close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Коэффициент полезного действия цилиндрической эвольвентной зубчатой передачи..pdf

код для вставкиСкачать
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ЭВОЛЬВЕНТНОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
Г.Б. Заморуев
В работе получены зависимости для определения мгновенного и среднего КПД всех разновидностей
эвольвентных цилиндрических зубчатых передач с учетом переменного воздействия сил трения на ведущее и ведомое звено передачи.
Коэффициент полезного действия эвольвентных цилиндрических зубчатых зацеплений рассчитывается обычно по формуле, вывод которой дается Н.И. Колчиным [1].
⎛1 1⎞
η = 1 − 0.5π f εα ⎜ ± ⎟ .
(1)
⎝ z1 z2 ⎠
При выводе этой формулы были использованы некоторые допущения, наиболее
существенным из которых, по нашему мнению, является то, что не было учтено влияние
силы трения Pтр = f Pn на величину самой нормальной силы (реакции) Pn . Это влияние
приводит к изменению силы Pn по величине, а сила трения изменяется и по величине, и
по направлению. Все эти факторы приводят к колебаниям скорости вращения, не вызываемым никакими внешними причинами, а только трением в передаче. Учет этих особенностей трения зубьев, по нашему мнению, достоин внимания, особенно при рассмотрении динамики зубчатых передач.
Моменты, приложенные к колесам передачи, являются результатом действия двух
сил: нормальной силы, действующей по линии зацепления и силы трения, касательной к
профилям и нормальной к линии зацепления. Направления сил, приложенных к зубьям в
контактной точке, план скоростей и другие данные показаны на рис.1. Запишем выражения для моментов, приложенных к колесам:
(2)
M 1 (u ) = Pn1 rb1 + f Pn1 sign(V12 (u )) u ,
M 2 (u ) = Pn 2 rb 2 + f Pn 2 sign(V12 (u )) ( g − u ) .
(3)
В (2), (3) u – параметр по длине линии зацепления; V12 (u ) = V1 (u ) − V2 (u ) – относительная скорость в контактных точках; g = aw sin(α w ) – длина теоретической линии зацепления; sign(V12 (u )) – функция, возвращающая знак относительной скорости или 0,
если последняя равна 0.
Сила трения, приложенная к зубу ведущего колеса 1, направлена против относительной скорости V12 (u ) , а приложенная к зубу ведомого, – по направлению V12 (u ) . После прохождения контакта через полюс меняется на противоположное направление и
V12 (u ) , и силы трения так, что соотношение направлений сохраняется. Силы Pn1 и Pтр1
создают моменты противоположного знака: Pn1 – препятствующий вращению, а Pтр1 –
как бы движущий, и суммарный момент M 1 (u ) является разностью этих двух моментов.
Силы Pn 2 и Pтр 2 также создают моменты противоположного знака относительно оси O2
(рис.1), но в данном случае сила Pn 2 направлена по направлению вращения ведомого колеса, а Pтр 2 – против вращения.
Из выражений (2) и (3) получим выражения для нормальной силы через соответствующие моменты:
M 1 (u )
,
(4)
Pn1 (u ) =
rb1 + f sign(V12 (u )) u
267
M 2 (u )
.
(5)
rb 2 + f sign(V12 (u )) ( g − u )
Дальше возможны три пути:
1. Так как силы Pn1 и Pn 2 равны как действие и реакция, то, приравнивая выражения
(4) и (5), получим важное соотношение моментов.
M 2 (u ) rb 2 + f sign(V12 (u )) ( g − u )
.
(6)
=
M 1 (u )
rb1 + f sign(V12 (u )) u
Выражение (6), по существу, является передаточной функцией для моментов с учетом трения и может быть использовано для создания динамической модели зубчатой передачи с учетом трения. Дальше для перехода к соотношению мощностей умножим числитель и знаменатель (6) на соответствующие угловые скорости и, обозначая передаточное отношение i12 , получим следующее выражение для мгновенного КПД:
i r + f sign(V12 (u )) ( g − u )
η (u ) = 12 b1
.
(7)
i12 ( rb1 + f sign(V12 (u )) u )
Pn 2 (u ) =
Выражение (7) получено из рассмотрения передачи внешнего зацепления. В передаче внутреннего зацепления знаки в выражении (7) изменяются, и в общем случае
эвольвентной цилиндрической передачи выражение для КПД принимает вид
i r ± f sign(V12 (u )) ( g m u )
,
(8)
η (u ) = 12 b1
i12 ( rb1 ± f sign(V12 (u )) u )
где верхние знаки относятся к внешнему зацеплению, а нижние – к внутреннему. Естественно, необходимые геометрические параметры внутреннего и внешнего зацепления
должны быть найдены корректно.
2. Мгновенную мощность потерь (сил трения) можно выразить через Pn1 (u ) из (4), а
подводимую мощность как N1 (u ) = M 1 (u ) ω1 . Тогда, разделив выражение (4) на N1 (u ) ,
получим следующее выражение для коэффициента потерь:
f V12 (u )
ψ (u ) =
.
(9)
rb1 + f sign(V12 (u )) u
С учетом различий для внешнего и внутреннего зацепления, выражение для мгновенного КПД принимает вид
f V12 (u )
η (u ) = 1 −
.
(10)
rb1 ± f sign(V12 (u )) u
3. Соответственно, мощность сил трения можно выразить и через Pn 2 (u ) из (5), а
именно, Nтр2 (u) = Pn2 (u) f V12 (u) , а мощность движущих сил – как N1(u) = M2 (u)ω2 + Nтр2 (u) .
Используя (5) и последние формулы, получим еще одно выражение для КПД:
f V12 (u )
η (u ) = 1 −
.
(11)
1
rb1 ±
f sign(V12 (u )) ( g m u ) + f V12 (u )
i12
Таким образом, получены три различные формулы (8), (10) и (11) для расчета
мгновенного КПД зубчатого зацепления. Числовые расчеты по этим формулам дают абсолютно одинаковые результаты с точностью до любого знака, что говорит об адекватности всех трех формул, хотя свести их одну к другой путем эквивалентных математических преобразований не удается. Если в выражениях (10) и (11) убрать члены с двойным знаком, то получившиеся таким образом формулы будут давать результат без учета
влияния силы трения на величину нормальной силы (т.е. на саму силу трения). Разница с
268
точным значением будет тем менее, чем меньше коэффициент трения, и при f ≤ 0.1 результат расчета по упрощенным формулам будет несколько отличаться (в третьем – четвертом знаке), но вполне приемлем для практики. Представим эти упрощенные выражения:
f V12 (u )
η (u ) = 1 −
,
(12)
rb1
η (u ) = 1 −
f V12 (u )
rb1 + f V12 (u )
.
(13)
В выражения (8), (10), (11), (12) и (13) в той или иной форме входит относительная
скорость V12 (u ) , которую будем находить следующим образом:
V12 (u ) = ω1 × r1 (u ) − ω 2 × r2 (u ) ;
r1 (u ) = rb1 + u (u ) ;
(14)
(15)
r2 (u ) = rb 2 + g + u (u )
(16)
Текущие радиус-векторы контактной точки r1 (u ) и r2 (u ) , относительная скорость
и т.д. показаны на рис. 1.
Рис. 1. Основные параметры расчета
Векторы, входящие в выражения (14), (15) и (16):
⎛ ± rb1 cos(α w ) ⎞
⎜
⎟
rb1 = ⎜ m rb1 sin(α w ) ⎟ ,
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛ − rb 2 cos(α w ) ⎞
⎜
⎟
rb 2 = ⎜ rb 2 sin(α w ) ⎟ ,
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛ − g sin(α w ) ⎞
⎜
⎟
g = ⎜ − g cos(α w ) ⎟ ,
⎜
⎟
0
⎝
⎠
(17)
(18)
(19)
269
⎛ ±u sin(α w ) ⎞
⎜
⎟
(20)
u (u ) = ⎜ ±u cos(α w ) ⎟ ,
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛0⎞
(21)
ω1 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ,
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎛
⎞
⎜ 0 ⎟
⎜
⎟
ω2 = ⎜ 0 ⎟ ,
(22)
⎜
⎟
⎜m 1 ⎟
⎜ i ⎟
⎝ 12 ⎠
Начальное и конечное значение параметра u в пределах активного участка линии
зацепления:
u0 = ±( g − ra22 − rb22 ) ,
(23)
u1 = ra21 − rb21 .
Среднее значение КПД определим из следующего выражения:
(24)
∫
η=
u1
u0
η (u )du
.
(25)
u1 − u0
В выражении (25) η (u ) можно подставлять из выражений (8), (10) или (11) – результат расчета будет абсолютно совпадающим. На рис. 2 показан график величины
η (u ) , а также средняя величина КПД, рассчитанная по формуле (25), т.е. та величина,
которую и называют коэффициентом полезного действия зубчатой передачи.
0.9
0.8
0.7
0
2
4
6
8
10
12
14
Рис. 2. График величины η (u ) и средняя величина КПД
В косозубом зацеплении каждая контактная линия соответствует некоторому участку линии зацепления с различными мгновенными условиями трения по длине участка.
В пределах одновременного зацепления изменяются скорости скольжения, плечо силы
трения и, следовательно, нормальная реакция и сама сила трения. При проходе контактной линии через полюс в пределах этой контактной линии меняется знак относительной
скорости, силы трения и момента от трения. Картина осложняется и тем, что на входе и
выходе зуба в зацепление контактная линия имеет неполную длину в пределах от нуле270
вой до максимальной. Поэтому для расчета среднего КПД следует разбить всю длину
зацепления на n участков и на каждом участке рассчитывать средний КПД участка, а затем определить средний КПД для всех участков, то есть КПД косозубого зацепления. На
рис. 3 представлена торцевая картина косозубого зацепления и положенная на плоскость
рисунка теоретическая и активная плоскость зацепления с обозначениями, принятыми в
тексте.
Рис. 3. Торцевая картина косозубого зацепления
Определим максимальную длину контактной линии в проекции ее на торцевую линию зацепления:
⎛
⎛ tg (α ) ⎞ ⎞
l = b tg ( β ) cos ⎜ arctg ⎜
(26)
⎟⎟ .
⎝ cos( β ) ⎠ ⎠
⎝
В выражении (26) b – ширина зубчатого венца косозубого колеса; β – угол наклона зубьев на делительном цилиндре.
Предположим, что число участков равно n (пусть n=50). Введем целую переменную j = 0L n для осуществления цикловых расчетов. Тогда длина каждого участка линии зацепления равна
u −u +l
u= 1 0
.
(27)
n
Текущее начало и конец каждого участка обозначим u2 j и u3 j :
u 2 j = u0 + u j − l ,
(28)
u3 j = u 2 j + l .
(29)
Чтобы учесть неполную длину контактной линии на входе и выходе зуба из зацепления, введем для текущего начала и конца участка линии зацепления, соответствующего реальной контактной линии, обозначения p2 j и p3 j :
p2 j = (u2 j < u0 ) u0 + (u2 j ≥ u0 ) u2 j ,
(30)
p3 j = (u3 j > u1 ) u1 + (u3 j ≤ u1 ) u3 j .
(31)
С учетом представленных зависимостей (26)–(31) и формул (8), (10) или (11) средний КПД косозубой передачи определится следующим выражением
271
n −1
η=
∑
j =1
∫
p3 j
p2 j
η (u )du
p3 j − p2 j
n −1
.
(32)
Все представленные выше выражения, методики расчетов и алгоритмы проверены
числовыми расчетами в среде MathCAD. Приводимые формулы максимально соответствуют их написанию на MathCAD’е. Расчеты производились для следующих параметров
передачи: z1 = 15, z2 = 60, mn = 1 . Для устранения подрезания 1-го колеса применено
смещение: x1 = 0.14, x2 = −0.14 . Для расчета косозубого зацепления к имеющимся параметрам добавлено: β = 30o , x1 = 0, x2 = 0 . Проверялось и внутреннее зацепление, параметров которого не приводим. В таблицах приведены некоторые результаты расчетов
только по формулам (8), (10) или (11).
Прямая передача
Прямозубая
Косозубая
•
•
•
•
•
f=0.1
0.979479
0.979090
f=0.2
0.959797
0.958660
Обратная (ускоряющая) переf=0.1
дача
f=0.2
Прямозубая
Косозубая
0.958119
0.958140
0.979068
0.978970
Приведем некоторые выводы.
Упрощенные формулы (1), (12) и (13) «не чувствуют» направление передачи – редуктор или мультипликатор. Точные формулы (8), (10) и (11) фиксируют разницу:
КПД понижающей передачи всегда выше.
Косозубая передача, как правило, имеет КПД несколько ниже, чем прямозубая.
Чем ниже коэффициент трения f, тем ближе результаты, даваемые точными и приближенными методиками. Для практических расчетов КПД с точностью до 1% пригодны любые из приведенных методик, начиная с формулы (1), но ближе всего к
точному результату (при понижающей передаче) приводит формула (13).
КПД внутреннего зацепления при прочих аналогичных параметрах выше, чем внешнего.
Зависимость (6) является основанием для построения динамической модели автоколебаний в зубчатой передаче, вызываемых действием сил трения.
Литература
1. Колчин Н.И. Механика машин. Т.2. Л.: Машиностроение, 1972.
272
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
18
Размер файла
2 766 Кб
Теги
действий, зубчатой, передача, pdf, цилиндрическом, эвольвентных, полезного, коэффициента
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа