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Моделирование коррупции в трехуровневых системах управления..pdf

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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
”ƒ 519.83 + 519.86
ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»≈ ќ––”ѕ÷»»
1
¬ “–≈’”–ќ¬Ќ≈¬џ’ —»—“≈ћј’ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
√.ј. ”гольницкий, ј.Ѕ. ”сов
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?????д????, ??л???? ?????ч???г? ????????.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
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?????л?? ??????? м???м???ч????м м?д?л????????м ??????ц?? ????м?ю??? ?.?. ????? [10, 11],
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м?д?л?? ??????ц?? ?????д?? ? ???г?? [14?16].
1
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(?????? ? 12-01-00017) ? ????г? ??д???ль??г? ????????????.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
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[16?23], ? ??м ч??л? ?л?д?ю???.
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м???м???ч????? ???м?л???ц?? ??????д????
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53
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
???л?ч?ю??? ?дм????????????? ??????ц??,
??? ??????? ?? ?????? ??л??л?ю??? ?дм????????????? ??????????, ? ?????м?ч????? ??????ц??, ??? ??????? ?????? ?????л??? ??л????ь
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??? м?д?л???????? ??????ц?? ? д???м?ч????? ???????ч????? ?????м?? ??м? ????ль??ю???
????ль????, ??л?ч????? ?.?. ????????? ? ????????м? [24?28].
1. ћ≈“ќƒџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
» »Ќ‘ќ–ћј÷»ќЌЌџ≈ –≈√Ћјћ≈Ќ“џ
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д???м?ч????ю ?????м? (???) ? ?м. ???????. ?л?
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??? ???д???????? ??ль?? ??????? ?, ??????? ????л?д??? ???люч???ль?? ???? ч?????? ????????,
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54
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(??гл?м??? CI);
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(??гл?м??? IC);
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JH(z(?)) =
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gH(z(t))dt ? max;
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(6)
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CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
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ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
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???????ю??? ??? ??л?ч?? ?дм?????????????
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CC
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(9)
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(q(t), s(t), b*(t)) ?д?????????ю ?????????ю ??? x *(t).
55
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
2. ??ш????? ????м????ч????? ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л???? ???????? ? (3), (4) ? ??л? ??????ш???? (7) ??? b(t) = b*(t), u(t) = u *(t). ?? ??ш????м
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3. ??ш????? ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л????
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u(t) = u *(s *(q(t), b*(t))), b(t) = b*(t).
??л? ??ш???? ???? ??д?ч? q *(t) ??????????, ??
?????ц?? (q *, s *(q *, b*), u *(s *(q *, b*)), b*) ???ь ?????????? Ђ??????д???? ? ??????д????ї ? ?ч???м
?????????? ?? ? ??л????? ?дм????????????? ??????ц?? (9).
????ь ?????ь ??? ???????? ? ? ? ????ль??ю? ?????д????. ?????л???? ??????д???? ?? ???м???ю???. ??д?м ???????????????ь ?????л???? ?????д???? r(t) ???????? ? ??? ????? Ђ??л?гї ? ?ч????ь
?г? ????ц??? ???м??? ??????: r? (t) = r(b(t)), ?. ?.
??л?г м???? ???ь ?м??ьш?? ? ??м?? ?? ??????
(?????м?ч????? ??????ц??). ???м???? ? д??г??
??????????ц?? ?????м?ч????? ??????ц??, ?????м??, r(t) ???ь ????????? ????г???????, ???????
м?г?? ???ь ???л?ч??? ?? ??????, ? ?. ?. ????м ??????м, ????? ?м??л ?????м?ч????? ??????ц?? ?
??м?????? ??????г?? ?????д???? ?? ?????? ? ??ль??
?г????. ??? ???м ????ц???л д?л??? ??????ч??ь
????л????? ?????????? ?? ?????д????м ?????д???? ????????????.
?????м?ц?????? ??гл?м??? ? ?г?? ???? л?ц
???? II (Ђ?????д???? ? ?????д????ї) ? ??л?????
?????м?ч????? ??????ц?? ?м??? ?л?д?ю??? ??д.
??????? ? ???????? ??????г?ю ?????д???? ?
???????? ????ью p? ? P? = { p; :R ? P} ? ????????
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56
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4. ???д?м м???????? D *C = {( p , r , u , b) :
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J C (?(y)) l L C , J H (?(y)) l L H , ?t x(t) ? X *} ?ч???
????????? ????????? ? ? ? ??? ????л????? ?????????? ?? ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц??.
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
5. ??гд? г?????????????? ???г??ш ???????? ?
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( p?, r, u, b ) ? D *C
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????д? ??л?ч??м ?????-
????? (10). ????ч??, ???л???ц?? ???г? ?лг????м?
???м???? ??? ??л?????
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D *C
??????ц, ????м????м ?????м?ц?????? ??гл?м??? ???? CI, ?. ?. ??????? ? ????ль???? ??????д????, ? ??????? ? ? ?????д????. ????м ??????м,
??????????? ???л????? ??????г?ю ?????д???? ?г???? ? д???л????ль??? ???????? ????ью ?? ???м???
?????? (?????м?ч????? ??????ц??), ? ????ц???л
д?л??? ??????ч??ь ????л????? ?????????? ??
?????д????м ??????д???? ????????????.
??????? ? ???????? ?????л???? (?????????ю
??????г?ю) q ? Q ? ???????? ?? ???????? ?.
??????? ? ???????? ? ???????? ???????? ?
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??????г?ю r = r(q, u, b) ?? ????г? м???????? ??CI
??м?ль??? ??????? R C (q, u, b) = Arg max
J(?(q,
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r , u, b, x)), гд? ?????????? x ?????д????? ??????г??? u.
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57
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
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? p(t)r (b(t)) ? ??????л???? ???д??? ?? ?? ? ??д?
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0
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? {?CB(a(t)) + (1 ? p(t))r(b(t))a(t)}dt ? max,
(12)
0
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58
(13)
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a(t)b(t) ? ???м?? ?????? ?? ????? ? ??д???? ??г?????ю??? ??????? ? ??л?ч????? a(t).
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T
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? {?CC(a(t)) +
T
JH(r(?), u(?), b(?)) =
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(14)
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? b(t).
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?? ? ??д????; CH(u(t))W(t) ? ??????? ?? ?? ?ч????? ???ч??? ??д?; a(t)b(t) ? ???м?? ?????? ?? ?????
? ??д???? ??г?????ю??? ??????? ? ??л?ч?????
u(t) - ;
a(t). ??л?? ????м????м ?л?ч?? CH(u(t)) = D -----------------1 ? u(t)
D = const.
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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??? ?г????ч????? ?? ?????л????
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(15)
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? ?? q1(t) m s(t) m 1 ? ?; q2(t) m r(b(t)) m rmax;
?t : t ? [0, T ];
(16)
? ?? s(t) m u(t) m 1 ? ?; 0 m b(t) m bmax;
?t : t ? [0, T ].
(17)
?д??ь ???ч???? ??л?ч??? ? ????д?л????? ?????л?г?ч????м? ???м???????м? ?? ?? ?ч????? ???ч??? ??д; bmax ? м????м?ль?? ???м????? ??????,
?????д?????? ?? ?д???ц? ????ш????? ??; rmax ?
м????м?ль?? д??????м?? ???м?? ?л??? ?? ?????
?? ??? ??????ц??; ?1 ? ?2 ? м???м?ль?? д??????м?? д?л? ???д???, ???????ю??? ?? ?? ? ?? ?
??; ???ч???? rmax, bmax, ?1 ? ?2 ??д???.
????м??? ??м?????? ???????д???????? ???д?? ?? ??????????? ???????????м д???????ц??ль??м ?????????м
d?
-------- = ?k? + Y,
dt
?(0) = ?0,
(18)
гд? k = const ? ??????ц???? ?м??????ц?? ???????д???????? ???д??; Y ? ???????ц?? ? ???????д????, ??????? ??д?м ?ч????ь ?????????? ??л?ч????; ??л?ч??? ?0 = const ??д???.
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?ч?????) ??????? ?? ??л?ч????? ???????д?????
?? ?? ???д??ц?? л?????? ? ???????д????????
????ц?? ?м?ю? ??д
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(19)
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???м???м ??????????? ???????????м д???????ц??ль??м ?????????м
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b(t). ???д?м ??????ч???? дл? ?????ц?? ?( r ) =
?
?
?
= r (p(r), u, b); ?( u ) = u(r(p(r), u, b). ??д?м ?ч????ь,
ч?? ?2rmax m D m rmax.
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II
1) ??ч??л????? ??л?ч??? L H = T(D ? 2 Dr max )?
T
T
? W(t)dt + ? zR(?)dt; ??????г?? ????????? ?м?ю?
?
0
0
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?p
P
??д p? = p? (rmax) = 0; r
p
u =1?
(20)
?t : t ? [0, T ],
(21)
0
?
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T
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1
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(
u
) ( ? ( r ) + b ( t ) ) ) ? dt m T ?
?
?
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?
0
T
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? (D ? 2 Dr max ) ? W(t)dt ? ;
?
0
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II
T
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( r, u, b ) ? D
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T
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? {?CC((1 ? ?( u ))W(t)) +
0
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II
+ (1 ? ?( u ))W(t)(?( r )p(r(t)) + b(t))}dt l L C ,
?
?
?
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?
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?(u)
? ? W(t) ? D --------------------- + ( 1 ? ? ( u ) ( ? ( r ) + b ( t ) ) ) ? dt m
?
? 1 ? ? ( u?? )
?
0
T
m T(D ? 2 Dr max ) ? W(t)dt,
0
?t : 0 m x(t) m xmax,
W(t)[1 ? u(t)]/Q0(t) m Qmax;
5) ????д?л????? ??л?ч???
(22)
гд? Q (t) ? ?????д ??д? ?? ?? ? м?м??? ???м??? t;
???ч???? xmax ? Qmax ??д???.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
p
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II
2) ????д?л????? м???????? D H = ? ( r , u , b) :
?
T
II
?t : t ? [0, T ],
p
p
? ?г????ч???? ?? ??ч????? ???ч??? ??д?
W(t)[1 ? u(t)]
------------------------------------- m Qmax,
0
Q (t)
?
?
= r ( p? (rmax), u , b ) = rmax;
D/r max ; b = 0;
T
x(0) = x0,
гд? F(x(t), u(t), t) ? ????????? ??д????? ????ц??.
???????? ???д?ль?? д??????м?? ???ц?????ц?? ?? ? ??д????? xmax
0 m x(t) m xmax,
????м????м ???ч?л? ?????м?ц?????? ??гл?м??? II. ??д?м ?ч????ь, ч?? q1(t) ? q2(t) ? s(t) ? 0,
?????л????м? ?л???? ????ц?? p(t), r(t), u(t), t) ?
?B =
?
?
sup
?
?
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?
?
?
? {?CB(W(t)(1 ? ?( u )) +
( p?, r, u, b ) ? D *C 0
?
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?
+ (1 ? p(r(t)))W(t)?( r )(1 ? ?( u ))}dt
? ????д???? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї.
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?????д?м ???м??? ?????д???? ??????????. ??
???? ???м???? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї ????д???? ч??л???? м???д?м ???м?г? ?????д?ч????г? ???????? ? ?ч???м г??????? ??????????? ?????л???? ?? ????????? ???м????? ???????л?? [19, 20]. ?м????, ?ч???????, ч?? ????????
м???ю? ???? ?????л???? n ??? ? ????????? м?м???? ???м???, ?. ?.
?1
? = 0,002 ??? ; z = 25 ??? ; rmax = 200 ?. ?.; bmax = 70 ?. ?.;
16
T = 540 ???; ?max = 10 мг/л; Qmax = 100; ?0 = 10 ?. ?.;
D = 18; x0 = 6 мг/л; ? = 2; ?1 = 0,3; ?2 = 0,8; ? = 0,1;
0
Y = 0 ?. ?.; ? = 0,3 мг/(??? ?. ?.); Q (t) = 0,6W(t)/Qmax;
(?. ?. ? ??л????? ?д???ц?). ??л?ч?м, ч??
II
??????ц?? ? ?????м? ???ь ? L H = ?132 507 ?. ?.; L C =
II
= 285 317 ?. ?.; ? B = 105 764 ?. ?.; J C = 285 882 ?. ?.;
II
II
II
J H = ?132 483 ?. ?., гд? J C , J H ? ?????ль ?? ? ??
?????????????? ? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї.
?????? 2. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ?
?м??ьш???? ?????? ?? ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??
(D = 1) ??????ц?? ? ?????м? ????? ????????????, ?????ль ?? ??????, ????ль??? ????????? ?м??ьш?????, ???
??? ?? ?? ??г?д?? ??????? ??????ь ?ч????? ???ч??? ??д:
II
II
II
L H = 397 870 ?. ?.; L C = 93 911 ?. ?.; ? B = 2166 ?. ?.;
II
II
J C = 94 262 ?. ?.; J H = 398 121 ?. ?.
?????? 3. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ? ???л?ч???? ?????д?? ?? ?ч????? ??ч??? ??д? ?? ???????
?? (?3 = 200 ?. ?.) ?? ?????? ??????, ??????ц?? ? ???II
II
??м? ???ь: L H = ?132 507 ?. ?.; L C = ?269 677 ?. ?.;
II
II
II
? B = 175 732 ?. ?.; J C = ?269 156 ?. ?.; J H = ?132 452 ?. ?.
?????? 4. ?????????? II ? ?ч???м ??л???? ?? ?????м? ?????????? ?? ???гд?. ?????м??, ?г? ?? ?????????? ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ? ????? ?? ??
?????? ?? ?ч????? ???ч??? ??д (D = 100), ???л?ч????
м????м?ль?? ???м????? ??л?ч??? ?д?ль??? ??????
(bmax = 500 ?. ?.), ?м??ьш???? м????м?ль?? д??????м??
60
II
2
C2 = 20 ?. ?.; C3 = 30 ?. ?.; C1 = 0,015 (л???? ); n = 3;
II
II
q1(t), s(t), u(t) ? b(t). ????ь ?t : t ? [0, T ] ? D l ? r(t).
?1
II
II
L C = ?477 12 ?. ?.; ? B = 301 948 ?. ?.; J C = 68 267 ?. ?.;
????м????м ?????м?ц?????? ??гл?м??? CC.
?ч????м, ч?? q2(t) ? 0, ? ????ц?? p(t) ? r(t) ??д???
? ?? м???ю???, ?????л????м? ?л???? ????ц??
?????? 1. ????ь F(x(t), u(t), t) = ??x + C1W(t)(1 ? u(t));
CB(a(t)) = C2a(t); CC(a(t)) = C3a(t); C1, C2, C3 = const;
?1
II
??ль ?? ? ?? ??????, ?? ? ??д???: L H = ?132 507 ?. ?.;
II
гд? mi = const; ti = i?t; ?t = T/n; m(t) ? ?????л????
?д??г? ?? ????????? ?????л???? (?д?? ?? ????ц??
p(t), r(t), u(t) ? b(t)).
k = 0,001 ???
?????? 5. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ?
?м??ьш???? м????м?ль?? ???м????? ?д?ль??? ??????
(bmax = 10 ?. ?.) ??????ц?? ? ?????м? ???????????, ???-
J H = ?111 052 ?. ?. ?
? m 1, ??л? 0 ? t < t 1 ,
?
? m , ??л? t 1 ? t < t 2 ,
m(t) = ? 2
...
?
?
? m N, ??л? t n ? 1 ? t < T,
?1
?л??? ?? ????? ?? (rmax = 10 ?. ?.) ?л? ???дш???? ???л?г?ч????г? ????????? ?????м? (x0 = 9 мг/л).
??ш???? ??д?ч? (12)?(22) ????ь ???????? ? ???????????? ? ????????м ? І 1 ?лг????м?м ? ?л?ч??
?????м?ц?????г? ??гл?м???? CC, ? ?м????:
1) ??л? 1 ?
b*(t)
= 0;
u*(t)
??л? 1 ?
D/r ( t ) + b max m s(t) < 1 ? ?, ??
= s(t);
D/r ( t ) m s(t) < 1 ?
b*(t) = bmax; u*(t) = 1 ?
D/r ( t ) + b max , ??
D/r ( t ) + b max ) ?л? (b*(t) = 0;
u*(t)
= s(t)) ? ??????м???? ?? ???д??? д?????
м?д?л?;
D/r ( t ) , ?? (b*(t) = bmax;
??л? s(t) < 1 ?
u*(t) = 1 ?
=1?
D/r ( t ) + b max ) ?л? (b*(t) = 0; u*(t) =
D/r ( t ) ).
2) ??ш????? ????м????ч????? ??д?ч? м????м???ц?? ????ц????л? (13), (16) ? ?ч???м ?????????
(18) ? ????ц??? (19) ??? b(t) = b*(t), u(t) = u*(t); ??
??ш????м ??л????? ???????? s*(t) = s*(q1(t), b(t));
3) ??ш????? ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л????
???????? ? (12), (15), (18)?(22) ??? s(t) = s*(q1(t),
b*(t)); u(t) = u*(s*(q1(t), b*(t))), b(t) = b*(t). ????д???? ?????????? Ђ??????д???? ? ??????д????ї.
?????????? ?????? ч??л???? м???д?м ???м?г?
?????д?ч????г? ???????? ? ?ч???м г??????? ??????????? ?????л???? ?? ????????? ???м????? ???????л?? [19, 20] ? ?л?ч?? p(t) = 0,4; r(t) = rmax/2. ??м???м, ч?? ????ль???? ??????????? ??????? ?? ??д????? ????ц?? p(t) ? r(t).
?????? 6. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 д???д?
?? ? ?? ?????л? ?? ????????ю ? ???м???м 1, ?? ?
CC
???л? ? J B
CC
= 142 658 ?. ?.; J C
= 109 371 ?. ?., гд?
CC
JB
,
CC
JC
?
CC
= 35 664 ?. ?.; J H
CC
JH
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? ?????ль ??, ??
? ?? ?????????????? ? ?????????? Ђ??????д???? ?
??????д????ї.
?????? 7. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 2 д???д?
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CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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м???д? ? ???ь?? ? ??????ц??? ??л?? ??????????,
ч?м ?????м?ч?????.
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??????? ?.?., ????????? ?.?. ????м?ч????? м?д?л? ????л?????. ???? м?д?л???????? // ????м????? ? ??л?м???????. ? ??ч???.
??????? ?.?., ????????? ?.?. ????м?ч????? м?д?л? ????л?????. ?????????? // ??м ??. ? ??ч???.
??????? ?.?., ????????? ?.?. ????м?ч????? м?д?л? ????л?????. ???????ч????? ?г?? // ??м ??. ? ??ч???.
?????? ???????????? ? ?????????? ?????? ???????????
?.?. ????????.
??????????? ???????? ??????????? ? д-? ???.-м??. ????,
???. ????д???, (863) 297-51-14, ougoln@mail.ru,
???? ???????? ????????? ? д-? ???.-м??. ????, ?????????,
usov@math.rsu.ru,
????? ??д???ль??? ???????????, г. ??????-??-????.
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
??л?ч??? м?д?л? ??????ц?? ? ???????ч????? ?????м??
? ???дл???? ??д ????ц???? ?? м?д?л????????
[16?23], ? ??м ч??л? ?л?д?ю???.
??????? ???м?? м?д?л???????? ?л???? ???????ч????? ?????м? Ђ????ц???л ? ??????????? ?
?г??? ? ??????ї ? ???л?ч??? м?д?????ц??? ?
?? ?????????-?г????? ???л?д??????, ???ч?м ?
д???м?ч????? м?д?л?? ????????? ??????? ??????????? ????. ??????ц?? ??д?????? ???д???
??????ь ?????л???? (???????????), ??????? ??????ь (????ц???л) ?ч??????? ???????м?????м?м
? ????л???? ????ц?? ???ь?? ? ??????ц???.
???д??л?г?ю??? ????????м? ????д?л????? ?????????? ?????ч???г? ???????? ?????л??м??
?????м? (???????). ? д???м?ч????? м?д?л??
??? ???м?л???ю??? ? ???м???? ????????? ???????. ??л? ?????????? ?????ч???г? ????????
????л??ю???, ?? ??д?ч? ????ц???л? ?ч???????
??ш????? д??? ??? ??л?ч?? ??????ц??.
???? Ђ????ц???л ? ???????????ї ? Ђ??????????? ? ?г???ї ??????? ? ????ш????? Ђ??д???? ?
??д?м??ї. ??д???? ?г??? (????ц???л ?л? ??????????? ??????????????) дл? д?????????
????? ц?л?? ????ль???? м???д? ??????д????
(????м?????????? ?дм????????????-??????д???ль??? ???д???????) ? ?????д???? (????м?????????? ?????м?ч????? ???д???????); ???
м???м???ч????? ???м?л???ц?? ??????д????
????ч??? ???д??????? ??д???г? ?? м????????
д??????м?? ??????г?? ??д?м?г? (??? ????????
?????), ? ?????д???? ? ?? ????ц?ю ???г??ш?
??д?м?г? (? ???????? ????ью).
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
???л?ч?ю??? ?дм????????????? ??????ц??,
??? ??????? ?? ?????? ??л??л?ю??? ?дм????????????? ??????????, ? ?????м?ч????? ??????ц??, ??? ??????? ?????? ?????л??? ??л????ь
?????м?ч????? ?????????? ??????г? ?????? ?????л????. ??? м?д?л???????? ?дм????????????? ??????ц?? ????ч??? ??????д???? ?г????
????????????м ? ???????? ????ью ?? ???м???
??????, ? ?????м?ч????? ??????ц?? ? ?????д???? ?г???? ????????????м ? д???л????ль???
???????? ????ью ?? ???м??? ??????.
??????ц?? ???д????л??? ????? ?г???? ?????ч???м? ???????ю ???????, ?????ль?? ?????ч????
??г?д?? ? ??м?? ?? ?????? ??л??л??ь ?????????? ?????ч???г? ????????. ? д??г?? ???????,
??????ц?? ???ь ???ц???ч????? ???м? ???????? ????? ? ???????ч????? ?????м?? ?????л????, ? ??л? ??????? ?????л?ю??? ???д???????
?????????? ????ц??м? ???м??? ??????.
??? м?д?л???????? ??????ц?? ? д???м?ч????? ???????ч????? ?????м?? ??м? ????ль??ю???
????ль????, ??л?ч????? ?.?. ????????? ? ????????м? [24?28].
1. ћ≈“ќƒџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
» »Ќ‘ќ–ћј÷»ќЌЌџ≈ –≈√Ћјћ≈Ќ“џ
????м????м ????????????ю ?????м? ?????л????, ??люч?ю??ю ? ???? ???????? ?????л????
??????г? (????ц???л), ???д??г? (???????????) ?
?????г? (?г???) ???????, ? ????? ?????л??м?ю
д???м?ч????ю ?????м? (???) ? ?м. ???????. ?л?
???????? ?г????ч?м?? ?л?ч??м ?д??г? ???????? ??
???д?м ?? ??????? (?, ? ? ? ??????????????). ???????? ц?ль ???????? ? ??????? ? ????л????? ?????????? ?????ч???г? ???????? (??), ??????? ???м?л???ю??? ??? ?????дл??????ь ?????????? ???
????д?л????? ??л???? ???????????? ?????????.
??????? ? м???? ?м??ь д???л????ль??? ??????????? ????????. ??????? ? ?л?д?? ?? ????л?????м
?????????? ?? ?? ?м??? ???????? ?, ?? м???? ????????г??ь ?м? ? ??м?? ?? ?????? ?? ???????? ?. ??
??? ???д???????? ??ль?? ??????? ?, ??????? ????л?д??? ???люч???ль?? ???? ч?????? ????????,
????д? ?? ??????? м???? ???дл?г??ь ?????? ???????? ?. ???д?? ?? ????????? ? ? ? ??? ???д??????? ?? ??????????г? ???????? (? ? ? ??????????????) м???? ???м????ь м???д? ??????д????
(C ? compulsion) ?л? ?????д???? (I ? impulsion).
??д?????? м???м???ч????? ???????? ???? м???д?? ??? ??ш???? ???????ч????? ?г?? ???д????л??? ? ???г? [17].
????м ??????м, ???????ю? ч????? ?????м?ц?????? ??гл?м???? дл? ???????ч????? ?г??
???? л?ц:
54
????????????? ??????? ??????????
? ? ? ? ????ль??ю? ??????д???? (??гл?м???
CC);
? ? ????ль???? ??????д????, ? ? ?????д????
(??гл?м??? CI);
? ? ????ль???? ?????д????, ? ? ??????д????
(??гл?м??? IC);
? ? ? ? ????ль??ю? ?????д???? (??гл?м??? II).
??? ???м ?м??? м???? ?дм?????????????
(?????л???? ??????д???? ???????? ? ??????????
????ц??м? ???м??? ??????) ? ?????м?ч????? (?????л???? ?????д???? ???????? ? ?????????? ????ц??м? ???м??? ??????) ??????ц??. ????ч??, ???м???? ? д??г?? ???м? ?????м?ц?????г? ????м?д???????.
????д??? ?????????-?г????? м?д?ль ?м??? ??д:
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(2)
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JH(z(?)) =
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gH(z(t))dt ? max;
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x(t) ? X *;
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?д??ь z(t) = (q(t), p(t), s(t), r(t), u(t), b(t), x(t)); q(t) ?
p(t) ? ??????? ?????л???? ??????д???? ? ?????д???? дл? ???????? ?; s(t) ? r(t) ? ??????? ?????л???? ??????д???? ? ?????д???? дл? ???????? ?;
u(t) ? ?????? ?????л???? ???????? ?; b(t) ? ??????
?????л???? ???????? ?, ???????м?? ??? ??????;
??????? q, s ? u ?м?ю? ?д???????ю ???м??????ь; JB
? gB, J? ? g?, JH ? gH ? ????г??ль??? ? ???????
????ц?? ???г??ш? ?г????? ?, ?, ? ??????????????; ? ? ?????д ????м???????, ??????? м????
???ь ??? ????ч??м, ??? ? ???????ч??м (?????? ??????? ??л?? ?д??????? ??д?ч? ?????л???? ??); ? ?
??????ц???? д??????????????; x(t) ? ?????? ????????? ???; ??????ш???? (7) ???????ю? д???м??? ??? ??? ??д????? ??ч?ль??? ??л????? ? ?????л????? ??д?м?г?; ??л???? (8) ??????ю? ?????????? ?? ???м?????ль?? ? ???.
???д??л?г?????, ч?? Q, P, S, R, U ? ? ? ??м??????? ??дм???????? ???????????ю??? м????ч????? ???????????; ????ц?? JB, JC ? JH ?????????? ?? ????м ??г?м????м, дл? ????ц?? f ?? ??????ш???? (7) ????л???? ??л???? ???????д???.
????м???ч???? ??д?ч? ?????л???? ?? ? ??л????? ??????ц?? ???д????л??? ????? д???м?ч????ю
?г?? (1)?(7) ? ??????м? ?г????ч????м? (8). ??
?м??л ? ?????д???? ??ш???? д???м?ч????? ?г??
(1)?(7), ?. ?. ????мл?м?г? ??м???м???? м??д?
????????м? ?????л????, ?д??л??????ю??г? ??????????м (8) ? ????????ю ???, ? ??л?????, ??гд?
?????л???? ?г???? ? ??????? ?? ???м??? ??????,
???дл?г??м?? ?г????м ?. ??д?м д?л?? ? ??д?
?л?ч??? дл? ???????? ???????ь ??????м???ь ??
???м???.
????ь ???ч?л? ??? ???????? ? ? ? ???м???ю?
??????д????. ?????л???? ?????д???? ?? ????ль??ю???. ??д?м ???????????????ь ?????л???? ??????д???? s(t) ?г???? ? ??? ????????ю Ђ?????ї ?
?ч????ь ?? ????ц??? ???м??? ??????: s? (t) = s(b(t)),
?. ?. ????? м???? ???ь ???л?ч??? ? ??м?? ?? ??????
(?дм????????????? ??????ц??). ? ????м ?л?ч??
?дм????????????? ??????ц?? ????ч??? ??м??????
?????л???? ??????д???? ?? ?????? ? ??ль?? ?г????. ??? ???м ????ц???л д?л??? ??????ч??ь ????л????? ?????????? ?? (8) ?????д????м ??????д???? ????????????.
?????м?ц?????? ??гл?м??? ? ?г?? ???? л?ц
???? CC (Ђ??????д???? ? ??????д????ї) ? ??л????? ?дм????????????? ??????ц?? ?м??? ?л?д?ю??? ??д.
??????? ??????г? ?????? ? (????ц???л) ???????? ?????л???? ??????д???? (?????????ю
??????г?ю) q ? Q ? ???????? ?? ???????? ?.
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??????ч?м S = { s? = s(q, b):Q „ B ? S}. ? ?ч???м
????????г? ???ч???? q ? Q ??????? ???д??г?
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s? ? S?
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55
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56
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???г??ш ???????? ? ??? ?ч??? ????????? ????????
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4. ???д?м м???????? D *C = {( p , r , u , b) :
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II
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????????? ????????? ? ? ? ??? ????л????? ?????????? ?? ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц??.
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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5. ??гд? г?????????????? ???г??ш ???????? ?
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( p?, r, u, b ) ? D *C
II
J B (?(y)),
????д? ??л?ч??м ?????-
????? (10). ????ч??, ???л???ц?? ???г? ?лг????м?
???м???? ??? ??л?????
II
DH
? ?,
D *C
??????ц, ????м????м ?????м?ц?????? ??гл?м??? ???? CI, ?. ?. ??????? ? ????ль???? ??????д????, ? ??????? ? ? ?????д????. ????м ??????м,
??????????? ???л????? ??????г?ю ?????д???? ?г???? ? д???л????ль??? ???????? ????ью ?? ???м???
?????? (?????м?ч????? ??????ц??), ? ????ц???л
д?л??? ??????ч??ь ????л????? ?????????? ??
?????д????м ??????д???? ????????????.
??????? ? ???????? ?????л???? (?????????ю
??????г?ю) q ? Q ? ???????? ?? ???????? ?.
??????? ? ???????? ? ???????? ???????? ?
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??м?ль??? ??????? R C (q, u, b) = Arg max
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r?R
r , u, b, x)), гд? ?????????? x ?????д????? ??????г??? u.
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( u, b ) ? U „ B
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?ч???м ?????????? ?? ??? ?????м?ч????? ??????ц??:
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(11)
??? ??л???? (8), ?????????? x * ?????д????? ?????л????м u *(r *(q *, u *, b*)).
?лг????м ?????д???? ?????????? (11) ???люч????? ? ?л?д?ю??м.
1. ??ч??л??ь м????м?ль??? г?????????????? ???г??ш ???????? ? ??? ????ль???????
CI
????????м? ? ? ? ??????г?? ?????????: L H
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ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
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3. ??ч??л??ь м????м?ль??? г??????????????
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2. ????? м???????? D H = {( r , u , b) : J H (?(q,
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u , b, x)); ??????ч?м ч???? r * , ( u * , b*) ??????г??
????????? ? ? ?, ???л???ю??? (???м????, ? ?-??чCI
????ью) ??л?ч??? ? C (q) дл? ???д?г? q ? Q.
4. ??ш??ь ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л???? ?
??????м? ?г????ч????м? ???????? ? (1), (2), (7), (8)
?
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??? r = r * , ( u , b) = ( u * , b*). ??л? ?? ??ш???? q *
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??????????, ?? ?????ц?? (q *, r * (q), u * (r(q, u, b), b*)
???ь ?????????? Ђ??????д???? ? ?????д????ї ?
?ч???м ?????????? ?? ? ??л????? ?????м?ч?????
??????ц?? (11).
?????м?ц?????? ??гл?м??? Ђ?????д???? ?
??????д????ї ????м?????????? ???л?г?ч??.
? ??ч????? ???м??? ????м????м ????ль???????
?????м?ц?????г? ??гл?м???? Ђ?????д???? ? ?????д????ї (II) ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц?? ? ??д?ч? ??????л? ??ч????? ????????????? ??д.
2. ћќƒ≈Ћ» Ё ќЌќћ»„≈— ќ… ќ––”ѕ÷»»
¬ —»—“≈ћј’ ќЌ“–ќЋя ј„≈—“¬ј
ѕќ¬≈–’Ќќ—“Ќџ’ ¬ќƒ
????м????м ????????????ю ?????м? ??????л?
??ч????? ????????????? ??д, ??люч?ю??ю ? ????
???????? ??????г? (??д???ль??? ц????, ??), ???д??г? (м?????? ??г??? ?????л????, ??), ?????г?
(???м?шл????? ???д???????, ??) ??????? ? ???
[21]. ????м ??????м, (?, ?, ?) = (??, ??, ??).
??д?м ?ч????ь, ч?? ?? ???д?м ?????? ?м?????
?д?????????? ???????.
????ь ?? ????г? ???? (???) ?????л????? ??,
????????ю??? ??г?????ю??? ???????? (??) ? ????
?м???? ?? ???ч??м? ??д?м?. ?л? ???????? ???л?д??м ?л?ч?? ??ль?? ?д??г? ??д? ??, ?????м??,
???????д??????? ??. ???д??л?г?????, ч?? ????м?????ш???? м??д? ?л?м????м? ???л?д??м?? д???м?ч????? ?????м? ???????? ?л?д?ю??м ??????м:
?? ???д???????? ?? ??, ?? ? ?? ??, ? ?? ?
??ль?? ?? ???.
???м?шл????? ???д??????? ????м???? ? м????м???ц?? ??л?ч??м?? ? ????ль???? ???????д????
?????л?. ? ???ц???? ???????д???? ? ??д???? (???)
????????ю??? ??. ??г??? ?????л???? ????д?л?ю?
???м?? ?л??? ?? ????? ?? ??г???????? ? ??д????,
??????? (???м??) ??л????? ????ц??? ??????, ?
????м???? ? м????м???ц?? ???????ю??? ? ??м ??
?? ???д???. ??д???ль??? ц???? д?л??? ??дд???????ь ??? ? ?????ч???м ?????????. ??? ??-
57
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???д???? ?? ????д?л???, ????? ч???ь ???д???, ??л?ч????? ? ?? ? ??д? ?л??? ?? ????? ??г????????
? ??д????, ???????? ? ??; ??? ??????д???? ?
м???м?ль?? д??????м?ю ??????ь ?ч????? ???ч??? ??д ?? ?? (??л? ?? ???м????? ??????д????
?? ????ш???ю ? ??) ?л? м???м?ль?? д??????м?? ???м?? ?л??? ?? ????? ?? (??л? ?? ???м?????
?????д???? ?? ????ш???ю ? ??).
??г?? ?????л???? ????л?д??? ??ль?? ??????????? ???????? ? м???? ???ь ????????????? ? ??л?ч???? ?????? ?? ??. ?? ?????? ?? ???????? ???м??
?л??? ?? ????? ??г???????? ? ??д????. ?????????
?? ?????? ????м??????ю? ??? ?д?? ?? ????????
(????д? ? д???д?м? ?? ?л??? ?? ??г????????) ? ????м ??л???? ?? ?????????. ?????ч???? ??, ??????? д??л??????м?м ц?л?м ?????? г???д?????????? ?????????, ч???? ????????? ??? ??мм??ч?????
?????????. ?????ль?? ?л?г???л?ч?? ?? ???????
??ль?? ?? ??, ?? ?? ?? ??ч????? ????? ? ??г????,
?? ????д???? ??ч????? ??ч??? ? ???ч??? ??д м?г??
????ш??ь?? ? ??л? ?????м?ч????? ??????ц??. ??д???ль??? ц???? д?л??? ???д??ь ??л????, ??? ??????? ??дд??????? ?????м? ? ?????ч???м ????????? д??? ? ??л????? ??????ц?? ??д?? ?????м?ч???? ??г?д?? дл? ??. ?????ь?? ???г? ?? м????
???д?????????м ??????м, ?????м?, ???м? ??г?, ??
????м???? ? ????м???ц?? ??д???д??ль??г? ????ц????л?. ??л? ?? ????ч??м ???????л? ???м???
д?????????????? ?? ?ч?????????, ?? ц?л???? ????ц????л ??
JB(p(?), q1(?), q2(?), r(?), u(?), b(?)) =
?л?г??м?? CB(a(t)) ? ????????? (12) ????????
??????? ?? ?? ?ч????? ??ч??? ??д?; a(t)(1 ?
? p(t)r (b(t)) ? ??????л???? ???д??? ?? ?? ? ??д?
?л??? ?? ????? ?? ? ??ч??ю ?????м?. ?????м?м
????ц????л? (12) ?????? ?? p(t) ??? ?????д????
? ?? q1(t) ?л? q2(t) ? ??? ??????д????. ????м ??????м, ? ц?л???м ????ц????л? (12) ?ч???? ??????? ?? ц?????л????????ю ?ч????? ??ч??? ??д? ?
??????л???? ?? ?? ? ??д? ?л??? ?? ????? ??г????????.
??г?? ?????л???? ????м???? ? м????м???ц??
???д???, ???????ю??? ? ??м? ?? ?? ? ??д? ??????
? ?л??? ?? ????? ??г???????? ? ?ч???м ??????, ??
??ч???м ?????д?? ?? ?ч????? ??ч??? ??д?. ??л???? ????ц????л ??
T
JC(p(?), r(?), s(?), u(?), b(?)) =
0
+ a(t)r(b(t))p(t) + b(t)a(t)}dt ? max.
? {?CB(a(t)) + (1 ? p(t))r(b(t))a(t)}dt ? max,
(12)
0
гд? t ? ???м????? ????д?????; u(t) ? д?л? ??г?????ю??? ???????, ?д?л??м?? ?? ?? ? ???ц????
?ч????? ???ч??? ??д; W(t) (a(t) = W(t)(1 ? u(t))) ?
??л?ч????? ??, ?????????м?? ? ???? ???д???????м д? (???л?) ?ч????? ???ч??? ??д? ? м?м??? ???м??? t; CB(a(t)) ? ????ц?? ?????? ц????? ?? ?л?чш???? ??ч????? ??ч??? ??д?, ????????? ?? ????г?
??л?ч????? ????ш????? ? ???? ?? (a(t)); T ? м?м??? ???м???, д? ??????г? ??д???? ????м???????;
r (b(t)) ? ????ц?? ?л??? ?? ?д???ц? ????ш?????
??, ? ??л????? ??????ц?? ????????? ?? ???м???
?????? b(t); p(t) ? д?л? ???????ю??? ?? ?? ???д???,
??????? ???????? ? ???????????? ??; q1(t) ? q2(t) ?
?????л???? ?? ??? ??????д????, ??гд? ??, ?
???ю ?ч???дь, ???м????? ??????д???? ? ?????д???? ??????????????.
58
(13)
?д??ь CC(a(t)) ? ????ц?? ?????? ?? ?? ?л?чш???? ??ч????? ??ч??? ??д?; ?? ?????л??? ???м???м
?л??? ?? ????? ??г???????? ? ??д???? r(b(t)) ???
?????д???? ? м???м?ль?? д??????м?? ??????ью
?ч????? ???ч??? ??д ?? ?? s(b(t)) ? ??? ??????д????. ?л?г??м?? CC(a(t)) ???????? ??????? ?? ??
?ч????? ??ч??? ??д?; a(t)p(t)r(b(t)) ? ??????л????
???д??? ?? ?? ?? ????? ??г???????? ? ??д????;
a(t)b(t) ? ???м?? ?????? ?? ????? ? ??д???? ??г?????ю??? ??????? ? ??л?ч????? a(t).
??ль ?? ? м????м???ц?? ????? ?????л? ? ??л????? ??????ц??, ?. ?.
T
=
? {?CC(a(t)) +
T
JH(r(?), u(?), b(?)) =
? {zR(?(t)) ? CH(u(t))W(t) ?
0
? r(b(t))a(t) ? b(t)a(t)}dt ? max.
(14)
?д??ь CH(u(t)) ? ????ц?? ?????? ?? ?? ?ч?????
?д???ц? ?????????м?? ??; ?(t) ? ???????д???????? ???д?; R(?(t)) ? ???????д???????? ????ц??
??; z = const ? ц??? ?д???ц? ???д??ц??. ?????м?м ????ц????л? (14) ?????? ?? ????ц??м u(t)
? b(t).
Cл?г??м?? zR(?(t)) ???????? д???д ?? ?? ???л???ц?? R(?(t)) ?д???ц ???????д????? ?? ???д???????? ???д??ц??, a(t)r (b(t)) ? ?л??? ?? ?????
?? ? ??д????; CH(u(t))W(t) ? ??????? ?? ?? ?ч????? ???ч??? ??д?; a(t)b(t) ? ???м?? ?????? ?? ?????
? ??д???? ??г?????ю??? ??????? ? ??л?ч?????
u(t) - ;
a(t). ??л?? ????м????м ?л?ч?? CH(u(t)) = D -----------------1 ? u(t)
D = const.
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
????м???ц?????? ??д?ч? (12) ? (14) ??ш?ю???
??? ?г????ч????? ?? ?????л????
? ?? ?1 m p(t) m ?2; 0 m q1(t) m 1 ? ?;
(15)
0 m q2(t) m rmax; ?t : t ? [0, T ];
? ?? q1(t) m s(t) m 1 ? ?; q2(t) m r(b(t)) m rmax;
?t : t ? [0, T ];
(16)
? ?? s(t) m u(t) m 1 ? ?; 0 m b(t) m bmax;
?t : t ? [0, T ].
(17)
?д??ь ???ч???? ??л?ч??? ? ????д?л????? ?????л?г?ч????м? ???м???????м? ?? ?? ?ч????? ???ч??? ??д; bmax ? м????м?ль?? ???м????? ??????,
?????д?????? ?? ?д???ц? ????ш????? ??; rmax ?
м????м?ль?? д??????м?? ???м?? ?л??? ?? ?????
?? ??? ??????ц??; ?1 ? ?2 ? м???м?ль?? д??????м?? д?л? ???д???, ???????ю??? ?? ?? ? ?? ?
??; ???ч???? rmax, bmax, ?1 ? ?2 ??д???.
????м??? ??м?????? ???????д???????? ???д?? ?? ??????????? ???????????м д???????ц??ль??м ?????????м
d?
-------- = ?k? + Y,
dt
?(0) = ?0,
(18)
гд? k = const ? ??????ц???? ?м??????ц?? ???????д???????? ???д??; Y ? ???????ц?? ? ???????д????, ??????? ??д?м ?ч????ь ?????????? ??л?ч????; ??л?ч??? ?0 = const ??д???.
????ь ????? ??л?ч????? ?????????м?? ?? (д?
?ч?????) ??????? ?? ??л?ч????? ???????д?????
?? ?? ???д??ц?? л?????? ? ???????д????????
????ц?? ?м?ю? ??д
W(t) = ?R(?), R(?) = ??0,5(t),
?, ? = const.
(19)
? ??ч????? ?????????????? ??ч??? ??д? ???ьм?м ???ц?????ц?ю ?? x(t), ??м?????? ??????? ??
???м???м ??????????? ???????????м д???????ц??ль??м ?????????м
dx
------ = F(x(t), u(t), t),
dt
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b(t). ???д?м ??????ч???? дл? ?????ц?? ?( r ) =
?
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= r (p(r), u, b); ?( u ) = u(r(p(r), u, b). ??д?м ?ч????ь,
ч?? ?2rmax m D m rmax.
??ш???? ??д?ч? (12)?(22) ???????? ? ???????????? ? ????????м ? І 1 ?лг????м?м ? ?л?ч?? ?????м?ц?????г? ??гл?м???? II ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц??, ? ?м????:
II
1) ??ч??л????? ??л?ч??? L H = T(D ? 2 Dr max )?
T
T
? W(t)dt + ? zR(?)dt; ??????г?? ????????? ?м?ю?
?
0
0
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??д p? = p? (rmax) = 0; r
p
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(20)
?t : t ? [0, T ],
(21)
0
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T
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1
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(
u
) ( ? ( r ) + b ( t ) ) ) ? dt m T ?
?
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?
0
T
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? (D ? 2 Dr max ) ? W(t)dt ? ;
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0
3) ??ч??л????? ??л?ч???
II
T
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II ?
( r, u, b ) ? D
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+ (1 ? ?( u ))W(t)b(t))}dt;
4) ???д???? м????????
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?
T
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D *C = {( p? , r , u , b) :
?
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? {?CC((1 ? ?( u ))W(t)) +
0
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?
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II
+ (1 ? ?( u ))W(t)(?( r )p(r(t)) + b(t))}dt l L C ,
?
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?
?
?(u)
? ? W(t) ? D --------------------- + ( 1 ? ? ( u ) ( ? ( r ) + b ( t ) ) ) ? dt m
?
? 1 ? ? ( u?? )
?
0
T
m T(D ? 2 Dr max ) ? W(t)dt,
0
?t : 0 m x(t) m xmax,
W(t)[1 ? u(t)]/Q0(t) m Qmax;
5) ????д?л????? ??л?ч???
(22)
гд? Q (t) ? ?????д ??д? ?? ?? ? м?м??? ???м??? t;
???ч???? xmax ? Qmax ??д???.
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
p
? ?? ???
II
2) ????д?л????? м???????? D H = ? ( r , u , b) :
?
T
II
?t : t ? [0, T ],
p
p
? ?г????ч???? ?? ??ч????? ???ч??? ??д?
W(t)[1 ? u(t)]
------------------------------------- m Qmax,
0
Q (t)
?
?
= r ( p? (rmax), u , b ) = rmax;
D/r max ; b = 0;
T
x(0) = x0,
гд? F(x(t), u(t), t) ? ????????? ??д????? ????ц??.
???????? ???д?ль?? д??????м?? ???ц?????ц?? ?? ? ??д????? xmax
0 m x(t) m xmax,
????м????м ???ч?л? ?????м?ц?????? ??гл?м??? II. ??д?м ?ч????ь, ч?? q1(t) ? q2(t) ? s(t) ? 0,
?????л????м? ?л???? ????ц?? p(t), r(t), u(t), t) ?
?B =
?
?
sup
?
?
?
?
?
?
? {?CB(W(t)(1 ? ?( u )) +
( p?, r, u, b ) ? D *C 0
?
?
?
?
?
+ (1 ? p(r(t)))W(t)?( r )(1 ? ?( u ))}dt
? ????д???? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї.
59
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?????д?м ???м??? ?????д???? ??????????. ??
???? ???м???? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї ????д???? ч??л???? м???д?м ???м?г? ?????д?ч????г? ???????? ? ?ч???м г??????? ??????????? ?????л???? ?? ????????? ???м????? ???????л?? [19, 20]. ?м????, ?ч???????, ч?? ????????
м???ю? ???? ?????л???? n ??? ? ????????? м?м???? ???м???, ?. ?.
?1
? = 0,002 ??? ; z = 25 ??? ; rmax = 200 ?. ?.; bmax = 70 ?. ?.;
16
T = 540 ???; ?max = 10 мг/л; Qmax = 100; ?0 = 10 ?. ?.;
D = 18; x0 = 6 мг/л; ? = 2; ?1 = 0,3; ?2 = 0,8; ? = 0,1;
0
Y = 0 ?. ?.; ? = 0,3 мг/(??? ?. ?.); Q (t) = 0,6W(t)/Qmax;
(?. ?. ? ??л????? ?д???ц?). ??л?ч?м, ч??
II
??????ц?? ? ?????м? ???ь ? L H = ?132 507 ?. ?.; L C =
II
= 285 317 ?. ?.; ? B = 105 764 ?. ?.; J C = 285 882 ?. ?.;
II
II
II
J H = ?132 483 ?. ?., гд? J C , J H ? ?????ль ?? ? ??
?????????????? ? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї.
?????? 2. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ?
?м??ьш???? ?????? ?? ?ч????? ???ч??? ??д ?? ??
(D = 1) ??????ц?? ? ?????м? ????? ????????????, ?????ль ?? ??????, ????ль??? ????????? ?м??ьш?????, ???
??? ?? ?? ??г?д?? ??????? ??????ь ?ч????? ???ч??? ??д:
II
II
II
L H = 397 870 ?. ?.; L C = 93 911 ?. ?.; ? B = 2166 ?. ?.;
II
II
J C = 94 262 ?. ?.; J H = 398 121 ?. ?.
?????? 3. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ? ???л?ч???? ?????д?? ?? ?ч????? ??ч??? ??д? ?? ???????
?? (?3 = 200 ?. ?.) ?? ?????? ??????, ??????ц?? ? ???II
II
??м? ???ь: L H = ?132 507 ?. ?.; L C = ?269 677 ?. ?.;
II
II
II
? B = 175 732 ?. ?.; J C = ?269 156 ?. ?.; J H = ?132 452 ?. ?.
?????? 4. ?????????? II ? ?ч???м ??л???? ?? ?????м? ?????????? ?? ???гд?. ?????м??, ?г? ?? ?????????? ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ? ????? ?? ??
?????? ?? ?ч????? ???ч??? ??д (D = 100), ???л?ч????
м????м?ль?? ???м????? ??л?ч??? ?д?ль??? ??????
(bmax = 500 ?. ?.), ?м??ьш???? м????м?ль?? д??????м??
60
II
2
C2 = 20 ?. ?.; C3 = 30 ?. ?.; C1 = 0,015 (л???? ); n = 3;
II
II
q1(t), s(t), u(t) ? b(t). ????ь ?t : t ? [0, T ] ? D l ? r(t).
?1
II
II
L C = ?477 12 ?. ?.; ? B = 301 948 ?. ?.; J C = 68 267 ?. ?.;
????м????м ?????м?ц?????? ??гл?м??? CC.
?ч????м, ч?? q2(t) ? 0, ? ????ц?? p(t) ? r(t) ??д???
? ?? м???ю???, ?????л????м? ?л???? ????ц??
?????? 1. ????ь F(x(t), u(t), t) = ??x + C1W(t)(1 ? u(t));
CB(a(t)) = C2a(t); CC(a(t)) = C3a(t); C1, C2, C3 = const;
?1
II
??ль ?? ? ?? ??????, ?? ? ??д???: L H = ?132 507 ?. ?.;
II
гд? mi = const; ti = i?t; ?t = T/n; m(t) ? ?????л????
?д??г? ?? ????????? ?????л???? (?д?? ?? ????ц??
p(t), r(t), u(t) ? b(t)).
k = 0,001 ???
?????? 5. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 ?
?м??ьш???? м????м?ль?? ???м????? ?д?ль??? ??????
(bmax = 10 ?. ?.) ??????ц?? ? ?????м? ???????????, ???-
J H = ?111 052 ?. ?. ?
? m 1, ??л? 0 ? t < t 1 ,
?
? m , ??л? t 1 ? t < t 2 ,
m(t) = ? 2
...
?
?
? m N, ??л? t n ? 1 ? t < T,
?1
?л??? ?? ????? ?? (rmax = 10 ?. ?.) ?л? ???дш???? ???л?г?ч????г? ????????? ?????м? (x0 = 9 мг/л).
??ш???? ??д?ч? (12)?(22) ????ь ???????? ? ???????????? ? ????????м ? І 1 ?лг????м?м ? ?л?ч??
?????м?ц?????г? ??гл?м???? CC, ? ?м????:
1) ??л? 1 ?
b*(t)
= 0;
u*(t)
??л? 1 ?
D/r ( t ) + b max m s(t) < 1 ? ?, ??
= s(t);
D/r ( t ) m s(t) < 1 ?
b*(t) = bmax; u*(t) = 1 ?
D/r ( t ) + b max , ??
D/r ( t ) + b max ) ?л? (b*(t) = 0;
u*(t)
= s(t)) ? ??????м???? ?? ???д??? д?????
м?д?л?;
D/r ( t ) , ?? (b*(t) = bmax;
??л? s(t) < 1 ?
u*(t) = 1 ?
=1?
D/r ( t ) + b max ) ?л? (b*(t) = 0; u*(t) =
D/r ( t ) ).
2) ??ш????? ????м????ч????? ??д?ч? м????м???ц?? ????ц????л? (13), (16) ? ?ч???м ?????????
(18) ? ????ц??? (19) ??? b(t) = b*(t), u(t) = u*(t); ??
??ш????м ??л????? ???????? s*(t) = s*(q1(t), b(t));
3) ??ш????? ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л????
???????? ? (12), (15), (18)?(22) ??? s(t) = s*(q1(t),
b*(t)); u(t) = u*(s*(q1(t), b*(t))), b(t) = b*(t). ????д???? ?????????? Ђ??????д???? ? ??????д????ї.
?????????? ?????? ч??л???? м???д?м ???м?г?
?????д?ч????г? ???????? ? ?ч???м г??????? ??????????? ?????л???? ?? ????????? ???м????? ???????л?? [19, 20] ? ?л?ч?? p(t) = 0,4; r(t) = rmax/2. ??м???м, ч?? ????ль???? ??????????? ??????? ?? ??д????? ????ц?? p(t) ? r(t).
?????? 6. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 1 д???д?
?? ? ?? ?????л? ?? ????????ю ? ???м???м 1, ?? ?
CC
???л? ? J B
CC
= 142 658 ?. ?.; J C
= 109 371 ?. ?., гд?
CC
JB
,
CC
JC
?
CC
= 35 664 ?. ?.; J H
CC
JH
=
? ?????ль ??, ??
? ?? ?????????????? ? ?????????? Ђ??????д???? ?
??????д????ї.
?????? 7. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 2 д???д?
?? ? ?? ????ь ?????л? ?? ????????ю ? ???м???м 2,
CONTROL SCIENCES є 1 ? 2014
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CC
?? ? ???л?, ? J B
CC
JH
CC
= 28 531 ?. ?.; J C
= 7132 ?. ?.;
= 4 588 851 ?. ?.
?????? 8. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 3 д???д? ?? ? ?? ???л? ?? ????????ю ? ???м???м 3, ?? ?
CC
?????л?, J B
CC
CC
= 28 531 ?. ?.; J C
= ?114 127 ?. ?.; J H
=
= ?632 454 ?. ?.
?????? 9. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 4 ?????????? CC ? ?ч???м ??л???? ?? ?????м? ?????????? ??
???? ????????? ?л?ч??? (??? D = 100, bmax = 500 ?. ?.,
x0 = 9 мг/л). ????м ??????д???? ?д????? д????ь?? ????л????? ??л???? ??. ?
? ?л?ч?? ?????м?ц?????г? ??гл?м???? CI ??д?м ?ч????ь, ч?? q1(t) ? 0; s(t) ? 0, ? ????ц?? p(t)
??д???, ?????л????м? ?л???? ????ц?? q2(t), r(t),
u(t), b(t). ???д?м ??????ч???? дл? ?????ц??
?
?
?
?
?
?( r ) = r(q, u, b); ?( u ) = u(q, u, b)).
??ш???? ??д?ч? (12)?(22) ???????? ? ???????????? ? ????????м ? І 1 ?лг????м?м ? ?л?ч?? ?????м?ц?????г? ??гл?м???? CI ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц??, ? ?м????:
T
CI
1??
1) ??ч??л????? ??л?ч??? L H = ? ----------- ? W(t)dt ?
?
0
T
T
? ? ? r(t)W(t)dt +
0
?
?
p
p
?p
?
p
q 2 = 1 ? ?; r
? zR(?)dt;
=
0
p
p
p
= r ( q 2 , u , b ) = rmax; u = 1 ? ?; b = 0;
2) ????д?л????? м????????
?
?
CI
?
?
?
D H = {( r , u , b) :
?
?
T
?
?
? ( u ) - + ( 1 ? ? ( u??? ) ( ? ( r??) + b ( t ) ) ) ?
? ? W(t) ? D --------------------? dt m
?
? 1 ? ? ( u?? )
?
0
T
T
0
0
1??
m ----------- ? W(t)dt + ? ? r(t)W(t)dt;
?
3) ??ч??л????? ??л?ч???
CI
T
? C (q2) =
?
?
?
{?CC(W(t)(1 ? ?( u )) +
CI ?
( r, u , b ) ? D
?
?
sup
?
?
?
H 0
?
?
?
?
?
+ p(t)W(t)?( r )(1 ? ?( u ))}dt,
?
?
?
?
?
??????ч?м ч???? r * ? ( u * , b*) ??????г?? ?????????
CI
? ? ?, ???л???ю??? ??л?ч??? ? C (q2);
4) ??ш????? ??д?ч? ????м?ль??г? ?????л???? ?
??????м? ?г????ч????м? ???????? ? (12), (15),
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(18)?(22) ??? r = r * , ( u , b) = ( u * , b*) ? ????д????
?????????? Ђ??????д???? ? ?????д????ї ? ?ч?-
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 1 ? 2014
??м ?????????? ?? ? ??л????? ?????м?ч?????
??????ц??.
?????????? CI, ??? ? ? ????м???????? ?????
?л?ч???, ?????? ч??л???? ? ??????????? ???????
?? ????????? ????ц?? p(t). ??л?? ?ч???????, ч??
p(t) ? 0,4.
?????? 10. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м???? 1, 4
? 5 ?????????? Ђ??????д???? ? ?????д????ї ? ?ч???м
??л???? ?? ?????м? ?? ??????????. ?л? ?? ? ?? ??г?д?? ????ш??ь ??л???? ??, ? ? ?? ??д??????ч?? ??ч?г?? ???д??????? ?? ???.
?????? 11. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 2 д???д? ?? ? ?? ?????л? ?? ????????ю ? ???м???м 2, ?? ?
CI
???л?, ??????ц?? ? ?????м? ???ь, ? L H = 387 556 ?. ?.;
CI
JB
CI
CI
= 62 665 ?. ?.; L C = 42 002 ?. ?.; J H = 389 882 ?. ?.,
CI
CI
CI
гд? J B , J C ? J H ? ?????ль ??, ?? ? ?? ?????????????? ? ?????????? Ђ??????д???? ? ?????д????ї.
?????? 12. ? ?л?ч?? ???д??? д????? ???м??? 3 д???д? ?? ???л? ?? ????????ю ? ???м???м 3, ?? ? ?? ?
CI
?????л?, ??????ц?? ? ?????м? ???ь, L H = ?703 783 ?. ?.;
CI
JB
CI
= 136 309 ?. ?.; J C
CI
= ?68 154 ?. ?.; J H
=
= ?636 750 ?. ?. ?
????м ??????м, ??? ? ?л?ч?? ?????м?ц?????г?
??гл?м???? II, ??? ? ??гл?м???? CI ?????????? ?
?ч???м ??л???? ?? ?????м? ???????? ?? ???гд?,
?. ?. ?? ?? ?д????? ??????ч??ь ????л????? ??л???? ?? ??-?? ??????ц??. ? ?л?ч?? ??гл?м???? CC
?????????? ?????????? дл? ??л?? ш?????г? ?л????
???д??? ????ц??. ?????ль ???л?ч??? ?????????
?????л???? ? ?????????? ?????м? ??????????? ??????? ?? ???????г? ?????м?ц?????г? ??гл?м????.
«ј Ћё„≈Ќ»≈
? ????????? ?????? д??? ????д?л???? ? ?????д??? ???л?д?????? ?????????? Ђ??????д???? ?
?????д????ї ? ?ч???м ?????????? ?????ч???г?
???????? ? ??л????? ??????ц?? ? ?????????????
?????м?? ?????л????. ????д? ??????д???? ?
?????д???? ??? ???????ч????м ?????л???? [17]
???м?л???ю??? ??? ?????м?ц?????? ???ш?????? ?г?? д??? л?ц, ? ???????м ???????????ю???
??гл?м????м ?1t ? ?2t, ????????м ? ???г?? [24, 25].
?????????? ?????ч???г? ???????? ?ч?????ю???
д???л????ль?? ??? ??????? ?г????ч???? ? д???????ц??ль??? ?г??. ?дм????????????? ? ?????м?ч????? ??????ц?? ??????ю??? ??? ???????? ????ь
?????л???? ??????д???? ? ?????д???? ?? ???м??? ?????? [18?23].
? ?г??? ???? л?ц ? ??????? м???д?? ?????л????
???м???? ч????? ???????? ?????м?ц?????? ??гл?м?????: ??? ???????? ???м???ю? ?д?? ? ??? ??
м???д (??????д???? ?л? ?????д????) л??? ???
61
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”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ¬ —ќ÷»јЋ№Ќќ-Ё ќЌќћ»„≈— »’ —»—“≈ћј’
???м???ю? ???л?ч??? м???д?, ??? ???м ?? ????
?л?ч??? ?????л???? ?г???? ???д??г? ?????? д???л??ю??? ?дм????????????? ?л? ?????м?ч?????
??????ц???. ?????????? Ђ??????д???? ? ??????д????ї ? ?ч???м ?????????? ?????ч???г? ????????
? ??л????? ?дм????????????? ??????ц?? ????????
????м ??ш???? ???л?д?????ль????? ?????????
????м????ч????? ??д?ч ????м?ль??г? ?????л????
? ???????????ю??м? ??????м? ?г????ч????м?.
?л? ?????д???? ?????????? Ђ?????д???? ? ?????д????ї ? ?ч???м ?????????? ?????ч???г? ???????? ? ??л????? ?????м?ч????? ??????ц?? ????ль?????? ???дл??????? ? ?????? [24] ???ц?д???,
?????????? ?? ?????????? ????м??????????, ??г?д??? дл? ?г?????, ???г??мм. ?????????? Ђ??????д???? ? ?????д????ї ? Ђ?????д???? ? ??????д????ї ? ?ч???м ?????????? ?????ч???г? ???????? ? ??л????? ??????ц?? ?????? ? ??м??ью
??м????ц?? ???? ??д??д??.
? ??ч????? ?ллю????ц?? ???д????л??? ???м?????? ????????? м???д?? ? ??д?ч?м ??????л? ??ч????? ????????????? ??д. ????????, ч?? дл? ????м???????? ???м???? ? ?л?ч?? ??гл?м???? Ђ??????д???? ? ??????д????ї ????ц???л? ???гд?
?д????? ??????ч??ь ????л????? ?????????? ?????ч???г? ???????? д??? ??? ??????ц??, ? дл? д??г??
??гл?м????? ? ??ль?? ??? ????д?л????? ???ч????? м?д?ль??? ????м?????. ????м ??????м, ? ??м??? ???м???? ?дм????????????-??????д???ль???
м???д? ? ???ь?? ? ??????ц??? ??л?? ??????????,
ч?м ?????м?ч?????.
Ћ»“≈–ј“”–ј
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15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
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????? ?.?., ?????? ?
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