close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Скорость изменения коэффициентов двойных рядов фурье-якоби для класса функций hs1 -2.

код для вставкиСкачать
Естественные и точные науки •••
9
УДК 519.651
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДВОЙНЫХ
РЯДОВ ФУРЬЕ-ЯКОБИ ДЛЯ КЛАССА ФУНКЦИЙ H 1, 2
THE CHANGE SPEED OF THE DOUBLE FOURIER-JACOBI
SERIES COEFFICIENTS FOR THE
CLASS OF H  , FUNCTIONS
1
2
Магомедов И. И., Магомедов А. И.
Дагестанский государственный университет
© 2015
© 2015
Magomedov I. I., Magomedov А. I.
Dagestan State University
Резюме. В работе установлена скорость убывания коэффициентов двойных рядов ФурьеЯкоби для функций класса H  , .
Abstract. The authors of the article determine the decrease speed of the double Fourier-Jacobi series
coefficients of double for the class of H  , functions.
Rezjume. V rabote ustanovlena skorost' ubyvanija kojefficientov dvojnyh rjadov Fur'e-Jakobi dlja
funkcij klassa H  , .
1
2
1
1
2
2
Ключевые слова: двойные ряды Фурье-Якоби, ортогональные многочлены, сходимость, скорость, модуль непрерывности.
Keywords: double Fourier-Jacobi series, orthogonal polynomials, convergence, speed, continuity modulus.
Kljuchevye slova: dvojnye rjady Fur'e-Jakobi, ortogonal'nye mnogochleny, shodimost', skorost',
modul' nepreryvnosti.
Пусть последовательность многочленов
i 1
Pi ( x)  ai x  ai 1 x
i
где
 , е i  0,1,2,, n , (1)
ai  0
ортонормирована по весу
h1 ( x) на отрезке (a, b), а последовательность многочленов
Q j ( y)  b j y j  b j 1 y j 1  , j  0,1,2,, n , (2)
где b  0 ортонормирована по весу
j
h2 ( y) на отрезке (c, d ) .
Тогда последовательность
Fij ( x, y)  Pi ( x)Q j ( y)
(3)
будет ортонормирована в области
D  a  x  b;
c  y  d
по весу h( x, y)  h1 ( x)h2 ( y) [1, 4], то есть
h( x, y) Fij ( x, y) Fij  ( x, y)dxdy   ii jj  ,

D
i, i, j, j  0,1,, n .
Пусть функция f(x,y), заданная в области D, разлагается в равномерно сходя-
щийся в ней ряд Фурье по многочленам
Fij ( x, y), то есть


f ( x, y)   cij Fij ( x, y) ,
(4)
i 0 j 0
где
Сij   h( x, y) f ( x, y) Fij ( x, y)dxdy
(5)
D
коэффициенты по системе ортонормированных многочленов Fij ( x, y ) .
Займемся оценкой скорости изменения
коэффициентов Фурье Cij для класса
функций H
при весовых функциях

 ,
1
[7. С. 57]

2


h1  (1  x) (1  x)  , h2  (1  x) (1  x) ,


 ,  ,  ,    1 ,
которые называются коэффициентами Фурье-Якоби двух переменных.
10
••• Известия ДГПУ, №3, 2015
Разобьем интеграл для коэффициентов
Cij на четыре интеграла по четырем частям области D:
D   1  x  1;  1  y  1 ,
расположенных в четырех четвертях.
Все они оцениваются одинаково во всех
четвертях.
Рассмотрим интеграл в той части
области
, которая лежит в первой четверти. Его можно представить в виде суммы четырех слагаемых по схеме:
x
y
x 1
1 y
1 1




 (1)  ( 2)  ( 2)  ( 4) .
        
1
0
1
1
0
0
D
1
y1
x1 0
x1 y1
ij
ij
ij
ij
Разобьем промежутки 0≤x≤1 и 0≤y≤1
произвольными точками
x1 , x2 ,, xn и y1 , y2 ,, ym
на части
0  xn 1  xn    x1  x0  1;
0  ym 1  ym    y1  y0  1 . В дальнейшем эти точки xi и y j ,
i  1,2,, n, j  1,2,, m будем выбирать каждый раз по-разному и при необходимости.
Рассмотрим функцию f ( x, y) , заданную в области D  x  1, y  1 и принадлежащую классу H , . Эту функ
1
D  x  1; y  1
и на отрезке [-1,1] соответственно,
 (x) – неизвестная функция.
Если

i 0 j 0
1 1
Cij 
ства
f ( x, y)  f ( x, y)  1 ( x  x )  2 ( y  y ) ,
2 (t )

модули непрерывно-

сти заданные на 0,  функции, непрерывные , монотонно неубывающие, неотрицательные, полуаддитивные и
 ( )  sup f (t )  f (t ) и 1 (0)  2 (0)  0 .
1
2
t1 t2 
Цель настоящей работы состоит в изучении поведения коэффициентов Cij (5)
для функции (4) f ( x, y)  H1 , 2 , являющейся решением интегрального уравнения.
1
 ( y)     ,  ( x) f ( x, y) ( x)dx  f ( y) , (6)
1
( x)  (1  x) (1  x)  ,  и
  1, а f ( x, y) и f ( y ) – функции,
где

( ,  )
заданные в области
( x) K j ,   ( y )dxdy ,
 ,  

f ( y)   f j p
i 0
 ,  
j
( y) опреде-
1
( y), f j 
 f ( y) K
 ,
j
( y)dy,
1

1
i 0
1
 ( x)   i pi ,  ( x), i    ( y) Ki ,  ( x)dx,
то для определения неизвестных коэффициентов  i получаем бесконечную систему линейных уравнений:

 j   Ciji  f j , j  0,1,2,, n . (7).
i 0
Действительно, из (6) получаем
1

 ,
1




 
 
( x)  Cij Pj ,   ( y )Pi ,  ( x) i Pi ,  ( x)dx 




 i 0  j 0
 i 0
2
( x, y)  D будут выполняться неравен-
и
 ,
i
Ki ,  ( x) и K j
где
лены ниже,


j 0
j 0
  f j Pj ,  ( y )   j Pj ,  ( y ).
w1, w2
1 (t )
  F ( x, y) K
11
цию определяют следующим образом: если
для любых двух точек H
и
где

f ( x, y )   Cij Pi ,  ( x) Pj ,   ( y ),
P
В силу ортонормированности
 ,

 ,
( x)
по весу P ( x) последнее
равенство можно переписать так:




 ,  
 ,  

 Cij Pj ( x)i   ( f j   j ) Pj ( y),
i 0  i 0
j 0

то есть
  

  ,  
C

P
(
y
)

( f j   j ) Pj ,  ( y ).
 ij i  j


j 0  j 0
j 0

i
Отсюда, в виду полноты
P
 ,  
j

( y)
в
C ([1,1]), следует равенство (7).
Уравнение (1) рассматривалось в [4 – 6].
( 2)
( 3)
Интегралы J ij и J ij оцениваются
одинаково. Прежде чем оценить интегралы
J ij(1) , J ij( 2) и J ij( 3) , перечислим некоторые
свойства ортонормированных многочле ,
нов Якоби Ri ( x) , которыми мы будем
пользоваться [2, 3].
При фиксированном   0 и 1  Q    
N
Естественные и точные науки •••
h ,  (Q) Pi ,  (CosQ) 
h ,  (Q) Pi ,  (CosQ) 
(i    1)
N

1
2
Cos( NQ   )  0(
i!
   1
где N  i 
11
(i    1)
1 N,
)
i i
1

2
1
1
f ( x, y)  1, 1
Cos( NQ  )  0( 1)
K n1 ( x)dx)dy.
i
i
n(n      1 1 x
i!
(8)

Здесь внеинтегральный член исчезает за счет множителя (1  x) 1 ,
1 
  (  ) ;
2 2
,
2
1
1
Q 2
Q 2
 ,
h (Q)  ( Sin ) (Cos ) ,
2
2
и 0(1) зависит только от   0 . Для
0  Q   имеем
 ,
(1  x)  1 , поэтому, интегрируя еще р-1
раз по x, потом q раз по y, получим,
при p  n, q  m ,
 p q f ( x, y)   p , q
K n p
( x) K m qp , q ( y)dxdy  (12)
p
q

x

y
1 1
1 1
 ,
*
(CosQ)  C . (9)
 2
1
Если x0 
,    , то
   1
2
h
Pi
 ,
(Q) Pi
(cos Q)  C ( ,  )i

1
2
1
, n p nq
x0  cos Q  1 .
1 1
Ki ,  (cos Q) 
2
 ,
(n    1)h (Q)
 n! N
  12

cos( NQ   )  0(
sin Q
n
n n

дифференцируемой функции f ( x, y)
сводится к оценке коэффициентов
Cn,m ( f ) для непрерывной функции
1
K n11, 1 ( x) ,(11)
n(n      1)
   1
n
Таким образом, оценка Cn,m ( f ) для
Тогда интеграл
( x)dx 
p q
1 1   p  q f ( x, y)   p ,  q

K n p
( x) K m qp ,  q ( y)dxdy
1  (  )  
p
q*
,
n m 1 1 x y

1
1
1
1
1

так как

 0(
)  1  ( ) .
(10)
n
K n , ( x)  (1  x) (1  x)  Pi , ( x).
 ,
i
1 
1 1   p  q f ( x, y)   p ,  q
K n* p
( x) K m qp ,  q ( y)dxdy
1  (  )  
n n 
n m 1 1 x p y q
1 1

n 
Положим
K
1
*
n(n  p)(n  q  1)(n      1)(n      P)(m      1)(m      q)
Cn ,m 
3
2
Q
)
n n
f ( x, y) .
Кроме того, имеют место оценки
1
1
1
 K xdx   P x P
 ,
 ,
i
 ,
i
1
1
1
 21
x dx    P , x dx    P , x  Pi ,
 1
 1
 ,
 ,
1
1
1
1
Если x  CosQ 1 нули
много 1  ,
 2  1  ,
 2  1  ,
 2,
2
 ,
 ,
 ,
 ,




















K
x
dx

P
x
P
x
dx

P
x
dx
P
x
P
x
dx

P
x
dx


i
i
 i

 


11
 ,
1
 1
 1

 1

члена Pn ( x), то Q ,  Q,1 ~ ,
1
1
1
2
  ,
 .
n
 ,
1 Ki  y dy   1 P  y dy 
 ,
  2,3,, n; Q0  0,
в том смысле, что отношение левой и
1 1
 ,
 , 
правой частей заключено между двумя по0 0 f ( x, y) Ki ( x) K j ( y)dxdy
ложительными постоянными:
Переходим теперь к оценке двойного
С1 ( ,  ) и С2 ( ,  ) .
интеграла.
Для интеграла ij( 4 ) введем замену переОчевидно, что если в области D существует непрерывная частная производная
менных:
x  cosQ, y  Cos
 p  q f ( x, y )
.
, то
p
q
Воспользуемся
неравенством
(9) и анаx y
логичным неравенством для
1 1
1
 ,  
Cnm    f ( x, y ) K n ,  ( x) K m ,   ( y )dxdy   K m ,   ( y ) *
Pj
(cos  ). Получим:
1 1
1
* (  а( x, y ) K n ,  ( x)dx)dy 
1
1
1
K
 ,  
m
( y) *
1

1
1
K n11,  1 ( x)| 
 f ( x, y )
1
n( n      1

J il
( 4)

0
 Q
w1 (Q12 )  w2 (12 )
Q1

1
1    1
2 dQ 
2 d

0


0

3
2
 
3
2
 0 w1 (Q  w2 ( ) Q1 1 .
1
1
Так как Qi ~ , i ~ , то и подавно
i
j
2
1
2
1


J ij
12
••• Известия ДГПУ, №3, 2015
J
( 4)
ij
 1
1 
1
 O i ( )  2 ( )
(13)
3
j  2 2  i  32
 i
i j
Оценим интеграл J il
1
J ij
1
( 2)
 Kj
 ,  
n
xv
( y ){  K i
( 2)
 Kj
 ,  
 1  1
:
n
xv
( y){  K i
1
 ,
K 1
i
J ( 2) несущественны. Для оценки выраже-
ния в фигурных скобках в последнем ра( ,  )
венстве воспользуемся для K i
( x)
асимптотической формулой (12).
Вклад остаточного члена:
O(1) 1 ( x  xv 1 )
 1

(i    1)h ( ,  ) (Q) dQ

i! i 1/ 2 sin Q
i
Q
 1
Q
Qn1
Промежутки на оси OX длины ~ 1 для
Q 1
Qn1
если положить f (CosQ0 , y)  0.
Двукратное интегрирование по частям
дает
( x) такие, что xn1  0  xn .
n
n
 [,f (CosQ , y )  f (CosQ 1, y)]  h ,  (Q)Cos( NQ   )dQ,
( x)[*f ( x, y)  f ( x, y)]dx}dy
( x*)[ f ( x, y )  f ( x, y )]dx}dy,
 1,  1
n 1
 2
Q
если выбрать в качестве точек
x ,  1,2,..., n  1 нули функции
y1
n
Q
 [ f (CosQ , y)  f (CosQ 1, y)]Q h ( ,  ) (Q)Cos( NQ   )dQ 
 f (CosQ1 , y) Q n1 h ,  (Q)Cos( NQ   )dQ 
 1  1
y1
 ,
( 2)
Применим к левой части равенства (15)
преобразование Абеля:
h
 ,
(Q)Cos( NQ   )dQ 
Q

Qn1
h ,  (Q)
1
Cos( NQ   ) |  2
2
N
N
Q
Так как
 , 
h

h ,  (Q)  (Q
h ( , ) (Q)
Sin ( NQ   )
N
Qn1
h
 ,  
(Q)Cos( NQ   )dQ.
Qn1
|

Q
(16)
Q

(Q)  0(Q
1
2 ),
3
2
), то третье слагаемое
1
справа в (16) при  
есть :
2
Q
3
1

1 n1  
1
( 2 )  Q 2 dQ  ( 2 )(1  Q 2 ),
i Q
i
1
1
Q
1
h( ,  ) (Q)
1 1 Qi1 а 2при   :
( 2 ) ln n1 .
dQ


(
1
)

(
)
Q
dQ
2
i
Q
Q sin Q
i i i Q1
 1
Второе слагаемое справа в (16) также
1
n
 1 Q 1 h( ,  ) (Q)
1 1 Qi1   2
есть:
(1)1 2
dQ  (1) ( )
Q dQ
1
i i i Q sin Q
i i i Q1

1
 1
.
( 2 )(1  Q 2 )
i
Так как n ~ i и
.
1
1
  ,  

1
В силу выбора точек Q , 1    n  1
2

Qn
 1  Q1 2
Q 2 dQ   Qn
,
1
(1)
Q1
Sin ( NQ   ) 
.
ln Q ,   2
iSinQ
1

Действительно,
то окончательно получим, что вклад
h 1,  1 (Q )
2i      1
2  3
остаточного члена равен:
  K i11, 1 ( x ) 
(Cos
Q 
) 
SinQ
2
4
1

   2
1
при    ,
i
h 1,  1 (Q ) 
(1) 
2

Sin ( NQ   ) 
.

1 1 
1 ,
(14)
SinQ
nSinQ 

O(1) ( )
ln
i
при



,

Поэтому первое слагаемое в (16) есть
i i i
2
1
тоже
1
при    .
1

2

1

2

(
)(
1

Q
).

2
Главный член будет
i
2   1 (i    1) n Q 1 ( , )
Окончательно
приходим к выводу: при
h
(Q)Cos( NQ   )[ f ( x, y)  f (cos
Q, y)]dQ


 1 / 2
Q
 i! N
1
 1

левая часть равенства (15)
бу   1) n Q ( , )
h
(Q)Cos( NQ   )[ f ( x, y)  f (cos Q, y)]dQ .
2


 1 / 2
Q
 1
дет равна:
Покажем, что равномерно относитель1

1 1 n
1 1
но y [0,1]
(1 ( ) 2 (1  Q 2 ))  ( 1 ( )).
n
i i  1
i
i
Q 1
1 1
f (cos Q , y)  h ,  (Q)Cos( NQ  j )dQ  O{1 ( ) Поскольку
}

Q
2 i
 1
n
Qn 1
Qn( n1)
Q 1
1
1
 ,
ln

ln
 (i),
(15)
os Q , y)  h (Q)Cos( NQ  j )dQ  O{1 ( ) }
Q
Q
Q1,,Qn
2 i
 1
n
 O(1)1
 1
i2 i i
Q 1

1


Естественные и точные науки •••
13
то справедливость равенства (15) докаЕсли точки x и y  произвольные из [зана.
Окончательно получим
1,1], то J ij(1) можно преобразовать следуQ
1
   1
2
(i    1)
J ij( 2)   K j ,   ( y )
(  h ,  (Q) *f ( x, y )Cosющим
( NQ  образом.
)dQ)dy  Используя двойное преоб1
разование
Абеля

y
Q
 i! N 2
n m
n m
n
m
Q
   1
aij bij  [aij  ai , j 1  ai 1, j  ai 1, j 1 ]( b ,  ),
2
(i    1)


 ,
(  h (Q*) f ( x, y )Cos( NQ   )dQ)dy 
i 1 j 1
i 1 j 1
 i   j
1

Q
2
 i! N
1
1 1
где полагаем
 , 
n 1
1
1
n 1
1
 (1 ( )
) K
i i i y1
( y) dy.
aij  f ( xi , y j ),
Оценим J ij(1) :
n
m
J ij(1)  
x
y
 
 1  1 x 1 y  1
получим
n
 1  1
x
n
m
асимптотические формулы для K i ,  ( x) и
K j ,   ( y), то вклад остаточных членов был
бы равен
x1
y
  f ( x, y)  f ( x f,(yx, y))KK
 1  0 x 1 y 1
n
m
 
x
y1


 ,
i , 
i
h ,   ( ) h ,  (Q)
1
1
(1  )(1  )dQd 
i
iQ
j
j
x n1 y m1
x1
Qn1
 1
1  1
 1 ( )  2 ( )
j  ij
 i
Q

1
2
ym1
dQ  h ,  ( )d 
Q1
y1
Qn1
Q
1

2
 m1
dQ
Q1

 
1
2
d 
1
 1
1  1
 1 ( )  2 ( )
.
j  ij
 i
m
 1  1
n
x
y
 K
 ,
i
x 1 y  1
x
y
1
  f ( x, y)
Ki11,  1 | K j 11,   1 ( y)|  0
x 1
y  1


i(i      1) j ( j      1)
 1  1
в силу выбора точек x и y  .
1
ij

2 2
1
1
  ( iQ  j )Q
Q1

1
2

 
1
2
1 (1  x)  2 (1  y ) 
1

1
  1 (Q )  2 ( )
ij
2
2

1
 21   1
1 2   2 


2
  Q dQ    d  
i
j 1


 Q1

1
1 
 
2
1

1

Q
 
1
 1  2  в
1

i
2
2





1
  1 (Q )  2 ( )


j ln  
ij 1
 i
 i ln Q1



или  
2
(18)
( x) K j ,   ( y )dxdy 
m

зависимости от того, будет ли
равен  1 или нет.
Для второй суммы J ij(1) получим:
n

 
y
 1
1 1
 1 ( )  2 ( )
j  ij
 i
y1
* 
 1
1 
 1 ( )  2 ( )  K i , ( x) dx  K j ,  ( y) dy 
j xn1
 i
y 1
J ij(1)    f ( x , y  )
( y )dxdy  1 (1  x)  2 (1  y)*
( x) K j
j
x1
( x) K j ,  ( y )dxdy  1 (1  x)  2 (1  y)*
xn1 ym1
, 
,
i
 ,
i
 , 
( x) K
( y )dxdy 
 , j
 
 
  f ( x, y)  f ( x , y )K ( x) K ( y)dxdy 
 1  0 x 1 y 1
y1
  f ( x, y) K
xn1 y m1
y
J ij(1) мы использо-
вали не принадлежность f ( x, y)  H1 ,2 , а
( y) дает для
x1
( x) K j ,  ( y )dxdy ).
xn 1 ym 1
функции f ( x, y)  H1 ,2 :
J ij(1)  
 ,
i
Если бы при оценке
формулы (12) для K i ,  (CosQ) и анало-
x
ym
 K
*(
Для первой суммы J ij(1) использование
гичной формулы для K j
m
J ij(1)  [ f ( x , y  )  f ( x 1 , y  )  f ( x , y  1 )  f ( x 1 , y  1 )] *
разобьется на две суммы.
 ,  
( x) K j ,   ( y )dxdy ,
 ,
i
x 1 y  1
f ( x, y)K i , ( x) K j ,  ( y)dxdy.
f ( x, y)  f ( x, y)  f ( x , y ) f ( x , y ).
Тогда J
 K
b ,  
Под знаком интеграла f ( x, y) заменим
на сумму двух слагаемых по формуле:
(1)
ij
y
x
Поэтому
y
n m x
 ,
 ,  
 [ f ( x, y)  f ( x , y )]лKi ( x)лK j ( y)dxdy.
J ij(1)    
 1 1 x 1 y  1
В последнем выражении сумму
n m
x
  f ( x , y ) 
 1 1
y
 ,
 ,  
 [ f ( x, y)  f ( x , y )]лKi ( x)лK j ( y)dxdy
x 1 y  1
оцениваем аналогично оценке J ij(1) с помощью двойного преобразования Абеля.
14
••• Известия ДГПУ, №3, 2015
Таким образом, получена оценка изменения коэффициентов двойного ряда
Фурье-Якоби по области D для функций
f x, y   H w1 , w2 Если учесть оценки (13),
.
(17), (18), (19) по всем четырем областям
Dk , k  1,2,3,4
ния коэффициентов двойного ряда ФурьеЯкоби по области D в виде:
 1
 1 
Сn ,m  0w   w  .
 m 
 n
, получается оценка измене-
Литература
1. Бериша М., Кастрати Р. Модули гладкости и коэффициенты двойных тригонометрических рядов.
Punime matematike // Shoqata e matematicientёve, fizicientёve dhe astronomёve tё Kosovёs. № 1. 1986.
С. 29–41. 2. Голубов Б. И. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной
вариации // Сиб. матем. журнал. 1974. Т. XV. № 2. С. 262–291. 3. Канторович Л. В., Крылов В. И.
Приближенные методы высшего анализа. М.–Л.: ГИТТЛ, 1950. 4. Коркмасов Ф. М. Некоторые случаи
разрешимости интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Сборник статей «Функциональные дифференциальные уравнения и их применения». Махачкала. 1997. С. 52–53. 5. Магомедов А. И., Магомедов И. И. Скорость убывания коэффициентов двойных рядов Фурье-Якоби для функций класса //
Вестник ДГУ. Вып. 1. 2014. С. 104–108. 6. Рагимханова Г. С. Решение одного интегрального уравнения. Сборник докладов. Конс. Теория функций. Махачкала. 1994. С. 85–86. 7. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным: М. : Наука, 1988. 384 с. 8. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., Физматлит, 2007. 480 с. 9. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М. :
Физматлит. 1962. 500 с. 10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. :
Наука. 1986. 228 с.
References
1. Berisha M., Kastrati R. The modulus of smoothness and the coefficients of the double trigonometric series. Punime matematike // Shoqata e matematicientёve, fizicientёve dhe astronomёve tё Kosovёs. # 1.
1986. P. 29-41. 2. Golubov B. I. The convergence of double Fourier series of functions of the bounded
generalized variation // Sib. Math. journal. 1974. Vol. XV. # 2. P. 262-291. 3. Kantorovich L. V., Krylov V. I.
Approximate methods of higher analysis. M.–L.: GIITL, 1950. 4. Korkmasov F. M. Some cases of the solvability of integral Fredholm equations of the 2nd kind. The collection of articles "Functional differentialequations and their applications". Makhachkala. 1997. P. 52-53. 5. Magomedov I. A., Magomedov I. I. the
Rate of decrease of the coefficients of double Fourier-Jacobi functions of class // Bulletin of DSU. Vol. 1.
2014. P. 104-108. 6. Ragimkhanova G. S. Solution of one integral equation. A collection of reports. Cons.
The theory of functions. Makhachkala. 1994. P. 85-86. 7. Suetin P. K., Orthogonal polynomials in two variables. M. : Nauka, 1988. 384 p. 8. Suetin P. K. Classical orthogonal polynomials. M., Fizmatlit, 2007.
480 p. 9. Sege G. Orthogonal polynomials. M. : Fizmatlit. 1962. 500 p. 10. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya.
Methods for solving of the ill-posed problems. M. : Nauka. 1986. 228 p.
Literatura
1. Berisha M., Kastrati R. Moduli gladkosti i kojefficienty dvojnyh trigonometricheskih rjadov. Punime matematike // Shoqata e matematicientjove, fizicientjove dhe astronomjove tjo Kosovjos. № 1. 1986. S. 29–
41. 2. Golubov B. I. O shodimosti dvojnyh rjadov Fur'e funkcij ogranichennoj obobshhennoj variacii // Sib.
matem. zhurnal. 1974. T. XV. № 2. S. 262–291. 3. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody
vysshego analiza. M.–L.: GITTL, 1950. 4. Korkmasov F. M. Nekotorye sluchai razreshimosti integral'nogo
uravnenija Fredgol'ma 2-go roda. Sbornik statej «Funkcional'nye differenci-al'nye uravnenija i ih primenenija». Mahachkala. 1997. S. 52–53. 5. Magomedov A. I., Magomedov I. I. Skorost' ubyvanija kojefficientov
dvojnyh rjadov Fur'e-Jakobi dlja funkcij klassa // Vestnik DGU. Vyp. 1. 2014. S. 104–108. 6. Ragimhanova
G. S. Reshenie odnogo integral'nogo uravnenija. Sbornik dokladov. Kons. Teorija funkcij. Mahachkala.
1994. S. 85–86. 7. Suetin P. K. Ortogonal'nye mnogochleny po dvum peremennym: M. : Nauka, 1988.
384 s. 8. Suetin P. K. Klassicheskie ortogonal'nye mnogochleny. M., Fizmatlit, 2007. 480 s. 9. Sege G.
Ortogonal'nye mnogochleny. M. : Fizmatlit. 1962. 500 s. 10. Tihonov A. N., Arsenin V. Ja. Metody reshenija
nekorrektnyh zadach. M. : Nauka. 1986. 228 s.
Статья поступила в редакцию 20.11.2015 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
1 480 Кб
Теги
hs1, фурье, скорость, функции, рядом, класс, якоба, коэффициента, двойные, изменения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа