close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода.

код для вставкиСкачать
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10/2015
ISSN 2410-6070
ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.968
Асанов Авыт
доктор ф.-м.н., профессор КТУМ, г. Бишкек, Кыргызстан
e-mail: avyt.asanov@mail.ru
Н.С.Беделова
Ст.преп.каф.ИТАС ОшГУ, г. Ош, Кыргызстан
e-mail: kireshe78@mail.ru
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА
Аннотация
Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации
и единственности решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего
рода. В данной статье рассмотрены решения систем нелинейных интегральных уравнений ВольтерраСтильтьеса третьего рода. Для решения этой системы построен регуляризирующий оператор по М.М.
Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Решения задач интерпретации данных физических
приборов, автоматического регулирования и обратных задач кинематики и сейсмики часто сводятся к
интегральным уравнениям, где ядро представляет свойство среды, свободный член как результаты измерений
на границах, а искомая функция показатели среды в внутренних точках. В частности интегральные уравнения
Вольтерра и Вольтерра-Стильтьеса являются условно некорректными задачами, требующие качественное
исследование.
Ключевые слова
Система, нелинейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация,
единственность.
Рассмотрим систему
t
m(t )u (t )   K (t , s, u ( s))d ( s)  f (t ), t  [t0 , T ],
T  t0 ,
(1)
t0
в котором m(t ) - неубывающая непрерывная функция на [t0 , T ] , m(t0 )  0, K (t , s, u)  n-мерная
вектор-функция, u(t ), f (t )  n -мерные соответственно искомая и известная вектор-функции,  (t ) возрастающая известная непрерывная функция на [t0 , T ] .
Наряду с системой (1) будем рассматривать следующую систему
t
[  m(t )] (t ,  )   K (t , s, ( s,  ))d ( s)  f (t )  u (t0 ), t  [t0 , T ] ,
(2)
t0
где  (t ,  ) -искомая n-мерная вектор-функция, u (t ) -решение системы (1), 0   -малый параметр.
Интегральные уравнения первого и третьего рода относится к некорректным задачам[1]. Различные
вопросы линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода изучены в работах [2-5]. В
работе [6] исследовано обобщенное решение интегральных уравнений первого рода. Метод регуляризации
по М.М. Лаврентьеву подробно описан в работах [7-9]. В [10] рассмотрен вопрос единственности
регуляризации для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода и их систем. В [11-12]
изучены вопросы единственности регуляризаций решений систем интегральных уравнений ВольтерраСтильтьеса первого и третьего рода. В [12,13] рассмотрено, что с использованием метода интегрированных
моделей дает оптимальное решение задачи идентификации с обеспечением устойчивости решения.
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10/2015
ISSN 2410-6070
n
Для любых u  (ui ),   (i )  R n через u,    uii обозначим скалярное произведение векторов u
i 1
и  , через M и u -нормы соответственно для n  n матрицы M  (aij ) и для n-мерного u  (u )i вектора,
n
n
2
1
где M  ( ai j ) 2 ,
i 1 j 1
C[t0 , T ] . Для
n
1
2
u  ( ui ) , Cn [t 0 , T ] -пространство n-мерных вектор-функций с элементами из
2
i 1
u(t )  Cn [t0 , T ] норма определяется по формуле u (t ) c  max u (t ) , C , n [t0 , T ], 0    1
t[ t 0 , T ]
линейное пространство всех n-мерных вектор-функций u (t ) , определенных на [t0 , T ] и удовлетворяющих
условию
t

u(t )  u(s)  M  (t )  (s)  , 0    1,
где  (t )  K 0 ( s, s)d ( s)  m(t )
(3)
t0
где M-положительная постоянная.
Предположим, что K (t , s, u) представимо в виде
K (t , s, u)  K0 (t , s)u  K1 (t , s, u) ,
где (t , s; u)  G  R, G  {(t , s) : t0  s  t  T } .
(4)
Потребуем выполнения следующих условий:
а) K0 (t , s)  C (G) K0 (t , t )  C[t0 , T ] ,  (t )  0 , t  [t0 , T ]
где  (t )  min i (t ) ,
i
i (t ) (i  1, 2,...,n) - собственные значения матрицы
1
*
*
[ K 0 (t , t )  K 0 (t , t )] , K 0 (t , t ) -сопряженная матрица к матрице K 0 (t , t ),
2
K0 (t , t )  N0 (t ), t  [t0 , T ] ,
б) При t   для любых (t , s), ( , s)  G справедлива оценка
t
K 0 (t , s)  K 0 ( , s)  l [   ( s)d ( s)  m(t )],
1

где l1 -известное неотрицательное число.
в) K1 (t , s, u ) -непрерывная функция в области G  R n , K1 (t , s ,0)  0 при (t , s)  G,
K1 (t ,t ,u )  0, (t , u)  [t0 ,T ]  R при t   , для любых (t , s, u1 ), ( , s, u1 ), (t , s, u2 ), ( , s, u2 )  G  R
справедлива оценка
t
K1 (t , s, u1 )  K1 ( , s, u1 )  K1 (t , s, u2 )  K1 ( , s, u2 )  l2 [   ( s)d ( s)  m(t )] u1  u2

где l 2 -известное неотрицательное число.
Лемма 1. Пусть выполняются условия а) и X (t , s,  ) -матричная функция Коши для системы
du (t )
 (  m(t ))1 K 0 (t , t )u (t ), t  [t0 , T ] , то есть
d (t )
dX (t , s,  )
 (  m(t ))1 K0 (t , t ) X (t , s,  ), X (t , t ,  )  En
d (t )
где En  n  n -мерная единичная матрица. Тогда справедлива следующая оценка
(5)
t
 ( )
d ( )], (t , s)  G .
  m( )
s
X (t , s,  )  exp[  
Доказательство. Для любого u  R n . С учетом условия а) имеем
d
d
d
2
X (t , s,  )u 
X (t , s,  )u, X (t , s,  )u    X (t , s,  )u,
X (t , s,  )u 
d (t )
d (t )
d (t )
10
(6)
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10/2015
ISSN 2410-6070
1
2 (t )
2
*
 2(  m(t ))1  [ K0 (t , t )  K0 (t , t )] X (t , s,  )u, X (t , s,  )u   
X (t , s,  ) ,
2
  m(t )
d
2 (t )
2
2
то есть
X (t , s,  )u  
X (t , s,  ) , (t , s)  G .
d (t )
  m(t )
Из последнего неравенства вытекает оценка (6). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть матричная функция X (t , s,  )  X (t ,  ) X 1 (s,  ) является матричной функцией Коши
следующей системы
du (t )
 (  m(t ))1 K 0 (t , t )u (t ) , то есть
d (t )
dX (t , s,  )
 (  m(t )) 1 K 0 (t , t ) X (t , s,  ), (t , s)  G, X (t , t ,  )  En .
d (t )
Тогда (t , s)  G справедливо тождество
dX (t , s,  )
(7)
 X (t , s,  )(  m( s))1 K0 ( s, s) .
d ( s)
Доказательство. X (t , s,  )  X (t ,  ) X 1 (s,  ), X 1 (s,  ) -обратная функция к матрице X ( s,  ) .
dX (t ,  )
(8)
 (  m(t )) 1 K 0 (t , t ) X (t ,  )
d (t )
X (t ,  ) X 1 (t ,  )  En

d
dX (t ,  ) 1
dX 1 (t ,  )
[ X (t ,  ) X 1 (t ,  )]  0 
X (t ,  )  X (t ,  )
0
d (t )
d (t )
d (t )
dX 1 (t ,  )
dX (t ,  ) 1
  X 1 (t ,  )
X (t ,  )
d (t )
d (t )
Подставляя (8) в последную систему, имеем
dX 1 ( s,  )
 X 1 ( s,  )(  m( s))1 K0 ( s, s)
d ( s)
Отсюда получим тождество (7), то есть матричная функция Коши X (t , s,  ) удовлетворяет (5), (7) и
X (t , t ,  )  En .
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть выполняются условия а) и u(t )  C ,n [t0 , T ], 0    1
t
(9)
f 0 (t ,  )  (  m(t )) 1 X (t , t0 ,  )[u (t0 )  u (t )]   R(t , ,  )[  m( )]1  [u (t )  u ( )]d ( ),   0
t0
где
m(t0 )  0, m(t ) -неубывающая
непрерывная
функция
на
[t 0 ,T ] ,
R(t , s,  )  (  m(t )) 1 X (t , s , )K0 (s, s) -резольвента матричного ядра [(  m(t ))1 K0 (s, s)] ,  (t )  0 при
t
почти всех t [t0 , T ] ,  ( t)   ( s) d ( s)  m(t), t  [t0 ,T ] и K0 (t , t )  N0 (t ) при всех t [t0 , T ],  (t )  Cn [t0 ,T ] ,

t0
N0  0 .
Тогда на сегменте [t 0 ,T ] справедлива оценка
f 0 (t ,  ) c  Me(M1  N0 M 2 )  .
(10)

где M 1  sup(e   ), M 2   e   d .
 0
0
Доказательство.
t
f 0 (t ,  )  (  m(t ))  X (t , t0 ,  ) u (t )  u (t0 )   R(t , ,  ) (  m( )) 1 u (t )  u ( ) d ( ) 
1
t0
11
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
t



  m(t )
e
 ( )
  m ( ) d ( )
t0

t
t
t
M   ( )d ( )  m(t )  m(t0 )   (  m(t )) e
t0
1

№10/2015
ISSN 2410-6070
 ( )
  m ( ) d ( )

N 0 ( )(  m( )) 1 
t0
t

t0
t0

 M   ( )d ( )  m(t )    ( )d ( )  m( ) d ( );
(11)
Далее
t


e
  m(t )
 ( )
  m ( ) d ( )
t0
t

t

M   ( )d ( )  m(t )  m(t0 ) 
1
[  m(t )]
t0
t
 M [   ( )d ( )  m(t )]   (



t0
  m(t )
1
)
ee
[
t
m(t )
 m (t )

 ( )
  m ( ) d ( )
t0
1
ee
[  m(t )]
t
M [
t0
[
m(t )
 ( )

d ( ) ]
  m ( t )   m ( )

t0
 ( )
m(t ) 
d ( ) 
] 
  m( )
  m(t )
   eM sup(e   )  MeM 1  .
(12)
 0
t
t
 (  m(t ))
1
e

 ( )
  m ( ) d ( )

t0


 (
  m(t )
t
  MN 0e  e

[
1
)
[
m(t )
 m (t )

 ( )
  m( ) d ( )]

[
t0
m(t )
 m (t )
 MN 0e 
t

 ( )
  m( ) d ( )]

t0
m (t )
t


t0
t0

N 0 ( )(  m( )) M   ( )d ( )  m(t )    ( )d ( )  m( ) d ( ) 
N 0 Me e
 m (t )
t
1
t
t

t
 ( )
1

[
m
(
t
)

  ( )d ( )] d ( ) 
  m( ) (1  m(t ))
t
 ( )
 ( )
m(t )

d ( )]
d ( ) 
  m(t )    m( )
  m( )
 ( )
  m ( ) d ( )
t0


(13)
e   d  MN 0 e   e   d  MN 0 eM 2  .
m(t )
0
 m(t )
Учитывая (12), (13) из (11) получаем оценку (10). Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть выполняются условия а), б) и
t
P0 (t , s,  )  [  m(t )]1 X (t , s,  )[ K 0 (t , s)  K 0 (s, s)]   R(t , ,  )[  m( )]1[ K 0 (t , s)  K 0 ( , s)]d ( ) .
(14)
s
Тогда справедлива оценка
P0 (t , s,  )  (1  N0e)l1 , (t , s)  G,   0
(15)
Доказательство. В силу условия б) и оценки (6), из (14) имеем
t
P0 (t , s,  )   [  m(t )]1 X (t , s,  )[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]   R(t , ,  ) (  m( )) 1 K 0 (t , s)  K 0 ( , s) d ( ) 
s
t
t
s

 [  m(t )]1 X (t , s,  ) K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)    (  m(t )) 1 X (t , ,  ) K 0 ( , ) (  m( )) 1 l1[   ( s)d ( s) 
t
 m(t )]d ( )  [  m(t )] e
1

 ( )
  m ( ) d ( )
s
t
t
s
s
l1[   ( )d ( )  m(t )]   (  m(t )) 1 X (t , ,  ) K 0 ( , ) 
t
 (  m( )) 1 l1[   ( s)d ( s)  m(t )]d ( ) .
(16)

Далее
12
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
t
[  m(t )] e
1

 ( )
  m ( ) d ( )
s
t
1
l1[   ( )d ( )  m(t )]  l1e
m(t )
 m (t )
t

 ( )
  m ( ) d ( )
s
s
 l1ee
{
t
m(t )
 m (t )

 ( )
  m ( )d ( )}
s
t
 (  m(t ))
1
e
m(t )
 m(t )
s
 ( )
  m(t )
d ( ) 
ISSN 2410-6070
m(t )
]
  m(t )
t
m(t )
 ( )

d ( )]  l1e sup(e  )  l1 ;
  m(t ) s   m( )
 0
(17)
t
t
t
X (t , ,  ) K 0 ( , ) (  m( )) l1[   ( s)d ( s)  m(t )]d ( )   (  m(t )) e
1

s
1
[
t
[
№10/2015
1

 ( )
  m( ) d ( )


s
t
m(t )
 ( )
d ( ) ]
[

  m ( t )    m ( )
 ( )
1

N 0 ( )(  m( )) l1[   ( )d ( )  m(t )]d ( )  N 0 
l1ee

[
  m( )
  m(t )
s

t
1
t
t
m(t )
 ( )
[

d ( ) ]
  m ( t )    m ( )
 ( )
m(t )
m(t )

   ( )d ( ) 
]d ( )  N 0l1e e
[

d ( )] 
  m(t )
  m(t )    m( )

s
t
t
 (1)d ( ) [
m(t )
 m (t )

t
m(t )
 ( )

d ( )
  m ( t )   m ( )
m(t )
 m (t )
t
m(t )
 ( )
d ( )]  N 0l1e

  m(t )    m( )
t
t


 (1)e
s

d N 0l1e
e

d 
m(t )
 m (t )
 ( )
  m ( ) d ( )
s

 N 0l1ee d N 0l1e[ (e )   e  d ]  N 0l1e(e  )  0  N 0l1e.



0
0
(18)
0
Учитывая (17), (18) из (16) имеем оценку (15). Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Пусть выполняются условия а), в) и
t
H (t , s,  ( s,  ),  )  (  m(t )) 1 X (t , s,  )[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]   R(t , ,  )(  m( )) 1 
s
 [ K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 ( , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))  K1 ( , s, u(s))]d ( ).
Тогда справедлива оценка
H (t , s,  (s,  ),  )  (1  N0e)l2  (s,  ) , (t , s)  G,   0
(19)
(20)
Доказательство. В силу условий а), в) и оценки (6), из (19) имеем
t
H (t , s,  ( s,  ),  )   (  m(t )) 1 X (t , s,  )[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]   R(t , ,  )(  m( )) 1 
s
K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 ( , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))  K1 ( , s, u(s))] d ( )  [  m(t )]1 X (t , s,  
t
t
 [ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]    (  m(t )) X (t , ,  ) K 0 ( , ) (  m( )) l2 [   ( s)d ( s) 
1
1

s
t
 ( )

d ( )
 m ( )
1
s
 m(t )]d ( )  ( s,  )  [  m(t )] e

t
t
s
s
l2 [   ( )d ( )  m(t )]  ( s,  )   (  m(t )) 1 X (t , ,  ) 
t
(21)
 K 0 ( , ) (  m( )) 1 l2 [   ( s)d ( s)  m(t )]d ( )  ( s,  ) .

Далее
t
[  m(t )]1 e

 ( )
  m( ) d ( )
s
t
t
1
l2 [   ( )d ( )  m(t )]  ( s,  )  l2 e
m(t )
 ( )

d ( ) t
  m ( t )   m ( )

s
s
13
 ( )
m(t )
d ( ) 
]  ( s,  ) 
  m(t )
  m(t )
s
[
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
1
 l2 e
m(t )
 m(t )
t

 ( )
  m( ) d ( )
s
t
m(t )
№10/2015
ISSN 2410-6070
 ( )
{

d ( )}
  m ( t )    m ( )
m(t )
m(t )
s
 ( s,  ) [
[
d ( ) 
]  l2ee

  m(t )
  m(t )
  m(t )
s
t
 ( )
t
 ( )
d ( )]  l2  ( s,  ) e sup(e  )  l2  ( s,  ) ;
  m( )
 0
s

t
 (  m(t ))
s
1
e
m(t )
 m(t )
1
(22)
t
X (t , ,  ) K 0 ( , ) (  m( )) l2 [   ( s)d ( s)  m(t )]d ( )   (  m(t )) e
1

t
t


 ( )
  m ( ) d ( )


t
t
 ( )
l2 ee
m( )


s
N 0  ( )(  m( )) 1 l2 [   ( )d ( )  m(t )]d (t )  ( s,  )  N 0  ( s,  ) 
t
t
1
m(t )
 ( )d ( ) 
]d ( )  N 0  ( s,  ) l2e e

  m(t ) 
  m(t )
s

1

s

[
t
t
[
m(t )
 ( )
d ( ) ]

  m ( t )   m ( )



t
[
 ( )
m(t )

d ( ) ]
  m ( t )   m ( )


[
m(t )

  m(t )
t
 ( )
m(t )
 ( )
d ( )](1)d ( ) [

d ( )]  N 0  ( s,  ) l2e 
  m( )
  m(t )    m( )
t
m(t )
 ( )

d ( )
  m ( t )   m ( )
m(t )
 m(t )
t


(1)e d  N 0  ( s,  ) l2 e
m(t )
 ( )
d ( )

  m ( t )   m ( )

s
s

m(t )
 m(t )

e d  N 0  ( s,  ) l2 e e  d 
0
(23)
 N 0 l 2 e  ( s,  ) .
Учитывая (22), (23) из (21) имеем оценку (20). Лемма 5 доказана.
Теорема. Пусть выполняются условия а), б), в),  (t ) является решением системы (1) удовлетворяющее
условию:  (t )  C ,n [t0 , T ] , 0    1. Тогда решение  (t ,  ) системы (2) при   0 сходится по норме
Cn [t0 , T ] к  (t ) . При этом справедлива оценка
 (t ,  )  u(t ) c  KMM 3 
(24)

где M  sup u (t )  u ( s) / (t )  ( s)  , M 1  sup(   e  ), M 2  e  z z  dz,

 0
t ,s[ t0 , ]
0
M 3  (M1  N0 M 2 )e , K  exp[(1  N0e)(l1  l2 )[ (T )   (t0 )].
Доказательство. В системе (2) сделаем замену
 (t ,  )  u(t )   (t ,  )
где
u (t ) -решение системы (1). Подставляя (25) в (2), имеем
t
t
t0
t0
(25)
[  m(t )][u (t )   (t ,  )]   K (t , s, u ( s)   ( s,  ))d ( s)  [m(t )u (t )   K (t , s, u ( s))d ( s)]  u (t0 ),
Отсюда получим
t
[  m(t )] (t ,  )   [ K (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K (t , s, u ( s))]d ( s)   [u (t0 )  u (t )] ,
t0
Подставляя (4) в (26), имеем
t
[  m(t )] (t ,  )   [ K 0 (t , s)(u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K 0 (t , s)u ( s) 
t0
 K1 (t , s, u(s)]d (s)   [u(t0 )  u(t )].
Далее
14
(26)
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
 (t ,  )  
t
№10/2015
ISSN 2410-6070
t
1
1
K 0 ( s, s) ( s,  )d ( s) 
[ K (t , s)  K 0 ( s, s)] ( s,  )d ( s) 

  m(t ) t0
  m(t ) t0 0
t
1
 [u (t0 )  u (t )]

[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]d (s) 
.

  m(t ) t 0
  m(t )
(27)
Используя резольвенту R(t , s,  )  (  m(t )) 1 X (t , s,  ) K (s, s) матричного ядра
[K (s, s) /(  m(t ))] систему (27) сведем к эквивалентной системе.
 (t ,  )  
t
t
1
1
[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)] ( s,  )d ( s) 
[ K (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]d ( s) 

  m(t ) t0
  m(t ) t0 1


 [u (t0 )  u (t )] t
1

  R(t , ,  )
 [ K0 ( , s)  K0 (s, s)] (s,  )d (s) 
  m(t )
   m( ) t
t
0

0

 [u (t0 )  u ( )] 
1
[
K
(

,
s
,
u
(
s
)


(
s
,

))

K
(

,
s
,
u
(
s
))]
d

(
s
)

d ( ) .
1
  m( ) t0 1
  m( ) 
Используя обобщенную формулу Дирихле [5], получим
t
t t

1
1
 (t ,  )  
[
K
(
t
,
s
)

K
(
s
,
s
)]

(
s
,

)
d

(
s
)

R(t , ,  )
[ K ( , s)  K 0 ( s, s)]d ( ) 
0
0


  m( ) 0
   m(t ) t0
t0 s
t
t t

1
1

  ( s,  )d ( s)  
[
K
(
t
,
s
,
u
(
s
)


(
s
,

))

K
(
t
,
s
,
u
(
s
))]
d

(
s
)

R(t , ,  )

1
1


  m( )

t0 s
   m(t ) t 0
t

 [u (t0 )  u (t )]
[u (t0 )  u ( )]
d ( ).
 [ K1 ( , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 ( , s, u ( s))]d ( )d ( s)  
   R(t , ,  )
  m( )

   m(t )
t0
t
t


1
1
 (t ,  )   
[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]   R(t , ,  )
[ K 0 ( , s)  K 0 ( s, s)]d ( ) ( s,  )d ( s) 
  m(t )
  m( )

t0 
s
t
t

1
1
  
[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]   R(t , ,  )
[ K ( , s, u ( s)   ( s,  )) 
  m(t )
  m( ) 1
t0 
s
 [u (t0 )  u (t )] t
 [u (t0 )  u ( )]
 K1 ( , s, u ( s))]d ( )d ( s) 
  R(t , ,  )
d ( ).
  m(t )
  m( )
t
(28)
0
Введем обозначения
t
P0 (t , s,  )  [(  m(t )) 1[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]   R(t , ,  )(  m( )) 1[ K 0 ( , s)  K 0 ( s, s)]d ( ),
(29)
s
t
H (t , s,  ( s,  ),  )  (  m(t )) [ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]   R(t , ,  )(  m( ))1 
1
s
 [ K1 ( , s, u(s)   (s,  ))  K1 ( , s, u(s))]d ( ),
(30)
t
f 0 (t ,  )   (  m(t )) 1[u (t0 )  u (t )]    R(t , ,  )(  m( )) 1[u (t0 )  u ( )]d ( ).
(31)
t0
Учитывая (29), (30) и (31), систему (28) запишем в виде
t
t
t0
t0
 (t ,  )   P0 (t , s,  ) ( s,  )d ( s)   H (t , s,  ( s,  ),  )d ( s)  f 0 (t ,  ),
t  [t0 , T ] .
(32)
Преобразуем P0 (t , s,  ) , то есть покажем, что P0 (t , s,  ) , определенный по формуле (29), можно
преобразовать к виду (14). В силу (7), имеем
1
dX (t , s,  )
(33)
R(t , s,  )(  m( s))1  
.
  m(t ) d ( s)
15
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10/2015
ISSN 2410-6070
Тогда
t
P0 (t , s,  )  (  m(t )) 1[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]   R(t , ,  )(  m( )) 1[ K 0 ( , s)  K 0 (t , s)  K 0 (t , s) 
s
t
 K 0 ( s, s)]d ( )  (  m(t )) 1[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]   R(t , ,  )[  m( )]1[ K 0 (t , s)  K 0 ( , s)]d ( ) 
s
t
(34)
  R(t , ,  )(  m( )) 1 d ( )[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)];
s
Учитывая (33), имеем
t
t
s
s
  R(t , ,  )[  m( )]1 d ( )[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)]  (  m(t )) 1 
dX (t , ,  )
d ( )[ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)] 
d ( )
 (  m(t ))1[ K0 (t , s)  K0 (s, s)]  (  m(t ))1 X (t , s,  )[ K0 (t , s)  K0 (s, s)];
В силу (35), из (34) получим (14).
Далее, покажем что f 0 (t ,  ) , определенный по формуле (31) можно
преобразовать к виду (9):
(35)
t
f 0 (t ,  )   (  m(t )) 1[u (t0 )  u (t )]    R(t , ,  )(  m( )) 1[u (t0 )  u (t )  u (t )  u ( )]d ( ) 
t0
t
t
t0
t0
  (  m(t )) 1[u (t0 )  u (t )]    R(t , ,  )(  m( )) 1[u (t )  u ( )]d ( )   R(t , ,  )(  m( )) 1 
 d ( )[u(t0 )  u(t )].
(36)
Учитывая (33), имеем
t
t
dX (t , ,  )
d ( )[u(t0 )  u (t )] 
d ( )
t0
  R(t , ,  )(  m( )) 1 d ( )[u (t0 )  u (t )]   (  m(t )) 1 
t0
(37)
  (  m(t ))1[u(t0 )  u(t )]   (  m(t ))1 X (t , t0 ,  )[u(t0 )  u(t )];
В силу (37), из (36) получим (9).
Покажем, что H (t , s,  (s,  ),  ) , определенный по формуле (30), можно преобразовать к виду (19).
t
H (t , s,  ( s,  ),  )  (  m(t )) 1[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))]   R(t , ,  )(  m( )) 1 
s
 [ K1 ( , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))  K1 ( , s, u(s)) 
 ( K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))]d ( )  (  m(t ))1[ K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))] 
t
  R(t , ,  )(  m( )) 1[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 ( , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))  K1 ( , s, u ( s))]d ( )
s
t
(38)
  R(t , ,  )(  m( ))1 d ( )[ K1 (t , s, u ( s)   ( s,  ))  K1 (t , s, u ( s))].
s
Учитывая (33) имеем
t
  R(t , ,  )(  m( )) d ( )[ K1 (t , s, u ( s)   (s,  ))  K1 (t , s, u (s))]  (  m(t ))
1
s
1
t

s
dX (t , ,  )
d ( )[ K1 (t , s, u(s) 
d ( )
  (s,  )  K1 (t , s, u(s))]  (  m(t )) [ K1 (t , s, u(s)   (s,  ))  K1 (t , s, u(s))]  (  m(t ))1 X (t , s,  ) 
 [ K1 (t , s, u(s)   (s,  )  K1 (t , s, u(s))];
1
(39)
В силу (39), из (38) получим (19), а в силу леммы 3,4 и 5 из (32) получим
t
 (t ,  )   [(1  N 0e)(l1  l2 )]  ( s,  ) d ( s)  Me( M 1  N 0 M 2 )  , t  [t0 , T ]
t0
В силу обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана, из последнего неравенства получим оценку
16
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
№10/2015
ISSN 2410-6070
T
 (t ,  ) c  Me( M 1  N 0 M 2 )  e

(1 N0e ) [ l1 l2 ] d ( s )
 KMM 3  .
t0
Теорема доказана.
t

Следствие. Если выполняются условия а), б), в) и m(t )  K 0 ( s, s)d ( s )  0
при t  (t0 , T ) ,
t0
K1 (t , t , u )  0 и  (t ) - строго возрастающая функция при t  [t 0 , T ] , то решение системы (1) единственно в
пространстве Cn [t0 , T ] .
Доказательство. Пусть система (1) имеет два решения u1 (t ) и u2 (t ) на [t0 ,T ] , то есть
t
t
t0
t0
m(t )u1 (t )   K (t , s, u1 ( s))d ( s)  m(t )u2 (t )   K (t , s, u2 ( s))d ( s), t  [t0 , T ]
Отсюда
t
t
m(t )[u1 (t )  u2 (t )]   K 0 (t , s)[u1 ( s)  u2 ( s)]d ( s)   [ K1 (t , s, u1 (s))  K1 (t , s, u2 (s))]d ( s)  0,
t0
t0
t
m(t )[u1 (t 0 )  u 2 (t 0 )]   K 0 ( s, s)[u1 (t0 )  u 2 (t0 )]d ( s)  m(t )[u1 (t )  u 2 (t )  (u1 (t0 )  u 2 (t0 ))] 
t0
t
t
t0
t0
  K 0 ( s, s)[u1 ( s)  u 2 ( s)  (u1 (t0 )  u 2 (t0 ))]d ( s)   [ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)][u1 ( s)  u 2 ( s)]d ( s) 
t
  [ K1 (t , s, u1 ( s))  K1 ( s, s, u1 ( s))  K1 (t , s, u 2 ( s))  K1 ( s, s, u 2 ( s))]d ( s)  0.
t0
Умножим систему (1) скалярно справа и слева на разность u1 (t0 )  u2 (t0 ) и складывая имеем:
t
 K (s, s)[u (t )  u (t )]d (s), u (t )  u (t )
2 [m(t )[u1 (t0 )  u2 (t0 )], u1 (t0 )  u2 (t0 ) 
0
1
0
2
0
1
0
2
0

t0
t
u1 (t0 )  u2 (t0 ),  K 0 ( s, s)[u1 (t0 )  u2 (t0 )]d ( s)  2 m(t )[u1 (t )  u2 (t )  (u1 (t0 )  u2 (t0 )), u1 (t0 )  u2 (t0 )] 
t0

t
 K (s, s)[u (s)  u (s)  (u (t )  u (t ))]d (s), u (t )  u (t )
0
1
2
1
0
2
0
1
0
2
0
t0
 (u1 (t0 )  u2 (t0 ))]d ( s) 
t
 u1 (t0 )  u2 (t0 ),  K 0 ( s, s)[u1 ( s)  u2 ( s) 
t0
t
 [ K (t, s)  K (s, s)][u (s)  u (s)]d (s), u (t )  u (t )
0
0
1
2
1
0
2
t0
t
,  [ K 0 (t , s)  K 0 ( s, s)][u1 ( s)  u2 ( s)]d ( s) 
t0
0
 u1 (t0 )  u2 (t0 ),
t
 [ K (t, s, u (s))  K (s, s, u (s)) K (t, s, u (s)) 
1
1
1
1
1
2
t0
t
 K1 ( s, s, u2 ( s))]d ( s), u1 (t0 )  u2 (t0 )  u1 (t0 )  u2 (t0 ),  [ K1 (t , s, u1 ( s)  K1 ( s, s, u1 ( s))  K1 (t , s, u2 ( s)) 
t0
(40)
 K1 (s, s, u2 (s))]d (s)  0.
В силу условия а), б), в), из (40) имеем
t
2
2[m(t )    ( s)d ( s)] u1 (t0 )  u2 (t0 )  2m(t ) u1 (t )  u2 (t )  (u1 (t0 )  u2 (t0 )) u1 (t0 )  u2 (t0 ) 
t0
17
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»
t
№10/2015
t
t
t0
s
ISSN 2410-6070
 2 N 0   ( s)d ( s) sup u1 ( s)  u2 ( s)  (u1 (t0 )  u2 (t0 )) u1 (t0 )  u2 (t0 )  2 l1[   ( )d ( )  m(t )] 
t0
s[ t0 ,T ]
t
t
t0
s
 u1 ( s)  u2 ( s) d ( s) u1 (t0 )  u2 (t0 )  2 l2 [   ( )d ( )  m(t )] u1 ( s)  u2 ( s) d ( s) 
 u1 (t0 )  u2 (t0 ) .
(41)
t

Деля обе части на 2[m(t )  K 0 ( s, s)d ( s)] u1 (t0 )  u2 (t0 ) , из (41) получим
t0
u1 (t0 )  u2 (t0 )  u1 (t )  u2 (t )  (u1 (t0 )  u2 (t0 ))  N 0 sup u1 ( s)  u2 ( s)  (u1 (t0 )  u2 (t0 )) 
s[ t0 ,t ]
t
t
t0
t0
  l1 u1 ( s)  u2 ( s) d ( s)   l2 u1 ( s)  u2 ( s) d ( s), t  [t0 , T ].
Переходя к пределу при t  t 0 получим u1 (t0 )  u2 (t0 )  0 при t  [t 0 , T ] . Тогда u1 (t0 )  u2 (t0 ) и из
(24) имеем
u1 (t )  u2 (t ) c  u1 (t )   (t ,  ) c   (t ,  )  u2 (t ) c  0, при   0 ,
то есть  (t ,  ) является решением системы (2), поэтому u1 (t )  u2 (t ) , при t  t 0 , T  .
Список использованной литературы
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. Москва: Наука, 1978.
2. Иванов В.К., Васин В.В. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - Москва: Наука, 1978.
3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.
- М: «Наука», 1980.
4. Беделова Н. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений
Вольтерра-Стильтьеса третьего рода //Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. – Бишкек:
Илим, 2013. – Вып. 45. -С. 85-94.
5. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода //Журнал ВМ и
МФ, 1979, №4 , -С.970-980.
6. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. – Фрунзе: Илим, 1978. - 144 с.
7. Лаврентьев М.М. Регуляризация операторных уравнений типа Вольтерра. // В кн.: Проблемы
математической физики и вычислительной математики. - Москва: Наука, 1977, -С. 199 – 205.
8. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //ДАН СССР, 1959, -Т.127, №1,-С.31-33
9. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР. – 1960. – Т.133, № 2.
10. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого
рода //ДАН СССР, 1989,-Т.309, №5,-С.1052-1055.
//Журнал Естественных наук
11. Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса
КТУМ, -Бишкек, №4, 2003, -С.65-79
12. Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода //Журнал
Естественных наук КТУМ, -Бишкек, №2, 2002, -С.79-95.
13. Асанов А., Беделова Н. Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего
рода // Вестник КазНПУ им. Абая, - Алматы, 2014, №4, Вып. 48. –С.8-13.
© А. Асанов, Н.С. Беделова, 2015
18
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа