close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Спектральная классификация некоторых систем линейных дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
45
УДК 517.951
СПЕКТРАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
SPECTRAL CLASSIFICATION OF SOME SYSTEMS
LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS
Д.В. Корниенко
D.V. Kornienko
ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»,
Россия, 399770, Елец, ул. Коммунаров, д. 28
Bunin Yelets State University, Kommunarov St., 28, Eletz, 399770, Russia
E-mail: dmkornienko@mail.ru
Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов, порождаемых квазиэллиптическими системами первого и второго типа соответственно, изучены свойства спектра. В случае условий периодичности
последовательность собственных вектор-функций квазиэллиптического дифференциального оператора первого типа образует ортонормированный базис; последовательность собственных вектор-функций квазиэллиптического дифференциального оператора второго типа либо не полна, либо образует базис Рисса, который заведомо не является ортонормированным базисом.
Resume. For closed differential operators generated by quasi-elliptic systems of the first and second type, respectively, studied the properties of the spectrum. In the case of the conditions of the periodicity of the sequence of
the eigenvector-functions of quasi-elliptic differential operator of the first type forms an orthonormal basis; the sequence of the eigenvector-functions of quasi-elliptic differential operator of the second type are either not full, or
forms the basis of Riesz, that is certainly not an orthonormal basis.
Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений, граничные задачи, замкнутые операторы,
спектр, базис, ортогональный базис, базис Рисса.
Key words: system of differential equations, boundary value problems, closed operators, spectrum, basis, orthogonal basis, a Riesz basis.
Введение
Работа посвящена спектральному анализу дифференциальных операторов, порождаемых
граничной задачей для однотипных систем
Dt u1  BDx u 2  f 1 , Dt u 2  BD x u1  f
(1)
2
 Dt u1  BDx u 2  f 1 , Dt u 2  BD x u1  f
(2)
2
линейных дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемых в ограниченной области конечномерного евклидова пространства 1t .xm  t  mx . Здесь
Dt 

; BD x    b Dx ;
t
a r
  1   2  ...  m ;  k  0,1,2,...;
b  b1 2 ... m ; Dx  Dx Dx ...Dx
1
1
2
2
m
m

; Dx    ;
k
k
k
x k k
k  1,2,...,m ; m  N , BDx  – дифференциальная операция, во-
обще говоря, с комплексными коэффициентами. Простейшие примеры классических систем уравнений в частных производных, которые попадают в поле наших рассмотрений, дают, например,
эллиптические системы при m  1 , BDx   Dx .
46
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
Обобщенное решение
Исследование вопросов спектральной теории для рассматриваемых систем линейных уравнений ведется методами, которые принято называть «функциональными»[1]. Приведем общую
схему применения методов, аналогичную использованной в [7] при выводе условий, определяющих правильный оператор. В соответствии с этим левая часть системы уравнений
LDu  aDt u  bBu  u  f
,  C ,
(3)
с присоединенными к ней нелокальными граничными условиями [4] по
t
вида
t u ≡u0, x   u, x   0 ,   C ,   0 ,
(4)
и граничными условиями по переменной x , формально записанных в виде
x u  0 ,
(5)
рассматривается как линейный оператор, определенный первоначально на гладких векторфункциях, удовлетворяющих условиям (4), (5), а
2 2  матрицы a, b определяются либо из систе-
мы (1), либо из системы (2); D  Dt Dx . Для этого оператора строится в соответствующем гильбертовом пространстве замыкание, обозначаемое через
L . Специфические свойства (корректность,
условия разрешимости, предоставления решений в виде рядов по собственным функциям и др.)
исследуемой задачи описываются в терминах спектральных характеристик замкнутого дифференциального оператора
L , соответствующего изучаемой задаче. Говоря о спектре (замкнутого) опе-
ратора, мы следуем терминологии, принятой в [2] и [6]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора
L обозначим соответственно че-
рез L , L , PL , CL и RL .
Обозначим через
e1  1,0
T
,
e1  0,1
T
ортонормированный базис евклидова пространства Ɛ2
вектор-столбцов, а через u–унитарное пространство элементов u  u 1e1  u 2 e2 ; u k  C ; k  1,2 ; со
скалярным произведением u,;
и  u 
1
1
 u 2  2 . Пусть t Vt  0, T  , 0  T   ; x Vx – замкнутой
ограниченной области евклидова пространства R m ; Vt , x  Vt  Vx ;
странство комплекснозначных вектор-функций
u : Vt , x  C 2
H t2,x  L22 Vt , x  –
гильбертово про-
2
с нормой u; H t , x , задаваемой форму-
лой u; H t2,x   u ,  ;U 2 dd . Пусть также D – линейное многообразие достаточно гладких векV
2
t,x
тор-функций
u  H t2,x ,
удовлетворяющих граничным условиям (4), (5).
Определение 1. Элемент
u  H t2,x
если найдется такая последовательность
будем называть обобщенным решением задачи (3)–(5),
un n 1 вектор-функции u
n
∈ D, что
lim u n  u; H t2,x  lim L( D)u n  u  f ; H t2,x  0 .
n
n
(6)
Определение 1 обобщенного решения задачи (3)–(5) порождает, как обычно, некоторый замкнутый оператор
L : H t2,x  H t2,x
. Элемент
u  H t2,x
принадлежит области определения D(L) опера-
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
47
________________________________________________________________
тора
2
L и (в H t , x ) имеет место равенство
Lu  u  f , если выполнены условия (6); его называют
дифференциальным оператором, порожденным граничной задачей (3)–(5), подобно [4].
Пусть H x  L2 Vx  – гильбертово пространство комплекснозначных функций u : Vx  C с нормой u; H x , задаваемой формулой u; H x   u  d ;
2
H x операции BD x  на
B  замыкание в
2
Vx
гладких функциях, удовлетворяющих условиям (5). В дальнейшем BDx  функций  s   s x  ,
B s  Bs  s , образующей базис Рисса в H x . Положим BS   Bs  : s  S .
Условие I. Для оператора B : H x  H x точечный спектр PB  BS  .
Замкнутый оператор, обладающий отмеченными свойствами, принято называть M– оператором [2]. Приведем пример такого оператора. Положив
x u   k Dxlkk u
xk
 Dxlkk u
xk  ak
 0 ; l k  0,1...,rk  1
для операции BDx  с постоянными коэффициентами, где  k  0 и rk
по переменной xk ; k  1,2,...,m ; получим
(7)
 порядок операции BD 
x
M –оператор. Наметим схему подходов изучения спектра
и свойств собственных вектор-функций оператора
L . Обозначим символом Dt – линейное много-
образие вектор-функций u t  из класса C 1 0, T   C Vt  , удовлетворяющих условиям (4). Пусть также H t2  L22 Vt  и Ls : H t2  H t2 – замыкание операции Ls Dt   aDt  bBs  на функциях из Dt; его мы
будем называть сужением оператора
случае
B является оператором;
L [5] на
H t2 относительно
 s . Удобно считать, что и в этом
B : H t2  H t2 , Bu  Bs u , то есть оператором умножения на кон-
станту Bs  . Отметим теперь важные для исследований свойства дифференциального оператора
L
:
n
1. Для конечных линейных комбинаций u  ∑ s x u s t ∈D и
k
k
k 1
Lu  u  f   k k  1,2,3,...,n  Ls us
k
k
n
f   sk x  f sk t  имеем:
k 1

 u sk  f sk .
2. Если u t  – собственная вектор-функция, соответствующая собственному значению
оператора
Ls ,
то  s x ut  – собственная вектор-функция оператора
ственному значению

L , соответствующая соб-
.
Квазиэллиптические системы первого типа; спектральный анализ
Пусть дифференциальный оператор
если
L : H t2,x  H t2,x
порожден задачей (1), (4), (5) [6]. Далее,
z  C , то по определению полагаем
  arg z   ,
ln z  ln z  i arg z
Теорема 1. Спектр L оператора
,
z
 arg z 
z exp  i
.
 2 
L состоит из замыкания PL на комплексной плоско-
сти его точечного спектра PL . Множество CL  L \ PL образует непрерывный спектр оператора
L . Точечный спектр оператора L дается формулой
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
48
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
m,k ,s   k  i 1 Bs  ,
m
(8)
где
k 
ln 
2
 ik
; m  1,2; k  Z ; s  S .
T
T
Последовательность
u
m, k , s
t, x : m  1,2; k  Z ; s  S
собственных вектор-функции оператора
(9)
L образуют базис Рисса в пространстве
H t2, x
.
Доказательство. Докажем вначале, что последовательность (9) является базисом в
H . Для
доказательства воспользуемся следующими леммами 1, 2.
s  S множество  k ,s t  : k  K s  вектор-функции
Лемма 1. Если для каждого
полно в H t2 , то множество  s x  k ,s t  : s  S ; k  K s  полно в
H t2, x
.
Доказательство леммы 1. Пусть f – произвольный элемент пространства
но, что
H t2,x  H x  H t2 .
Поэтому для любого
что C  f   s f s ; H t2,x   , где
N
m
m 1
в
H t2 .
2
m
f sm  H t2 .
 0
Nm
n 1
k n , sm
m
. Извест-
: m  1,2,...N
,
s
Пусть M  max  m ; H x . Множество  k ,s t  : k  K s  полно
1 m N
Nm
f
n 1
f
H t2, x
найдется такой конечный набор  s
Подберем для каждого ь  1,2,..., N линейную комбинацию
элементов так, чтобы C m  f sm 
 k , s : Vt  C 2
 k ,s ; H t2 
n
m
k n , sm
k
n , sm
, fk
n , sm
 C , его

. Теперь, на основании свойств нормы и
2MN
ранее полученных оценок, получаем неравенство
N Nm
N
m 1 n 1
m 1
а   f kn ,sm  sm kn ,sm ; H t2,x  C  M  Cm 


M
N  ,
2
2MN
которое дает утверждаемую полноту. Доказательство леммы 1 закончено.
Лемма 2. Если для каждого индекса
функций  k
s
: Vt  C 2
s  S последовательность  k ,s t  : k  K s  вектор-
образует базис в H t2 , то базис в
H t2, x
образует последовательность
 x t  : s  S , k  K .
s
k ,s
s
Доказательство леммы 2. Так как
ливо в
H t2,x  H t  H x2 ,
то для любого элемента f  H справед-
s
H представление f  sS  f s , в котором элементы
f s  H t2 определены однозначно. По-
следовательность  k ,s : k  K s  является базисом в H t2 ; поэтому для каждого элемента f s  H t2
справедливо представление f s 

kK s
f k ,s k ,s , где коэффициенты
f k ,s  C также определены одно-
значно. В силу леммы 1 получаем единственное представление f 
тельство леммы 2 закончено.

 
 m1 e2 /
Положим em t  e t e1  i  1
k
k
sS
kK s
f k ,s s k ,s . Доказа-
2 и рассмотрим последовательность
e t  : m  1,2; k  
k
m
 
(10)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
 kk - функция Кронекера, следует ортонормированность в
Из равенства emk , emk  ; H t2    mm   kk , где
последовательности (10). Предположим, что последовательность (10) не полна в
ствует вектор-функция
f  f 1 t e1  f
f s  H t2 ,
t e2 ,
2
f ,e
k
m
 
H t2
H t2 . Тогда суще-
f  0 в H t2 , ортогональная всем вектор-
функциям (10). Так как e k t  : k  - полная ортонормированная в
равенства
49
Ht
последовательность, то из

; H t2  f m , e k ; H t , следует противоречие: f  0 в H t2 и, следовательно, полнота в
H t2 последовательности (10). Отсюда на основании леммы 1 последовательность (9) полна в
H t2, x
[7]. Оператор  : H t2  H t2 умножения на непрерывную функцию  t  является линейным ограниченным и ограниченно обратимым в H t2 , то есть 0   1   . Из равенства
что последовательность
u t  : m  1,2; k   является базисом Рисса в
m, k
2 последовательность (9) является базисом в
сом Рисса в
H t2, x
. Пусть
k
t 
u m,k t   em
следует,
H t2 . Но тогда в силу леммы
. Осталось доказать, что базис (9) является бази-
H t2, x
и f   f m,k ,s u m,k ,s . Достаточно доказать справедливость нера-
f  H t2,x
s
m
k
венства
C1  f m,k ,s  f ; H t2,x C2  f m,k ,s
2
2
s
k
m
s
k
2
(11)
m
в котором константы 0  C1  C2   не зависят от выбора функции
f  H t2,x
.
Последовательность  s : s  S  является базисом Рисса в H x ; поэтому существует такой ограниченный и ограниченно обратимый линейный оператор  : H x  H x ,
  L( H x ) , что
, а последовательность e s : s  S  является ортонормированным базисом в
 1 s  e s
H x . Поэтому, в силу
  s f s t e s x . Следователь-
1
теоремы Фубини, для почти всех t  Vt имеем в H x2 равенство  f t , x 
но, для почти всех t  Vt
 f ;H
1
2
x
2
2
 ∑∑f
m 1
1
2
Отсюда  f ; H x
2
m
s
t e ;H x
2
s
2
 ∑∑f sm t   ∑f s t ; u .
2
2
m 1 s
s
s
  f s ; H t2 и, следовательно,
2
s
 f ;H
s
2
t
2
2
  1  f ; H t2,x
2
(12)
s
С другой стороны,
2
2
f ;H ≤ 
2
x
2
∑∑f
1
s
2
(t )e ; H x =  2 ∑∑f s1 (t ) =  2 ∑f s (t ); u
2
s
m=1 s
m=1 s
2
.
s
Отсюда
2
f ; H t2,x  
2
 f ;H
s
2
t
2
(13)
s
Объединяя неравенства (12) и (13), получаем
 1
2
 f ;H
s
s
2
t
2
2
 f ; H t2,x  
2
 f ;H
s
s
2
t
2
(14)
50
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
Аналогично
2
 1
 f
m
2
2
2
 f s ; H t2  
m,k , s
k
 f
m
2
(15)
m,k , s
k
Объединяя неравенства (14) и (15), получаем требуемое.
Пример 1. Положив BDx   Dx  1 ,   1 , T  2 , 1  1 , a1  2 получим спектр:
m,k ,s  ik  i 1 is  1 ; m  1,2 ; k , s  0,1,2,...
m
периодической задачи для эллиптической системы первого тира. Точки спектра расположены на
прямых, параллельных мнимой оси:
мированный базис в
H t2,x  L22 Vt , x  , Vt , x
L  PL . Собственные вектор-функции образуют ортонор 0,2  0,2  .
Квазиэллиптические системы второго типа; спектральный анализ
Исследуем теперь дифференциальный оператор
L : H t2,x  H t2,x
, порожденный задачей (2),
(4), (5). Спектральные свойства задачи Дирихле для эллиптических систем второго типа изучались
в [7]. Положим

,  k 
N  i 1  k : m  1,2; k  
m
ln 
2
 ik
.
T
T
Теорема 2. Если множество   PB \ 0 не пусто и, следовательно, 0  PL , то последовательность собственных вектор-функций оператора
ном случае, если множество   PB \ 0 пусто, то
L заведомо не полна в
H t2, x
L является M - оператором в
. В против-
H t2, x
.
Доказательство. Легко убедиться, что собственному значению
m,k , s
оператора
2

 1   B( s)  , если  k  0,
ln z
2
,
  1  k
k 
 ik
  
k 

если  k  0,
T
T

Bs ,

m
L принадлежит собственная вектор-функция.
u m,k ,s t , x   u m,k ,s t  s x 
(16)
здесь m  1,2 ; k   ; s  S ,



um,k ,s t   Cm,k ,s m,k ,s   1  k  mk t   Bs 3km t  ,  mk t    t e k t em ,
C m2 ,k ,s 

m
1
  1  k
m
m,k ,s

2
1
 ln z  k
 2 
t  , e t  
,  t   exp
exp ik
t.
T


T
 T 
 B s 
2
Исследуем спектральные свойства собственных вектор-функций оператора
ство   PB \ 0 не пусто, и пусть
Bs   i 1
 k для некоторого
n 1
L . Пусть множе-
n  1,2 и некоторого k   . То-
гда вектор-функция ht , x   H t2,x ,


ht , x    1k t   i 1  2k t  s x  ,
n
 mk t    1 t e k t em , m  1,2 ,
ортогональна каждой вектор-функции (16). Отсюда, в силу критерия полноты, следует, что
u
m, k , s
собственных вектор-функий оператора
t, x : m  1,2; k  ; s  S
L заведомо не полна в
H t2, x
(17)
.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 13 (234). Выпуск 43
________________________________________________________________
  PB \ 0
Пусть теперь множество
S1  s :   PB  Ø подмножества множества
чения индекса
пусто. Обозначим через
51
S1  s :   PB  0,
S . Докажем, что для каждого фиксированного зна-
s  S последовательность
u
m,k , s
t, x : m  1,2; k  
(18)
является базисом Рисса в H t2 . Ясно, что S1  S 2  S и S1  S 2  Ø. Поэтому достаточно рассмотреть
два случая: s  S1 и s  S 2 . Нетрудно убедиться, что для каждого s  S1 последовательность (18)
образует ортонормированный базис в H t2 ; доказательство аналогично доказательству свойств последовательности (10). Пусть теперь s  S 2 . Покажем вначале, что последовательность (18) полна в
H t2 . Рассуждаем от противного. Если вектор-функция h  H t2 , h  0 , ортогональна каждой вектор-
функции (18), то для некоторого k   определитель
 k ,s 
1,k ,s
Bs 
0.
Bs  2,k ,s   k
По предположению множество   PB пусто. Поэтому  k ,s  21,k ,s 1,k ,s  k   0 для всех
k   . Получили противоречие. Покажем теперь, что последовательность (18) является базисом в
H t2 . Воспользуемся свойствами последовательности

t  : m  1,2; k  
m, k , s

(19)


m,k ,s t   C m,k ,s  m,k ,s   1  k  mk t   Bs  3km t  ,
m
сопряженной (биортогональной) к последовательности (18). Заметим, что последовательности

k
m
 

: m  1,2; k  Z ,  mk : m  1,2; k   , являются базисами Рисса в H t2 . На произвольной вектор-
функции ht   H t2 ,
  h,

ht  
2
k   m 1
k
m

; H t2  mk t  

2
 h
k   m 1
 mk t  ;
m
k
определим конечномерный оператор Pn : H  H , положив
2
t
2
t
Pn ht  
 h.
2
k  n m 1
m,k ,s

(20)
 mk t 
(21)
; H t2 u m,k ,s t 
Простыми выкладками последовательно получаем
Pn ht  
 1
2 
2
h
k   m 1
m
k
2
 h
m
k
k  n m 1
2
 h; H t2  
2
2

2
h
k   m 1
m
k
2
Pn h; H t2 ≤   1 h, H t2
2
(22)
(23)
Теперь из неравенства (23) на основании теоремы Банаха-Штейнхауса любая векторфункция ht  ∈H t2 единственным образом представима в виде ряда
ht  
  h,

2
k   m 1
m,k ,s

; H t2 u m,k ,s t 
(24)
52
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 13 (234). Выпуск 43
_________________________________________________________________
По биортонормированной последовательности u
t , : m  1,2; k  . Следовательно,
m,k , s
m,k , s
представление (24) позволяет утверждать, что последовательность (18) является базисом в H t2 . Далее из представления (21) получаем
Pn h; H t2
2
 
2
2
 h
k  n m 1
m
k
2
,  hkm 2
2
  1
k  n m 1
2
Pnh ; H t2
.
2
Отсюда, переходя к пределу при n   , в силу равенства lim Pn h  h снова получаем двойное
n
неравенство (22). Однако в этом случае мы можем утверждать, что последовательность (18) является базисом Рисса в H t2 [8]. Теперь, повторяя рассуждения, использованные при исследовании
квазиэллиптического дифференциального оператора первого типа, получим весь спектр квазиэллиптического дифференциального оператора второго типа.
Пример 2. Положив так же, как и в примере 1, BDx   Dx  1 ,   1 , T  2 ; 1  1 , a1  2
получим точечный спектр
2
2

k  0;

m,k ,s  i 1m signk k  1  is  ,
m  1,2; k , s  


i1  is ,
k  0,
периодической задачи для эллиптической системы второго типа, последовательность собственных
вектор-функции которой не полна в
H t2, x 2  L22 Vt , x  .
Список литературы
References
1. Дезин А.А. 2000. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач, М. , Тр. МИАН, 229, Наука, 175 .
Desin, A.A. 2000. Differential-operator equations. A method of model operators in the theory of boundary
value problems. M., Tr. MIAN, 229, Science, 175.
2. Дезин А.А. 1980. Общие вопросы теории граничных задач. М., Наука, 208.
Desin A. A. 1980. General questions of the theory of boundary value problems. M., Nauka, 208.
3. Корниенко В.В. 2000. О спектре вырождающихся операторных уравнений. Математические заметки, 68(5): 677-691.
Kornienko V.V. 2000. On the spectrum of degenerate operator equations. Mathematical notes, 68(5): 677-691.
4. Корниенко В.В. 2000. О спектре нелокальной задачи для иррегулярных уравнений. Математический сборник, 191(11): 21-46.
Kornienko V.V. 2000. On the spectrum of non-local problem for irregular equations. Mathematical collection, 191(11): 21-46.
5. Бицадзе А.В. 1981. Некоторые классы уравнений в частных производных. М, Наука, 448.
Bitsadze A.V. 1981. Some classes of partial differential equations. M. , Nauka, 448.
6. Романко В.К. 1986. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений. Доклады АН СССР,
286(1): 47-50.
Romanko V.K. 1986. Mixed boundary value problems for one system of equations. Doklady as USSR., 286(1): 47-50.
7. Алексеева О.В. 2010. О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика., 20, № 17 (88): 5-9.
Alekseeva O.V. 2010. On the spectrum of the Dirichlet problem for elliptic two systems. Scientific statements
of Belgorod state University. Series: Mathematics. Physics, 20, No. 17 (88): 5-9.
8. Годунов С.К. 1979. Уравнения математической физики. М., Наука, 392 .
Godunov S.K. 1979. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 392.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
4 423 Кб
Теги
уравнения, дифференциальной, спектральная, система, линейный, некоторые, классификация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа