. Bi
х''х=-х{х),
найдем
(см. рис. 2; 1.2.2).
не я в л я е т с я
сингулярной
вершиной
области Я
(рис. 2;
1.2.2, в ) . Т о г д а на
н y^-j, з а д а н а ф у н к ц и я х{х) и по л е м м е 3 одно­
з н а ч н о н а х о д я т с я ф у н к ц и и Ып{х^у)
и
U\2(x,y).
б. Bi — с и н г у л я р н ы й к о н е ц дуги B i C i ,
— вершина области Я ц
(см. рис. 2, 1.2, 2 , а ) . Тогда с н а ч а л а н а х о д и м W12 (^^:,1/')' ^'частности г-^гз ( B i ) ,
решаехМ
двухточечную
краевую задачу
%'{х)=х{х),
T ( C I ) =£t(Ci),
x{xBy=Ux2{Bi),
а з а т е м н а х о д и м iin(x,y).
Ясно, к а к с л е д у е т посту­
пить, если точки Ах и В2 я в л я ю т с я к о н ц а м и г о р и з о н т а л ь н ы х сторон
о б л а с т и Я . Е с л и ж е Вх — с и н г у л я р н ы й конец дуги Л2С2С=7'^2в, то дей­
с т в у е м в о б р а т н о м п о р я д к е (см. рис. 2; 1.2.2,6).
1.3. Н = [}Нх1, k>2\
Si-Ло;
Б9-Л,,
B,..x=--Ak
(см. рис. 2: 1.3).
1.3.1. Р а с с м о т р и м в у б ы в а ю щ е м п о р я д к е те из о б л а с т е й Я ц / , у к а ж ­
дой из к о т о р ы х т о ч к а Л/ я в л я е т с я н и ж н и м концом в е р т и к а л ь н о й или
н и с х о д я щ е й с т о р о н ы Л/С/. С л е д о в а т е л ь н о , Л/С/сгу^^л и на Л / С / з а д а н а
функция
\{у).
Пусть Я ] / , — о б л а с т ь с наибольшим
номером среди
выделенных
областей.
а. 1 < / о < й . Е с л и Б;^ D/, — в е р т и к а л ь н а я
или восходяихая с т о р о н а
о б л а с т и Я , то 7з^^ =С/^, D/^ и на С/^ Dj^ з а д а н а ф у н к ц и я х{х).
Значит,
в силу с к а з а н н о г о по л е м м е 3 в Я 1 / , о п р е д е л е н а ф у н к ц и я //i/^ (х, у), в
частности в т о ч к е Л/,^. Е с л и ж е Bj^ Dj^ — н и с х о д я щ а я сторона о б л а с т и
Я , то она при С / ^ ' = Dj^ с о в п а д а е т с yJ^^ и при С/^ ¥^ Dj, я в л я е т с я
ч а с т ь ю 7з^^. . В силу с д е л а н н о г о п р е д п о л о ж е н и я т о ч к а Л/,^-ы = Б / , не
м о ж е т б ы т ь н и ж н и м концом в е р т и к а л ь н о й и н и с х о д я щ е й сторон о б л а ­
сти Я1/^+1, то есть точка Б / , н е с и н г у л я р н а я . П о э т о м у на Bj^ Dj^ з а д а ­
на ф у н к ц и я х{х). П р и С/,^
она з а д а н а и на С/,^ Dj. Т а к и м о б р а ­
зом, в Hij^ п о л н о с т ь ю з а д а н ы к р а е в ы е у с л о в и я з а д а ч и Л^. О т с ю д а по
л е м м е 3 с л е д у е т с у щ е с т в о в а н и е ф у н к ц и и Uii, .
П у с т ь Я1/ _ | п о с л е д у ю щ а я з а Нц
из в ы д е л е н н ы х о б л а с т е й , то есть
т о ч к а Л/,^-} я в л я е т с я н и ж н и м концом в е р т и к а л ь н о й
или
нисходящей
с т о р о н ы о б л а с т и Я } / , - } . Т о г д а Б / -гО/^^ | — н и с х о д я щ а я с т о р о н а о б л а ­
сти Нц^-1,
Bi^-iDi^-..iCzys^^'>-\
С л е д о в а т е л ь н о , т о ч к а Bf 1=Л/^, син­
г у л я р н а . З н а ч и т , в ней не з а д а н а ф у н к ц и я т ( х ) , а на Б / _ . _ | 1 ) / з а д а н о
т'^(л')- = т(л*).
З а д а н о т а к ж е з н а ч е н и е Uii, -1 в т о ч к е D/^_i
дено значение
в точке В. _i:
и ранее най­
t ( ^ в . . | ) =^^1/(Л/^^ ). Р е ш а я
полу­
ченную д в у х т о ч е ч н у ю з а д а ч у , о д н о з н а ч н о н а й д е м т(л') на Б / - i D / _ t
тем с а м ы м х{х)
18
на уз^^'"^.
11
О т с ю д а по л е м м е 3 о д н о з н а ч н о о п р е д е л я е т -
ся ф у н к ц и я ihj^-^i {х, у).
п р о д о л ж а я этот процесс,
Ui(x,y)
в выделенных областях.
найдем
функцию
б. jo = k. Т о г д а на у^^в з а д а н а ф у н к ц и я х{х) и по л е м м е 3 о д н о з н а ч ­
но о п р е д е л я е т с я ф у н к ц и я
Uik{x,y),
О п р е д е л е н и е ф у н к ц и й ии{х,у)
в
о с т а л ь н ы х в ы д е л е н н ы х о б л а с т я х с л е д у е т из п. а.
1.3.2. Р а с с м о т р и м в возрастаюихем п о р я д к е о с т а л ь н ы е о б л а с т и , т. е.
о б л а с т и , в к а ж д о й из к о т о р ы х т о ч к а Л,- я в л я е т с я н и ж н и м концом вос­
х о д я щ е й с т о р о н ы AjCj э т о й о б л а с т и . С л е д о в а т е л ь н о , Л/С/сгу^^'в, Л / С / =
=
и на Л / С / з а д а н а ф у н к ц и я
v{y).
П у с т ь Нц.^ — о б л а с т ь с н а и м е н ь ш и м н о м е р о м с р е д и р а с с м а т р и в а е ­
мых областей.
а. l<.i,:<k.
Следовательно,
Л / ^ — нижний
или н и с х о д я щ е й с т о р о н ы о б л а с т и Я]/^ ^ и
Uif^^^i{Bi^_-i)
=Uii^:
{Aj_),
конец
вертикальной
по предыдуихему
Е с л и Aj^^ - - н е с и н г у л я р н ы й
найдено
конец
стороны
Л/,, С / , , то на Л/.С/^^ з а д а н а ф у н к ц и я т ( х ) , причем по у с л о в и ю
Л^: т ( Л / J = г / 1 / д Л / J = i / i / ^ - 1
ш и н а о б л а с т и Я , то з а д а н о х''(х)
Ранее
задачи
i). Если ж е Л/, — с и н г у л я р н а я
=-'i{x)
на Л/^С/^, и иц^
б ы л о н а й д е н о Х{ХА . ) =Uii_{Bf^,-i).
{Cj,,)='x{xc;J.
Поэтому, решая
д^вухточечную к р а е в у ю з а д а ч у , н а й д е м х{х)
на
вер­
полученную
AiJjf^,
П у с т ь Bf^ — н и ж н и й конец в е р т и к а л ь н о й или в о с х о д я щ е й
о б л а с т и Я , и, с л е д о в а т е л ь н о , Б/^^ Z)/^^ =у„р'/-^, Bi.^Di^^[\y^i~
0.
стороны
Значит,
на ув^'- о п р е д е л е н а ф у н к ц и я х{х)
и по л е м м е 3 в Нц,^ о д н о з н а ч н о
о п р е д е л я е т с я ф у н к ц и я Uif^^
{х,у).
П у с т ь Bj^—нижний
конец
нисходящей
с т о р о н ы В/.^ / ) / . о б л а с т и
Я]/^ . Е с л и Bj^ — н е с и н г у л я р н а я в е р ш и н а о б л а с т и Я , то на Bj^Dj^^
д а н а ф у н к ц и я х{х)
на ув^^,.
и
с учетом п р е д ы д у щ е г о ф у н к ц и я х(х)
Следовательно,
функция
{х,у).
по л е м м е 3 в Нц^
однозначно
задана
за­
и
определяется
Е с л и ж е В / , — с и н г у л я р н а я в е р ш и н а о б л а с т и Я , то
на Bj^Dj^ з а д а н о х'{х)=х{х)
и х{х) в т о ч к е Dj^. В силу п. 1 в т о ч к е
Л/^^+1 н а й д е н о r/i/^^-ы (Л/^^+i) = ^ / i / . ; ( B / J = т ( х / з . ) .
Решая
полученную
д в у х т о ч е ч н у ю к р а е в у ю з а д а ч у , н а й д е м х{х) на BjDj^^ и с учетом пре­
д ы д у щ е г о по л е м м е 3 ф у н к ц и ю u\j^ {х,у)
в Я } / ^ . Е с л и теперь Л/..+i —
н и ж н и й к о н е ц в о с х о д я щ е й с т о р о н ы о б л а с т и Я1/.+1, то в о з н и к а е т ситуа­
ция, и д е н т и ч н а я предыдуидей, и в Я 1 / _ м о д н о з н а ч н о , к а к и в ы ш е , о п р е ­
д е л я е т с я ф у н к ц и я ? i i / _ M (х, £/). П е р е б р а в у к а з а н н ы м способом
все
о с т а л ь н ы е р а с с м а т р и в а е м ы е о б л а с т и , н а й д е м в них ф у н к ц и и
Uij{x,y).
б.
Тогда возникает ситуация, о т л и ч а ю щ а я с я
от с л у ч а я / * > 1
л и ш ь т е м , что при Л1С1с:7в^^ на Л1С1 з а д а н а ф у н к ц и я х{х).
п о в т о р я я предыдупдее, о д н о з н а ч н о о п р е д е л и м iin{x,y)
ных в ы д е л е н н ы х о б л а с т я х .
Поэто!му,
в Я ц и в осталь­
k
1.4. Я1 = и/^1/, k>2
/ гг.
и среди о б л а с т е й Яг/
имеются
отдельные обла-
1
сти, г р у п п ы из д в у х
смежных областей
н г р у п п ы б о л ь ш е г о числа
последовательно смежных базисных областей.
Тогда,
п о в т о р я я рас­
с у ж д е н и я пп. 1.1 — 1 . 3 , о п р е д е л и м ф у н к ц и ю Ui(x,y)
в Я] н тем самьтм
з н а ч е н и я искомой ф у н к ц и и и{х,у)
на п р я м о й у = У\.
2*
19
2. Р а с с м о т р и м н а х о ж д е н и е ф у н к ц и и
U2{x,y),
2.1. г = 2 ,
т. е. H = Hi[jH2.
Следовательно,
м н о ж е с т в о Н2 м о ж е т
с о с т о я т ь из о б л а с т е й вида Wi, Д ь Vi, А ^ , W'l и п р а в и л ь н ы х четырех­
у г о л ь н и к о в , у к а ж д о г о из к о т о р ы х д в е с т о р о н ы есть о т р е з к и горизон­
тальных характеристик.
а. Я2 = Я21. В этом с л у ч а е с и н г у л я р н а я в е р ш и н а м о ж е т н а х о д и т ь с я
т о л ь к о на пря!МОй y=yi
и на с о д е р ж а щ е й ее с т о р о н е из у в з а д а н о
г'{х)=х{х),
на д р у г о м к о н ц е этой с т о р о н ы з а д а н о з н а ч е н и е
U2{x,y).
Р е ш а я двухточечную краевую задачу,
н а й д е м U2{x,y)
на с т о р о н е из
Ув, а з а т е м U2\{x,y).
Если ж е сторона
из ув не имеет с и н г у л я р н о г о
к о н ц а на п р я м о й у = Уи т о на ней з а д а н а ф у н к ц и я х(х).
Применяя
л е м м у 3, н а й д е м U2\{x,y)
и тем с а м ы м з а в е р ш и м н а х о ж д е н и е
и{х,у)
в Я.
б. Я2 = и^2/,
ше,
р > 1 . П о с т у п а я в к а ж д о й из о б л а с т е й Я2/, (как и в ы -
н а й д е м ihj^x.y)
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
U2{x,y).
•л
2.2.
H = \jHi.
З д е с ь м н о ж е с т в о Hi м о ж е т с о с т о я т ь из о б л а с т е й
того
ж е в и д а , что в п. 1. П о э т о м у в нем ф у н к ц и я Ui(x,y)
определяется так
же, как и в этом пункте.
М н о ж е с т в о Я2 м о ж е т с о с т о я т ь
из о б л а с т е й т о г о ж е в и д а , что и
м н о ж е с т в а Hi и Я2 в пп. 1 и 2.1 с о о т в е т с т в е н н о , а т а к ж е из о б л а с т е й
со с т о р о н а м и с д в у м я с и н г у л я р н ы м и к о н ц а м и . Н а к а ж д о й т а к о й сто­
р о н е з а д а н о т''(х) =х{х),
на ее в е р х н е м конце н а й д е н о з н а ч е н и е х{х) в
п. 1. С л е д о в а т е л ь н о , в о м н о ж е с т в е Я2 в о з н и к а е т т а ж е с и т у а ц и я , что и
во м н о ж е с т в е Я ь И с п о л ь з у я т е ж е п р и е м ы , что и в о мнол^естве Ни
о п р е д е л и м о д н о з н а ч н о ф у н к ц и ю U2 [х, у). Ф у н к ц и я
(х, у) о п р е д е л я е т ­
ся, к а к и ф у н к ц и я U2{x,y)
2.3.
же,
H=[]Hi^
p > 3 . В этом с л у ч а е ф у н к ц и я Ui{x,y)
к а к в п. 1, ti2{x,y)^
U2{x^y),
в п. 2 . 1 .
а Up{x,y)
из{х,у),...,
— к а к U2{x,y)
Up-\{x,y)
определяется так
— как
в п. 1.2.
Тем
в
п. 2.2 ф у н к ц и я
сагмым
завершается
доказательство теоремы.
Следствие
L В о д н о с в я з н о й п р а в и л ь н о й о б л а с т и без с и н г у л я р н ы х
в е р ш и н р е ш е н и е з а д а ч и А с у щ е с т в у е т и е д и н с т в е н н о в к л а с с а х R и R2.
Следствие
2. В л ю б о й п р а в и л ь н о й о б л а с т и непусты к л а с с ы R, R\
/?2 р е ш е н и й у р а в н е н и я ( 1 ) .
и
Задача А допускает следующую модификацию.
Пусть
— мно­
ж е с т в о н е с и н г у л я р н ы х в е р ш и н из ув, г{х) — с л е д ф у н к ц и и и{х, у) на
о т к р ы т о й с т о р о н е из ув; бл и у (у)
и м е ю т тот ж е с м ы с л , что и в з а д а ­
че А'\
Задача
Л**. Н а й т и ф у н к ц и ю u{Xjy)
с о свойствами:
1 ) Lu = i) в
Я \
{K[jM);
2)
GE С о { Я ) ,
и.^СЦН
\ М),
иу^СЦНхК).
UxyEEC'[H\(K[\M)]',
==Хо
3) 1и=х{у)
на у л \ 6 л ;
4) т " - т ( х ) ;
=
на у^в, где то — д и с к р е т н а я ф у н к ц и я , з а д а н н а я на у°вП у с т ь у'\
и а — совокупности
попарно
непересекающихся
тых ' ^ a c т e й с о о т в е т с т в е н н о из у Х у в и у Ч у з , Ф — б и е к ц и я у'\
п р о и з в о л ь н а я т о ч к а из у ' в , q)(Qi) = Q2^(y,
непрерызная
20
5 ) х{х)
откры­
на а, Qi —
a { Q 2 ) — известная
функция,
на о', " а ( Q 2 1 < 1 ( ! а ( Q 2 ) | < 1) • И з 5 о ^ ( у * в \ у % )
проведем
в е р т и к а л ь н у ю х а р а к т е р и с т и к у до ее н е р е с е ч е н и я с ун в точке Го- О т р е ­
з о к 5оГо и т о л ь к о т а к и м о б р а з о м п о л у ч е н н ы е о т р е з к и будем относить
к м н о ж е с т в у N.
Определение
4. Ф у н к ц и ю и{х, у)
будем с ч и т а т ь
принадлежащей
к л а с с у i ? 4 ^ ' 2 ) , если она о б л а д а е т всеми с в о й с т в а м и р е ш е н и й к л а с с а R
( к л а с с а ^^'2) у р а в н е н и я
( 1 ) , кроме, быть м о ж е т ,
непрерывности
их(Хуу)
на м н о ж е с т в е Л^.
З а д а ч а Ф\,
^{^lU)
2)
(модифицированная задача Ф [8]).
уравнения
и^х(х)
a{Q2)u{Q2)
известный
на
(1) к л а с с а
со с в о й с т в а м и :
1) lu = v{y)
3) т " ( х ) =
на ^ в ;
ув\(увиу%);
= g(Qi).
З д е с ь х{х)
на у в \ (УвиТв"'"). т ( х )
лютно интегрируемый
Найти
— след
т(х)
решение
на у л Х б л ;
4)
u{Qi)--
искомой ф у н к ц и и
[уе \ ( у в и у в " ) ] , т ( х )
в з а м ы к а н и и ув",
на
и
(ув)
— известная
ув,
абсо­
функция,
g{Qi)^C^
(у'в);
v{y), бл и м е ю т п р е ж н и й с м ы с л .
Теорема
4, Р е ш е н и е к а ж д о й из з а д а ч А", Л**, Ф* е д и н с т в е н н о
в
к л а с с е R"<2 р е ш е н и й у р а в н е н и я ( 1 ) , если его к о э ф ф и ц и е н т ы у д о в л е т ­
в о р я ю т у с л о в и я м Ai, или Л, или С, или D.
Доказательство,
П у с т ь и[х^у)
— р е ш е н и е о д н о р о д н о й з а д а ч и , на­
п р и м е р Ф" , и{х, у)ФОвН.
Т о г д а по т е о р е м е 1 тах|^г1
д о л ж е н достнг а т ь с я т о л ь к о на ув. Он не м о ж е т д о с т и г а т ь с я на увЧувУу^в), т а к к а к
т а м в силу второго о д н о р о д н о г о у с л о в и я // = 0.
Д о п у с т и м , что он д о ­
с т и г а е т с я на н е к о т о р о й о т к р ы т о й с в я з н о й части из у в — д у г е 5 7 ,
на
к о т о р о й х''{х)
= 0. С л е д о в а т е л ь н о ,
на 5 Г ф у н к ц и я Т(А^) л и н е й н а
и
тах\и\
д о с т и г а е т с я т о л ь к о на одном из к о н ц о в этой дуги, к о т о р ы й в
sf
силу предыдущего является
с и н г у л я р н о й в е р ш и н о й о б л а с т и . Н о это
п р о т и в о р е ч и т л е м м е 1. С л е д о в а т е л ь н о , т а х | ^ / | м о ж е т д о с т и г а т ь с я т о л ь /7
ко на у "в в н е к о т о р о й точке Q^\. О т с ю д а в с и л у н е л о к а л ь н о г о о д н о р о д ­
ного у с л о в и я 4 u{Q^\) =a{Q^2)u{Q^2)
и ввиду'|a(Q°2) | < 1
\iiiQ'i)\<\u{Q'2)\,
что н е в о з м о ж н о , т а к к а к m a x | w | д о с т и г а е т с я т о л ь к о на ув. Е щ е
(И)
проще
Я
доказываются остальные утверждения теоремы.
Н а м не у д а л о с ь о б н а р у ж и т ь о б л а с т ь , в которой з а д а ч а Л'^* о к а з а ­
л а с ь н е р а з р е ш и м о й . Д а ж е в к л а с с и ч е с к и х о б л а с т я х з а д а ч а Ф^^ м о ж е т
привести к ф у н к ц и о н а л ь н ы м
и интегральным уравнениям Вольтерра
со с д в и г о м , т е о р и я которых р а з в и т а е щ е н е д о с т а т о ч н о .
2. У р а в н е н и я с м е ш а н н о г о т и п а
Т е о р и я у р а в н е н и й с м е ш а н н о г о тина восходит к р а б о т а м Ф. Т р и к о м и
(1923 г.) и п р о д о л ж а е т р а з в и в а т ь с я в с а м ы х р а з л и ч н ы х н а п р а в л е н и я х
после и с с л е д о в а н и й Ф. И . Ф р а н к л я (1945 г . ) , о б н а р у ж и в ш е г о их при­
менение в трансзвуковой газовой динамике
[ 3 8 ] . Н а д ней р а б о т а л и
М. А. Л а в р е н т ь е в и А. В. Б и ц а д з е , П. Ж е р м е н и Р . Б а д е р ,
К. И. Б а ­
бенко; С. Агмон, Л . Н и р е н б у р г
и М. X. П р о т т е р ,
М. Б . К а п и л е в п ч ,
21
и. л. К а р о л ь , С. П . П у л ь к и н , М . С. С м и р н о в , О. А. Л а д ы ж и н с к а я и
Л, Ступялис,
К. С. М о р а в е ц ,
Л . И . Ч и б р и к о в а , Ю . М. К р и к у н о в ,
В. И . / К е г а л о в , Ю. М . Б е р е з а н с к и й ,
Л . И . К о в а л е н к о , Л . Е. Вострова, Л . А. З о л и н а , В . П . М и х а й л о в , В . И. В р а г о в , Г. И . Э с к и н , М. С а й го, Е. И . М о и с е е в , Т. Ш . К а л ь м е н о в , А. Г. К у з ь м и н , Р е п и н и д р у г и е .
О н а д о с т а т о ч н о полно о т о б р а ж е н а в л и т е р а т у р е [ 3 9 — 5 0 ] .
О д н а к о д о [6] п р и н ц и п ы м а к с и м у м а и к р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в ­
нений с м е ш а н н о г о типа ф о р м у л и р о в а л и с ь в о б л а с т я х л и ш ь с о д н о с в я з н ы м и подобластя1Ми г и п е р б о л и ч н о с т и
фиксированной,
определенной
формы, встречающихся в задачах Трикоми, Геллерстедта,
Франкля,
Дирихле и обобщенной задаче Трикоми
(с « к л а с с и ч е с к и м и » п о д о б л а ­
с т я м и г и п е р б о л и ч н о с т и с одной р а з о м к н у т о й линией
изменения типа
уравнения).
О с н о в н ы е т р у д н о с т и при п о с т а н о в 1 к е к р а е в ы х з а д а ч д л я у р а в н е н и й
с м е ш а н н о г о типа состоят в в ы б о р е носителей л о к а л ь н ы х и н е л о к а л ь ­
ных к р а е в ы х у с л о в и й , а т а к ж е ч и с л а и вида у с л о в и й с к л е и в а н и я на
л и н и и и з м е н е н и я тина у р а в н е н и я (линии п е р е х о д а ) . Т е о р е м а 1 в соче­
тании с принципами максимума д л я эллиптических и параболических
у р а в н е н и й п о з в о л я е т п р е о д о л е т ь эти т р у д н о с т и и п р е д л о ж и т ь , а тео­
рема 3 реализовать [ 8 — И ] методику постановки краевых задач д л я
у р а в н е н и й с м е ш а н н о г о т и п а , г и п е р б о л и ч е с к и х в одно- и (многосвязных
о б л а с т я х п р о и з в о л ь н о й ф о р м ы с одной или н е с к о л ь к и м и , в т о м числе
замкнутькми, л и н и я м и п е р е х о д а . Суть этой м е т о д и к и состоит в сле­
дующем.
1. Е с л и на л и н и и перехода д о с т и г а е т с я м а к с и м у м м о д у л я его р е ш е ­
н и я из з а м ы к а н и я прилегаюш,их
к ней п о д о б л а с т е й г и п е р б о л и ч н о с т и
и н е г и п е р б о л и ч н о с т и , то на ней с л е д у е т з а д а т ь д в а у с л о в и я с к л е и в а ­
ния: р е ш е н и я у р а в н е н и я и его н о р м а л ь н ы х п л и иных п р о и з в о д н ы х .
2. Е с л и на л и н и и п е р е х о д а д о с т и г а е т с я м а к с и м у м м о д у л я р е ш е н и я
у р а в н е н и я л и ш ь из з а 1 м ы к а н и я п о д о б л а с т и его г и п е р б о л и ч н о с т и , т о н а
ней ц е л е с о о б р а з н о з а д а в а т ь л и ш ь у с л о в и е с к л е и в а н и я р е ш е н и я .
3. Е с л и в з а м ы к а н и и п о д о б л а с т и г и п е р б о л и ч н о с т и у р а в н е н и я м а к ­
симум м о д у л я его р е ш е н и я д о с т и г а е т с я на части его г р а н и ц ы , не
с о д е р ж а щ е й линии п е р е х о д а ,
то на л и н и и п е р е х о д а
целесообразно
з а д а в а т ь условие склеивания решения,
а у к а з а н н у ю часть г р а н и ц ы
области сделать носителем нелокального краевого условия.
Эта методика была успешно реализована в [ 8 — И ] и др.
При доказательстве разрешимости поставленных краевых задач, в
особенности с н е л о к а л ь н ы м и к р а е в ы м и у с л о в и я м и ,
могут в о з н и к н у т ь
большие трудности
с получаемыми
при этом ф у н к ц и о н а л ь н ы м и
и
и н т е г р а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и со сдвигом и н а г р у ж е н и е м , т е о р и я кото­
рых н е д о с т а т о ч н о р а з р а б о т а н а . З д е с ь у с п е ш н ы м и могут о к а з а т ь с я м е ­
т о д ы ф у н к ц и о н а л ь н о г о а н а л и з а , п р и м е н е н н ы е в [28, 3 2 ] .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК
1. Proiter
М. И., Weinberger
И. F. Maximum principles in differential eqiiyiioi^s. New
Jersey: Prentice-Hall, INC, 1967. 238 p.
2. Лернер M. E. О принципах максимума для уравнений гиперболического типа и их
ппимекениях к уравнениям смешанного типа: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Куйбышев,
1968. 234 с.
3. Sperb R. Maximum principles and their applications. New York, 1984. 224 p.
4 Леонер M. E. О задаче Трикоми с обобщенными уо'ловиями склеивання/'/Докл. Л И :
СССР. 1974. Т. 218, № 1. С. 24—27.
5. Лернер
22
М. Е. О еднственности решений некоторых краевых задач со скачком иско-
мой функции и ее производных на границе области для параболических, эллиптических
и гипеоболических уравнений// Г|,ифференциальные уравнения и математическая физика:
Респ. сб. Куйбышев, 1979. С. 5 0 — 6 1 .
6. Лернер М. Е. Приннипы максимума для гиперболических уравнений в одно- и много­
связных областях пооизвольной
формы//Новосибирск:
ИМ СО АН СССР, 1982.
С. 109—112.
7. Лернер М. Е. Принципы максимума модуля для систем уравнений с производными
первого и высоких порядков в многомерных областях//Некласспческие задачи матема­
тической физики. Новосибирск: I1M СО АН СССР, 1985. С. 186—191.
8. Лернер Л1 Е. Принципы максимума модуля для уравнений гиперболического и сме­
шанного типов в Hei<i'iaccH4ecKHx областях//Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, № 3.
С. 550—554.
9. Принципы максимума для гиперболических уравнений и систем уравнений в неклас­
сических областях//Дифференциальные уравие{П1я. 1986. Т. 22, № 5. С. 8 4 8 — 8 5 8 .
10. Лернер М. Е. О постановке и разрешимости одного класса киаезых задач для
уравнения Лаврентьева—Бицадзе//Докл. АН СССР. 1 9 9 1 . Т. 317, № ' 3 . С. 561—565.
11. Лернер М. Е. Об одной задаче для модельного уравнения смешанного эллиптикопараболо-гиперболического типа с дзусвязной подобластью гиперболичиостн//Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, N^.'S. С. 1456—1459.
12. Germain
Р. Maximum Theorems a n d Reflections of S i m o l e W a v e s / Z N A C A Technical
R e p o r t , 1955, N 0 3299.
13. Лернер M. E. О разоешимости одной краевой задачи для гипербо^шческих уравне­
ний в неклассических областях//Докл. АН СССР. 1988. Т. 304, ^ 4. С. 8 0 7 — 8 1 1 .
14. Лернер М. Е. О разрешимости одной краевой задачи в неклассических областях//
Дифференпиальные уравнения. 1989. Т. 25, № 4. С. 704—716.
15. Олейник О. А. О свойствах решений некоторых краевых задач уравнений эллип­
тического типа//Мат. сб. 1952. Т. 30 ( 7 2 ) , 13. С. 695—702.
16. Квальваееер В. //., Самарин Ю. П. Квазипериодические и периодические решения
задач с подвижными границами для волнового уравнения в одномерном пространстве//
Диг[)ференпиальные уравнения. 1966. Т. И, № 1 1 . С. 1541 — 1 5 4 3 .
17. Вытчиков Ю. С. Нес лед она кие процессов передачи тепла в теплообмениых устрой­
ствах при переменных теплофнзических параметрах: Автореф. д н е . . . канд. техн. наук,
Куйбышев, 1982. 2 0 с.
18. Емец Б. 8. Решение методом Римана задачи теплообмена при возвратно-противоточном течении теплоносителей в рекуперативных тенлообменниках с целью оптимиза­
ции их работы//Моделиоозание и оптимизация теплообмена в теплоэнергетике. Куй­
бышев, 1982. С. 135—137.
19. Емец Б. В. Разработка математических моделей и расчет теплообмена в сверх­
глубоких скважинах с целью определения ресурса бурильных колонн: Автореф. д н е . . .
канд. техн. наук. Казань, 1986. 13с.
20. Лурье К. Л. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука,
1976. 4 7 8 с.
2 1 . Сиразитдипоз Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметраMJI. М.:
Наука, 1977. 4 7 9 с.
22. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М.: Наука, 1981. 550 с.
23. Jon F. И. T h e Diriciilet problem for a hyperbolic equation//Amer. Jorri. of M a t h .
1941. V. 4 1 . N 0 1 , P. 141—154.
24. Соболев С. Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны
с данными на всей границе области//Докл. АН СССР. 1956. Т. 109, № 4 . С. 7 0 7 — 7 0 9 .
25. Александр ян Р. Д. О задаче, для уравнения струны и о полноте одной спстсмъ!
функций//Докл. АН СССР. 1950. Т. ХХ1П, № 5 . С. 8 6 9 - 8 7 1 .
26. Березанский 10. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных опе­
раторов. Киев: Наукова думка, 1965. 7 9 8 с.
27. Ллександрян Р. Л., Березанский Ю. М., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спект­
ральной теории для уравнений с частными нроизводными//Дифференциальные урав­
нения с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1970. С. 3—35.
28. Врагов В. Н. Краевые задачи для нерчлассических уравнений математической физики.
Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. 84 с.
29. Фокин М. В. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны//Корректные
краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск:
ИМ СО АН СССР, 1981. С. 178—181.
23
30. Фокин М. В. Об оценках решений некоторых краевых задач для уравнения коле­
бания стрУны//Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО
АН С С С К 1983. С. 151 — 154.
31. Кальменов Т. Ш., Садыбеков М. А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых зада­
чах для волнового уравнения//Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, Л^Ь!. С. 60—65.
32. Кальменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравненшт гипер­
болического и смешанного типов: Автореф. дис. ... д-па физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1982.
27 с.
33. Лернер М. Е. Приннии максимума модуля для систем уравнений с производными
первого и высоких порядков в многосвязных областях/А'равнения
неклассического
типа. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. С. 88—92.
34. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа//Днфференпиальные уравнения. 1988. Т . 2 4 , № 1 1 . С. 1967—1975.
35. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений
смешанного тина: Автореф. дис. ... д-оа
физ.-мат. наук. Киев: И н т
математики
АН УССР, 1992. 21 с.
36. Лернер М. Е. О двух
новых
качественных свойствах
функци Римана//Докл.
АН СССР. 1989. Т. 307, № 4 . С. 807—811.
37. Лернер М. Е. О качественных свойствах функции Римана//Д,ифференциальные урав­
нения. 1991. Т. 27, № 12. С. 2106—2120.
38. Франкль Ф. II. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. 711 с.
39. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. 192 с.
40. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных про'лзводных. М.: Изд-во иностр.
лит-ры, 1957. 442 с.
41. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.
42. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука,
1981. 449 с.
43. Бабич В. М., Капилевич М. Б. и др. Линейные упавнения математической физики.
М.: Наука, 1964. 368 с.
44. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.
45. Смирнов М. М. Уравнения смешанного тина. М.: Высш. школа, 1985. 304 с.
46. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного тина. Ташкент: ФАН, 1974.
156 с.
47. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного
типа. Ташкент: ФАН, 1979. 180 с.
48. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ,
1988. 150 с.
49. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к га­
зовой динамике. Л.: ЛГУ, 1990. 204 с.
50. Репин О. А. Краевые задачи со смешением для уравнений гиперболического и сме­
шанного типа. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992. 161 с.
УДК
519.31
Э. я. РАПОПОРТ,
М. Ю. Л И В Ш И Ц ,
Ю. Э. П Л Е Ш И В Ц Е В А
К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е П Р И Б Л И Ж Е Н И Я В ОДНОМ К Л А С С Е ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С Р А С П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы М И ПАРАМЕТРАМИ
Устанавливается
сходимость
и предлагаются
оценки
погрешностей
конечномерных
при­
ближений
по jueTody Галеркина
в одном
классе
задач
оптимизации
распределенных,
систем, описываемых
линейными
уравнениями
в частных
производных
параболиче­
ского
типа.
Особенностью
рассматриваемых
задач
является
формулировка
краевых
условий
на
правом
конце траектории
в соответствующем
бесконечномерном
фазовом
пространстве,
предусматривающая
выполнение
априори
фиксируемых
требований
в
равномерной
метрике
по точности приближения
результирующего
состояния
распределенной
систе­
мы к заданному
при управлении
как исходной,
так и аппроксимированной
моделями
объекта
с удержанием
(в последнем
случае)
любого
конечного
числа
фазовых
координат.
24
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа