close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Метод определения тензора инерции на программных движениях..pdf

код для вставкиСкачать
Машиностроение
УДК 681.5 + 531+621+681
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ
НА ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЯХ
© 2010 В.Г. Мельников, А.С. Едачев, Г.И. Мельников, С.Н. Шаховал
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,
механики и оптики
Поступила в редакцию 30.03.2010
Представлен новый метод идентификации осевых и центробежных моментов инерции в точке тела, матрицы тензора инерции тела на устройствах с трением и аэродинамическим сопротивлением. Предложено исполнительное устройство и система реверсивно-симметричных программных
движений, обеспечивающая определение инерционных параметров с точностью, не зависящей от
трения. Предложено исполнительное устройство, осуществляющее метод.
Ключевые слова: реверсивно-симметричное движение, собственное вращение, тензор инерции,
программное управление, идентификация
Работа посвящена экспериментальному
определению тензора инерции автомобилей,
самолетов и других изделий с использованием
современных возможностей робототехники.
Компоненты тензора инерции являются существенными константами динамических моделей движения тела в пространстве. В этой связи проблема определения инерционных параметров является важной. Тензор инерции, задаваемый центробежными и осевыми моментами инерции, находят экспериментально по 6
осевым моментам инерции относительно пучка из 6 осей [1], методы описаны в работах [110]. Проблема отрицательного влияния трения
на точность обычно решается посредством
усложнения конструкции, использования газовых подшипников, торсионных и мультифлярных подвесов, применения медленных
движений.
В статье разрабатывается новый метод
идентификации моментов и тензора инерции
тела, использующий разгонно-тормозные реверсивно-симметричные вращения вокруг
осей, обеспечивающие аналитическое исключение моментов трения из расчетных формул.
Предложено исполнительное устройство с
двумя электродвигателями.
Элементы тензора инерции и моменты
инерции. Тензор инерции в точке О твердого
тела в связанной с телом системе Oxyz задают
матрицей осевых и центробежных моментов
инерции вида
⎡ Ix
⎢
J = ⎢ I yx
⎢ I zx
⎣
I xz ⎤
⎥
I yz ⎥, I x = ∫ y 2 + z 2 ρdV ,
V
I z ⎥⎦
I xy
Iy
I zy
(
)
I xy = I yx = − ∫ ρxydV
V
(1)
Момент инерции тела относительно оси,
заданной ортом ei , вектор-строкой ei=[eix eiy
eiz], представляется в виде произведения вектор-строки U=[Ix Iy Iz Ixy Iyz Ixz] и векторстолбца Ai, составленного из квадратов и
двойных произведений направляющих
[
]
2
UAi = I i , Ai = eix2 eiy2 eiz2 2eix eiy 2eiy eiz 2eix eiz ,
i = 1,...,6
______________________________________________
Мельников Виталий Геннадиевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики. E-mail: melnikov@mail.ifmo.ru
Едачев Антон Сергеевич, магистр. E-mail:
a.s.yedachev@mail.ru
Мельников Геннадий Иванович, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики. E-mail: melnikov.ifmo@ya.ru
Шаховал Сергей Николаевич, аспирант. E-mail: splinterfiddler@gmail.com
(2)
Рассмотрим виртуальный конус с осью
Oz, углом (2α) при вершине O, на конусе равномерно распределим пять осей с ортами
e1 ,..., e5 , орт e6 направим вдоль оси Oz, орт
e1 расположим в плоскости Oxz, а последующие орты получаем последовательно поворотами на угол β=72o вокруг Oz. Получаем
445
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010
ei = [co s(i β − β ), sin(i β − β ), ctg α ]sin α , i = 1, ...,5 ,
e6 = [0, 0,1] .
Посредством горизонтального объединения шести матричных равенств (2) получаем уравнение UA=I0, и формулу для векторстроки U:
U = I 0 B,
I 0 = [I 1 ,..., I 6 ],
[
]
A = A ,..., A6 ,
(3)
B = A −1 , det B = 1 / det A
Исполнительное устройство (рис. 1, рис.
2) состоит из сервопривода 1 с робастной системой управления, платформы 2, шагового
двигателя 3, подъемника 4, шарнира 5, платформы 6 с закрепленным на ней изделием 7.
По условиям эксплуатации желательно, чтобы
угол α был небольшим, но с другой стороны
при малом α имеем малое значение определителя D(α)=det A, т.е. – плохо обусловленную
задачу [11]. На рис. 3 показан график значений определителя, представленного функцией
D(α)=27,95 sin8α cos2α, максимальное значение
Dmax≈2,29 достигается в случае направления
ортов по осям икосаэдра, при угле α0≈63,43o.
Будем считать систему достаточно хорошо
обусловленной при выполнении условия:
|D(α)|≥0,5, т.е. при значении угла из интервала
α ∈ [400 ; 82] (рис. 3).
Рис. 2. Макет устройства
Рис. 3. График значений определителя
Расчетная формула для моментов
инерции. Осевой момент инерции твердого
тела будем определять на следующих реверсивных тормозных-разгонных вращениях, состоящих из замедленного вращения на угловом интервале [ψ 0 ,ψ 1 = ψ 0 + Δ ] , Δ > 0 с повторением в обратном порядке вращения на интервале [ψ 1 ,ψ 0 ] . Торможение может быть неуправляемым, но замеряемым, допускается замеряемый выбег за пределы интервала до некоторого значения ψ r = ψ (tr ) . Затем осуществляем
обратное движение, рассчитанное по замеренному движению. Пусть методом точечной аппроксимации получено уравнение торможения ψ = f (t ) при t ∈ [t0 , t r ] , тогда уравнение
обратного движения есть ψ = f (t ′) при
t ′ = t0 + tr − t . Работа сил тяжести равна нулю
ввиду вертикальности оси вращения, поэтому
Рис. 1. Схема устройства
446
Машиностроение
программные движения можно выполнять в
любом ограниченном угловом интервале. По
теореме кинетической энергии на тормозном и
обратном вращении имеем уравнения
(I 0 + I )(ω12 − ω 02 ) = 2( A + V ),
(I 0 + I )(ω 02 − ω12 ) = 2( A′ + V ′)
Подставляя последнее равенство в (5), получим энергетическую формулу
I = ( E − E '+ δ − δ ′)(ω02 − ω12 ) −1 − I 0 , (6)
выражающую момент инерции тела относительно каждой оси через разность потребляемой электроэнергии и разность омических потерь в контурах. Потери δ ′, δ можно оценить
на испытании с эталонным телом.
Пусть угол φ не фиксирован, медленно
изменяется, обеспечивая непрерывное изменение положения в теле оси Oz1. Тогда имеем
угловую скорость сферического движения в
виде ω = ψ& k1 + ϕ& k ≈ ψ& k1 , и с малой погрешностью можно применить формулы типа (5)
на интервалах времени [ti , ti +1 ], i = 1,...,5 , на
которых φ получает изменение 720.
(4)
ω1 = ψ& (t1 ), ω 0 = ψ& (t 0 )
Здесь A , A ' – работы крутящего момента на
интервале [ψ 0 ,ψ 1 ] ; V , V ' – работы диссипативных сил, I – момент инерции изделия, I0 –
приведенный момент инерции исполнительного устройства. Вычитая почленно уравнения (4), получаем расчетную формулу, определяющую осевой момент инерции тела через
разность работ крутящего момента
I = ( A '− A ) (ω02 − ω42 ) − I 0
−1
.
Работа выполнена при финансовой поддержке
гранта РФФИ 06-08-01338-а и гранта Комитета по
науке и высшей школе Санкт-Петербурга за 2009г.
(5)
Формула (5) не содержит работы диссипативных сил и может быть использована на динамически симметричных устройствах с существенным трением и аэродинамическим сопротивлением, удовлетворяющих условию
равенства их работ на тормозном и обратном
движении, что можно обеспечить симметричной оболочкой на изделии.
В конце первого эксперимента включается электродвигатель собственного вращения
для поворота на угол ∆φ=720 и установки изделия в новом угловом положении по отношению к оси Oz1. Выполняется 5 испытаний.
Шестое испытание выполняем при установке
α=0 (рис. 1), где в расчетах следует применить
формулу Гюйгенса-Штейнера. Итак, по формуле типа (5) находим 6 осевых моментов
инерций изделия I1,…,I6, при этом осевые моменты инерции устройства I01,…,I06 находят
заранее на отдельных испытаниях устройства
без нагрузки.
Допустим, что замеряется потребление
двигателем электроэнергии E и E ' на рассматриваемых угловых интервалах. Она расходуется на механические работы A + V и
A '+ V ' , а также – на омические потери и на
изменение электромагнитного поля
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Гернет, М.М. Определение моментов инерции
/ М.М. Гернет, В.Ф. Ратобыльский. - М.: Машиностроение, 1969. – 130 с.
2. Previati, G. Advances on inertia tensor and centre
of gravity measurement: The INTENSO+ system /
G. Previati, G. Mastinu, M. Gobbi // SAWE paper. – 2009. - № 3465.
3. Беляков, А.О. Определение моментов инерции
крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе / А.О. Беляков, А.П. Сейранян //
Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2008. - № 2. – С. 49-62.
4. Bogdanov, V.V. A Suite for Measuring Mass, Coordinates of the Center of Mass, and Moments of
Inertia of Engineering Components / V.V. Bogdanov, V.S. Volobuev, A.I. Kudryashov, V.V. Travin
// Measurement Techniques. – 2002. - V. 45, № 2.
– P. 168-172.
5. Hahn, H. Development of a measurement robot
for identifying all inertia parameters of a rigid
body in a single experiment / H. Hahn, M. Niebergall // IEEE Trans. Control Systems Technol.
– 2001. - N9 (2). – P. 416-423.
6. Банит, Ю.Р. Определение тензора инерции
Международной космической станции по телеметрической информации / Ю.Р. Банит,
М.Ю. Беляев, Т.А. Добринская и др. // Космические исследования. – 2005. – Т. 43, № 2. – С.
135-146.
7. Алексеев, К.Б. Определение динамических параметров космического летательного аппарата
по признакам динамической асимметрии / К.Б.
Алексеев, А.В. Шадян // Машиностроение и
инженерное образование. – 2007. - № 2. – С.
53-58.
E = A +V +δ,
E ′ = A′ + V ′ + δ ′,
A′ − A = E ′ − E − (δ ′ − δ ), δ ′ ≥ δ
447
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010
Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и
оптики. – 2010. - № 1. – С. 59-63.
11. Шаховал, С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции //
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. – 2008. - № 47. – С. 196-199.
8. Мельников, В.Г. Способ определения тензора
инерции тела.// Патент РФ на изобр. – 2009,
№2262678, Бюлл. №6 от 27.02. 2009 – C.35.
9. Melnikov, V.G. A new method for inertia tensor
and center of gravity identification // Nonlinear
Analysis. – 2005. – V. 63. - № 5-7 – P. 13771382.
10. Мельников, В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник Санкт-
METHOD OF IDENTIFICATION THE INERTIA TENSOR
ON PROGRAM MOVEMENTS
© 2010 V.G. Melnikov, A.S. Edachev, G.I. Melnikov, S.N. Shahoval
St.-Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics
The new method of identification the axial and centrifugal moments of inertia in a point of a body, a tensor matrix is presented to inertia of a body on devices with friction and aerodynamic resistance. The executive device and the system of reversive-symmetric program movements providing definition of inertial parameters with accuracy, not dependent on friction is offered. The executive device which is carrying out a method is offered.
Key words: reversive-symmetric movement, own rotation, inertia tensor, program management, identification
__________________________________________________
Vitaliy Melnikov, Candidate of Technical Sciences, Associate
Professor, Head of the Theoretical and Applied Mechanics
Department. E-mail: melnikov@mail.ifmo.ru
Anton Edachev, Master. E-mail: a.s.yedachev@mail.ru
Gennadiy Melnikov, Doctor of Physics and Mathematics,
Professor at the Theoretical and Applied Mechanics Department.
E-mail: melnikov.ifmo@ya.ru
Sergey Shahoval, Post-graduate Student. E-mail:
splinterfiddler@gmail.com
448
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 023 Кб
Теги
метод, тензоры, инерции, pdf, определение, программное, движения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа