close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Эллиптические орициклические n-реберники плоскости H.

код для вставкиСкачать
УДК 514.133
DOI: 10.13140/RG.2.1.1578.5128/1
Л. Н. Ромакина, В. О. Чурилова
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРИЦИКЛИЧЕСКИЕ N -РЕБЕРНИКИ
ПЛОСКОСТИ Hb
Получено соотношение между длинами ребер вписанного в орицикл
b положительной
трехреберника типа eee(I) гиперболической плоскости H
кривизны и его обобщение на случай произвольного орициклического
n-реберника.
b относятся к десяти инвариантным
Все трехреберники плоскости H
относительно группы G типам. Трехреберник типа eee(I) содержит три
эллиптических ребра, два эллиптических угла и один эллиптический
псевдоугол [1]. Ребро, противолежащее эллиптическому углу трехреберника типа eee(I), назовем основанием, а два других ребра боковыми
ребрами данного трехреберника. Доказано, что длина основания трехреберника типа eee(I) больше суммы длин его боковых ребер [1, теорема 5.4.5].
b называем траекторию точки в некотором двиЦиклом плоскости H
жении фундаментальной группы G данной плоскости [2]. К циклам плосb относятся ее собственные овальные линии четырех типов: орикости H
циклы, гиперциклы, гиперболические и эллиптические циклы. Траекторией точки при сдвиге вдоль параболической прямой является орицикл, овальная линия, имеющая четыре совпавшие общие точки и четыре совпавшие общие касательные с абсолютной овальной линией ? плосb . Общую точку (касательную) орицикла и абсолюта называем
кости H
центром (базой ) данного орицикла.
b назовем орициклическим, если существуТрехреберник плоскости H
ет описанный около него орицикл, и все ребра данного трехреберника
являются внутренними хордами этого орицикла.
Согласно теореме 2.4.21 из [2] серединный перпендикуляр хорды орицикла содержит центр этого орицикла. Поэтому для орициклического
трехреберника существует единственный описанный около него орицикл,
и центр описанного орицикла является пересечением серединных перпендикуляров к ребрам данного трехреберника.
Следующая теорема устанавливает связь между длинами ребер ориb.
циклического трехреберника типа eee(I) плоскости H
b радиуса кривизны ? длина a? основания
На плоскости H
и длины b?, c? боковых ребер орициклического трехреберника типа eee(I)
Теорема 1.
56
связаны соотношением
sin
a?
b?
c?
= sin
+ sin .
2?
2?
2?
(1)
Доказательство. Пусть на плоскости Hb
трехреберник ABC типа eee(I) вписан в орицикл ? , причем его основание BC и боковые ребра AB , AC являются внутренними хордами данного орицикла (рис. 1, а ).
B
B5
k
B4
k
?
A1
?
A1
F
A
?
?
C
?
Рис. 1. Орициклический трехреберник
вписанный в орицикл
?
?
ABC
с центром
Орициклический
B1
B3
B2
типа
A1
и
b,
eee(I) плоскости H
базой k (а ).
5-реберник F (б )
Выберем канонический репер R = {A1 , A2 , A3 , E} второго типа [1,
b так, чтобы его вершина A1 совпала с центром
п. 4.1.2] плоскости H
орицикла ? , вершина A2 лежала на прямой AA1 , а единичная точка E
принадлежала прямой BA1 . Репер R данными требованиями определен
однозначно. Вершины трехреберника в R можно задать координатами:
A (?a : 1 : 0), B (1 ? a : 1 : 1), C 1 ? ac2 : c2 : c , где a ? R+ , c ? R, а
орицикл ? уравнением
ax21 + x1 x2 ? x23 = 0.
(2)
По условию вершина A трехреберника ABC противолежит основанию, поэтому прямая A1 A разделяет с базой k орицикла ? (см. [2]) прямые A1 B и A1 C : ((A1 A)k(A1 B)(A1 C)) < 0. Записывая это неравенство
в координатах прямых A1 A (0 : 0 : 1), k (0 : 1 : 0), A1 B (0 : 1 : ?1),
A1 C (0 : 1 : ?c), получим
c < 0.
(3)
Поляра pA (1 : ?a : 0) точки A относительно абсолюта пересекает
прямую AB (1 : a : ?1) в точке AB (a : 1 : 2a), а прямую AC (c : ac :
?1) в точке AC (a : 1 : 2ac). Точка AB (AC ) удалена от точки A на
прямой AB (AC) на расстояние ??/2. Общая точка B0 (C0 ) прямой AB
(AC) и базы k орицикла ? имеет в R координаты B0 (1 : 0 : 1) (C0 (1 :
0 : c)). Поскольку ребро AB (AC) внутренняя хорда орицикла ? , а
точка B0 (C0 ) как точка базы лежит во внешней относительно ? области,
57
то ребро AB (AC) является коротким [1, пп. 4.2.2, 4.4.1] тогда и только
тогда, когда ему не принадлежит точка AB (AC ), т. е. тогда и только
тогда, когда
2a ? 1
(ABB0 AB ) =
> 0,
2a
2ac2 ? 1
(ACC0 AC ) =
>0 .
2ac2
(4)
При условии (4), характеризующем короткий отрезок AB
(AC), по
первой формуле (4.32) из [1] находим выражение длины c? b? ребра AB
(AC):
b?
2ac2 ? 1
cos =
?
2ac2
c?
2a ? 1
cos =
,
?
2a
!
.
(5)
Прямая BC (c : 1 + ac : ?1 ? c) пересекает прямую k в точке N (1 + c :
0 : c), а поляру pB (1 : 1 ? a : ?2) точки B относительно абсолюта в
точке T (1 + a ? c + 3ac : 1 ? c : 1 ? c + 2ac). Ребро BC является коротким
тогда и только тогда, когда не содержит точку T , т. е. тогда и только
тогда, когда
2ac2 ? (c ? 1)2
(BCN T ) =
> 0.
(6)
2ac2
При условии (6) для короткого отрезка BC по первой формуле (4.32)
из [1] получаем выражение длины a? основания BC данного трехреберника:
a? 2ac2 ? (c ? 1)2
cos =
.
(7)
?
2ac2
Исключая из выражений (5), (7) при условии (3) параметры a и c,
получаем формулу (1).
Теорема доказана.
b n-реберник, все ребра
Выпуклый вписанный в орицикл плоскости H
которого эллиптические и являются внутренними хордами описанного
орицикла, назовем эллиптическим орициклическим. На рис. 1, б изображен эллипический орициклический 5-реберник F , вписанный в ориb.
цикл ? плоскости H
Одно ребро эллиптического орициклического n-реберника прилежит
к двум его внутренним эллиптическим углам. Назовем это ребро основанием n-реберника. Внутренние углы эллиптического орициклического n-реберника, не прилежащие к основанию, являются эллиптическими
псевдоуглами.
Пусть в эллиптическом орициклическом n-ребернике F = B1 . . . Bn
b B1 вершина основания. Соединим B1 с остальными вершиплоскости H
нами n-реберника F . Применяя последовательно теорему 1 к трехребер58
никам B1 B2 B3 , . . . , B1 Bn?1 Bn типа eee(I), докажем следующее свойство
эллиптического орициклического n-реберника.
В эллиптическом орициклическом n-ребернике плоскоb длина a основания и длины b1 , b2 , . . . , bn?1 остальных ребер
сти H
связаны соотношением
Теорема 2.
n?1
X
a
bi
sin
=
sin .
2?
2?
i=1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. 244 с.
2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения. Саратов : Изд-во Сарат.
ун-та, 2013. 274 с.
УДК 517.927.25
В. С. Рыхлов
N -КРАТНАЯ ПОЛНОТА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ
ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
N -ГО ПОРЯДКА
В пространстве L2 [0, 1] рассмотрим пучок L(?),
X
`(y, ?) :=
pjs ?s y (j) ,
pjs ? C,
pn0 6= 0,
(1)
j+s?n
X
?ijs ?s y (j) (0) = 0,
i = 1, l,
(2)
j+s??i0
X
j+s??i0
s (j)
?ijs ? y (0) +
X
?ijs ?s y (j) (1) = 0,
i = l + 1, n,
(3)
j+s??i1
где ?, ?ijs , ?ijs ? C, ?i0 , ?i1 ? {0} ? N, 0 ? l ? n ? 1.
Далее используем, не повторяя в данном тексте, известные определения собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых
функций (к.ф.), n-кратной полноты к.ф. из [1, 2].
Решается задача о нахождении условий на параметры пучка L(?),
при которых имеет место n-кратная полнота к.ф. этого пучка в L2 [0, 1].
59
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 709 Кб
Теги
эллиптическая, плоскости, реберники, орициклические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа