close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгебра гармонии..pdf

код для вставкиСкачать
Мастер-класс
Асламазова Земфира степановна,
учитель математики
Моу лицей №2
г. Одинцово
Алгебра гармонии
Г
армония (от греч. hагmоniа) означает “согласованность, соразмерность, единство частей и целого,
обусловливающие внутреннюю и внешнюю формы предмета, события, явления, их совершенство».
Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии, пропорциональности. Последние две
характеристики относятся прежде всего к математике.
Ведь математика — это не только стройная система
законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика.
Она выражает высшую целесообразность устройства
мира, подтверждает универсальность математических
закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в атоме
и во Вселенной, в произведениях искусства и научных
открытиях. Поистине:
Во всем царит гармонии закон,
И в мире всё суть ритм, аккорд и тон.
Дж. Драйден
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая математику, мы
открываем всё новые и новые слагаемые прекрасного,
приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии.
Очень хочется показать такую, казалось бы сухую
науку, как математика с несколько неожиданной для
учеников стороны, научить внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.
Мало кого оставит равнодушным использование
математики с целью постижения природной гармонии.
Своими уроками мне хотелось показать красоту как
главную категорию эстетики и математики, раскрыть
эффективность применения математических методов
в различных областях культуры, науки, искусства.
Характерная черта математики – поиск выходов, попытка пройти по всем тропинкам, стремление заглянуть
повсюду. И что особенно интересно – везде есть над
чем подумать, везде можно попытаться приложить свои
силы и отыскать что-то новое, ранее неизученное.
Кроме того, использование компьютерной презентации позволяет повысить мотивацию обучающихся, привлечь внимание к изучаемой теме, сформировать навыки
исследовательской и проектной деятельности.
Данный цикл содержит уроки по темам:
- «Задача о четырех красках», «Математический
граф», «Лабиринты», «Лента Мебиуса» - (использование компьютерных, исследовательских и проектных
технологий 6 класс).
70
- «Золотое сечение» - (мультимедийный урокисследование, 7 класс и 11 класс).
- «Симметрия – основополагающий принцип
устройства мира» - (мультимедийный урок с использованием метода проектов 8 класс).
- «Урок – аукцион «Продажа имения графини
Функции» - (9 класс)
-«Математика и искусство» - (научно-практическая
конференция, 10 класс, мультимедийная презентация)
Мультимедийный урок-исследование
по теме: «Золотое сечение»
Цель урока: развитие познавательных творческих
способностей учащихся
Задачи:
• познакомить учащихся с понятием «Золотая пропорция»;
• уметь находить золотую пропорцию в произведениях искусства, архитектуры, живой природе;
• применять полученные знания на практике;
• сформировать устойчивый интерес к получению
новых знаний и использованию современных информационных технологий.
Технология обучения: информационные.
Метод обучения: мультимедийный проект.
Средства обучения: компьютер, мультимедиапроектор, наглядные материалы (иллюстрации, модели
фигур, дидактические материалы).
План проведения урока:
1. Орг.момент (использование элементов технологии
развития критического мышления «Ассоциации»)
2. Показ мультимедийной презентации урока с проведением практического исследования в группах.
3. Презентация работы групп.
4. Постановка задачи на следующий урок для проведения круглого стола по теме «Тайны золотого
сечения».
Алгебра гармонии.
Золотая пропорция
«Если загорается северное сияние, не спят
все - и поэты, и химики. Может быть, потому, что это загадочное явление природы, а
может быть, потому, что оно прекрасно!»
Д. Гранин
Все науки и искусства воспитаны в стремлении
постичь мировую гармонию, увидеть за внешней пестротой вещей простые отношения, за путаницей событий – закон.
Что такое красота? Ее не понять, обходя стороной
науку, методы точного анализа.
Эксперимент и инновации в школе 2008/2
Мастер-класс
Французский скульптор начала XX века Э.Бурдель
них Микеланджело, Рембрант, подготовка в области
математики была выше, чем у многих современных
однажды заметил: «Искусство-это завуалированная
им естествоиспытателей.
алгебра».
Как объяснить исключительное притяжение учеМатематика - фундамент точного знания - также
ных
к эстетическому совершенству, и то, что ни один
положена в основание красоты и потому составляет
живописец не может писать, не зная геометрии.
опору для многих видов искусства, прежде всего изоОбъект исследования: применение метода «золобразительного
и
музыкального.
ɜɫɟɝɨ ɢɡɨɛɪɚɡɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢ ɦɭɡɵɤɚɥɶɧɨɝɨ.
того сечения» в различных областях человеческих
Определением гармонии и красоты является симɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɝɚɪɦɨɧɢɢ ɢ ɤɪɚɫɨɬɵ знаний.
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɹ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɜ
метрия, которая в качестве проявлений соразмерноɤɚɱɟɫɬɜɟ
ɩɪɨɹɜɥɟɧɢɣ
ɫɨɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɢ,
ɜ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɢ
Предмет исследования:
«золотое сечение».
сти,
согласованности
в расположении
частей и эле- ɫɨɝɥɚɫɨɜɚɧɧɨɫɬɢ
Цель
исследования:
проследить
взаимосвязь матеɱɚɫɬɟɣцелого
ɢ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ
ɰɟɥɨɝɨ
ɧɟɫɟɬ
ɨɳɭɳɟɧɢɟ ɤɪɚɫɨɬɵ ɢ ɢɡɹɳɟɫɬɜɚ.
ментов
несет ощущение
красоты
и изящества.
матики с ɪɢɬɦ.
искусством,
архитектурой,
Ещеȿɳɟ
однимɨɞɧɢɦ
проявлением
красоты является
ритм. В ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɩɪɨɹɜɥɟɧɢɟɦ
ɤɪɚɫɨɬɵ
ȼ ɟɝɨ
ɨɫɧɨɜɟ техникой,
ɥɟɠɢɬ природой и т.д.
его основе лежит правило повтора элементов.
ɩɪɚɜɢɥɨ
ɩɨɜɬɨɪɚ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ.
Гипотеза: всякая гармония, несущая красоту, моНо и симметрия и ритм покоятся на отношениях и
ɇɨ ɢхарактеризующихся
ɫɢɦɦɟɬɪɢɹ ɢточными
ɪɢɬɦ качественɩɨɤɨɹɬɫɹ жет
ɧɚбыть
ɨɬɧɨɲɟɧɢɹɯ
ɢ ɩɪɨɩɨɪɰɢɹɯ,
выражена числом.
пропорциях,
Задачи
исследования:
ными
значениями.
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɯɫɹ
ɬɨɱɧɵɦɢ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ.
- дать математическое определение «золотого сеКрасивейшим
проявлением
гармонии является
Ʉɪɚɫɢɜɟɣɲɢɦ ɩɪɨɹɜɥɟɧɢɟɦ
ɝɚɪɦɨɧɢɢ
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ
чения»;
так называемое «золотое сечение». Это особое раз«ɡɨɥɨɬɨɟ ɫɟɱɟɧɢɟ». ɗɬɨ ɨɫɨɛɨɟ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɨɬɪɟɡɤɚ,
ɤɨɝɞɚ
ɨɛɪɚɡɭɟɬɫɹ
ɢɡɹɳɧɚɹ
- показать
применение
«золотой
пропорции» в исбиение отрезка, когда образуется изящная пропорция
кусстве,ɢɡɹɳɧɚɹ,
архитектуре; ɱɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ
ɩɪɨɩɨɪɰɢɹ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ
ɱɚɫɬɟɣ.
ɇɚɫɬɨɥɶɤɨ
полученных
частей.
Настолько изящная,
что матема-ɚисследовать
метода «золотого сетики
Возрождения ɧɚɡɵɜɚɥɢ
называли ееɟɟ
«божественной»,
а
ȼɨɡɪɨɠɞɟɧɢɹ
«ɛɨɠɟɫɬɜɟɧɧɨɣ»,
ɂ.Ʉɟɩɥɟɪиспользование
ɩɢɫɚɥ: «Ƚɟɨɦɟɬɪɢɹ
чения»
в
природе
и
технике.
И.Кеплер
«Геометрия
владеет двумя
сокровиɜɥɚɞɟɟɬписал:
ɞɜɭɦɹ
ɫɨɤɪɨɜɢɳɚɦɢ:
ɨɞɧɨ
ɢɡ ɧɢɯ –В своем
ɬɟɨɪɟɦɚ
ɉɢɮɚɝɨɪɚ, ɞɪɭɝɨɟ –
выступлении мы хотели бы остановиться
щами: одно из них – теорема Пифагора, другое – делеɞɟɥɟɧɢɟ
ɫɪɟɞɧɟɦ
ɢ ɤɪɚɣɧɟɦ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ.
ɉɟɪɜɨɟ
ɦɨɠɧɨ ɫɪɚɜɧɢɬɶ ɫ
на рассмотрении
вопросов:
ние
отрезка ɨɬɪɟɡɤɚ
в среднем ɜи крайнем
отношении.
Первое
1.
Применение
«золотого
сечения в искусстве».
ɦɟɪɨɣсравнить
ɡɨɥɨɬɚ,
ɜɬɨɪɨɟ
ɦɨɠɧɨ
ɞɪɚɝɨɰɟɧɧɵɦ ɤɚɦɧɟɦ!»
можно
с мерой
золота,
второе ɧɚɡɜɚɬɶ
можно назвать
«Золотое сечение
в живойȾɥɹ
природе».
драгоценным
камнем!»
ȼɵɹɫɧɢɦ,
ɤɚɤɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ 2.ɡɨɥɨɬɨɟ
ɫɟɱɟɧɢɟ.
ɷɬɨɝɨ
Выясним, каким числом выражается золотое сечеɩɪɢɦɟɦ ɰɟɥɨɟ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɛɨɥɶɲɭɸ ɟɝɨ ɱɚɫɬɶ ɱɟɪɟɡ ɯ. Ɍɨɝɞɚ
ние. Для этого примем целое за единицу и обозначим
ɦɟɧɶɲɚɹ
ɛɭɞɟɬ
ɪɚɜɧɚ
1-ɯ. часть будет
большую
егоɱɚɫɬɶ
часть через
х. Тогда
меньшая
равна 1-х.
А
Х
1-Х ȼ
С 1-ɏ
Ⱥ
ɏ В
ɋ
ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɡɨɥɨɬɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ ɞɨɥɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
По определению золотого сечения должно выпол-
1 X 1 −XX X
Египетские пирамиды –символ
Среди
1 r бессмертия.
5
=  Решая его относительно грандиозных пирамид Египта
нятся равенство
особое место занимает
X
X
1 ҠҏɊɟɲɚɹ
1
2
ɟɝɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɏ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɯ1,2=
.Ɍɚɤ
Х, получим х 1,2= − 1 ±
2
5 . Так как отрицательный
великая пирамида Хеопса.
1интересуют
5 геометрические отношения, которые
Нас
скрыты
в
великом
2
Ҡҏ памятнике древней архитектуры.
ɬɨ ɯ=
−1+ 5
ɤɚɤ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ
ɩɨɞɯɨɞɢɬ,

корень
не подходит, то х= ɤɨɪɟɧɶ ɧɟ
2
ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ
ɱɢɫɥɨ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ
ɝɪɟɱɟɫɤɨɣ ɛɭɤɜɨɣ ij. ɗɬɨ ɩɟɪɜɚɹ ɛɭɤɜɚ
Полученное
число обозначается
греческой буквой
ɜ Это
ɢɦɟɧɢ
ɜɟɥɢɤɨɝɨ
ɞɪɟɜɧɟɝɪɟɱɟɫɤɨɝɨ
φ.
первая буква
в имени великого
древнегреческо- ɫɤɭɥɶɩɬɨɪɚ Ɏɢɞɢɹ (Vɜ. ɞɨ ɧ.ɷ.),
го
скульптора
Фидия
(Vв.
до
н.э.),
который
частоɫɟɱɟɧɢɟ
исɜ ɫɜɨɢɯ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹɯ.
ɤɨɬɨɪɵɣ ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥ ɡɨɥɨɬɨɟ
пользовал золотое сечение в своих произведениях.
Ɍɟɦɚ ɧɚɲɟɝɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ: «Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɝɚɪɦɨɧɢɢ. Ɂɨɥɨɬɨɟ ɫɟɱɟɧɢɟ»
Тема нашего исследования: «Алгебра гармонии.
Ɉ ɦɨɝɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨɦ ɜɥɢɹɧɢɢ ɢɫɤɭɫɫɬɜɚ ɧɚ ɧɚɭɤɭ ɝɨɜɨɪɹɬ
Золотоеɉɪɨɛɥɟɦɚ.
сечение»
ɦɧɨɝɢɟ
ɭɱɟɧɵɟ:
ɚɤɚɞɟɦɢɤɢвлиянии
Ⱥ. Ɉɩɚɪɢɧ,
Проблема.
О могущественном
искус- Ⱥ.Ȼɚɤɭɥɟɜ, ȼ.Ƚɢɧɡɛɭɪɝ, Ʌ.Ʌɚɧɞɚɭ.
ства
на
науку
говорят
многие
ученые:
академики
ɇɟɞɚɪɨɦ ɪɨɞɢɥɢɫɶ ɫɥɨɜɚ: «ɑɬɨɛɵ А.ɡɚɩɭɫɬɢɬɶ ɪɚɤɟɬɭ, ɧɭɠɧɚ ɱɚɫɬɢɱɤɚ
Опарин, А.Бакулев, В.Гинзбург, Л.Ландау. Недаром
ɩɨɷɡɢɢ», «ɍɱɟɧɵɣ ɨɛɹɡɚɧ ɡɚɧɢɦɚɬɶɫɹ ɧɚɭɤɨɣ ɢɡ ɥɸɛɜɢ ɤ ɢɫɤɭɫɫɬɜɭ».
родились слова: «Чтобы запустить ракету, нужна чаɦɧɟɧɢɸ
ɬɚɤɢɯ ɯɭɞɨɠɧɢɤɨɜ, ɤɚɤ Ʌɟɨɧɚɪɞɨ ɞɚ
стичкаɉɨ
поэзии»,
«Ученыйɫɩɟɰɢɚɥɢɫɬɨɜ,
обязан заниматься ɭнаукой
из
любви к искусству».
ȼɢɧɱɢ,
Ⱥ.Ⱦɸɪɟɪ, ɚ ɢɡ ɛɨɥɟɟ ɩɨɡɞɧɢɯ НеɆɢɤɟɥɚɧɞɠɟɥɨ,
ɏ.Ɋɟɦɛɪɚɧɬ,
исключено, что основным,
исходным элеменПо
мнению
специалистов,
у
таких
художников,
ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɚ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɛɵɥɚ ɜɵɲɟ,
ɱɟɦ ɭ ɦɧɨɝɢɯ
ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɵɯ
том, определяющим
главные
пропорции пирамикак Леонардо да Винчи, А.Дюрер, а из более позд-
ɢɦ ɟɫɬɟɫɬɜɨɢɫɩɵɬɚɬɟɥɟɣ.
Ʉɚɤ ɨɛɴɹɫɧɢɬɶ ɢɫɤɥɸɱɢɬɟɥɶɧɨɟ ɩɪɢɬɹɠɟɧɢɟ ɭɱɟɧɵɯ ɤ ɷɫɬɟɬɢɱɟɫɤɨɦɭ
Эксперимент и инновации в школе 2008/2
ɫɨɜɟɪɲɟɧɫɬɜɭ, ɢ ɬɨ, ɱɬɨ ɧɢ ɨɞɢɧ ɠɢɜɨɩɢɫɟɰ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɩɢɫɚɬɶ, ɧɟ ɡɧɚɹ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ.
71
Мастер-класс
ɨɫɧɨɜɧɵɦ, ɢɫɯɨɞɧɵɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɦ
ды, является
треугольник SMN
в ее осевом
Золотое сечение многократно встречается при анаɚɦɢɞɵ,
ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ
SMN
ɜ ɟɟ сечении.
ɨɫɟɜɨɦ
ɧɵɦ,
ɢɫɯɨɞɧɵɦ
ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ,
ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɦ
Установлено, что отношение катетов SM и MN равно
лизе геометрических соразмерностей Парфенона.
ɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ
ɤɚɬɟɬɨɜ
SM SMN
ɢ MN
ɪɚɜɧɨ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ
ɵ,
ɹɜɥɹɟɬɫɹотношению
ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ
ɨɫɟɜɨɦ
гипотенузы
SNɜк ɟɟ
катету
SM. Причем
Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть сеM.
ɉɪɢɱɟɦ
SN
:
MN
=
Ɏ.
SN:
MN
=
Ф.
крет того могучего эмоционального воздействия,
ɲɟɧɢɟ ɤɚɬɟɬɨɜ SM ɢ MN ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ
Итак,
стороны
треугольника SMN
составляют геокоторое это здание оказывает на зрителя, искали и
ɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
SMN
ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɭɸ
ɢɱɟɦ SN : MN
= Ɏ.
находили в соотношениях его золотую пропорцию.
метрическую
прогрессию
х, Ɏ .*х, Ф*х…, знаменаɧɢɤɚ
SMN
ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ
ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɭɸ
…, ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɶ
ɤɨɬɨɪɨɣ
ɪɚɜɟɧ
Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за 1
.
тель
которой
равен
ɧɟɟɝɢɩɟɬɫɤɢɯ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ
ɡɧɚɧɢɣ
ɨɤɚɡɚɥɢɫɶ
Ɏ
ширину торцевого фасада здания, можно получить
ɚɦɟɧɚɬɟɥɶ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɟɧ
.
ɢɦ
ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ
ɡɨɥɨɬɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹɯ геометрическую прогрессию, состоящую из 8 членов:
ɟɬɫɤɢɯ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ
ɡɧɚɧɢɣ ɜɨɤɚɡɚɥɢɫɶ
между II и VI колонками = φ, между III и
ɬɨɪɚ
ɉɨɥɢɤɥɟɬɚ.
ɉɨɥɢɤɥɟɬɚ расстояние
ɦɟɧɟɧɢɟ
ɡɨɥɨɬɨɝɨ Ɍɟɨɪɢɹ
ɫɟɱɟɧɢɹ ɩɪɨɩɨɪɰɢɣ
ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹɯ
VI – φ 2 , между IV и V – φ 4.
ɟ «Ⱦɨɪɢɮɨɪ»Ɍɟɨɪɢɹ
– ɤɨɩɶɟɧɨɫɟɰ,
ɤɨɬɨɪɭɸ
ɨɧ ɢɡɜɚɹɥ ɜ
Аналогичные закономерности мы видим и в поɉɨɥɢɤɥɟɬɚ.
ɩɪɨɩɨɪɰɢɣ
ɉɨɥɢɤɥɟɬɚ
строении
здания по высоте. Объединив их, получим
ɯ
ɱɚɫɬɟɣ.
ȼ
ɷɬɨɣ
ɫɬɚɬɭɟ
ɦɵ
ɜɫɬɪɟɱɚɟɦ
ɦɧɨɝɨ
ɪɚɡ
ɪɢɮɨɪ» – ɤɨɩɶɟɧɨɫɟɰ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɨɧ ɢɡɜɚɹɥ ɜ
прогрессию: 1, φ, φ2, φ 3, φ 4, φ 5 .
ɟɣ. ȼ ɷɬɨɣ ɫɬɚɬɭɟ ɦɵ ɜɫɬɪɟɱɚɟɦ ɦɧɨɝɨ ɪɚɡ
4
4
Наследниками древнеегипетских математических
знаний оказались древние греки. Рассмотрим применение золотого сечения в произведениях древнегреческого скульптора Поликлета. Теория пропорций
Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор» – копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии
всех частей. В этой статуе мы встречаем много раз
примененное число φ. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении золотого сечения.
Расстояние от подошвы копьеносца до его колена
равно φ3, высота шеи вместе с головой- φ4, длина шеи
до уха- φ5, а расстояние от уха до макушки- φ6. Таким
образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем φ: 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6.
Геометрические фигуры, в которых есть элементы,
связанные друг с другом золотой пропорцией, большинству людей кажутся красивыми.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень
популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в
отношении, близком к φ. А, выбирая размеры самой
картины, старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось φ. Такой прямоугольник стали
называть «золотым».
Холст, на котором написана «Тайная вечеря»
Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.
72
Эксперимент и инновации в школе 2008/2
Мастер-класс
Если золотой прямоугольник использовался художниками для создания у зрителя ощущения уравновешенности, покоя, то золотая спираль, напротив,
применялась для выражения тревожных, бурно развивающихся событий.
Мотивы золотого сечения просматриваются на
одной из самых известных картин И.И. Шишкина
«Корабельная роща». Ярко освещённая сосна (стоящая на первом плане) делит картину по золотому
(Раймонди «Избиение младенцев»).
сечению. Справа от сосны – делит картину по золотому сечению освещённый солнцем пригорок
(правую часть по горизонтали). Слева от главной
сосны находится множество сосен – при желании
можно с успехом продолжить деление картины по
золотому сечению и дальше. Наличие в картине
ярких вертикалей и горизонталей, делящих её в
золотых отношениях, придаёт ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.
Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к
нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Разумеется бывает и «золотой треугольник». Это
равнобедренные треугольники, у которых отношение
длины боковой стороны к длине основания равняется
φ. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при его
основании равны длине самого основания.
Леонардо да Винчи использовал «золотой треугольник» в композиции своей знаменитой «Джоконды», а
Рафаэль – в картине «Афинская школа».
Эксперимент и инновации в школе 2008/2
Отросток делает сильный выброс в пространство,
останавливается, выпускает листок, но уже короче
первого, снова делает выброс в пространство, но уже
73
Мастер-класс
меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за
100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38,
четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. Импульсы роста постепенно
уменьшаются в пропорции золотого сечения.
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так
относится к длине остального тела, как 62 к 38.
По золотой спирали располагаются семечки в корзинке подсолнyxa. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую —21. В более крупных соцветиях
подсолнечника число соответствующих спиралей 21
и 34 или 34 и 55. Похожее спиральное расположение
наблюдается у чешуек сосновых шишек и ячеек ананаса.
вает ее нити также по золотой спирали. По золотой
спирали закручены и многий галактики, в частности,
галактика нашей Солнечной системы.
Мало кого оставит равнодушным использование
математики с целью постижения природной гармонии.
В своей лекции мне хотелось показать красоту
как главную категорию эстетики и математики, раскрыть эффективность применения математических
методов в различных областях культуры, науки, искусства.
Математика – это не только стройная система
законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и
многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые
действуют одинаково эффективно в кристаллах
и живых организмах, в атоме и во Вселенной, в
произведениях искусства и научных открытиях.
Поистине:
Во всем царит гармонии закон,
И в мире все суть ритм, аккорд и тон.
( Д.Драйден)
По логарифмической спирали свернуты раковины
многих улиток и моллюсков; та же спираль встречается в соцветия растений. Один из наиболее распространенных пауков эпейра, сплетая паутину, закручи-
74
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая математику, мы
открываем все новые и новые слагаемые прекрасного,
приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии.
Характерная черта математики – поиск выходов,
попытка пройти по всем тропинкам, стремление заглянуть повсюду. И что особенно интересно – везде
есть над чем подумать, везде можно попытаться приложить свои силы и отыскать что-то новое, ранее неизученное.
Эксперимент и инновации в школе 2008/2
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
31
Размер файла
3 576 Кб
Теги
алгебра, гармония, pdf
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа